Magneto / Elettro – Encefalo
Grafia
Tecniche di imaging funzionale non-invasive
Il Cervello - micro
I neuroni comunicano mediante
correnti elettriche
dendriti
Dendriti: canali di “input” del
neurone
Assone: canale di “output” del
neurone
Sinapsi: luogo di “contatto” tra
dendrite e corpo del neurone
PSP: potenziale post-sinaptico,
responsabile di correnti più
durevoli
Potenziale d’azione: segnale di
output, scorre nell’assone
PSP
Corpo neurone
assone
pot. d’azione
Il Cervello - Macro
I compiti più evoluti
vengono svolti dalla
corteccia, la superficie
L’organizzazione del
cervello è “a blocchi”:
cellule vicine svolgono
compiti analoghi (con
buona probabilità)
L’orientazione delle
correnti è “costante”
su piccole porzioni di
corteccia
Un buon numero (>= 106) di
sinapsi attive
“contemporaneamente” produce
una corrente macroscopica
La Fisica
Equazioni di Maxwell
E
B 0
B
E
t
E
B 0 J r
t
r
approssimazione quasi-statica Biot-Savart
(r r ' )
0
B(r )
J (r ' ) 3 dV
4
| (r r ' ) |
Corrente di volume
NB: J è in realtà Corrente primaria (neurale)
v
p
dato da due
J E V
J
E
V
termini:
p
p v p
J 0 ( V ) J
J J J J V
La corrente neurale genera
campi elettrici e magnetici:
p
( V ) J
(r r ' )
0
B(r )
J
(
r
'
)
3 dV
4
| (r r ' ) |
I Sensori
MEG
Magnetometro: il
flusso di campo
magnetico variabile
induce una corrente
(legge di Faraday)
Gradiometri:
combinazioni che
rilevano le derivate
spaziali del flusso
La misura è affidata a sensori
detti SQUID (Superconducting
Quantum Interference Device)
EEG
Coppia di elettrodi:
misura la differenza di
potenziale tra i due
Gli Strumenti
Aspetti Sperimentali - MEG
L’ordine di grandezza dei campi da
misurare richiede tecnologie avanzate
(e costose):
Stanze magneticamente schermate
Compensazione attiva
(elettromagneti annullano il
campo resoduo)
Configurazioni sensori (gradiometri)
tali da ridurre la sensibilità verso
sorgenti lontane
Campo
terra
10^11 fT
Campo
cuore
10^5 fT
Campo
cervello
10^2 fT
M/EEG: Rumore Neurale
Il cervello: una fonte
ineliminabile di
“rumore”
M.E.G.
E.E.G.
M/EEG: il Dato (RAW)
Risoluzione temporale: 1
ms cca
Campo elettrico [mV]
Campo magnetico [fT]
Rapporto segnale/rumore…
M/EEG: stimulus-related
Segnale “esatto”
Quando si è
interessati alla
risposta ad uno
stimolo specifico, è
possibile ripetere
lo stimolo e
mediare le risposte
Segnale rumoroso
M/EEG: stimulus-related
La somma di 10 “trials”
Pro: il rapporto
segnale rumore cresce
perché l’attività non
legata allo stimolo
viene cancellata
Contro: si perde il
dettaglio della risposta
al singolo stimolo
(habituation)
destra
sinistra
FILMATO
Perché usare EEG/MEG
Le “concorrenti”:
• risonanza magnetica funzionale (fMRI)
• Tomografia a emissione di positroni (PET) o a singolo fotone (SPECT)
• Spettroscopia nel vicino infrarosso (NIRS)
misurano
• quantità legate al metabolismo (essenzialmente l’afflusso di sangue)
• (quindi...) con risoluzione temporale molto bassa (1 sec)
Il Problema Inverso
Nei problemi inversi si va spesso “all’indietro” nelle
relazioni causa-effetto, tentando di risalire alle cause
partendo dagli effetti
Le correnti producono campi elettrici e magnetici;
dai campi elettrici e magnetici misurati con EEG e
MEG ora tentiamo di “ricostruire” le correnti
Domanda: è possibile ritrovare le correnti?
fisica
J (r ' )
B(r ), E (r )
matematici
Risposta: NO
La motivazione della Fisica: esistono distribuzioni di correnti tali da non
produrre campo elettrico (o magnetico) all’esterno della testa (“sorgenti
silenziose”)
La motivazione della Matematica: gli operatori di Laplace (EEG) e di Biot-Savart
(MEG) sono malposti (ora approfondiamo)
Il commento delle Neuroscienze: cheppalle…
Il Problema Inverso – Formulazione Matematica
La teoria dei problemi inversi aiuta a superare il NO di prima
Cosa è un problema mal posto?
