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GEOMETRIA EUCLIDEA o
RAZIONALE
CONCETTI FONDAMENTALI
GEOMETRIA
Può essere
INTUITIVA
Quella sviluppata dagli
antichi Egizi
Può essere
RAZIONALE
Quella sviluppata dagli
antichi Greci (organizzata da
Euclide)
INTUITIVA
Si basa su
OSSERVAZIONI
PROVE
TENTATIVI
ESPERIENZE
RAZIONALE
Parte da
ENTI e
CONCETTI
PRIMITIVI
Non definibili, ma ASSIOMI o
descritti mediante POSTULATI
Concetti e enti primitivi
Concetti e enti che non si possono definire
con idee più elementari
Assiomi o postulati
Affermazioni che esprimono delle
proprietà evidenti, suggerite dalla nostra
intuizione e dalla nostra esperienza. Sono
proprietà che “supponiamo” essere vere e
che pertanto non dimostriamo.
ENTI e
CONCETTI
PRIMITIVI
ASSIOMI o
POSTULATI
Da cui si deducono
Mediante
definizioni
ENTI
GEOMETRICI NON
PRIMITIVI
Mediante
dimostrazioni
PROPRIETA’ dei NUOVI
ENTI GEOMETRICI
(=TEOREMI)
DALLA GEOMETRIA INTUITIVA (degli
antichi Egizi studiata nelle scuole elementari
e medie)
ALLA GEOMETRIA RAZIONALE (degli
antichi Greci studiata nelle scuole superiori)
Enti geometrici primitivi
Gli enti primitivi della geometria sono:
PUNTI
RETTE
PIANI
SPAZIO
Concetti primitivi
Tra i concetti primitivi delle geometria vi
sono ad esempio quelli di
MOVIMENTO RIGIDO: una figura può
muoversi nel piano e nello spazio senza
deformarsi;
APPARTENENZA: un ente geometrico fa
parte di un altro
Assiomi o Postulati
Gli assiomi scelti devono soddisfare le
seguenti condizioni:
COMPATIBILITA’:
non devono contraddirsi l’uno con l’altro
INDIPENDENZA:
dalle proprietà affermate dell’uno non si
devono poter dedurre le proprietà affermate
dell’altro
Assiomi fondamentali
- Una retta contiene infiniti punti
- Un piano contiene infiniti punti e infinite rette
- Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette,
infiniti piani
Assiomi di appartenenza
- Per due punti distinti passa una ed una sola retta (= due
punti distinti appartengono a una sola retta)
- Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano (=
tre punti non allineati appartengono a un solo piano)
- La retta passante per due punti distinti di un
piano giace completamente sul piano
Assioma di ordinamento
-La retta è un insieme di punti totalmente ordinato, tale
che:
- Dati due punti A e B, o A precede B o B precede A.
A
B
- Se A precede B e B precede C, allora A precede C.
A
B
C
Enti geometrici non primitivi:
definizioni
SEMIRETTA: ciascuna delle parti in cui una
retta è divisa da un suo punto.
Il punto è detto: ORIGINE delle semirette
Due semirette si dicono OPPOSTE se:
• hanno solo l’origine in comune
• appartengono alla stessa retta
SEGMENTO: la parte di retta compresa tra
due suoi punti
A
B
I punti A e B vengono detti gli estremi del segmento
In una retta
ci sono infiniti punti
(lo dice l’assioma).
E in un segmento?
