UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA UNITA’ DIDATTICA 1 I NUMERI NATURALI M.P. SINISI -1- Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA U.d.A. 1 I numeri naturali: numeri primi e numeri composti I numeri naturali I primi numeri che l’uomo ha utilizzato fin dai tempi antichi sono i numeri naturali perché sono quei numeri che permettono di “contare”. I numeri naturali sono i numeri che noi utilizziamo per contare, per esempio: 1, 2, 3, …….., 25, …,890,….. L’insieme dei numeri naturali è rappresentato con il simbolo N. 0 è il più piccolo numero naturale Prendiamo un numero naturale qualunque. Aggiungendo 1 si ottiene il suo successivo Il successivo di 0 è 1, il successivo di 1 è 2; continuando otteniamo la sequenza dei numeri naturali. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …….., 20, 21, 22, ……… SEQUENZA Su una retta orientata r r scegliamo un punto qualunque e lo chiamiamo ORIGINE O 0 1 2 3 …………………………… Il primo numero che compare è 0 Ogni numero precede ( è scritto prima) il suo successivo 1 PRECEDENTE 2 SUCCESSIVO 0 non ha un precedente 0 è PRECEDENTE di 1 e 1 è SUCCESSIVO di 0 1 è PRECEDENTE di 2 e 2 è SUCCESSIVO di 1 Prendiamo due numeri naturali qualunque che chiamiamo con le lettere a e b M.P. SINISI -2- Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA 1) a < b 2) a = b a è minore di b a è uguale a b 3) a > b a è maggiore di b se nella rappresentazione sulla retta a precede b se nella rappresentazione sulla retta a si trova nella stessa posizione di b se a segue ( viene dopo) b Quindi i numeri naturali formano una SEQUENZA ORDINATA Nei tuoi studi hai imparato ad usare questi numeri e le operazioni fra questi numeri per risolvere tanti problemi. In questa prima unità di apprendimento vogliamo farti riflettere su una importante proprietà dei numeri naturali che conosciamo con il nome di TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA Per fare questo impareremo alcune nozioni sui numeri primi e sui numeri composti. Numeri primi e numeri composti Ricordiamo che un numero qualunque è Divisibile per un altro numero se la divisione ha il resto uguale a zero. Scriviamo questo che abbiamo appena detto con le lettere dell’alfabeto a = numero a:b=c b = numero esempio 24 : 6 = 4 Diciamo che 24 è divisibile per 6 perché 24 : 6 = 4 con resto zero. Diciamo anche che 6 è Divisore di 24 a:b=c divisore Possiamo dividere i numeri naturali in due grandi classi: I NUMERI PRIMI I NUMERI COMPOSTI I numeri primi hanno come divisori il numero 1 e se stessi Esempio: 2 è divisibile per 1 2:1=2 e il resto è zero 2:2=1 2 è divisibile per se stesso perché il resto è zero I numeri composti hanno come divisori 1, se stessi e altri numeri. Esempio M.P. SINISI 12 ha come divisori 1, 2, 3, 4, 6, 12 -3- Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA 12 numero composto 3 numero primo 24 numero composto 24 ha come divisori 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 11 numero primo 11 ha come divisori 1 e 11 Il numero 1 non è primo e non è composto Ora prova tu Sottolinea quali fra i numeri scritti