Un problema è ben posto se:
• la soluzione esiste per ogni dato
• la soluzione è unica
• la soluzione dipende con continuità dai dati
Il Problema EEG
p v p
J J J J V
B( r ) 0 J ( r )
p
( (r ) V (r )) J (r )
La divergenza di un rotore è nulla
Il problema diretto: date
Il problema inverso: date
Correnti della forma
p
J
V
e
e
p
J A
calcolare
V
calcolare
p
J
non contribuiscono al potenziale
Il Problema MEG
p v p
J J J J V
Stokes et al...
B( r ) 0 J ( r )
(r r ' )
0
p
B(r )
[
J
(
r
'
)
(
r
'
)
V
(
r
'
)]
dr '
3
4
| (r r ' ) |
Il problema diretto: date
Il problema inverso: date
p
J
e
B
Dominio semplicemente connesso
e
calcolare
B
calcolare
p
J
Operatore di Biot-Savart
BS : C ()
C ()
Teorema. Il nucleo dell’operatore di Biot-Savart contiene il sottospazio
M : j m : m (C02 ()) 3
Parentesi: perché non possiamo usare direttamente l’equazione di Maxwell??
L’importanza del problema diretto
Saper calcolare il problema diretto è fondamentale quando si affronta il
problema inverso
1. Produce dati sintetici di test
2. È quasi sempre coinvolto nel processo di soluzione del problema inverso
Calcolo - Discretizzazione
p
( (r ) V (r )) J (r )
(
r
r ')
0
p
B(r )
[
J
(
r
'
)
(
r
'
)
V
(
r
'
)]
3 dr '
4
| (r r ' ) |
Ovvero trasformare tutto in matrici...
Il dato è discreto.
Discretizzazione della corrente. Il problema è lineare, scelta della “base”, si lavora per
sovrapposizione...
p
J
Q
(
r
rQ )
Una base “naturale”: la corrente puntiforme o “dipolo di corrente”.
(
r
r
)
(
r
r ')
0
Q
B(r )
Q 3 J v (r ' ) 3 dV
4
|r r |
| (r r ' ) |
Q
Integrale somma. Problema in forma matriciale; inserendo anche il tempo:
[V] e [B] = numero sensori X numero istanti
VFV J,
B FBJ
[F] = numero sensori X numero punti
[J] = numero punti X numero istanti
Il Dipolo di Corrente (M/EEG)
Il dipolo di corrente è un concetto largamente utilizzato in M/EEG. Poco altrove.
NB: è DIVERSO dal dipolo
elettrico (coppia di
cariche)...
... e dal dipolo magnetico
(coppia di poli, o corrente di
una spira)
Il Dipolo di Corrente (M/EEG)
Dal punto di vista matematico, è un vettore applicato.
Dal punto di vista fisico, è una corrente puntiforme.
p
J Q (r rQ )
E’ l’elemento base per calcolare il
contributo della corrente primaria al
campo. Per la corrente di volume, tutto
dipende dalla geometria del conduttore
p v
J J J
(r r ' )
0
B(r )
J (r ' ) 3 dV
4
| (r r ' ) |
(
r
r
)
(
r
r ')
0
Q
v
B(r )
Q 3 J (r ' ) 3 dV
4
|r r |
| (r r ' ) |
Q
NB: il dipolo di corrente è anche l’approssimazione di ordine zero di una qualunque
distribuzione di corrente
Modelli di Testa (M/EEG)
La conducibilità nella testa è una quantità variabile (in linea di principio, un
campo tensoriale)
Tre ordini di approssimazione:
1. Conduttore omogeneo, isotropo
2. Conduttore inomogeneo, isotropo
3. Conduttore inomogeneo, anisotropo
Modello semplice
1. Conduttore omogeneo, isotropo
Modello semplice
sensore
Assumendo simmetria sferica per il conduttore
r
r’
0
(r r ' )
B(r ) B0 (r )
( i j ) V (r ' ) 3 dSij
4
Sij
| (r r ' ) |
i, j
Il contributo delle correnti di
volume alla componente radiale del
campo magnetico è nullo!
Esiste una formula analitica per calcolare
il campo magnetico totale
2
1
Modello medio
2. Conduttore inomogeneo, isotropo
Modello medio
La superficie viene tassellata con un (elevato)
numero di triangoli;
Si tiene conto della natura non-omogenea
della conducibilità.
Il potenziale sul triangolo i-esimo è dato da:
Modello realistico
3. Conduttore inomogeneo, anisotropo
L’intero volume viene tassellato con un
(elevato) numero di tetraedri
Modello realistico
Si può tener conto della natura
tensoriale della conducibilità,
stimata da immagini MRI
Modello realistico
Quanto conta l’anisotropia?
