Variabili Aleatorie

Giovanni Della Lunga
Modelli Finanziari nel
Tempo Continuo
2
Richiami di Probabilità e
Statistica dei Mercati Finanziari
Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005
1
Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari
Probabilità
Variabili Aleatorie
Momenti
Distribuzioni
Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
Dipendenza e Correlazione
Processi Stocastici
Dinamica del Prezzo di un’Azione
2
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Probabilità

Ogni tentativo di dare una definizione rigorosa dei
concetti probabilistici più elementari si trova di fronte ad
un problema; infatti, non solo esistono differenti
formalizzazioni e assiomatizzazioni della probabilità ma
a queste corrispondono, in generale, molteplici nozioni
intuitive di probabilità spesso assai diverse fra loro.

Al di la delle differenze di carattere formale un elemento
comune posseduto da tutte le forme di probabilità
riguarda il suo significato intuitivo di valutazione della
possibilità che un dato evento possa accadere o meno.
3
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Probabilità

Sia nelle scienze naturali sia in quelle economiche si è
soliti assumere che un certo evento sia il risultato di un
ipotetico esperimento intendendo con questo termine
l’insieme di tutte “le azioni e le condizioni ambientali che
conducono al determinarsi di un fatto”.

E’ un esperimento la misura di una grandezza fisica, il
lancio di un dado o di una moneta, il verificarsi o meno di
un particolare stato di natura (es. l’indice MIB30 supera il
livello 50.000).
4
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Probabilità

Indicheremo con


e con


1.
2.
3.
 un particolare stato di natura esito di un dato esperimento
 l’insieme di tutti gli stati possibili (spazio campione).
Il concetto di evento é associato al verificarsi di uno o più
stati di natura, esso verrà pertanto rappresentato come
sottoinsieme di . Lo spazio degli eventi, A, è quindi una
famiglia di sottoinsiemi di  caratterizzata dalle seguenti
proprietà:
  A;
se l’evento   A allora anche il suo complemento  -  
A;
se n  A, allora n  A
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Probabilità

Esempio – consideriamo l’esperimento aleatorio per antonomasia: il lancio di
un dado. In questo caso lo spazio campione è formato dall’insieme dei sei
numeri che possono risultare dal lancio stesso
  1, 2, 3, 4, 5, 6
Vediamo il significato di alcuni elementi di A.
Ad esempio l’elemento
1  1,2
corrisponde all’evento “il numero risultante dal lancio è minore o uguale a 2”.
2  1,3,5
Altri elementi sono
vale a dire “il numero risultante è dispari”, e
3   2,4,6
cioè “il numero uscente è pari”.
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Probabilità

Definiamo funzione di probabilità una funzione P a valori reali
che soddisfa le seguenti proprietà:
P( )  0,
P ()  1
  A

 

P  n    Pn 
 n 1  n 1

se gli n sono a due a due disgiunti.
Osserviamo che una funzione di probabilità così definita è
anche una misura. La terna (, A , P) viene detta spazio di
probabilità.
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Probabilità

L’interpretazione geometrica
P ()  1
L’area complessiva è uguale a 1
1

P( )  0,
  A
L’area di ogni sottoinsieme è
sicuramente positiva
3

 
P  n    P n 
 n 1  n 1
L’area di un insieme di superfici che non si
sovrappongono è la somma delle aree delle singole
superfici
4
2
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Probabilità
Variabili Aleatorie
Momenti
Distribuzioni
Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
Dipendenza e Correlazione
Processi Stocastici
Dinamica del Prezzo di un’Azione
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Variabili Aleatorie

Dato uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria o casuale viene
definita come una funzione
X :


Può esservi una certa confusione fra il concetto di variabile stocastica
e quello di evento. Se in un determinato “esperimento” si è interessati
unicamente al valore che una determinata grandezza può assumere
allora effettivamente il valore di questa grandezza descrive
compiutamente l’evento.
In questo caso il valore assunto dalla variabile aleatoria, x, si chiama
“campione” della variabile aleatoria X e può essere pensato come
una sorta di “etichetta” dell’evento e(x) definito dalla relazione
e( x)      : X    x
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Variabili Aleatorie

Potremmo poi pensare di definire la funzione distribuzione di probabilità
della variabile aleatoria X come la probabilità corrispondente all’evento
caratterizzato da un ben definito valore di X
FX x  P X  x  P    : X    x


Se la funzione X può assumere solo valori discreti, la definizione
appena data è legittima, tuttavia se X è una funzione a valori continui, la
probabilità di ottenere come risultato un qualunque valore prefissato è
nulla.
L’evento a cui, in ogni caso, possiamo assegnare probabilità non nulla è
l’evento corrispondente al caso in cui la variabile aleatoria X non supera
un livello prefissato
   : X    r A