sono primi e quali sono composti 13 18 27 31 49 59 113 119 121 123 Il TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA Quello di cui abbiamo parlato prima diventa il teorema: ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo oppure può essere scritto in uno ed un solo modo: come prodotto di numeri primi Il teorema fondamentale dell’aritmetica fa diventare i numeri primi importanti. Essi sono sufficienti a rappresentare un qualunque numero naturale. I numeri naturali sono quindi i mattoni dell’edificio dell’aritmetica. Esercizi : NUMERI PRIMI E NUMERI COMPOSTI Scrivi i primi undici numeri primi 2, ……., 5, ……., ………, 13, 17, ………, ……….., 29, ……….. . Scrivi come prodotto (esempio: 15 posso scriverlo come prodotto di 3 * 5 ) di due numeri naturali i numeri composti 24, 60, 150 24 = 2 * 12 =……* 8 60 = 2 * 30 = 3 * …..= …….* 15 = 5 * ……= 6 * ……. 150 = 3 * 50 = 5 * ……=…….* 25 =………*………. M.P. SINISI -4- Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA U.d.A. 2 2.1 OPERAZIONI ADDIZIONE L’addizione è l’operazione che associa a due numeri naturali che chiamiamo addendi, il numero naturale che è il risultato della operazione, che chiamiamo SOMMA Operazione di addizione 3 + addendo esempio 5 = 8 SOMMA addendo 15 + 0 = 15 0 + 15 = 15 se uno dei due addendi è 0 la somma è uguale all’altro addendo; per questo si dice che 0 è l’ ELEMENTO NEUTRO rispetto all’addizione. 2.2 MOLTIPLICAZIONE La moltiplicazione è l’ operazione che associa a due numeri naturali, che chiamiamo FATTORI, il numero naturale che indica il loro PRODOTTO ( 3, 5 ) * 15 3 * 5 = 15 ( 7, 0 ) ( 0, 7 ) * 7 * 0 = 0 * 0 * 7 = 0 0 ( 0, 0 ) * 0 * 0 = 0 0 0 Osserviamo che: M.P. SINISI -5- Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA se almeno uno dei due fattori è 0 , il prodotto è uguale a 0 ma è anche vero che se un prodotto è uguale a 0, almeno uno dei due fattori è 0 quindi LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE AFFINCHE’ UN PRODOTTO SIA NULLO (UGUALE A ZERO) E’ CHE SIA UGUALE A ZERO ALMENO UNO DEI SUOI FATTORI. Esempio Calcoliamo ( 3 + 2 + 15 ) * ( 75 – 4 * 7 + 18 ) * ( 5 * 5 ) * ( 57 + 38 ) Poiché il terzo fattore è 5 – 5 = 0, il valore della formula è 0. Proprietà dell’addizione e della moltiplicazione Se a, b, c sono tre numeri naturali valgono le proprietà ADDIZIONE MOLTIPLICAZIONE ASSOCIATIVA ( a + b ) + c = a + (b + c )= a + b + c ( a * b ) * c = a * ( b * c ) = a * b * c COMMUTATIVA a+b=b+a a*b=b*a DISTRIBUTIVA a*(b+c)=(a*b)+(a*c) Ora prova tu Risolvi gli esercizi applicando la proprietà commutativa a) 7 + 4 = 4 + ……. 12 + …….. = 9 + 12 15 + ……. = 8 + …… b) Risolvi gli esercizi applicando le proprietà commutativa e associativa ( 4 + 8 ) + 3 = 4 + (8 + ….) ….. + ( 7 + 3 ) = ( 9 + 7 ) + ….. M.P. SINISI ( 9 + 5 ) + 1 = 9 + ( 1 + ….) ( 2 + ….) + 4 = ….