"numero primo"

UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI
MATEMATICA
UNITA’ DIDATTICA 1
I NUMERI NATURALI
M.P. SINISI
-1-
Materiali per allievi non italofoni
UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI
MATEMATICA
U.d.A. 1
I numeri naturali: numeri primi e numeri composti
I numeri naturali
I primi numeri che l’uomo ha utilizzato fin dai tempi antichi sono i numeri naturali perché sono quei numeri che
permettono di “contare”.
I numeri naturali sono i numeri che noi utilizziamo per contare, per esempio: 1, 2, 3, …….., 25, …,890,…..
L’insieme dei numeri naturali è rappresentato con il simbolo N.
0 è il più piccolo numero naturale
Prendiamo un numero naturale qualunque. Aggiungendo 1 si ottiene il suo successivo
Il successivo di 0 è 1, il successivo di 1 è 2; continuando otteniamo la sequenza dei numeri naturali.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …….., 20, 21, 22, ………
SEQUENZA
Su una retta orientata r
r
scegliamo un punto qualunque e lo chiamiamo ORIGINE O
0
1
2
3 ……………………………
Il primo numero che compare è 0
Ogni numero precede ( è scritto prima) il suo successivo
1
PRECEDENTE
2
SUCCESSIVO
0 non ha un precedente
0 è PRECEDENTE di 1
e
1 è SUCCESSIVO di 0
1 è PRECEDENTE di 2
e
2 è SUCCESSIVO di 1
Prendiamo due numeri naturali qualunque che chiamiamo con le lettere a e b
M.P. SINISI
-2-
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MATEMATICA
1) a < b
2) a = b
a è minore di b
a è uguale a b
3) a > b
a è maggiore di b
se nella rappresentazione sulla retta a precede b
se nella rappresentazione sulla retta a si trova
nella stessa posizione di b
se a segue ( viene dopo) b
Quindi i numeri naturali formano una SEQUENZA ORDINATA
Nei tuoi studi hai imparato ad usare questi numeri e le operazioni fra questi numeri per risolvere tanti problemi.
In questa prima unità di apprendimento vogliamo farti riflettere su una importante proprietà dei numeri naturali
che conosciamo con il nome di TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA
Per fare questo impareremo alcune nozioni sui numeri primi e sui numeri composti.
Numeri primi e numeri composti
Ricordiamo che un numero qualunque è Divisibile per un altro numero se la divisione ha il resto uguale a
zero.
Scriviamo questo che abbiamo appena detto con le lettere dell’alfabeto
a = numero
a:b=c
b = numero
esempio
24 : 6 = 4
Diciamo che 24 è divisibile per 6 perché 24 : 6 = 4 con resto zero.
Diciamo anche che 6 è Divisore di 24
a:b=c
divisore
Possiamo dividere i numeri naturali in due grandi classi:
 I NUMERI PRIMI
 I NUMERI COMPOSTI
I numeri primi hanno come divisori il numero 1 e se stessi
Esempio:
2 è divisibile per 1
2:1=2
e il resto è zero
2:2=1
2 è divisibile per se stesso perché il resto è zero
I numeri composti hanno come divisori 1, se stessi e altri numeri.
Esempio
M.P. SINISI
12 ha come divisori
1, 2, 3, 4, 6, 12
-3-
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12
numero composto
3
numero primo
24
numero composto
24 ha come divisori 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
11
numero primo
11 ha come divisori 1 e 11
Il numero 1 non è primo e non è composto
Ora prova tu
Sottolinea quali fra i numeri scritti sono primi e quali sono composti
13 18 27 31 49 59 113 119 121 123
Il TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ARITMETICA
Quello di cui abbiamo parlato prima diventa il teorema:
ogni numero naturale maggiore di 1 o è primo oppure può essere scritto in uno ed un solo modo: come
prodotto di numeri primi
Il teorema fondamentale dell’aritmetica fa diventare i numeri primi importanti.
Essi sono sufficienti a rappresentare un qualunque numero naturale.
I numeri naturali sono quindi i mattoni dell’edificio dell’aritmetica.
Esercizi : NUMERI PRIMI E NUMERI COMPOSTI
Scrivi i primi undici numeri primi
2, ……., 5, ……., ………, 13, 17, ………, ……….., 29, ……….. .
Scrivi come prodotto (esempio: 15 posso scriverlo come
prodotto di 3 * 5 ) di due numeri naturali i numeri composti 24, 60, 150
24 = 2 * 12 =……* 8
60 = 2 * 30 = 3 * …..= …….* 15 = 5 * ……= 6 * …….
150 = 3 * 50 = 5 * ……=…….* 25 =………*……….
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U.d.A. 2
2.1
OPERAZIONI
ADDIZIONE
L’addizione è l’operazione che associa a due numeri naturali che chiamiamo addendi, il numero naturale che
è il risultato della operazione, che chiamiamo SOMMA
Operazione di addizione
3 +
addendo
esempio
5 = 8
SOMMA
addendo
15 + 0 = 15
0 + 15 = 15
se uno dei due addendi è 0 la somma è uguale all’altro addendo; per questo si dice che 0 è l’ ELEMENTO
NEUTRO rispetto all’addizione.
2.2
MOLTIPLICAZIONE
La moltiplicazione è l’ operazione che associa a due numeri naturali, che chiamiamo FATTORI, il numero
naturale che indica il loro PRODOTTO
( 3, 5 )
*
15
3 * 5 = 15
( 7, 0 )
( 0, 7 )
*
7 * 0 = 0
*
0 * 7 = 0
0
( 0, 0 )
*
0 * 0 = 0
0
0
Osserviamo che:
M.P. SINISI
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
se almeno uno dei due fattori è 0 , il prodotto è uguale a 0
ma è anche vero che