Abbiamo pertanto la seguente definizione di variabile aleatoria …
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Variabili aleatorie

Dato uno spazio di probabilità, una variabile aleatoria o
casuale viene definita come una funzione
X :
tale che per ogni numero reale r si abbia
   : X    r A

La funzione
FX x  PX  x  P   : X    x
definita sull’insieme dei numeri reali, viene detta funzione di
distribuzione cumulata o, più semplicemente, funzione di
distribuzione.
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Variabili Aleatorie

Una variabile aleatoria è detta discreta se l’insieme dei valori che
può assumere è numerabile. Sia (, A , P) uno spazio di
probabilità e X una variabile aleatoria discreta. Definiamo la
funzione di probabilità come
 P( X  x ) : se x  xi , per qualche i  1,2,....
f X ( x)  
: altrimenti
0

La funzione di probabilità e la funzione di distribuzione sono legate
dalla relazione:
FX ( x) 
 f X ( xi )
xi  x
Il lancio di un dado rappresenta una tipica
variabile aleatoria discreta
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Variabili Aleatorie

Una variabile aleatoria X è detta continua se esiste una
funzione reale fX tale che per ogni x reale sia soddisfatta la
relazione
x
FX ( x) 

 f X ( y )dy

Nei punti in cui la funzione di distribuzione è derivabile vale
anche la relazione inversa
dFX ( x )
f X ( x) 
dx

La funzione f(x) in questo caso viene detta funzione densità di
probabilità (o semplicemente funzione densità).
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Probabilità
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Momenti
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Dinamica del Prezzo di un’Azione
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Momenti

Il valor medio o valore di aspettazione di X, che indicheremo con , è
definito come
 X  EX    xi f X ( xi )
i

In generale si definisce momento dall’origine (o momento grezzo) di
ordine r, e si indica, la media della variabile aleatoria Xr.

La definizione è naturalmente applicabile solo nel caso in cui tale
media sia finita.
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Momenti

In pratica vengono comunemente utilizzati
i primi quattro momenti:




media
varianza
skewness (o asimmetria)
curtosi
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Momenti

La varianza di X, indicata con , è la media degli scarti
quadratici rispetto alla media e rappresenta una misura di
dispersione di X.

La sua radice quadrata è detta deviazione standard.

La varianza è definita da  X2   xi   X 2 f X ( xi )
i
 
 X2  E X 2  EX 2

Da cui è immediato ricavare

Uno stimatore della varianza è dato da


n x i    xi 
 i 1 
s  i 1
n(n  1)
n
n
2
2
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Il significato della deviazione standard

Due serie storiche di cui la seconda ha standard deviation
doppia dell’altra...
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
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Il significato della deviazione standard

... e le rispettive distribuzioni di probabilità!
160
160
140
140
120
120
100
100
80
80
60
60
40
40
20
20
0
-2.00
-1.18
-0.37
0.45
1.27
0
-2.00
-1.18
-0.37
0.45
1.27
20
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Momenti




Il momento centrale di ordine 3 ci dà informazioni sul grado di
asimmetria di una distribuzione attorno alla sua media ed è
comunemente indicato col termine skewness.
L'asimmetria positiva indica una distribuzione con una coda
asimmetrica che si estende verso i valori più positivi.
L'asimmetria negativa indica una distribuzione con una coda
asimmetrica che si estende verso i valori più negativi.
Uno stimatore di questa grandezza è dato da
n
 xi  x 



( n  1)(n  2) i 1 s 
n
3
in cui s è lo stimatore della standard deviation e è il valor medio.
21
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Momenti

La relazione tra
momento del terzo
ordine e coefficiente di
asimmetria,
solitamente indicato
con 1/2, è data da
1 

3
3
Valori positivi
dell’asimmetria
indicano che la
distribuzione è
asimmetrica per valori
crescenti della
variabile x (a destra)
mentre un’asimmetria
negativa sta ad
indicare una
distribuzione
asimmetrica a sinistra.
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Momenti


Vediamo infine la curtosi, indicata con 2, di un insieme di dati.
Essa è legata al momento centrale di ordine 4 dalla relazione
4
2  4

ed è caratteristica delle cosiddette “code grasse”.


Gli stimatori comunemente utilizzati riportano in realtà la cosiddetta
“curtosi in eccesso” ovvero la differenza fra e 3.
Questo è dovuto al fatto che la distribuzione normale o gaussiana
ha curtosi pari a 3 e questo indicatore viene spesso utilizzato come
indice per comprendere quando la distribuzione di un insieme di dati
si allontani dalla normalità.
23
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Momenti

La formula utilizzata per
lo stimatore è riportata
sotto;

s è lo stimatore della
standard deviation e è il
valor medio.

n x  x 4
n(n  1)
3n  12
 i



 

 (n  1)(n  2)(n  3) i 1 s   (n  2)(n  3)

Nell’immagine
un
esempio di distribuzione
empirica dei rendimenti
di un titolo in cui si
evidenzia il fenomeno
della “leptocurtosi” (code
grasse)
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Momenti

Si possono facilmente generalizzare al caso continuo i
risultati per le distribuzioni discrete.