+ (6 + 4 ) -6- Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA Sottolineo la differenza fra MOLTIPLICAZIONE e PRODOTTO La moltiplicazione è l’operazione che svolgiamo, il prodotto è il risultato di tale operazione. Quindi si SVOLGE la moltiplicazione e si CALCOLA il prodotto. Vediamo ora le proprietà della moltiplicazione Esempi Proprietà commutativa Proprietà associativa Proprietà distributiva Elemento neutro Proprietà dello zero 2*3=3*2 2*3*4=2*(3*4) 2*(3+5)=(2*3)+(2*5) 3*1=3 1*3=3 3*0=0 0*3=0 Ora prova tu a) Risolvi gli esercizi applicando la proprietà commutativa 7 * 4 = 4 * …… 12 * ….. = 9 * 12 b) Risolvi gli esercizi applicando la proprietà associativa ( 4 * 8 ) * 3 = 4 * (8 * ….) ….* ( 7 * 3 ) = ( 9 * 7 ) + ….. 15 * ….. = 8 * ….. ( 2 * ……) * 4 = …..* ( 6 * 4 ) DUE OPERAZIONI SU CUI RIFLETTERE Addizione e moltiplicazione sono due operazioni sui numeri naturali. Perché non abbiamo parlato di sottrazione e divisione? Il motivo è semplice: operando con i numeri naturali non sempre possiamo fare la differenza o il quoziente. Infatti 15 – 18 = ? non si può fare in N ( insieme dei numeri naturali ) 25 : 27 = ? non si può fare in N 38 : 7 = ? non si può fare in N quindi i risultati non esistono in N 2.3 SOTTRAZIONE La sottrazione è l’ operazione che associa a due numeri naturali, nell’ ordine in cui sono scritti, il numero naturale che indica la loro DIFFERENZA. Il primo termine ( MINUENDO ) deve essere maggiore o uguale al secondo ( SOTTRAENDO ). M.P. SINISI -7- Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA − (5,3) N 2 5 - 2=2 (7,9) ( si legge “ appartiene ad N “ ) ? - non esiste in N 7 - 9=? Considerazioni sul comportamento dello 0 : - ( 15 , 15 ) 0 - (0,0) 15 - 15 = 0 (6,0) - 0 0 - 0=0 6 (0,6) 6 - 0=6 - ? non esiste in N 0 - 6=? Lo zero può comparire come minuendo solo quando il sottraendo è zero. Se il sottraendo è zero, la differenza è uguale al minuendo. 2.4 DIVISIONE La divisione è l’operazione che associa a due numeri naturali, nell’ ordine in cui sono scritti, il numero naturale che esprime il loro QUOZIENTE . Il primo termine ( DIVIDENDO ) deve essere multiplo del secondo ( DIVISORE ) . Il DIVISORE NON può essere UGUALE A ZERO ( 27 , 3 ) : 9 infatti 9 * 3 = 27 27 : 3 = 9 Il prodotto di quoziente e divisore è uguale al dividendo DIVISORE 27 : 3 = 9 QUOZIENTE DIVIDENDO M.P. SINISI -8- Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA ( 30 , 7 ) ? : Non esiste in N 30 : 7 = ? 30 : 7 = ? perché 30 non è multiplo di 7 COMPORTAMENTO DI 0 E 1 NELLA DIVISIONE (1,1) 1 : 1 : 1 = 1 : (1,5) ? non esiste in N 1 : 5 = ? (5,1) 5 : 5 : 1 = 5 Osserviamo che : se il dividendo è 1 e il divisore è 1, il quoziente è 1. La divisione non è possibile in N se il dividendo è 1 e il divisore è diverso da 1. Se il divisore è 1, il quoziente è uguale al dividendo. Consideriamo le seguenti divisioni (0,3) : 0 : 3 = 0 ( 10 , 0 ) : 0 ? IMPOSSIBILE 10 : 0 = ? In questo caso nessun numero naturale moltiplicato per 0 può dare come prodotto il dividendo, cioè 10. L ‘ operazione quindi è IMPOSSIBILE M.P. SINISI -9- Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA : (0,0) ? 0 : 0 In questo caso, qualunque numero naturale può essere il quoziente. Infatti qualunque numero naturale moltiplicato per 0 dà come prodotto 0 . L’ operazione è INDETERMINATA In conclusione: Se il dividendo è 0 e il divisore è diverso ( non è uguale ) da 0, il quoziente è 0 La divisione è IMPOSSIBILE se il dividendo è diverso ( non è uguale ) da 0 e il divisore è 0 La divisione è INDETERMINATA se dividendo e divisore sono uguali a 0 . 