se un prodotto è uguale a 0, almeno uno dei due fattori è 0
quindi
LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO
CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE AFFINCHE’ UN PRODOTTO SIA NULLO (UGUALE A ZERO)
E’ CHE SIA UGUALE A ZERO ALMENO UNO DEI SUOI FATTORI.
Esempio
Calcoliamo ( 3 + 2 + 15 ) * ( 75 – 4 * 7 + 18 ) * ( 5 * 5 ) * ( 57 + 38 )
Poiché il terzo fattore è 5 – 5 = 0, il valore della formula è 0.
Proprietà dell’addizione e della moltiplicazione
Se a, b, c sono tre numeri naturali valgono le proprietà
ADDIZIONE
MOLTIPLICAZIONE
ASSOCIATIVA ( a + b ) + c = a + (b + c )= a + b + c ( a * b ) * c = a * ( b * c ) = a * b * c
COMMUTATIVA
a+b=b+a
a*b=b*a
DISTRIBUTIVA
a*(b+c)=(a*b)+(a*c)
Ora prova tu
Risolvi gli esercizi applicando la proprietà commutativa
a) 7 + 4 = 4 + …….
12 + …….. = 9 + 12
15 + ……. = 8 + ……
b) Risolvi gli esercizi applicando le proprietà commutativa e associativa
( 4 + 8 ) + 3 = 4 + (8 + ….)
….. + ( 7 + 3 ) = ( 9 + 7 ) + …..
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( 9 + 5 ) + 1 = 9 + ( 1 + ….)
( 2 + ….) + 4 = ….+ (6 + 4 )
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Sottolineo la differenza fra MOLTIPLICAZIONE e PRODOTTO
La moltiplicazione è l’operazione che svolgiamo, il prodotto è il risultato di tale operazione.
Quindi si SVOLGE la moltiplicazione e si CALCOLA il prodotto.
Vediamo ora le proprietà della moltiplicazione
Esempi
Proprietà commutativa
Proprietà associativa
Proprietà distributiva
Elemento neutro
Proprietà dello zero
2*3=3*2
2*3*4=2*(3*4)
2*(3+5)=(2*3)+(2*5)
3*1=3
1*3=3
3*0=0
0*3=0
Ora prova tu
a) Risolvi gli esercizi applicando la proprietà commutativa
7 * 4 = 4 * ……
12 * ….. = 9 * 12
b) Risolvi gli esercizi applicando la proprietà associativa
( 4 * 8 ) * 3 = 4 * (8 * ….)
….* ( 7 * 3 ) = ( 9 * 7 ) + …..
15 * ….. = 8 * …..
( 2 * ……) * 4 = …..* ( 6 * 4 )
DUE OPERAZIONI SU CUI RIFLETTERE
Addizione e moltiplicazione sono due operazioni sui numeri naturali. Perché non abbiamo parlato di
sottrazione e divisione?
Il motivo è semplice: operando con i numeri naturali non sempre possiamo fare la differenza o il quoziente.
Infatti
15 – 18 = ?
non si può fare in N ( insieme dei numeri naturali )
25 : 27 = ?
non si può fare in N
38 : 7 = ?
non si può fare in N
quindi
i risultati non esistono in N
2.3
SOTTRAZIONE
La sottrazione è l’ operazione che associa a due numeri naturali, nell’ ordine in cui sono scritti, il numero
naturale che indica la loro DIFFERENZA.
Il primo termine ( MINUENDO ) deve essere maggiore o uguale al secondo ( SOTTRAENDO ).
M.P. SINISI
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−
(5,3)
N
2
5 - 2=2
(7,9)
( si legge “ appartiene ad N “ )
?
-
non esiste in N
7 - 9=?
Considerazioni sul comportamento dello 0 :
-
( 15 , 15 )
0
-
(0,0)
15 - 15 = 0
(6,0)
-
0
0 - 0=0
6
(0,6)
6 - 0=6
-
? non
esiste in N
0 - 6=?
Lo zero può comparire come minuendo solo quando il sottraendo è zero.
Se il sottraendo è zero, la differenza è uguale al minuendo.
2.4
DIVISIONE
La divisione è l’operazione che associa a due numeri naturali, nell’ ordine in cui sono scritti, il numero naturale
che esprime il loro QUOZIENTE .
Il primo termine ( DIVIDENDO ) deve essere multiplo del secondo ( DIVISORE ) .
Il DIVISORE NON può essere UGUALE A ZERO
( 27 , 3 )
:
9
infatti 9 * 3 = 27
27 : 3 = 9
Il prodotto di quoziente e divisore è uguale al dividendo
DIVISORE
27 : 3 = 9
QUOZIENTE
DIVIDENDO