Il valore di aspettazione sarà pertanto definito come
E[ X ] 
x f
X
( x) dx
D( x)

In cui l’integrazione è estesa al dominio di definizione
della variabile che può variare a seconda del tipo di
distribuzione.

In maniera analoga si generalizzano le definizioni di
varianza e degli altri momenti.
25
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Cenni di Statistica dei Mercati Finanziari




Come vedremo più avanti la grandezza di cui siamo
interessati a stimare le caratteristiche statistiche non è il
prezzo di un titolo ma la sua variazione percentuale
(rendimento);
In prima approssimazione possiamo ipotizzare che il
rendimento di un titolo azionario sia distribuito in maniera
normale;
In realtà quest’assunzione è fortemente criticabile anche se di
impiego quasi universale in pratica;
La distribuzione effettiva dei rendimenti tende ad essere
leptocurtotica
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Dalla serie storica dei prezzi a quella dei rendimenti

Il primo calcolo che dobbiamo fare è quindi quello di
trasformare la serie storica dei prezzi in serie storica dei
rendimenti del titolo o della generica attività finanziaria:

sia




n il numero di osservazioni;
Si il prezzo dell’azione alla fine dell’i-esimo intervallo (i =
0,1,..,n);
 la lunghezza dell’intervallo in anni
Indichiamo con ui il tasso di rendimento composto continuamente
non annualizzato relativo all’intervallo considerato
 Si  S
 
ui  ln 
 Si 1  S
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La Stima della Volatilità

Una stima della deviazione standard è data da
1
1
1 

2
2
ui  u  
s
ui 
  ui 


n  1 i 1
n  1 i 1
n(n  1)  i 1 
n

n
n
2
Questa è una stima della volatilità giornaliera, per ottenere una stima della
volatilità annualizzata occorre moltiplicare per la radice quadrata del
numero di giorni lavorativi in un anno.

Scegliere un valore per n non è facile, in generale più dati si usano e
maggiore è l’accuratezza. Tuttavia  cambia nel tempo e i dati troppo vecchi
possono non essere rilevanti per prevedere il futuro.

Un compromesso che sembra funzionare abbastanza bene è quello di
utilizzare i prezzi di chiusura giornalieri degli ultimi 90-180 giorni.
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Stima della volatilità

Si noti che la volatilità così stimata è una volatilità che
si riferisce al periodo della serie storica


Es. se abbiamo una serie di rendimenti giornalieri, la volatilità
sarà la volatilità giornaliera del rendimento;
Occorre riportare ad un’unità di misura comune;

Es. per ricondurre tutto a volatilità annuali, sotto opportune
ipotesi statistiche, occore moltiplicare per la radice del numero di
giorni lavorativi
 y   d 250
Volatilità annuale
Volatilità giornaliera
Nr. Giorni
Lavorativi in
un Anno
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Esempio
Programmazione
VBA
Distribuzione dei Rendimenti di un Indice Azionario
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Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari
Probabilità
Variabili Aleatorie
Momenti
Distribuzioni
Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
Dipendenza e Correlazione
Processi Stocastici
Dinamica del Prezzo di un’Azione
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Distribuzioni Discrete

Distribuzione Uniforme

Sia X una variabile aleatoria che assume valori nel dominio dei
numeri naturali 1, 2, ... , n. Diremo che tale variabile ha una
distribuzione uniforme se risulta
1 n : x  1,2,, n
f X ( x)  f X ( x, n)  
: altrimenti
0

Valor medio e varianza sono dati da:
1 n
(n  1)n n  1
E[ X ]   i 

n i 1
2n
2
 X2
 E[ X ]  E[ X ]
2
2
1 n 2 (n  1)2 n(n  1)(2n  1) (n  1)2 n2  1
 i 



n i 1
4
6
4
12
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Distribuzioni Discrete

Distribuzione Binomiale

Dati n eventi indipendenti, tutti con
uguale probabilità p, sia X la variabile
casuale che conta il numero totale di
eventi che si verificano fra quelli
possibili.

