gaussiana

Abbiamo visto un esempio di applicazione del teorema, ma a
noi interessa l’applicazione del Teorema di Bayes alla
combinazione delle informazioni, ovvero al SENSOR FUSION!
M. De Cecco - Lucidi del corso di Robotica e Sensor Fusion
Teorema di Bayes
Si consideri uno stato x a valori continui, ad esempio la distanza da un target, e
un’osservazione z di questo stato
La funzione densità di probabilità per la distribuzione delle osservazioni del valor
vero dello stato, si supponga Gaussiana (anche detta Distribuzione Normale) in cui
le osservazioni sono distribuite con media  e varianza 
Si supponga di aver effettuato una misura zp si può ricavare la funzione di
verosimiglianza (dalle informazioni circa il sensore):
2
1 ( z p  x)
P( z p x ) 
exp( 
)
2
2

2 z
z
1
Si voglia adesso combinarla con l’informazione precedente dello stato:
1 ( x  xp )
P( x ) 
exp( 
)
2
2 x
2 x
1
2
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Teorema di Bayes – Caso Gaussiano scalare
Il teorema di Bayes può essere applicato direttamente per combinare questa
informazione precedente con l’informazione del sensore
P( x z ) 
P( z x ) P ( x )
P( z )
 K  P( z x ) P ( x )
E quindi:
1 (x  zp )
1
1 (x  xp )
P( x z p )  K  P( z p x ) P( x )  K
exp( 
)
exp( 
)
2
2
2 z
2 x
2 z
2 x
2
1
1 ( x  x )2

exp( 
)
2
2 
2
2
1
Dove:
 x2
 z2
x 2
z  2
xp
2 p
2
x z
x z
 1
 
1 
  2
 2  2
2
x z x z 
2
2
z
2
x
1
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Teorema di Bayes – Caso Gaussiano scalare
Una volta nota la proprietà simmetrica delle distribuzioni Gaussiane ossia che il
prodotto di due distribuzioni Gaussiane è ancora una distribuzione Gaussiana con
media e varianza espresse dalle precedenti equazioni, non è necessario effettuare
ogni volta i calcoli sulle distribuzioni ma è sufficiente utilizzare direttamente le
espressioni già note della media e della varianza risultanti.
Questo risultato consente il calcolo in tempo reale in un’implementazione di data
fusion basata su questi modelli probabilistici.
Densità precedente, funzione di
verosimiglianza e distribuzione
posteriore
E’ evidente che la distribuzione
posteriore è ancora di tipo
Gaussiano, come ci si aspetta, è
situata in posizione interposta tra
le altre due distribuzioni (rispetto
alle rispettive medie) ed è una
campana più stretta avendo una
varianza minore delle due
varianza originarie
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Teorema di Bayes – Caso Gaussiano scalare

Si consideri il caso in cui lo stato x sia una variabile vettoriale continua e sia
tale anche il vettore di osservazione z.
La varianza diviene in questo caso una matrice (detta di covarianza):
1
Cx 
N
 x

N
i
 x  xi  x

T
i1
Nell’ipotesi che lo stato segua una distribuzione Normale (Gaussiana) di
probabilità, la distribuzione precedente P(x) potrà essere rappresentata
con una gaussiana multi-dimensionale del tipo:
P( x ) 
1
2 d det(Cx )
 1( x xp )T Cx 1( x  xp )
e 2
dove d è la dimensione del vettore e xp il valor medio
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Teorema di Bayes – Caso Gaussiano vettoriale
Se perciò si ipotizza di effettuare un’osservazione z con un sensore la cui funzione
di verosimiglianza relativa abbia matrice di covarianza Cz (matrice che rappresenta
la ripetibilità del sensore):
 1 ( z p  x )T Cz 1( z p  x )
1
P( z x ) 
e 2
2 det Cz
E’ infine possibile calcolare la distribuzione posteriore P(x|z), nello stesso modo
dell’esempio precedente ma tenendo conto che le distribuzioni sono a valori
vettoriali. Pertanto la distribuzione posteriore sarà ancora gaussiana, con matrice di
covarianza pari al parallelo delle matrici di covarianza di partenza, ossia:
C  (C x 1  Cz 1 ) 1
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Teorema di Bayes – Caso Gaussiano vettoriale
L’espressione di C si può scrivere anche in modo più efficiente calcolando una sola
inversione matriciale:
Cx 1  Cz 1  Cx 1CzCz 1  Cz 1  (Cx 1Cz  I )Cz 1 
 (Cx 1Cz  Cx 1Cx )Cz 1  Cx 1 (Cz  Cx )Cz 1
da cui
C
1
x
 Cz

