Lezione 15

Quindicesima Lezione
Onde piane in un mezzo con perdite; onde TEM;
introduzione ai circuiti distribuiti
Riassunto della lezione precedente





I fasori
Equazioni di Maxwell nel dominio dei fasori
Polarizzazione delle onde piane
onde piane in direzione arbitraria
onde in buoni conduttori
Onde piane in un mezzo con perdite




Abbiamo parlato di “buon conduttore”, come quello in cui
la corrente di spostamento è trascurabile rispetto alla
corrente di conduzione, almeno nelle frequenze radio
Un “buon dielettrico” è quello invece in cui avviene il
contrario (es: aria, vetro, teflon, allumina ecc)
Moltissimi materiali non sono né l’uno né l’altro: come
trattarli?
Se la parte conduttiva soddisfa la legge di Ohm, abbiamo
visto che per la legge di Ampère (fasori!!)
  H  jE  E

Possiamo mettere in evidenza j0
Definiamo una permettività
COMPLESSA

  
E  j ˆ E
  H  j 0   r 

0 r
j

0 

Onde piane in un mezzo con perdite



Quindi operativamente: dovremo solo calcolare
l’impedenza d’onda ed il resto utilizzando tale permettività
complessa
Notate però che ora anche il numero d’onda k è
complesso [essendo k=(m)1/2, ricordate?]
Cosa significa? Riprendiamo l’onda piana che si propaga
lungo z, e con campo E in x
Ex  E  e  jkz  E e jkz

Se k è complesso significa solo che l’onda si propaga
(parte reale) e si attenua al contempo (parte
immaginaria),visto che la parte immaginaria di k
contribuisce ad un esponenziale reale
Onde piane in un mezzo con perdite


Cosa possiamo dire circa il vettore d’onda? Nel tempo
abbiamo parlato di un vettore che individua la direzione di
propagazione; ma ora che è complesso?
L’onda piana in direzione generica abbiamo visto è
E  E0 e

 jk r
 E0 e
 jk r r k i r
e
Ovvero nel tempo (se E0 reale, altrimenti occorre un
termine di fase) E(t )  E0 e k i r cos(k r  r  t )
Onde piane in un mezzo con perdite




Quindi la permettività per un mezzo con perdite (nel
dominio dei fasori) è una quantità complessa
Se c’è una vera e propria corrente di conduzione che
soddisfa la legge di Ohm, la parte immaginaria dipende
dalla frequenza, che compare a denominatore
Però nei materiali esistono anche altri meccanismi di
dissipazione di potenza non imputabili direttamente a
correnti di conduzione (es: ricordate la rotazione dei dipoli
d’acqua in un forno a microonde?)
Nei buoni dielettrici, in cui la corrente di conduzione è
trascurabile, la permettività ha comunque una parte
immaginaria (piccola rispetto alla parte reale) che descrive
tali altri meccanismi di perdita, abbastanza indipendente
dalla frequenza: il rapporto tra parte immaginaria e parte
 
reale si definisce tand
i
tan d 

Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM)





Si definisce TEM un’onda in cui campo elettrico e campo
magnetico non hanno componenti nella direzione di
propagazione
Un’onda piana è evidentemente anche un’onda TEM
La legge di Faraday in forma integrale
 
  
l E  d l   t S B  nds
Sappiamo che una tensione è univocamente definita a
prescindere dal percorso se e solo se il secondo membro è
nullo
Questo avviene se
il flusso del campo magnetico non varia nel tempo (statico)
 o se il flusso è nullo

Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM)



Ma immaginiamo un’onda TEM che si propaga lungo z,


dove E è tutto lungo x e H lungo y x
E( z)  Ex ( z)u x
Il flusso di B attraverso un piano
z=costante è nullo (B,D,E,H non
hanno componenti in z!)

z
H( z )  H y ( z )u y
Quindi, la tensione è ben definita in ogni piano z= costante,
anche se siamo in un caso elettrodinamico! Quello che
avremo è che la tensione, in generale, varierà con z, cioè
v=v(z)
Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM)

I cavi multifilari supportano in generale propagazione di tipo
TEM (esempio un cavo coassiale). Consideriamo una linea
bifilare
z
z0


z
Circuitazione lungo il percorso tratteggiato:
 