X ha una distribuzione binomiale con
parametri n e p. La funzione di
probabilità è
f X (i) 
n!
pi (1  p)n i
i!(n  i)!
per i = 0, 1, 2, ..., n

valor medio e varianza sono dati da
E X   np
 X2
 np(1  p)
Funzione
di
Probabilità
e
Distribuzione Cumulata Binomiale
per il caso n = 6 e p = 0.5
33
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Distribuzioni Discrete

Distribuzione di Poisson



Esistono numerosi eventi che accadono nel tempo con cadenza del
tutto irregolare.
Indichiamo con  il numero medio di occorrenze nell’unità di tempo e
supponiamo che siano soddisfatte le seguenti proprietà:

La probabilità di avere esattamente un’occorrenza in un intervallo
di tempo dt di ampiezza trascurabile è  dt a meno di infinitesimi
di ordine superiore mentre la probabilità di avere più di
un’occorrenza è trascurabile;

I numeri di occorrenze in intervalli temporali disgiunti sono
indipendenti.
Consideriamo la variabile aleatoria X che rappresenta il numero di
occorrenze in un dato intervallo . Dividiamo l’intervallo in n sottointervalli di ampiezza t / n. La probabilità di avere esattamente una
occorrenza all’interno di uno di questi sotto-intervalli è per le ipotesi
fatte pari a  t / n; per la proprietà dell’indipendenza, e ricordando la
definizione della distribuzione binomiale, otteniamo che la probabilità
di k occorrenze è data da (a meno di infinitesimi di ordine superiore)
k
 n  t  
t 
P( X  k )     1  
n 
 k  n  
nk

n(n  1)(n  k  1)
k !n k
k
n
t  
t 
( t ) 1   1  
n  
n 

k
34
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Distribuzioni Discrete

Supponiamo ora che n tenda
all’infinito, per le ipotesi fatte la
probabilità di occorrenza all’interno
di un intervallo  dt tende a zero ma
il prodotto n dt è pari ad una
costante  =  t, otteniamo così la
cosiddetta distribuzione di Poisson
e xx
f X ( x)  f X ( x;  ) 
x!
con x = 0, 1, 2, ...

La media e la varianza di una
distribuzione di Poisson coincidono
e sono entrambe pari al parametro
.
Funzione di Probabilità e Distribuzione
Cumulata di Poisson per  = 9
35
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Distribuzioni Continue

Distribuzione Uniforme

Diremo che una variabile aleatoria X è uniformemente distribuita
nell’intervallo reale [a, b] se la sua funzione di distribuzione cumulata
è data da
0
x a
FX ( x)  
b  a
1
se x  a
se a  x  b
se x  b
a cui corrisponde una funzione densità di probabilità data da
0
 1
f X ( x)  
b  a
0
se x  a
se a  x  b
se x  b
La distribuzione uniforme gioca un ruolo particolarmente importante
nei metodi di simulazione in quando per generare le diverse
distribuzioni si parte usualmente da generatori di variabili casuali
uniformi.
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Distribuzioni Continue

Distribuzione Normale

Una delle funzioni più importanti, sia nella teoria sia nella pratica, è la
distribuzione normale o gaussiana la cui funzione densità è data da:
f X ( x)  f X ( x;  , ) 
1
 2

x   2

e
2 2
dove i parametri  e  sono rispettivamente la media e la deviazione
standard.

Una variabile aleatoria viene detta distribuita secondo una normale standard
se la media è 0 e la standard deviation è 1.

Durante il corso utilizzeremo anche una notazione abbastanza diffusa
tramite la quale si indica che una generica variabile aleatoria X è distribuita
come una normale con media  e varianza 2: X ~N( , ).
37
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Rapporto fra distribuzioni e istogramma

Non dimenticate che la
densità di probabilità
rappresenta la frazione
di valori che cadono
all’interno di un certo
intervallo
della
variabile aleatoria:
80
70
60
50
40
N
 f ( x)x
N tot
N  f ( x)x  N tot
30
20
10
0
-0.031 -0.025 -0.019 -0.014 -0.008 -0.002 0.003 0.009 0.015 0.02
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Distribuzioni Continue

Distribuzione LogNormale


Sia X una variabile aleatoria con distribuzione normale, allora la
variabile z = eX definisce una variabile aleatoria con distribuita in
maniera log-normale.
Se la variabile X ha media  e standard deviation , allora la
funzione densità di probabilità di z è data da
f Z ( z) 
1
z 2

e
1
2
2
ln z   2
con z > 0. La media e la varianza della variabile Z possono essere
espresse in funzione dei corrispondenti momenti di X tramite le
relazioni
E[ Z ]  e
1
2
  2
 Z2
e
2   2   2
e

 1  e2  (  1)

avendo posto .
  exp( 2 )  1
39
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Distribuzioni Continue

I fattori di asimmetria e curtosi
sono dati rispettivamente da
1    11 / 2   2
2   4  2 3  3 2  3

Notate che per valori di  non
nulli, sia l’asimmetria è sempre
maggiore di zero e la curtosi è
sempre maggiore di 3. Questo
vuol dire che la distribuzione lognormale è sempre asimmetrica a
destra e leptocurtica.
40
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Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari
Probabilità
Variabili Aleatorie
Momenti
Distribuzioni
Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
Dipendenza e Correlazione
Processi Stocastici
Dinamica del Prezzo di un’Azione
41
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Esistono numeri casuali ?