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( 30 , 7 )
?
:
Non esiste in N
30 : 7 = ?
30 : 7 = ?
perché 30 non è multiplo di 7
COMPORTAMENTO DI 0 E 1 NELLA DIVISIONE
(1,1)
1
:
1 : 1 = 1
:
(1,5)
?
non esiste in N
1 : 5 = ?
(5,1)
5
:
5 : 1 = 5
Osserviamo che :
se il dividendo è 1 e il divisore è 1, il quoziente è 1.
La divisione non è possibile in N se il dividendo è 1 e il divisore è diverso da 1.
Se il divisore è 1, il quoziente è uguale al dividendo.
Consideriamo le seguenti divisioni
(0,3)
:
0 : 3 = 0
( 10 , 0 )
:
0
?
IMPOSSIBILE
10 : 0 = ?
In questo caso nessun numero naturale moltiplicato per 0 può dare come prodotto il dividendo, cioè 10.
L ‘ operazione quindi è IMPOSSIBILE
M.P. SINISI
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:
(0,0)
?
0 : 0
In questo caso, qualunque numero naturale può essere il quoziente. Infatti qualunque numero naturale
moltiplicato per 0 dà come prodotto 0 . L’ operazione è INDETERMINATA
In conclusione:
 Se il dividendo è 0 e il divisore è diverso ( non è uguale ) da 0, il quoziente è 0
 La divisione è IMPOSSIBILE se il dividendo è diverso ( non è uguale ) da 0 e il divisore è 0
 La divisione è INDETERMINATA se dividendo e divisore sono uguali a 0 .
0 :
a :
0 :
M.P. SINISI
a = 0
0
0
DIVISIONE IMPOSSIBILE
DIVISIONE INDETERMINATA
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POTENZE
La potenza di un numero è uguale a un prodotto di fattori uguali al numero.
ESPONENTE
n
a
ESEMPIO
POTENZA
BASE
Calcoliamo alcune potenze
34 =
3 * 3 * 3 * 3 = 81
27
= 2 * 2 *2 *2 * 2 * 2 *2 = 128
14
=1*1*1*1= 1
06 = 0 * 0 * 0 * 0 * 0 * 0 =
0
Gli esempi ci dicono che
 le potenze con base 0 sono uguali a 0
 le potenze con base 1 sono uguali a 1
Calcoliamo alcune potenze
50  1
20  1
gli esempi ci dicono che
 una potenza con esponente 0 ( zero ), qualunque sia la base è uguale a 1
3.1
PROPRIETA’ DELLE POTENZE
Calcoliamo il PRODOTTO DI POTENZE CON LA STESSA BASE
35 * 33  35  3  38
M.P. SINISI
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32 * 33 * 31  32  3  1  36
REGOLA
IL PRODOTTO DI DUE POTENZE DI BASE UGUALE è UNA POTENZA CHE HA PER BASE LA STESSA
POTENZA E PER ESPONENTE LA SOMMA DEGLI ESPONENTI
Ora prova tu
23 * 2 4 
54 * 52  5....  ....5....  ......
100 *1000  10 2 *10...  10....  ....  105
Calcoliamo il QUOZIENTE DI POTENZE CON LA STESSA BASE
58 : 56  58  6  52  25
97 : 96  97  6  91  9
7 4 : 79  7 4  9
è impossibile in N
REGOLA
IL QUOZIENTE DI DUE POTENZE CON LA STESSA BASE E’ UNA POTENZA CHE HA PER BASE LA
STESSA BASE E PER ESPONENTE LA SOTTRAZIONE DEGLI ESPONENTI
Ora prova tu
715 : 713  7....  .....7....  49
264 : 260  264  .....  2....  16
10000 :1000  10 4 :10....  10 4  .....  10...  10
M.P. SINISI
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3.2
Calcoliamo il PRODOTTO DI POTENZE CON LO STESSO ESPONENTE E BASE DIVERSA
23 * 33  2 * 3 3  63
REGOLA
IL PRODOTTO DI DUE POTENZE CON LO STESSO ESPONENTE E’ UNA POTENZA CON LO STESSO
ESPONENTE E IL PRODOTTO DELLE BASI
Ora prova tu
25 * 55  2 * ...5  10...
37 * 47  ...* 4...  ....7
Calcoliamo il QUOZIENTE DI POTENZE CON LO STESSO ESPONENTE E BASE DIVERSA
102 : 52  10 : 5 2  22  4
83 : 33  8 : 3 3 
NON è POSSIBILE
IN N perché 8 non è multiplo di 3
RICORDIAMO
In N la divisione si può fare solo se il DIVIDENDO è MULTIPLO DEL DIVISORE
Ora prova tu
10 6 : 26  10 : ...6  ....6
12 4 : 34  ....: .....  4....
3.3
Calcoliamo la POTENZA DI POTENZA
 3
2 
 
