Il Teorema di
Sovrapposizione
degli effetti
Laboratorio Liceo Scientifico M.L. King – Genova
26 marzo 2007
E.Smerieri & L.Faè
Progetto Lauree Scientifiche
Genova - 2007
Linearità e sovrapposizione
• La sovrapposizione è valida ogni qualvolta la relazione tra due
grandezze è di semplice proporzionalità
• Matematicamente un elemento descritto dall’equazione y = f(x) si
dice lineare se per essa valgono le seguenti proprietà
y1 f ( x1 ) , y2 f ( x2 )
y1 y2 f ( x1 x2 )
y1 f ( x1 )
a y1 f (a x1 )
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La sovrapposizione degli effetti
nei circuiti elettrici
• Il teorema vale per circuiti con generatori che forniscono tensioni di
forma qualsiasi e costituiti da soli elementi lineari.
• Si dimostra che se un circuito è realizzato con componenti R - L - C
a parametri costanti e da generatori ideali la sua risposta è lineare.
La tensione (corrente) in ogni lato è data dalla
somma algebrica delle tensioni (correnti) dovute ad
ogni singolo generatore agente da solo e passivando
gli altri.
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Alcuni esempi
1.
Circuito resistivo con una lampadina e con due
generatori in continua
2.
Circuito puramente resistivo (con tre resistenze) e
due generatori in continua
3.
Circuito RC con due generatori in continua
4.
Circuito con due resistenze e un diodo e due
generatori in continua
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Circuito con la lampadina
E
Dalla tabella voltamperometrica
della prima esperienza effettuata
si trova che in corrispondenza di
una tensione di circa 4V la
corrente è 310 mA
I [A]
V [V]
R[]
0,067
0,102
1,5
0,090
0,187
2,1
0,122
0,564
4,6
0,137
0,743
5,4
0,159
1,022
6,4
0,189
1,451
7,7
0,190
1,481
7,8
0,200
1,681
8,4
0,220
2,04
9,3
0,230
2,23
9,7
0,250
2,53
10,1
0,260
2,72
10,5
0,270
2,98
11,0
0,280
3,20
11,4
0,290
3,48
12,0
0,310
3,96
12,8
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Con la lampadina NON vale il teorema
di sovrapposizione
E1 = 1.02 V I1=159 mA
E1
E2 = 2.98 V I2=270 mA
E2
ma in questo caso
E1
E1+ E2 = 4 V
E2
I1+ I2 = 429 mA
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I [A]
V [V]
0,067
0,102
0,090
0,187
0,122
0,564
0,137
0,743
0,159
1,022
0,189
1,451
0,190
1,481
0,200
1,681
0,220
2,04
0,230
2,23
0,250
2,53
0,260
2,72
0,270
2,98
0,280
3,20
0,290
3,48
0,310
3,96
Un altro semplice esempio
Circuito Lineare
1. Studio con le Leggi di Kirchoff
2. Studio con il teorema di sovrapposizione degli effetti
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Studio con i Principi di Kirchoff
E1 R1I1 R3 I 3
E2 R2 I 2 R3 I 3
I I I
3 1 2
Si trova facilmente
I1 = 2.87 mA
I2 = 0.93 mA
I3 = 3.8 mA
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Studio con il Teorema di
sovrapposizione degli effetti
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Studio con il Teorema di
sovrapposizione degli effetti
I1 I1' I1'' 3.424 0.558 2.866 mA
'
''
I
I
I
2
2
2 0.447 1.377 0.930 mA
'
''
I
I
I
2
.
978
0
.
819
3
.
797
mA
3
3
3
Il segno meno per I2 indica semplicemente che la corrente circola
nel verso opposto a quello prescelto come positivo.