0 : a : 0 : M.P. SINISI a = 0 0 0 DIVISIONE IMPOSSIBILE DIVISIONE INDETERMINATA - 10 - Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA U. d. A. 3 POTENZE La potenza di un numero è uguale a un prodotto di fattori uguali al numero. ESPONENTE n a ESEMPIO POTENZA BASE Calcoliamo alcune potenze 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81 27 = 2 * 2 *2 *2 * 2 * 2 *2 = 128 14 =1*1*1*1= 1 06 = 0 * 0 * 0 * 0 * 0 * 0 = 0 Gli esempi ci dicono che le potenze con base 0 sono uguali a 0 le potenze con base 1 sono uguali a 1 Calcoliamo alcune potenze 50 1 20 1 gli esempi ci dicono che una potenza con esponente 0 ( zero ), qualunque sia la base è uguale a 1 3.1 PROPRIETA’ DELLE POTENZE Calcoliamo il PRODOTTO DI POTENZE CON LA STESSA BASE 35 * 33 35 3 38 M.P. SINISI - 11 - Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA 32 * 33 * 31 32 3 1 36 REGOLA IL PRODOTTO DI DUE POTENZE DI BASE UGUALE è UNA POTENZA CHE HA PER BASE LA STESSA POTENZA E PER ESPONENTE LA SOMMA DEGLI ESPONENTI Ora prova tu 23 * 2 4 54 * 52 5.... ....5.... ...... 100 *1000 10 2 *10... 10.... .... 105 Calcoliamo il QUOZIENTE DI POTENZE CON LA STESSA BASE 58 : 56 58 6 52 25 97 : 96 97 6 91 9 7 4 : 79 7 4 9 è impossibile in N REGOLA IL QUOZIENTE DI DUE POTENZE CON LA STESSA BASE E’ UNA POTENZA CHE HA PER BASE LA STESSA BASE E PER ESPONENTE LA SOTTRAZIONE DEGLI ESPONENTI Ora prova tu 715 : 713 7.... .....7.... 49 264 : 260 264 ..... 2.... 16 10000 :1000 10 4 :10.... 10 4 ..... 10... 10 M.P. SINISI - 12 - Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA 3.2 Calcoliamo il PRODOTTO DI POTENZE CON LO STESSO ESPONENTE E BASE DIVERSA 23 * 33 2 * 3 3 63 REGOLA IL PRODOTTO DI DUE POTENZE CON LO STESSO ESPONENTE E’ UNA POTENZA CON LO STESSO ESPONENTE E IL PRODOTTO DELLE BASI Ora prova tu 25 * 55 2 * ...5 10... 37 * 47 ...* 4... ....7 Calcoliamo il QUOZIENTE DI POTENZE CON LO STESSO ESPONENTE E BASE DIVERSA 102 : 52 10 : 5 2 22 4 83 : 33 8 : 3 3 NON è POSSIBILE IN N perché 8 non è multiplo di 3 RICORDIAMO In N la divisione si può fare solo se il DIVIDENDO è MULTIPLO DEL DIVISORE Ora prova tu 10 6 : 26 10 : ...6 ....6 12 4 : 34 ....: ..... 4.... 3.3 Calcoliamo la POTENZA DI POTENZA 3 2 2 22 * 3 26 64 M.P. SINISI - 13 - Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA REGOLA LA POTENZA DI POTENZA E’ UNA POTENZA CHE HA PER BASE LA STESSA BASE E PER ESPONENTE IL PRODOTTO DEGLI ESPONENTI Ora prova tu 23 4 23 * ... ....12 3 52 5....* ..... .......... 5 3 4 2 ..........* 3 * .... 4...... .... 