E

d
l

v
(
z
)

v
(
z
)

0 
t
l
Flusso di B
concatenato con il
rettangolo:
Dividiamo per z entrambi i membri, e calcoliamo il limite
del rapporto incrementale per z che tende a zero
v


z
t
Flusso di B PER UNITA’ DI
LUNGHEZZA concatenato
con il rettangolo:
Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM) v   

Ma ricordiamo la definizione di induttanza
z
t
  Li

quindi

Allora l’equazione per v diventa
  Li
induttanza PER UNITA’ DI
LUNGHEZZA
v
i
 L
z
t

Possiamo seguire una strategia analoga, usando la
condizione di continuità della carica in un tubo concentrico
ad uno dei fili
q
 J  nds   t
S
z
z0
z
Onde Trasverso-ElettroMagnetiche (TEM)

Il flusso della densità di corrente non nullo solo sulle basi, e
pari alle correnti quindi
q
 J  nds  i( z )  i( z0 )   t
S

D’altra parte il teorema di Gauss:
Flusso di D


Quindi
D  q
 D
i( z )  i( z0 )  
t
Di nuovo: Dividiamo per z entrambi i membri, e calcoliamo
il limite del rapporto incrementale per z che tende a zero
 D
i

z
t
Flusso di D per unità di lunghezza
 D
i

z
t
Equazioni del telegrafista

Ma avevamo definito la capacità come
q  D  Cv

quindi

Allora l’equazione per i diventa
D  C v
i
v
 C
z
t

Riassumendo: Le due equazioni che descrivono
l’andamento di i e v lungo una linea sono quindi
i
 v
 z   L t
 i
v
  C
t
 z

Equazioni del telegrafista
Equazioni del telegrafista: fasori


Se deriviamo in z la prima e sostituiamo la seconda
 2v
z 2



 v
 z   jL i
 i
   jC v
 z
In termini di fasori

  L C v   b 2 v
2
Ancora una volta un’equazione d’onda, dove b è il numero
d’onda
 2i
2


b
i
Analogamente
2
z
Le soluzioni le conosciamo...

Cioè onde progressive e
regressive che si propagano
  jbz
 jbz

1
vv e
v e
con velocità

b
LC
Equazioni del telegrafista

Se sostituiamo le soluzioni per v (separatamente la
soluzione progressiva e quella regressiva) troviamo un
legame con i
v
  jL i   jbv    jL i 
z

L

L



 


Z
i
i
v 
i
0
C
b

Impedenza caratteristica


Note induttanza per unità di lunghezza e capacità per unità
di lunghezza, ovvero b e Z0 sappiamo tutto di una linea
Se volessimo recuperare gli andamenti nel tempo, al solito
(considerando v+ e v- reali, cosa raramente vera; in
generale ci sono termini di fase da aggiungere)
(
)
v(t )  Re ve jt  v  cos(t  bz )  v  cos(t  bz )
Equazioni del telegrafista



Riassumendo: abbiamo “onde” di tensione e di corrente, in
una direzione e nell’altra, che si propagano a velocità /b;
onde di tensione e di corrente sono legate da un rapporto
costante, l’impedenza caratteristica
Il concetto di “linea” è molto generale: le connessioni ideali
dell’elettrotecnica sono un’approssimazione, valida solo per
lunghezze molto inferiori alla lunghezza d’onda di v (ed i)
Cosa succede quando la linea finisce su un resistore?
iL
v+
v-
Zo, b
vL
RL
z=0

Condizioni al contorno su z=0
v   v   vL


vL
v
v


i  i  iL 

 iL 
Z0 Z0
RL
z
Coefficiente di riflessione

Definiamo coefficiente di riflessione





v
v
Dal sistema precedente troviamo
RL  Z 0

RL  Z 0
A meno che RL non sia negativo (circuito che guadagna o
attivo) appare che il modulo del coefficiente di riflessione è
sempre minore di uno!
Se il coefficiente di riflessione è nullo, non abbiamo onde
regressive (le onde viaggiano solo verso il carico e ne sono
assorbite) e questo avviene se
  0  RL  Z 0