SEGMENTI PARTICOLARI
Segmenti CONSECUTIVI: due segmenti che
hanno in comune un estremo e nessun altro
punto
Segmenti ADIACENTI: due segmenti che
oltre ad essere consecutivi appartengono alla
stessa retta
SEMIPIANO: ciascuna delle due parti in cui
un piano è diviso da una sua retta, la retta è
detta origine del semipiano
Due semipiani si dicono OPPOSTI se:
• hanno solo l’origine in comune
• appartengono allo stesso piano
Rette INCIDENTI: rette complanari che hanno
un punto in comune
Rette PARALLELE: rette complanari che non
hanno nessun punto in comune
Rette SGHEMBE: rette non complanari che non
hanno nessun punto in comune
Postulato di Euclide
Per un punto esterno a una retta passa una e una sola
retta parallela alla retta data
Fascio PROPRIO di rette: rette complanari
passanti per uno stesso punto detto centro del
fascio
Fascio IMPROPRIO di rette: rette complanari
parallele ad una stessa retta
ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui viene
diviso un piano da due semirette aventi l’origine in
comune
Angolo convesso
Angolo concavo
Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti
dei suoi lati
Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i
prolungamenti dei suoi lati
ANGOLI PARTICOLARI 1
Angolo PIATTO: un lato è il prolungamento
dell’altro ( 180 °); non è né concavo né convesso
Angolo RETTO: è la metà di un angolo piatto
(90°); è convesso
ANGOLI PARTICOLARI 2
Angolo GIRO: i due lati sono sovrapposti (360°); è
concavo
Angolo NULLO: i due lati sono sovrapposti (0°); è
convesso
Angoli CONSECUTIVI: due angoli aventi in
comune il vertice, un lato e nessun altro punto
Angoli ADIACENTI: due angoli che oltre ad
essere consecutivi hanno i due lati non comuni
l’uno sul prolungamento dell’altro (o che
appartengono alla stessa retta)
Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati
dell’uno sono i prolungamenti dell’altro
CONFRONTO E SOMMA DI SEGMENTI
Dati due segmenti la loro somma è il
segmento che si ottiene disponendoli uno
adiacente all’altro
a
b
a+b
a
a<b
b
Dati due segmenti se, sovrapponendo il primo
segmento al secondo facendo coincidere un
estremo, l’altro estremo è interno al secondo
segmento allora il primo è minore del
secondo; se è esterno è maggiore.
CONFRONTO E SOMMA
DI ANGOLI CONVESSI
Dati due angoli convessi la loro somma è l’angolo che
si ottiene disponendoli uno consecutivo all’altro
Angolo ottuso
Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di
un angolo retto ed è convesso (quindi è
sempre minore di un angolo piatto)
Angolo acuto
Un angolo si dice ACUTO se è minore di un
angolo retto (quindi è sempre convesso)
Due angoli la cui somma è un angolo piatto si
dicono SUPPLEMENTARI
Due angoli la cui somma è un angolo retto si
dicono COMPLEMENTARI
Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono
ESPLEMENTARI
Poligonale o spezzata aperta
(non intrecciata)
Insieme di più segmenti consecutivi
lato
vertici
estremi
Poligonale o spezzata chiusa
(non intrecciata)
Poligonale aperta a cui si aggiunge un segmento
che ne congiunge gli estremi
POLIGONO
Parte di piano delimitata da una poligonale
chiusa non intrecciata
Poligono convesso:
i prolungamenti di
TUTTI i suoi lati sono
esterni al poligono
Poligono concavo: il
prolungamento di ALMENO
UN lato lo divide in due parti
Angoli interni e esterni
Angoli
esterni
Angoli
interni
L’angolo interno e l’angolo esterno di ciascun
vertice di un poligono sono supplementari
Figure convesse
B
A
Una figura si dice CONVESSA, se per ogni coppia
di punti A e B appartenenti alla figura, il segmento
AB è interamente contenuto nella figura
Figure concave
A
B
Una figura si dice CONCAVA, se esiste almeno una
coppia di punti A e B appartenenti alla figura, tali
che il segmento AB non sia interamente contenuto
nella figura
CONGRUENZA
Due figure F1 e F2 si dicono congruenti quando è
possibile sovrapporle con un movimento rigido in
modo che coincidano punto per punto
F1
F2
F1  F2
Proprietà della congruenza
RIFLESSIVA: una figura è congruente a se
stessa, cioè F1F1
SIMMETRICA: se F1 è congruente a F2,
allora anche F2 è congruente a F1,
cioè se F1 F2, allora F2 F1
TRANSITIVA: se F1 è congruente a F2, e F2
è congruente a F3 allora anche F1 è
congruente a F3,
cioè se F1 F2 e F2 F3, allora F1 F3
Bisettrice di un angolo


Semiretta che divide un angolo in 2 angoli
congruenti
Punto medio di un segmento
AMMB
A
M
B
Punto che divide il segmento in due
segmenti congruenti
Asse di un segmento
AMMB
90°
A
M
B
Retta perpendicolare al segmento passante per il suo
punto medio
Distanza di un punto da una retta
P
90°
H
Segmento di perpendicolare che unisce il punto
alla retta, cioè il segmento PH