Come può un elaboratore, macchina totalmente
deterministica, generare numeri casuali e quindi per loro
natura non deterministici?

La risposta è molto semplice: non può!

I numeri sono generati per mezzo di qualche algoritmo per
cui non si può parlare di casualità essendo la sequenza
predeterminata;

In compenso con un computer si possono generare
sequenze di numeri che sembrino aleatorie
42
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Generatori di Numeri Pseudocasuali

Virtualmente tutti i generatori di numeri pseudo casuali impiegati in
pratica sono basati sul generatore lineare congruente
J i  aJ i 1  c  mod m
I parametri a, c ed m determinano la qualità del generatore. a viene
detto moltiplicatore, c incremento ed m è il cosiddetto modulo.

Il generatore appena visto genera numeri interi compresi fra 0 ed
m.
Usualmente
si
utilizzano
generatori
di
numeri
casuali
uniformemente distribuiti fra 0 ed 1, per questo è sufficiente
scegliere
Ui  Ji / m
43
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Generatore Lineare Congruente

La sequenza di numeri casuali si ripeterà dopo un
ciclo che, al più, potrà essere di lunghezza m.

Il massimo intero rappresentabile su un computer la
cui lunghezza di parola è di L bit è 2L .

Usualmente si sceglie
m2
L 1
1
44
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Generatore Lineare Congruente
Vantaggi

E’ molto veloce richiedendo pochissime operazioni per chiamata,
questo lo rende di uso universale;
Svantaggi


Il più grosso svantaggio è rappresentato dalla presenza di
correlazione sequenziale;
Può produrre risultati inaspettati quando viene usato per la
generazione di distribuzioni non uniformi.
45
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Generatore Lineare Congruente
Se si generano n coppie di numeri casuali e si
associano ad esse n punti in un piano, i punti non
si distribuiscono uniformemente ma tendono ad
allinearsi lungo segmenti di retta.
1
0 .9
0 .8
0 .7
0 .6
0 .5
0 .4
0 .3
0 .2
0 .1
0
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
46
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Generatore Lineare Congruente


La correlazione sequenziale può essere
facilmente
rimossa
con
tecniche
di
mescolamento (“shuffling”);
Il numero prodotto allo step j non costituisce
l’output j-esimo ma viene utilizzato per
l’output ad uno step successivo scelto in
maniera casuale;
47
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Generazione di distribuzioni Uniformi
Microsoft Excel


La funzione Rnd() restituisce un valore numerico di tipo Single che
contiene un numero casuale.
La sintassi è la seguente:
Rnd[(num)]


L'argomento facoltativo num può essere un valore Single o una
qualsiasi espressione numerica valida.
I valori restituiti dalla funzione dipendono dal valore passato come
argomento.

Per ogni base iniziale specificata, viene generata la stessa sequenza di numeri, in
quanto ogni successiva chiamata alla funzione Rnd() utilizza il numero casuale
precedente come base per il numero successivo nella sequenza. In particolare
 se il parametro num è minore di zero Rnd() genera sempre lo stesso
numero, utilizzando num come base;
 se num è maggiore di zero viene restituito il successivo numero casuale
nella sequenza;
 se num è uguale a zero viene restituito il numero generato per ultimo;
 infine se il parametro in input viene omesso, Rnd() restituirà il successivo
numero casuale nella sequenza.
48
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Generazione di distribuzioni Uniformi
Microsoft Excel

Prima di richiamare Rnd(), è consigliabile utilizzare l'istruzione
Randomize senza argomento per inizializzare il generatore di numeri
casuali con una base connessa al timer del sistema con la seguente
sintassi
Randomize[(numero)]

Randomize utilizza il parametro numero per inizializzare il generatore di
numeri casuali della funzione Rnd() assegnandogli un nuovo valore
base. Se numero viene omesso, il valore restituito dal timer di sistema
verrà utilizzato come nuova base.

Ricordate che la funzione Rnd() restituisce un valore minore di 1 ma
maggiore o uguale a zero. Per generare interi casuali in un dato
intervallo, utilizzare la seguente formula:
Int((limitesup - limiteinf + 1) * Rnd + limiteinf)
dove limitesup indica il numero maggiore presente nell'intervallo,
mentre limiteinf indica il numero minore.
49
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Esempio
Programmazione
VBA
Il Generatore Lineare Congruente
50
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Metodo della trasformazione inversa

Da un generatore di numeri
distribuiti
uniformemente
si
possono
ricavare
numeri
distribuiti secondo una densità di
probabilità prefissata.