2
 22 * 3  26  64
M.P. SINISI
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REGOLA
LA POTENZA DI POTENZA E’ UNA POTENZA CHE HA PER BASE LA STESSA BASE E PER
ESPONENTE IL PRODOTTO DEGLI ESPONENTI
Ora prova tu
 23 
 
 
4
 23 * ...  ....12
3
 52   5....* .....  ..........
 
 
5
3

 4 2    ..........* 3 * ....  4......
 


....
1000 3  10.... 


 .....9
DETERMINIAMO IL VALORE DI UNA FORMULA
2
2
23  153 : 53  *  38 : 36  :  33   32 



  
L’ELEVAMENTO A POTENZA HA LA PRECEDENZA SULLE ALTRE OPERAZIONI
Individuiamo i casi in cui si possono applicare le proprietà, che sottolineiamo con una linea colorata
2
2
23  153 : 53  *  38 : 36  :  33   32 



 

Svolgiamo i calcoli :
2
8   33  * 32 : 36  9 


8  36 * 32 : 36  9 
8  38 : 36  9 
8  32  9 
8  9  9  26
M.P. SINISI
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U. d. A. 4
CRITERI DI DIVISIBILITA’
Per sapere se un numero è divisibile per un altro numero b ≠ 0 esistono i CRITERI DI DIVISIBILITA’
Ricordiamo alcuni di questi criteri
 UN NUMERO E’ DIVISIBILE PER 2 SE TERMINA CON ( 0, 2, 4, 6, 8 ) CIOE’ SE TERMINA CON
UNA CIFRA PARI
 UN NUMERO E’ DIVISIBILE PER 3 SE LA SOMMA DELLE CIFRE DEL NUMERO E’ UN
MULTIPLO DI 3 ( sono multipli di 3 : 9, 12, 18, 27……)
ESEMPIO: 126 è divisibile per 3 perché la somma delle cifre 1+2+6=9 e 9 è multiplo di 3
3298