1 1
  Cx (Cx  Cz )Cz
1

1 1
 Cz (Cx  Cz )1Cx
… perfettamente analogo al caso scalare
in cui era:
e quindi
-1
C = Cz (Cx + Cz ) Cx
 z2 x2
2
2
2 1
2
  2










z
x
z
x
 x   z2
2
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Teorema di Bayes – Caso Gaussiano vettoriale
Mentre la media della distribuzione posteriore risulterà essere:
x = Cx (Cx + Cz )-1 zp + Cz (Cx + Cz )-1 x p
… anche in questo caso perfettamente analogo al caso scalare in cui era:
 x2
 z2
2
2
2 1
2
2
2 1
x 2
z

x







z






p
x  x
z 
p
z  x
z   xp
2 p
2
2
x z
x z
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Teorema di Bayes – Caso Gaussiano vettoriale
Sensor Fusion tra distribuz. Normali bidimensionali
7
Graficamente una distribuzione
Normale bidimensionale è
rappresentata da una campana di
Gauss le cui sezioni trasversali
sono delle ellissi che
rappresentano il luogo dei punti
caratterizzati da uguale probabilità.
6.5
2
o
t
n
e
m
e
l
e
xp
zp
xf
ellisse Cx
ellisse Cz
ellisse Cf
6
5.5
5
Nella matrice di covarianza sono
contenute le informazioni sulle
4.5
dimensioni degli assi principali
delle ellissi (autovalori della
matrice) e sulla loro orientazione
4
1
1.5
2
2.5
3
3.5
elemento 1
(autovettori). Un esempio di quello
che graficamente corrisponde alle Densità precedente, funzione di
verosimiglianza e distribuzione posteriore
equazioni appena ottenute è
riportato in figura
la distribuzione posteriore è ancora gaussiana,
è situata in posizione interposta tra le altre due
distribuzioni ed è un ellisse più stretto avendo
una matrice di covarianza minore
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Teorema di Bayes – Caso Gaussiano vettoriale
Filtro Bayesiano ricorsivo tra distribuzioni Normali bidimensionali
7
xp
zp
xf
ellisse Cx
ellisse Cz
ellisse Cf
Ellissi di equi-probabilità nel
caso in cui l’osservazione
ottenuta e la relativa ellisse
di incertezza restino sempre
le stesse per 20
osservazioni/misure.
L’ellisse della distribuzione
posteriore converge con il
proprio centro verso il valore
osservato e va riducendosi
sempre di più ad ogni
iterazione
6.5
6
2
o
t
n
e
m
e
l
e
5.5
5
4.5
4
1
1.5
2
2.5
3
elemento 1
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Teorema di Bayes – Caso Gaussiano vettoriale
3.5
Il teorema di Bayes si può applicare direttamente alla fusione delle informazioni
provenienti da differenti sensori
n
Ciò che si vuole fare è ottenere la distribuzione posteriore P ( x Z ) dove l’insieme
delle osservazioni è definito:
Z n  z1  Z1 ,..., zn  Zn 
La distribuzione posteriore definisce la densità di probabilità dello stato x data
l’informazione ottenuta dalle n osservazioni
P( Z n x ) P( x )
P( x Z ) 
P( Z n )
n
P( z1 , z2 ,..., zn x ) P( x )