Il risultato è lo stesso di quello ricavato applicando i Principi di Kirchoff
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Il circuito RC e la sovrapposizione
degli effetti
• Primo caso : condensatore inizialmente SCARICO
• Secondo caso : condensatore inizialmente CARICO a 2 V
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Circuito RC - Condensatore scarico
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Circuito RC - Condensatore carico
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Il circuito RC e la sovrapposizione
degli effetti - Considerazioni
1. Nel Primo caso con il condensatore inizialmente SCARICO il
Teorema di sovrapposizione fornisce risultati corretti
2. Nel Secondo caso con il condensatore inizialmente CARICO il
Teorema di sovrapposizione non fornisce risultati corretti
Il Teorema di sovrapposizione si può applicare
soltanto se gli elementi circuitali capacitivi (e/o
induttivi) sono scarichi
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Un semplice esempio
di circuito non lineare
1. Studio con le Leggi di Kirchoff
2. Studio con il Teorema di sovrapposizione degli effetti (si vedrà che
non è applicabile)
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Studio con i Principi di Kirchoff
E1 R1 I1 VD
E2 R2 I 2 VD
I I I
D 1 2
Si trova facilmente, considerando VD ≈ 0.7 V,
I1 = 6.5 mA
I2 = 1.13 mA
ID = 7.63 mA
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Studio con il Teorema di
sovrapposizione degli effetti
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Studio con il Teorema di
sovrapposizione degli effetti
I1 I1' I1'' 6.504 0.069 6.435 mA
'
''
I
I
I
2
2
2 0.069 1.141 1.052 mA
'
''
I D I D I D 6.439 0.873 7.312 mA
Il RISULTATO ottenuto è ERRATO.
È differente da quello ricavato applicando i Principi di Kirchoff.
Il Teorema di sovrapposizione si può applicare
soltanto se gli elementi circuitali sono lineari
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Strumentazione disponibile
Primo Alimentatore
Regolazione
Uscita
Il generatore fornisce tensioni continue variabili
da circa 1.5 V a 30 V e corrente massima 1A
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Strumentazione disponibile
Multimetro digitale
Funzione
10A
V – mA -
COM
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Strumentazione disponibile
Secondo Alimentatore
• Molto economico
• Tensione d’uscita stabilizzata e variabile a
scatti con valori 1.5V- 3V- 4.5V- 6V-7.5V9V-12V
Variatore di tensione
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Circuiti per le esperienze proposte
Circuito a)
Circuito b)
1.
2.
Studio con Kirchoff
Studio con la sovrapposizione degli effetti
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Esperienza 1a : Kirchoff
1. Misurare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a)
2. Calcolare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a)
applicando le Leggi di Kirchoff
3. Verificare la validità dei risultati ottenuti
con il calcolo con quelli misurati
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Esperienza 2a: Sovrapposizione
1. Misurare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a)
2. Calcolare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a)
applicando il teorema di sovrapposizione
3. Misurare le correnti I1,I2,I3 nel circuito a)
applicando il teorema di sovrapposizione
4. Verificare la validità dei risultati ottenuti
con il calcolo con quelli misurati
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Esperienza 2a: Sovrapposizione
Il Teorema di sovrapposizione si può applicare
perchè la resistenza è un elemento circuitale lineare
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Esperienza 1b : Kirchoff
1. Misurare le correnti I1,I2,ID nel circuito b)
2. Calcolare le correnti I1,I2,ID nel circuito b)
applicando le Leggi di Kirchoff
3. Verificare la validità dei risultati ottenuti con il
calcolo con quelli misurati
Nota: Assumere la tensione VD ai capi del diodo circa uguale a 0.7 V
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Esperienza 2b: Sovrapposizione
1. Misurare le correnti I1,I2,ID nel circuito b)
2. Calcolare le correnti I1,I2,ID nel circuito b)
applicando il teorema di sovrapposizione
3. Misurare le correnti I1,I2,ID nel circuito b)
applicando il teorema di sovrapposizione
4. Verificare la validità dei risultati ottenuti con il
calcolo con quelli misurati
Nota: Assumere la tensione VD ai capi del diodo circa
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uguale a 0.7 V
Esperienza 2b: Sovrapposizione
Il Teorema di sovrapposizione non si può applicare
perchè il diodo è un elemento circuitale non lineare
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