3+2+9+8=22
22 non è multiplo di 3 e quindi 3298 non è divisibile per 3
UN NUMERO E’ DIVISIBILE PER 5 SE L’ULTIMA CIFRA DEL NUMERO E’ 0 OPPURE 5
1320 è divisibile per 5
1565 è divisibile per 5
1201 non è divisibile per 5 perché l’ultima cifra del numero non è 0 e non è 5 ma è 1.
M.P. SINISI
- 15 -
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Scomposizione in fattori primi
Cominciamo con una domanda:
quanti sono i numeri primi ?
2300 anni fa il matematico greco Euclide ha pensato alla risposta a questa domanda.
Ha trovato che i numeri primi sono infiniti, cioè sono così tanti che non si possono contare.
Anche i numeri composti sono infiniti, ma ogni numero naturale maggiore di 1 è primo o possiamo scriverlo
come prodotto di numeri primi.
Per esempio, il numero 14 non è primo, ma lo possiamo scrivere come prodotto di 2 e 7 che sono numeri
primi.
14 = 2 * 7
12 = 2 * 2* 3
90 = 2 * 3 * 3 * 5
L’ operazione che permette a noi di scrivere un numero naturale composto come prodotto di numeri primi si
chiama SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI.
Vediamo con un esempio come si svolge la scomposizione in fattori primi di un numero
1° METODO
 SCOMPONIAMO IN FATTORI IL NUMERO 360
 COSTRUIAMO UNA TABELLA IN QUESTO MODO:
1) Scriviamo 360
2) A destra scriviamo il più piccolo numero per il quale 360 è divisibile; in questo caso 2
3) Facciamo la divisione 360 : 2
4) Scriviamo il quoziente 180 sotto 360
5) Ripetiamo il PROCEDIMENTO fino ad ottenere come quoziente 1
360
180
90
45
9
3
1
2
2
2
5
3
3
360 : 2 = 180
180 : 2 = 90
90 : 2 = 45
45 : 5 = 9
9:3=3
3:3=1
A DESTRA DELLA RIGA VERTICALE SI
SCRIVONO SOLO NUMERI PRIMI CHE
SIANO DIVISORI DEL NUMERO ALLA
LORO SINISTRA
Quindi 360  23 * 32 * 5
M.P. SINISI
- 16 -
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2° METODO
360  23 * 32 * 5
360
36
6
2
10
6
3
2
2
5
3
Ora prova tu
Scomponi in fattori i seguenti numeri
48 144
M.P. SINISI
231
256
441
2205
7200
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M.C.D. e m.c.m. DI DUE NUMERI NATURALI
DIVISORI DI UN NUMERO NATURALE
Come abbiamo visto, ogni numero naturale ha due divisori, 1 e se stesso, se il numero è un numero primo.
Se il numero è composto ha anche altri divisori.
Per esempio
19
[ 1 , 19 ]
24
[ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ]
MULTIPLI DI UN NUMERO NATURALE
Un numero naturale diciamo che è MULTIPLO di un altro numero naturale se:
a=k*n
Per esempio
84 è MULTIPLO di 21 perché
84 = 4 * 21
k
n
84 : 21 = 4
6 : 3 = 2
6 è multiplo di 3 perché
6 = 2 * 3
MASSIMO COMUNE DIVISORE DI DUE NUMERI NATURALI
Ci sono problemi in cui è necessario trovare il più grande tra i divisori comuni di due numeri naturali a e b
Questo numero viene chiamato MASSIMO COMUNE DIVISORE e scriviamo M C D ( a , b )
Esempio
M C D ( 18 , 24 )
I divisori di 18 sono 1 2 3
6
9
18
I divisori di 24 sono 1 2 3 4 6 8
12
24
Quindi i divisori comuni sono 1 2 3 6