1000 3 10.... .....9 DETERMINIAMO IL VALORE DI UNA FORMULA 2 2 23 153 : 53 * 38 : 36 : 33 32 L’ELEVAMENTO A POTENZA HA LA PRECEDENZA SULLE ALTRE OPERAZIONI Individuiamo i casi in cui si possono applicare le proprietà, che sottolineiamo con una linea colorata 2 2 23 153 : 53 * 38 : 36 : 33 32 Svolgiamo i calcoli : 2 8 33 * 32 : 36 9 8 36 * 32 : 36 9 8 38 : 36 9 8 32 9 8 9 9 26 M.P. SINISI - 14 - Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA U. d. A. 4 CRITERI DI DIVISIBILITA’ Per sapere se un numero è divisibile per un altro numero b ≠ 0 esistono i CRITERI DI DIVISIBILITA’ Ricordiamo alcuni di questi criteri UN NUMERO E’ DIVISIBILE PER 2 SE TERMINA CON ( 0, 2, 4, 6, 8 ) CIOE’ SE TERMINA CON UNA CIFRA PARI UN NUMERO E’ DIVISIBILE PER 3 SE LA SOMMA DELLE CIFRE DEL NUMERO E’ UN MULTIPLO DI 3 ( sono multipli di 3 : 9, 12, 18, 27……) ESEMPIO: 126 è divisibile per 3 perché la somma delle cifre 1+2+6=9 e 9 è multiplo di 3 3298 3+2+9+8=22 22 non è multiplo di 3 e quindi 3298 non è divisibile per 3 UN NUMERO E’ DIVISIBILE PER 5 SE L’ULTIMA CIFRA DEL NUMERO E’ 0 OPPURE 5 1320 è divisibile per 5 1565 è divisibile per 5 1201 non è divisibile per 5 perché l’ultima cifra del numero non è 0 e non è 5 ma è 1. M.P. SINISI - 15 - Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA U. d. A. 5 Scomposizione in fattori primi Cominciamo con una domanda: quanti sono i numeri primi ? 2300 anni fa il matematico greco Euclide ha pensato alla risposta a questa domanda. Ha trovato che i numeri primi sono infiniti, cioè sono così tanti che non si possono contare. Anche i numeri composti sono infiniti, ma ogni numero naturale maggiore di 1 è primo o possiamo scriverlo come prodotto di numeri primi. Per esempio, il numero 14 non è primo, ma lo possiamo scrivere come prodotto di 2 e 7 che sono numeri primi. 14 = 2 * 7 12 = 2 * 2* 3 90 = 2 * 3 * 3 * 5 L’ operazione che permette a noi di scrivere un numero naturale composto come prodotto di numeri primi si chiama SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI. Vediamo con un esempio come si svolge la scomposizione in fattori primi di un numero 1° METODO SCOMPONIAMO IN FATTORI IL NUMERO 360 COSTRUIAMO UNA TABELLA IN QUESTO MODO: 1) Scriviamo 360 2) A destra scriviamo il più piccolo numero per il quale 360 è divisibile; in questo caso 2 3) Facciamo la divisione 360 : 2 4) Scriviamo il quoziente 180 sotto 360 5) Ripetiamo il PROCEDIMENTO fino ad ottenere come quoziente 1 360 180 90 45 9 3 1 2 2 2 5 3 3 360 : 2 = 180 180 : 2 = 90 90 : 2 = 45 45 : 5 = 9 9:3=3 3:3=1 A DESTRA DELLA RIGA VERTICALE SI SCRIVONO SOLO NUMERI PRIMI CHE SIANO DIVISORI DEL NUMERO ALLA LORO SINISTRA Quindi 360 23 * 32 * 5 M.P. SINISI - 16 - Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA 2° METODO 360 23 * 32 * 5 360 36 6 2 10 6 3 2 2 5 3 Ora prova tu Scomponi in fattori i seguenti numeri 48 144 M.P. SINISI 231 256 441 2205 7200 - 17 - Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA U. d. A. 6 M.C.D. e m.c.m. DI DUE NUMERI NATURALI DIVISORI DI UN NUMERO NATURALE Come abbiamo visto, ogni numero naturale ha due divisori, 1 e se stesso, se il numero è un numero primo. Se il numero è composto ha anche altri divisori. Per esempio 19 [ 1 , 19 ] 24 [ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ] MULTIPLI DI UN NUMERO NATURALE Un numero naturale diciamo che è MULTIPLO di un altro numero naturale se: a=k*n Per esempio 84 è MULTIPLO di 21 perché 84 = 4 * 21 k n 84 : 21 = 4 6 : 3 = 2 6 è multiplo di 3 perché 6 = 2 * 3 MASSIMO COMUNE