Condizione di adattamento
Coefficiente di riflessione


D’altro canto vediamo che se la linea finisce su un corto
circuito ideale (RL=0) avremo che il coefficiente di riflessione è
-1, cioè l’onda torna indietro invertita in fase (v-=-v+)
Nel tempo
v(t )  v  cos(t  bz )  cos(t  bz )  2v  sin(t )sin(bz )
Che è un’onda stazionaria: in alcune z è sempre nulla (nodi) ed
in altre è sempre max

Vediamo un’animazione temporale (incluso il transitorio)
Coefficiente di riflessione



Nel caso di circuito aperto (RL=)il coefficiente di riflessione è
1; di nuovo tutto torna indietro
In generale, tranne che in condizione di adattamento,
comunque onde progressive e regressive interferiranno
producendo onde stazionarie; in tali casi il rapporto tra la
tensione totale (sovrapposizione tra onde di tensione nelle
due direzioni) e la corrente totale, ovvero l’impedenza
misurata, varierà da punto a punto
Cioè: se è vero che il rapporto tra tensione (totale!) e
corrente (totale!) è RL sul carico, tale rapporto cambierà
altrove, tranne che in condizioni di adattamento. Vediamolo
Impedenza di ingresso di un tratto di linea

Calcoliamoci l’impedenza vista all’ingresso di un tratto di linea
di lunghezza l chiuso su RL
v( z  l )
Z in 
i ( z  l )

 jbl
v e
itot
Zin
  jbl
v e
RL
v  jbl v   jbl
e 
e
Z0
Z0

z=-l
z=0
z
Dividiamo per v+ numeratore e denominatore, e ricordiamo la
definizione di coefficiente di riflessione
e jb l
 Z0
Zo, b
vtot
e jb l
v   jb l
 e
v
v   jb l
 e
v
 Z0
e jb l   e  jb l
e j b l  e  j b l
Impedenza di ingresso di un tratto di linea

Sostituiamo l’espressione per il coefficiente di riflessione e
l’identità di Eulero; semplifichiamo un po’
RL cos bl  jZ 0 sinbl
Z in  Z 0
Z 0 cos bl  jR L sinbl


Di li’ riotteniamo subito che se impedenza di carico ed
impedenza caratteristica coincidono, vediamo sempre la
stessa impedenza (l’impedenza caratteristica) in qualunque
sezione
Vediamo anche che ogni volta che il cos diventa + o -1 ed il
seno 0, vediamo all’ingresso esattamente R. Questo capita se
bl  n  2 l  n  l  n   Cioè per tutti i multipli
interi di mezza

2
lunghezza d’onda
Impedenza di ingresso di un tratto di linea

Vediamo alcuni casi particolari:

Se chiudiamo su un corto
Z in  jZ 0 tan bl
Cioè un carico reattivo (puramente immaginario). Notate che con
argomento /2 la tangente diventa infinita: quindi il corto si
trasforma in un circuito aperto! La lunghezza corrispondente è
/4. Ridiventa un corto a ,cioè ovviamente a /2 (e così via)
 Se chiudiamo su un aperto (carico infinito) Z
  jZ cot bl
in
0
Cioè un comportamento esattamente duale
Notate anche che il corto ha una impedenza immaginaria positiva
(quindi induttiva) fino a /4 e poi diventa negativa (capacitiva), e
via dicendo. Il contrario per il circuito aperto

Nel caso particolare di argomento /2 (/4) il coseno è nullo, e
Z02
Z in 
RL
Il cavo coassiale

Avevamo calcolato la capacità di uno spezzone di
coassiale

Per cui, la capacità per unità di
2 l
lunghezza
2
C

Re
ln
Ri
C 
Re
ln
Ri
Avevamo calcolato la l’induttanza di uno spezzone di
coassiale
Re
m
L
l ln
2
Ri
m Re
L
ln
2 Ri
Il cavo coassiale

Quindi, la velocità
1 / L C  1 / m
Cioè la velocità della luce nel mezzo tra gli elettrodi: è una
proprietà generale delle onde TEM

L’impedenza caratteristica
Re
L
1
Z0 

ln
C 2 Ri
m