P( z1 , z2 ,..., zn )
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Teorema di Bayes – combinazione di misure
In pratica occorre conoscere completamente la distribuzione congiunta e
P( z1, z2 ,..., zn x) , cioè la distribuzione congiunta di tutte le
condizionata
possibili combinazioni di osservazioni condizionata allo stato.
Generalmente è possibile assumere che una volta definito lo stato x, l’informazione
ottenuta dalla i-esima sorgente di informazione sia indipendente dall’informazione
delle altre sorgenti, ovvero che i diversi strumenti di misura non interferiscano tra di
loro e che quindi valga il principio di indipendenza condizionata:
n
P( z1 ,..., zn x )  P( z1 x )...P( zn x )   P( zi x )
i 1
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Teorema di Bayes – combinazione di misure
Dunque si ottiene:
1
n
P( x Z )   P ( Z )   P ( x )   P ( zi x )
n
n
i 1
Quindi la distribuzione posteriore su x, ovvero la probabilità aggiornata dello stato,
è proporzionale al prodotto della distribuzione di probabilità precedente e delle
distribuzioni di probabilità di ciascuna osservazione.
La distribuzione marginale di Zn agisce come costante di normalizzazione.
Tale relazione fornisce un metodo semplice per la fusione di informazioni da più
sensori ed è chiamata gruppo indipendente di probabilità
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Teorema di Bayes – combinazione di misure
L’efficacia di questo metodo è basata sull’ipotesi che le osservazioni siano
indipendenti tra loro quando condizionate al valore vero dello stato.
Tale assunzione è ragionevole se lo stato a cui le osservazioni si riferiscono è la
sola cosa che esse hanno in comune, perciò una volta che lo stato sia stato
specificato è ragionevole assumere che le informazioni siano condizionalmente
indipendenti.
Ciò non sarebbe sicuramente corretto senza la condizionalità, ovvero sarebbe
errato dire che le informazioni sono incondizionalmente indipendenti e quindi:
n
P( z1 , z1 ,... zn )   P( zi )
i 1
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Teorema di Bayes – combinazione di misure
L’ipotesi di indipendenza condizionale non è detto che sia sempre ragionevole, ad
esempio nel caso in cui un’osservazione può modificare sensibilmente lo stato tale
ipotesi non è valida.
Un esempio è rappresentato dalla misura con effetto di carico.
Analizziamo prima un esempio in cui l’effetto di carico è assente:
x
Si voglia misurare la posizione lineare
di un asse mediante due strumenti laser
(quindi senza contatto)
I due strumenti forniranno due misure
condizionalmente indipendenti in
quanto la loro misura dipenderà solo
dallo stato del sistema e dalle
caratteristiche di accuratezza di ogni
singolo strumento preso singolarmente
Laser 1
Laser 2
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Indipendenza condizionata - Esempio
Supponiamo le misure abbiano una densità di probabilità normale ed effetto
sistematico nullo:
 1 ( z1  x )2 
exp  
P( z1 x ) 

2


2
2 z1
z1


1
 1 ( z2  x ) 2 
exp  
P ( z2 x ) 

2

2 z2
 2  z2 
1
Dunque verrà fuori che:
 1  ( z  x )2 ( z  x )2  
P( z1 , z2 x ) 
exp    1 2
 2 2
 


2 z1 z2
 z2  
 2   z1
1
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Indipendenza condizionata - Esempio
Rappresentiamo la probabilità congiunta
Nel caso in cui si abbia
z  z 1
Come era lecito aspettarsi
il valore massimo di
probabilità si ottiene per
entrambe le misure pari a
zero
1
P( z1 , z2 x  0)
2
0.2
0.15
0.1
0.05
0
5
0
5
0
-5
-5
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Indipendenza condizionata - Esempio
Analizziamo ora un esempio in cui l’effetto di carico è presente:
Laser 1
Si voglia misurare la
posizione lineare di un asse
x
mediante uno strumento
laser ed un tastatore a riga
Riga ottica a
ottica che pone a contatto il
tastatore 2 (encoder
tastatore mediante una molla
lineare con molla
caricando la mensola
per asicurare il
connessa con la slitta di cui
contatto)
occorre controllare il moto
I due strumenti forniranno due misure condizionalmente dipendenti in quanto la loro
misura dipenderà dal fatto che entrambi sono connessi in misurazione
In particolare sarà:
P( z1 z2 , x)  P( z1 x)
(la misura z1 è riferita al laser, la z2 al tastatore)
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Dipendenza condizionata - Esempio
Supponiamo le misure abbiano, oltre all’effetto di carico xc, una densità di
probabilità normale:
 1 ( z1  x )2 
exp  
P( z1 x ) 

2


2
2 z1
z1


1
 1 ( z 2   x  xc  ) 2 
exp  
P ( z2 x ) 

2

 z2
2 z2

 2
1
Proviamo a valutare cosa succede se (erroneamente!) ipotizziamo indipendenza
condizionale:
 1  ( z  x )2 ( z2   x  xc )2  
P( z1 , z2 x ) 
exp    1 2