DIVISORE DI DUE NUMERI NATURALI Ci sono problemi in cui è necessario trovare il più grande tra i divisori comuni di due numeri naturali a e b Questo numero viene chiamato MASSIMO COMUNE DIVISORE e scriviamo M C D ( a , b ) Esempio M C D ( 18 , 24 ) I divisori di 18 sono 1 2 3 6 9 18 I divisori di 24 sono 1 2 3 4 6 8 12 24 Quindi i divisori comuni sono 1 2 3 6 Tra i divisori comuni prendiamo il più grande cioè 6 M.P. SINISI - 18 - Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA M C D ( 18 , 24 ) = 6 La definizione di MASSIMO COMUNE DIVISORE è: Il M C D DI DUE O PIU’ NUMERI NATURALI E’ IL PIU’ GRANDE FRA I DIVISORI CHE I NUMERI HANNO IN COMUNE MINIMO COMUNE MULTIPLO DI DUE NUMERI NATURALI Il minimo comune multiplo di due numeri naturali a e b è il più piccolo dei multipli comuni tra i due numeri e scriviamo m c m ( a , b ) Esempio Vediamo come possiamo calcolare il m c m dei due numeri naturali 18 e 24 I più piccoli multipli di 18 sono 18 36 I più piccoli multipli di 24 sono 24 54 48 72 72 90 108 96 126 120 144 ………… 144…………. I multipli comuni sono 72 , 144 ……………. Il multiplo comune più piccolo è 72 Quindi m c m ( 18 , 24 ) = 72 La definizione di m c m è: Il m c m tra due o più numeri naturali è il più piccolo tra i multipli che i numeri hanno in comune Dopo aver dato le definizioni di M. C .D. e m. c.m. vediamo le regole che ci permettono di calcolare in maniera veloce il M.C.D. e il m.c.m. fra due o più numeri naturali Regola per il M.C.D. Per calcolare il M.C.D. fra due o più numeri naturali: 1) Si scompongono i numeri in fattori primi 2) Si moltiplicano I fattori comuni Presi una sola volta Con il più piccolo esponente con cui compaiono nelle scomposizioni M.P. SINISI - 19 - Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA Regola per il m.c.m. Per calcolare il m.c.m. fra due o più numeri naturali 1) Si scompongono i numeri in fattori primi 2) Si moltiplicano I fattori comuni e non comuni Presi una sola volta Con l’esponente più grande con cui compaiono nelle scomposizioni Esempio Calcoliamo il M.C.D. e il m.c.m dei numeri 144 , 216 , 225 Scomponiamo i numeri in fattori primi 144 72 36 18 9 3 1 2 2 2 2 3 3 144 24 * 32 216 108 54 27 9 3 1 216 23 * 33 2 2 2 3 3 3 225 75 25 5 1 3 3 5 5 225 32 * 52 abbiamo quindi M .C.D.(144,216,225) 32 9 m.c.m.(144,216,225) 2 4 * 32 * 5 2 3600 ora prova tu calcola il M.C.D. e m.c.m. per le coppie di numeri 48 , 72 126 , 81 225 , 90 135 , 200 125 , 300 392 , 504 M.P. SINISI - 20 - Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA U. d. A. 7 ESPRESSIONI ARITMETICHE La parola “ ESPRESSIONE “ viene dal verbo “ esprimere “ che significa tirare fuori. Una espressione aritmetica è un modo per sprimere con operazioni un determinato numero che chiamiamo VALORE DELL’ ESPRESSIONE Per esempio Luca va a fare la spesa e spende 59 € . Quando torna a casa la madre gli chiede quanto ha speso. Luca presenta lo scontrino dove è scritto il conto: 4 * 5 + 3 * 7 + 3 * 6 = 59 La scrittura 4 * 5 + 3 * 7 + 3 * 6 è un modo con cui possiamo indicare il numero 59 cioè una espressione di 59. L’ espressione con cui abbiamo