( r).

Equazioni di struttura stellare 1 e 2
Che cosa determina la struttura fisica delle stelle?
• Le stelle sono tenute assieme dalla gravità
• Il collasso è impedito dalla pressione termica interna
• Il bilanciamento tra queste due forze determina la struttura delle
stelle
• La stella irradia energia nello spazio. Se le proprietà termiche
sono costanti deve esserci una sorgente di energia.
• Una teoria per la struttura delle stelle deve descrive l’origine
dell’energia e le leggi del trasporto dell’energia alla superifice.
Facciamo le seguenti due approssimazioni:
1)
2)
Assumiamo che le proprietà delle stelle siano costanti nel tempo.
Assumiamo che le stelle siano sferiche e simmetriche rispetto al
centro.
1
Per stelle isolate, statiche e a simmetria sferica ci sono 4
equazioni di base che descrivono la loro struttura (dipendenza
solo radiale):
1) Equazione di equilibrio idrostatico: per qulasiasi valore di r
le forze di pressione bilanciano quelle di gravità.
2) Conservazione della massa
3) Conservazione dell’energia : per qualsiasi r la variazione nel
flusso di energia è legato ad un cambiamento della produzione
locale di energia.
4) Equazione del trasporto radiativo : relazione tra il flusso di
energia e il gradiente locale di temperatura.
A queste equazioni bisogna aggiungere:
• Una equazione di stato
• L’opacità
• Il rate di produzione di energia nel core
2
Equilibrio idrostatico
Il bilanciamento tra la forza di attrazione gravitazionale e
la spinta idrostatica porta all’equilibrio idrostatico
Massa dell’elemento m:
 m   (r) s r
 (r) =densità in r
Bilanciamento delle forze nella direzione radiale:
1) Forza verso l’esterno dovuto alla pressione idrostatica
P(r ) s
2) Forza verso l’interno combinazione della pressione
idrostatica a r +  r e forza di gravità
GM (r )
P(r   r ) s 
m
2
r
GM (r )
 P(r   r ) s 
 (r ) s r
2
r
3
All’equilibrio:
GM (r )
P(r ) s  P(r   r ) s 
 (r ) s r
2
r
GM (r )
 P(r   r )  P (r )  
 (r ) r
2
r
Considerando un elemento infinitesimo:
P(r   r )  P(r ) dP(r )

r
dr
for r0
E quindi:
dP(r )
GM (r )  (r )

dr
r2
Equazione dell’equilibrio
idrostatico.
4
Equazione della conservazione della massa
La massa M(r) contenuta entro un raggio r della stella è determinata dalla
densità del gas ( r).
Consideriamo un guscio sottile della
stella di raggio interno r e esterno
r+r. Il volume V è uguale a:
 V  4 r 2 r
  M   V  (r )  4 r 2 r  (r )
dM (r )

 4 r 2  (r )
dr
Al limite per r  0
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Accuratezza dell’equilibrio idrostatico
Se le forze non si bilanciano allora ci sarà una accelerazione risultante a
sull’elemento sr:
GM (r )
 (r ) s r  P(r ) s   (r ) s ra
2
r
dP(r ) GM (r )


 (r )   (r )a
2
dr
r
P(r   r ) s 
Se indichiamo con g=GM(r)/r2 l’accelerazione di gravità, allora:
dP(r )

 g  (r )   (r )a
dr
Questa è l’equazione generalizzata dell’equilibrio idrostatico.
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Supponiamo ci sia una forza risultante sull’elemento m che sia pari a
una frazione  della forza gravitazionale.
(r)g  (r)a
Di consegeunza c’e’ una accelerazione pari a: a = g e lo spostamento
spazialein funzione del tempo risulta:
1 2 1
d  at  gt 2
2
2
Si puo’ ottenere un valore approssimato del tempo richiesto ad una stella
per collassare:
1
2
1 2r 
t


B GM 
3
Che per 1 diventa
 2r 3 
td  

GM


1
2
Td è il Temposcala Dinamico
7
Quanto accurata è l’ipotesi di simmetria sferica?
Le stelle ruotano e quindi risultano appiattite
ai poli come I pianeti. Vogliamo ora stimare
l’ammonstare di questo appiattimento
(flattening). Consideriamo un elemento di
massa m in prossimità della superficie di
una stella di massa M e raggio r. La forza
centripeta è data da:
m r
2
Se
GMm
m r
 1 or
2
r
2
GM
  3
r
2
Allora l’ipotesi di simmetria sferica è buona.
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Si può legare la precedente relazione a td:
 2r 3 
td  

GM


2
2
   2
td
1
2
o
GM
2
 2
3
r
td
Dove =2/P con P periodo di rotazione della stella. Allora
l’ipotesi di
simmetria sferica è valida se P >> td.
Per il sole td~2000s e P~1 mese. In conclusione:
Per la maggior parte delle stelle si può ignorare
l’asfericità.
9
Sommario
Ci sono 4 equazioni di struttura stellare.
• Abbiamo considerato le prime due, i.e. quella
del supporto idrostatico e quella di
conservazione della massa.
• Abbiamo derivato il temposcala dinamico.
• Abbiamo dimostrato che è valida per la
maggioranza delle stelle l’ipotesi di simmetria
sferica.
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