 
2

 2

2 z1 z2
 z2
  z1


1
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Dipendenza condizionata - Esempio
P( z1 , z2 x  0)
Rappresentiamo la probabilità congiunta (errata)
Nel caso in cui si abbia
z  z 1
1
2
xc  0.5
5
4
Inquadrando dall’alto la densità di
probabilità si nota come essa
abbia adesso il valore massimo in
corrispondenza della coppia di
valori [0, 0.5]
Tale risultato è palesemente errato
in quanto vorrebbe dire che
l’evento congiunto [0, 0.5] ha la
massima probabilità di verificarsi
3
2
Dovrebbe
essere in
[0.5, 0.5]
1
z2
0
-1
-2
Max in [0, 0.5]
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
z1
Sappiamo invece che il massimo si
Sappiamo infatti che, se il tastatore è a contatto e la slitta si trova
deve avere per:
P(0.5,0.5 x  0)
in x=0, il tastatore indurrà effetto di carico pari a 0.5, e di
conseguenza il laser misurerà il valore 0.5 con la massima
verosimiglianza
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Indipendenza condizionata - Esempio
Persistiamo nell’errore e valutiamo cosa succede se procediamo con la
combinazione delle seguenti informazioni:
z1  0.55 z2  0.45
n
P( x z1 , z2 )   P( z1 , z2 )  P( x )   P( zi x )
1
i 1
  P( z1 , z2 )  P( x )  P( z1 x )  P( z2 x )
1
Supponiamo di sapere che la corsa dell’azionamento è limitata entro [-1 1] ed a
ciascun valore assegniamo stesso livello di probabilità, ovvero una funzione
rettangolare di densità di probabilità per P(x)
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Dipendenza condizionata - Esempio
0.8
0.6
P( x )
0.4
0.2
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0.4
0.3
P( z1  0.55 x)
0.2
0.1
0
-5
0.4
0.3
P( z2  0.45 x)
0.2
0.1
0
-5
x
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Dipendenza condizionata - Esempio
P( x z1 , z2 )   P( z1 , z2 )  P( x )  P( z1 x )  P( z2 x )
1
0.7
Il valore
massimo di
probabilità
per lo stato x
condizionato
alle misure
0.55 e 0.45 si
ha per 0.25!!!
0.6
0.5
0.4
0.3
(dovrebbe
essere
invece 0)
0.2
0.1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
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Dipendenza condizionata - Esempio
… torniamo indietro e cerchiamo di fare le cose per bene!!!
Sappiamo che dobbiamo modellare la probabilità congiunta condizionata in
maniera corretta!!!
P( x z1 , z2 )   P( z1 , z2 )  P( x )  P( z1 , z2 x )
1
Descriviamola a parole:
se lo stato assume un valore x, entrambe le misure assumeranno una massima
probabilità in x+xc con deviazione standard pari a zi, e quindi:
Il modello matematico sarà:
 1  ( z1   x  xc )2 ( z2   x  xc )2  
P( z1 , z2 x ) 
exp   

 
2
2



2 z1 z2
 z1
 z2

 2
1
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Dipendenza condizionata - Esempio
P( x z1 , z2 )   P( z1 , z2 )  P( x )  P( z1 , z2 x )
1
0.7
Il valore
massimo di
probabilità per
lo stato x
condizionato
alle misure 0.55
e 0.45 adesso
vale 0
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
Notare: l’effetto sistematico è stato compensato
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Dipendenza condizionata - Esempio
4
5
x
Il valore stimato
mediante fusione è
corretto (per questo
caso particolare
coincide con il
valore presunto
vero dello stato)
La fusione delle informazioni di più sensori richiederebbe, in linea di principio, di
memorizzare tutta l’informazione passata e, all’arrivo di una nuova k-esima
informazione nella forma P(zk|x), di ricalcolare la probabilità complessiva
aggiornata P(z1 … zk | x)
Ma fortunatamente il teorema di Bayes si presta facilmente alla implementazione
ricorsiva:
Z k  zk , Z k 1 
P ( x, Z k )  P( x Z k ) P ( Z k )
Bayes
 P( zk , Z k 1 x ) P( x )
Nel caso in cui valga
l’indipendenza
condizionale
 P( zk x ) P( Z k 1 x ) P( x )
 P( zk x ) P( x Z k 1 ) P( Z k 1 )
Bayes
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Teorema di Bayes – Forma ricorsiva
P( x Z k ) P( Z k )  P( zk x ) P( x Z k 1 ) P( Z k 1 ) 
P( x Z ) 
k
P ( zk x ) P ( x Z
k 1
)
P( Z k ) / P( Z k 1 )  P( zk Z k 1 )
P( zk | Z k 1 )
Costante di normalizzazione
P( x Z k )  P( zk | Z k 1 ) 1  P( zk x )  P( x Z k 1 )
Fusione al passo k
Funzione di Fusione al passo k-1
verosimiglianza della
nuova informazione al
passo k
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Teorema di Bayes – Forma ricorsiva
Nel caso le densità di probabilità possano essere modellate mediante distribuzione
normale, la forma ricorsiva assume la seguente forma:
 k21
2
xk  2
z  2
x
2 k
2 k 1
 k 1  
 k 1  
 1
 
1 
2
k  2
 2  2
2
 k 1  
  k 1  
2
k 1
2
1
Filtraggio bayesiano
dove:
xk 1  2 k 1
zk  2
xk  2 k
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Forma ricorsiva – caso gaussiano