Tra i divisori comuni prendiamo il più grande cioè 6
M.P. SINISI
- 18 -
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M C D ( 18 , 24 ) = 6
La definizione di MASSIMO COMUNE DIVISORE è:
Il M C D DI DUE O PIU’ NUMERI NATURALI E’ IL PIU’ GRANDE FRA I DIVISORI CHE I NUMERI HANNO
IN COMUNE
MINIMO COMUNE MULTIPLO DI DUE NUMERI NATURALI
Il minimo comune multiplo di due numeri naturali a e b è il più piccolo dei multipli comuni tra i due numeri e
scriviamo m c m ( a , b )
Esempio
Vediamo come possiamo calcolare il m c m dei due numeri naturali 18 e 24
I più piccoli multipli di 18 sono 18
36
I più piccoli multipli di 24 sono
24
54
48
72
72
90
108
96
126
120
144 …………
144………….
I multipli comuni sono 72 , 144 …………….
Il multiplo comune più piccolo è 72
Quindi m c m ( 18 , 24 ) = 72
La definizione di m c m è:
Il m c m tra due o più numeri naturali è il più piccolo tra i multipli che i numeri hanno in comune
Dopo aver dato le definizioni di M. C .D. e m. c.m. vediamo le regole che ci permettono di calcolare in
maniera veloce il M.C.D. e il m.c.m. fra due o più numeri naturali
Regola per il M.C.D.
Per calcolare il M.C.D. fra due o più numeri naturali:
1) Si scompongono i numeri in fattori primi
2) Si moltiplicano
 I fattori comuni
 Presi una sola volta
 Con il più piccolo esponente con cui compaiono nelle scomposizioni
M.P. SINISI
- 19 -
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UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI
MATEMATICA
Regola per il m.c.m.
Per calcolare il m.c.m. fra due o più numeri naturali
1) Si scompongono i numeri in fattori primi
2) Si moltiplicano
 I fattori comuni e non comuni
 Presi una sola volta
 Con l’esponente più grande con cui compaiono nelle scomposizioni
Esempio
Calcoliamo il M.C.D. e il m.c.m dei numeri 144 , 216 , 225
Scomponiamo i numeri in fattori primi
144
72
36
18
9
3
1
2
2
2
2
3
3
144  24 * 32
216
108
54
27
9
3
1
216  23 * 33
2
2
2
3
3
3
225
75
25
5
1
3
3
5
5
225  32 * 52
abbiamo quindi
M .C.D.(144,216,225)  32  9
m.c.m.(144,216,225)  2 4 * 32 * 5 2  3600
ora prova tu
calcola il M.C.D. e m.c.m. per le coppie di numeri
48 , 72
126 , 81
225 , 90
135 , 200
125 , 300
392 , 504
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UNITA’ DIDATTICA 1 – I NUMERI NATURALI
MATEMATICA
U. d. A. 7
ESPRESSIONI ARITMETICHE
La parola “ ESPRESSIONE “ viene dal verbo “ esprimere “ che significa tirare fuori.
Una espressione aritmetica è un modo per sprimere con operazioni un determinato numero che chiamiamo
VALORE DELL’ ESPRESSIONE
Per esempio
Luca va a fare la spesa e spende 59 € . Quando torna a casa la madre gli chiede quanto ha speso.
Luca presenta lo scontrino dove è scritto il conto: 4 * 5 + 3 * 7 + 3 * 6 = 59
La scrittura 4 * 5 + 3 * 7 + 3 * 6 è un modo con cui possiamo indicare il numero 59 cioè una espressione di
59.
L’ espressione con cui abbiamo indicato 59 è una successione di operazioni fra numeri.
Diamo la seguente definizione:
L’ ESPRESSIONE ARITMETICA O NUMERICA E’ UNA SUCCESSIONE FRA NUMERI
Calcolare il valore di una espressione numerica significa trovare il numero che l’espressione rappresenta.
Esso si trova svolgendo tutte le operazioni che sono indicate nella espressione.
Esempio
Consideriamo la seguente espressione
30 + 50 – 20
 Svolgiamo prima l’addizione e poi la sottrazione; otteniamo 60
 Svolgiamo la sottrazione 50 – 20 = 30 e poi facciamo l’addizione; otteniamo 60
Esempio
Consideriamo la seguente operazione
20 + 60 : 2
 Svolgiamo prima l’addizione 20 + 60 e poi dividiamo per 2 la somma ottenuta; otteniamo 40
 Svolgiamo prima la divisione 60 : 2 = 30 e poi addizioniamo il quoziente ottenuto a 20
otteniamo 30 + 20 = 50
Vediamo che nel primo esempio non è stato importante l’ordine con cui abbiamo svolto le operazioni; nel
secondo esempio, invece, abbiamo ottenuto risultati diversi perché abbiamo cambiato la successione delle
operazioni.
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Adesso abbiamo la necessità di dare delle regole che ci permettono di svolgere in modo corretto le
espressioni aritmetiche.
ESPRESSIONI SENZA PARENTESI
Distinguiamo due casi
ESPRESSIONI CON PARENTESI
ESPRESSIONI SENZA PARENTESI
Per calcolare correttamente il valore di una espressione che non ha parentesi, le operazioni le dobbiamo
svolgere nel seguente ordine:
1) LE POTENZE
2) LE MOLTIPLICAZIONI E LE DIVISIONI.
Se sono scritte una di seguito all’altra, si svolgono nell’ordine da sinistra verso destra
27 * 5 : 3 = 135 : 3 = 45
3) LE ADDIZIONI E LE SOTTRAZIONI.
Se sono scritte una di seguito all’altra si svolgono da sinistra verso destra nell’orine in cui sono scritte
27 + 3 – 5 = 30 – 5 = 25
Esempio: calcoliamo il valore della seguente espressione
23  4 * 3 : 2  62 : 3 
prima svolgiamo le potenze 23 e 62
8 - 4 * 3 : 2 + 36 : 3 =
poi la moltiplicazione 4 * 3 e la divisione 36 : 3
8 - 12 : 2 + 12
poi la divisione 12 : 2
8 - 6 + 12
poi la sottrazione 8 – 6
2 + 12 = 14
infine 2 + 12
ESPRESSIONI CON PARENTESI
Le parentesi possono essere TONDE ( ) QUADRE [ ] e GRAFFE { }
Vediamo in quale ordine si svolgono le operazioni quando ci sono le parentesi
1) Si calcolano le espressioni fra le parentesi tonde; seguiamo le regole viste prima: prima le potenze,
poi le moltiplicazioni e le divisioni e poi le addizioni e le sottrazioni
2) Se ci sono altre parentesi, svolgiamo per prima le parentesi tonde, poi le parentesi quadre e poi le
parentesi graffe
3) Eliminate le parentesi, svolgiamo l’espressione come abbiamo già detto
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Esempio
16 + 4 * [ 48 – ( 4 + 3 * 5 ) * 2 ] : ( 2 * 5 ) – 3 * 5 + 8 =
16 + 4 * [ 48 – ( 4 + 15 ) * 2 ] : 10 - 15 + 8 =
16 + 4 * [ 48 - 19
* 2 ] : 10 - 15 + 8 =
16 + 4 * [ 48 38
] : 10 - 15 + 8 =
16 + 4 * 10 : 10 – 15 + 8 =
16 + 40 : 10 – 15 + 8 =
16 + 4 – 15 + 8 =
20 – 15 + 8 =
5 + 8 = 13
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