SCOPO:

INPUT:

OUTPUT: Z.
METODO: Generare

generare un campione di
numeri Z distribuiti in accordo ad una
funzione di distribuzione assegnata F(z).
deve essere possibile valutare
la funzione inversa di F(z).
un set di numeri
casuali U uniformemente distribuiti fra 0 ed
1 e per ciascuno di questi calcolare Z = F1(U)
Z
51
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Variabili Normali Univariate
Microsoft Excel

INV.NORM(). Restituisce l'inversa della distribuzione normale cumulativa per la
media e la deviazione standard specificate. La sintassi é
INV.NORM(probabilità;media;dev_standard)
dove



probabilità
è la probabilità corrispondente alla distribuzione normale, media è la
media aritmetica della distribuzione,
dev_standard è la deviazione standard della distribuzione.
INV.NORM utilizza una tecnica iterativa per il calcolo della funzione. Dato un
valore di probabilità, INV.NORM applica il metodo delle iterazioni fino a quando
la precisione del risultato non rientra in ± 3x10^-7. Se il risultato di INV.NORM
non converge dopo 100 iterazioni, la funzione restituirà il valore di errore #N/D.
52
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Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari
Probabilità
Variabili Aleatorie
Momenti
Distribuzioni
Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
Dipendenza e Correlazione
Processi Stocastici
Dinamica del Prezzo di un’Azione
53
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Covarianza

Date due variabili aleatorie X ed Y con varianza finita, si definisce
covarianza la quantità definita da
 XY  Cov( X ,Y )  E[ XY ]  E[ X ]E[Y ]

Se la covarianza è nulla le due variabili si dicono non correlate. Solitamente
viene introdotto un coefficiente di correlazione definito come
 XY

 XY

 XY
I cui valori massimi e minimi dipendono dal tipo di distribuzione considerata.
uno stimatore della covarianza è dato da
1 n
( xi   X )( yi  Y )

n i 1
54
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Dipendenza

Due variabili si dicono indipendenti se la funzione di
distribuzione congiunta FXY(x, y) è fattorizzabile nel
prodotto delle marginali FX(x)FY(Y).

Due variabili indipendendi con varianza finita sono
anche non correlate ma non è vero il viceversa.
55
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Correlazione positiva
Industriali
10.00%
8.00%
6.00%
4.00%
2.00%
-8.00%
-6.00%
-4.00%
-2.00%
0.00%
0.00%
2.00%
4.00%
6.00%
8.00%
-2.00%
-4.00%
-6.00%
Bancari
-8.00%
56
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Correlazione negativa
Obb. Italia
0.80%
0.60%
0.40%
0.20%
0.00%
-10.00%
-8.00%
-6.00%
-4.00%
-2.00%
0.00%
2.00%
4.00%
6.00%
8.00%
10.00%
-0.20%
-0.40%
-0.60%
Azioni Italia
-0.80%
57
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Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari
Probabilità
Variabili Aleatorie
Momenti
Distribuzioni
Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
Dipendenza e Correlazione
Processi Stocastici
Dinamica del Prezzo di un’Azione
58
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Processi stocastici

Consideriamo una successione discreta di istanti di tempo
 t1, t2, … , tn.

In generale possiamo descrivere il comportamento di un sistema che
evolve nel tempo in maniera imprevedibile tramite una corrispondente
sequenza di variabili aleatorie

X1, X2, ..., Xn.

Parleremo in questo caso di processo stocastico discreto.
Naturalmente possiamo anche definire processi stocastici nel tempo
continuo sia su un dominio finito, come ad esempio [0, 1], sia su un
dominio infinito, ad esempio [0, ).

59
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Processi stocastici

Da un punto di vista formale consideriamo uno spazio di probabilità (,
A , P) e un insieme non vuoto, T, i cui elementi sono gli istanti che
vengono presi in considerazione.

Definiamo processo stocastico una funzione di due variabili
X :T   R
tale che
X (t )  X (t , .)
è una variabile aleatoria per ogni t. La funzione
X . ,  : T  R
viene chiamata realizzazione o traiettoria del processo stocastico
considerato.

Ogni realizzazione in pratica non è altro che un’osservazione
dell’evoluzione temporale della quantità descritta dal processo.
60
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Processi stocastici
61
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Processi stocastici

Se assumiamo che un processo stocastico soddisfi le tre condizioni
E Y t  h   Y t 

h 0
h
VAR Y t  h   Y t 
lim
2
h 0
h
lim Pr Y t  h   Y t     0
lim
h 0


esso è definito diffusivo.


I parametri  e , che possono essere costanti o funzioni di Y e t,
sono definiti drift e parametro di diffusione (diffusion) del processo.
La terza condizione esclude la presenza di salti nel processo.
62
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Processi stocastici

Un particolare tipo di processo diffusivo che utilizziamo per
costruire i processi stocastici è il processo di Wiener w(t).