indicato 59 è una successione di operazioni fra numeri. Diamo la seguente definizione: L’ ESPRESSIONE ARITMETICA O NUMERICA E’ UNA SUCCESSIONE FRA NUMERI Calcolare il valore di una espressione numerica significa trovare il numero che l’espressione rappresenta. Esso si trova svolgendo tutte le operazioni che sono indicate nella espressione. Esempio Consideriamo la seguente espressione 30 + 50 – 20 Svolgiamo prima l’addizione e poi la sottrazione; otteniamo 60 Svolgiamo la sottrazione 50 – 20 = 30 e poi facciamo l’addizione; otteniamo 60 Esempio Consideriamo la seguente operazione 20 + 60 : 2 Svolgiamo prima l’addizione 20 + 60 e poi dividiamo per 2 la somma ottenuta; otteniamo 40 Svolgiamo prima la divisione 60 : 2 = 30 e poi addizioniamo il quoziente ottenuto a 20 otteniamo 30 + 20 = 50 Vediamo che nel primo esempio non è stato importante l’ordine con cui abbiamo svolto le operazioni; nel secondo esempio, invece, abbiamo ottenuto risultati diversi perché abbiamo cambiato la successione delle operazioni. M.P. SINISI - 21 - Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA Adesso abbiamo la necessità di dare delle regole che ci permettono di svolgere in modo corretto le espressioni aritmetiche. ESPRESSIONI SENZA PARENTESI Distinguiamo due casi ESPRESSIONI CON PARENTESI ESPRESSIONI SENZA PARENTESI Per calcolare correttamente il valore di una espressione che non ha parentesi, le operazioni le dobbiamo svolgere nel seguente ordine: 1) LE POTENZE 2) LE MOLTIPLICAZIONI E LE DIVISIONI. Se sono scritte una di seguito all’altra, si svolgono nell’ordine da sinistra verso destra 27 * 5 : 3 = 135 : 3 = 45 3) LE ADDIZIONI E LE SOTTRAZIONI. Se sono scritte una di seguito all’altra si svolgono da sinistra verso destra nell’orine in cui sono scritte 27 + 3 – 5 = 30 – 5 = 25 Esempio: calcoliamo il valore della seguente espressione 23 4 * 3 : 2 62 : 3 prima svolgiamo le potenze 23 e 62 8 - 4 * 3 : 2 + 36 : 3 = poi la moltiplicazione 4 * 3 e la divisione 36 : 3 8 - 12 : 2 + 12 poi la divisione 12 : 2 8 - 6 + 12 poi la sottrazione 8 – 6 2 + 12 = 14 infine 2 + 12 ESPRESSIONI CON PARENTESI Le parentesi possono essere TONDE ( ) QUADRE [ ] e GRAFFE { } Vediamo in quale ordine si svolgono le operazioni quando ci sono le parentesi 1) Si calcolano le espressioni fra le parentesi tonde; seguiamo le regole viste prima: prima le potenze, poi le moltiplicazioni e le divisioni e poi le addizioni e le sottrazioni 2) Se ci sono altre parentesi, svolgiamo per prima le parentesi tonde, poi le parentesi quadre e poi le parentesi graffe 3) Eliminate le parentesi, svolgiamo l’espressione come abbiamo già detto M.P. SINISI - 22 - Materiali per allievi non italofoni UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI MATEMATICA Esempio 16 + 4 * [ 48 – ( 4 + 3 * 5 ) * 2 ] : ( 2 * 5 ) – 3 * 5 + 8 = 16 + 4 * [ 48 – ( 4 + 15 ) * 2 ] : 10 - 15 + 8 = 16 + 4 * [ 48 - 19 * 2 ] : 10 - 15 + 8 = 16 + 4 * [ 48 38 ] : 10 - 15 + 8 = 16 + 4 * 10 : 10 – 15 + 8 = 16 + 40 : 10 – 15 + 8 = 16 + 4 – 15 + 8 = 20 – 15 + 8 = 5 + 8 = 13 M.P. SINISI - 23 - Materiali per allievi non italofoni