Tale processo è definito dalla seguente proprietà:
l’incremento w(t + h) – w(t), condizionale all’informazione
disponibile in t (t), ha distribuzione di probabilità normale con
media zero e varianza pari ad h.

L’utilità di questo strumento per la costruzione di processi
stocastici è immediata. Un processo con drift e diffusione
costanti e con Y(0) = 0 può essere rappresentato come...
t
t
0
0
Y t    dt   dwt 
63
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Processi stocastici

...o, nella notazione equivalente più usuale
dY t   dt  dwt 
nota come equazione differenziale stocastica.
Quest’ultima notazione è puramente simbolica e
serve ad esprimere la precedente relazione in
maniera più compatta.
64
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Processi stocastici


Dalla definizione del processo di Wiener è
immediato ottenere che al tempo t + h la posizione
di Y sarà descritta da una distribuzione normale con
media pari a Y(t) + h e varianza pari a 2h.
Notiamo che questo è dovuto al fatto che il processo
di Wiener è moltiplicato per un parametro di
diffusione costante.
65
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Processi di Wiener


In particolare i modelli di comportamento dei prezzi azionari
sono espressi spesso ricorrendo ai cosiddetti processi di
Wiener;
Il comportamento di una variabile z che segue un processo di
Wiener può essere compreso se si esaminano le sue variazioni
di valore in un piccolo intervallo di tempo dt.

Proprietà 1

dz è legata a dt dalla relazione
dz   dt
dove epsilon è una variabile aleatoria N(0,1);

Proprietà 2

I valori di dz in due qualsiasi intervalli di tempo dt diversi fra loro sono
indipendenti
66
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Processi di Wiener Generalizzati

Un processo di Wiener generalizzato per una variabile x può
essere così definito in funzione di dz
dx  adt  bdz
dove a e b sono costanti

Ricordando la prima proprietà dei processi di Wiener
possiamo scrivere
dx  adt  b dt
67
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L’Integrale di Ito

Nello studio dei flussi d’informazione nei mercati finanziari, i tradizionali
strumenti forniti dall’analisi matematica risultano insufficienti.

In particolare la nozione di integrale di Riemann-Stieltjes risulta
inadeguata in un contesto stocastico.

Supponiamo infatti di voler calcolare
T
 S dS ,
t
t
S0  0
Consideriamo la
somma...
0

Se la variabile S è una
dell’integrazione com’è noto è
T
1 2
0 St dSt  2 St
variabile
 S S
N
i
i 1
ti
 S ti1

 i  ti , ti 1 
deterministica
il
risultato
Si noti che questo risultato si ottiene facendo tendere N
all’infinito nella somma sopra riportata qualunque sia
la scelta di
 i  ti , ti 1 
68
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L’Integrale di Ito

Se invece S è una variabile aleatoria lo stesso procedimento non può
essere utilizzato!

Infatti la quantità

S i Sti  Sti1

non è conosciuta al tempo ti-1.

Inoltre non è possibile effettuare un passaggio al limite nel senso
classico del termine sempre per il fatto che abbiamo a che fare con
variabili aleatorie per le quali vanno definiti opportuni criteri di
convergenza.

Nella definizione di Integrale di Ito, come vedremo, si usa il criterio della
convergenza in media quadratica e il risultato finale è diverso da quello
che ci aspetteremmo nel caso classico deterministico;

Anche il concetto di differenziale classico risulta inadeguato in campo
stocastico.
69
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L’Integrale di Ito

Infatti, ad esempio, il moto browniano non è differenziabile in alcun
punto e quindi non è derivabile rispetto al tempo;

Il punto cruciale è che nel calcolo differenziale classico gli incrementi
del secondo ordine come (S)2 sono trascurabili rispetto a quelli del
primo ordine quando S tende a zero e il differenziale di una funzione
composta, al primo ordine risulta semplicemente dato da


df  F ( S , t )dt 
F ( S , t )dS
t
S

Possiamo estendere questo semplice risultato al caso stocastico? NO!

Il motivo è il seguente: se S è una variabile casuale, assumere che in
media (S)2 sia trascurabile equivale a supporre che la varianza di S
sia nulla, ovvero a ritenere S una variabile deterministica!
70
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L’Integrale di Ito

Per chiarire meglio questo concetto, supponiamo che St segua
un processo browniano,
dSt   dWt

Supponiamo poi di voler analizzare l’andamento nel tempo di
una generica funzione di S e t, anticipando i concetti di
convergenza in media quadratica possiamo dire che
simbolicamente


E Wt   t  dWt   dt

2
2
Pertanto i termini del secondo ordine in S non possono
essere trascurati in un’approssimazione del primo ordine in
quanto risultato essere analoghi a termini al primo ordine
nel tempo!
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71
Lemma di Ito

Per valutare l’incremento di una funzione trascurando i termini
di ordine superiore al primo nel tempo dobbiamo pertanto
scrivere


1 2
2
df 
f ( S , t )dS  f ( S , t )dt 
f
(
S
,
t
)

dt
2
S
t
2 S



Si noti che c’è un termine aggiuntivo in più rispetto al
differenziale del calcolo classico;
Tale termine scompare se  = 0 ovvero se la variabile non è
aleatoria!
Il calcolo differenziale stocastico nasce con lo scopo di dare
significato alle equazioni differenziali contenenti termini
differenziali stocastici;
72
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Lemma di Ito
...se fosse valido il calcolo differenziale classico
f  f (S , t )
f
f
df 
dS  dt
S
t
dS   ( S , t )dt   ( S , t )dz
f
f
f
df 
 ( S , t )dt   ( S , t )dz  dt 
S
S
t
f
 f f

 ( S , t ) dt   ( S , t )dz
 
S
 t S

73
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Lemma di Ito

Se il valore di S segue un processo di
Ito
dS   ( S , t )dt   ( S , t )dz

Allora il valore di una generica funzione
di S segue la dinamica descritta da
 f
f 1 2
2 f
df     (S , t )   (S , t ) 2
S 2
S
 t

f 

dt   (S , t ) dz
S 


74
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Lemma di Ito

Un caso speciale
dS   ( S , t )dt   ( S , t )dz
 f
f 1 2
2 f
df     (S , t )   (S , t ) 2
S 2
S
 t
f  ln S
f
0
t

f 

dt   (S , t ) dz
S 


f 1

S S
2 f
1
 2
2
S
S
1 2

d ln S       dt  dz
2 

75
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Richiami di Probabilità e Statistica dei Mercati Finanziari
Probabilità
Variabili Aleatorie
Momenti
Distribuzioni
Generazione di Numeri Pseudo-Casuali
Dipendenza e Correlazione
Processi Stocastici
Dinamica del Prezzo di un’Azione
76
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Un processo per i prezzi azionari


Come abbiamo visto i rendimenti di un titolo
possono, in prima approssimazione, essere
considerati normalmente distribuiti;
Da un punto di vista formale questo equivale ad
ipotizzare la seguente relazione
S i  Si 1
Ri 
 m sz
Si 1
STANDARD DEVIATION
MEDIA
VARIABILE
ALEATORIA N(0,1)
77
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Un processo per i prezzi azionari

Vediamo quali sono le proprieta di scalabilità temporale della
media e della varianza;

Se la varianza del prezzo fosse sempre nulla detto  il tasso di
rendimento istantaneo atteso, quello che ci si aspetta è
S = S0et
in quanto il possesso del titolo equivale in questo caso ad un
deposito bancario (volatilità nulla = risk free)

Ma questa relazione è soluzione dell’equazione differenziale
dS/S= dt

Quindi possiamo porre
m  t
78
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Un processo per i prezzi azionari
s

N
1
T
2
( Ri  R ) , N 
 s  t

N  1 i 1
t
Quindi possiamo porre
s   t

La volatilità quindi varia come la radice quadrata del tempo,
questo è equivalente ad assumere che la componente
stocastica sia descritta da un processo di Wiener.
79
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Un processo per i prezzi azionari

Riassumendo
S i  S i 1 S

 m sz
S i 1
S
m  t
s   t
S  St  S t z


dove S è la variazione di prezzo nell’intervallo t e z è un numero casuale
estratto da una distribuzione normale standard.
Un processo descritto da un’equazione del genere è detto MOTO
GEOMETRICO BROWNIANO
80
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Un processo per i prezzi azionari
dS  Sdt  Sdt
Lemma di Ito
2

 
dt  dz
d ln( S )    
2 

2

S
 
t  z t
 ln( S )  ln( S )  ln( S0 )  ln
   
S0 
2 
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Un processo per i prezzi azionari
S 
2 
t  z t
ln
   
S0 
2 


2 
t  z t 
S  S0 exp   
2 


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Esempio
Programmazione
VBA
Generazione di Scenari
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Bibliografia

S. Benninga “Modelli Finanziari – La finanza con Excel”
McGraw-Hill (2001)

U. Cherubini, G. Della Lunga “Matematica Finanziaria –
Applicazioni con VBA per Excel” McGraw-Hill (2001)

U. Cherubini, G. Della Lunga “Il Rischio Finanziario”
McGraw-Hill (2000)

E. Gaarder Haug “The Complete Guide to Option
Pricing Formulas” McGraw-Hill (1998)

M. Jackson, M. Staunton “Advanced Modelling in
Finance using Excel and VBA” Wiley Finance (2001)
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