Alcuni Problemi Dinamici
Enrico Pieroni [email protected]
(clicca sopra il nome per leggere il cv)
Indice dei contenuti
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Il moto dei gravi
Il moto su un piano inclinato
Il moto in un fluido viscoso
Il moto balistico
Il moto circolare uniforme
Il pendolo a molla
Il pendolo semplice
Il moto dei gravi
z
F = P = -mg
F = ma = -mg
a = -g ≈ 9.8
z=z0
m/s2
Una piuma ed un martello
cadono con la stessa
accelerazione, e quindi
arrivano assieme a terra!
Moto uniformemente accelerato, allora:
z = -½gt2 + v0t + z0
v = -gt + v0
P = -mg
z=0
La caduta dei gravi da fermi
v0: velocità iniziale
v0 = 0: la pallina cade da ferma
z = -½gt2 + z0
z
Diagramma orario: “semplice”
parabola, simmetrica rispetto
all’asse z
A
z0
Tempo impiegato per Arrivare al suolo (z=0):
tA= √(2z0/g)
O
tA
t
La palla lanciata verso il basso
v0: velocità iniziale
z
v0 < 0 … diretta verso il basso
v0
Parabola generale, possiamo calcolare le due intersezioni con
l’asse t, come soluzione dell’equazione di secondo grado
z=0, e tenere solo la radice positiva ...
z
z0
O
tA
… che rappresenta il tempo
impiegato per arrivare al
suolo
A
tA= [v0 +√(v02 + 2gz0)] / g
Nota che essendo v0<0, il tempo tA
è inferiore a quello trovato nel
t caso v0=0. Come atteso il grave
arriva prima al suolo!
La palla lanciata verso l’alto
z
velocità iniziale
v0 > 0 … diretta verso l’alto
v0
M
I
Anche in questo caso abbiamo una parabola generale.
tA= [v0 +√(v02 + 2gz0)] / g
z
In questo caso il fenomeno fisico è più complesso e presenta
altri due aspetti interessanti:
1) Inversione del moto in M per v = 0:
zM
tM= v0/g
zM = z0 + v02 / (2g)
z0
A
2) Ri-passaggio nel punto iniziale, per simmetria:
O
tM
tI tA
t
tI= 2tM =2 v0/g
Excursus matematico:
la parabola
y = ax2 + bx + c
y
a<0
a>0
Bottone per
tornare indietro
x1 ed x2 tali che y = ax2 + bx + c = 0:
x1,2 = [ -b ± √(b2-4ac) ] / (2a)
xv tale che y = valore massimo = yv:
xv = -b/(2a)
yv = axv2 + bxv + c = c – b2/(4a)
yV
x1
O
xV
x2
x
x Nessuna intersezione
con l’asse x
yv < 0
x
2 intersezioni
yv > 0
x
1 intersezione
yv = 0
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Il piano inclinato
0.2
0.1
0.4
0.7
0g g gg
a = 0.95
Il piano inclinato (2)
P = PT + P||
PT + R = 0
PT • P|| = 0
a
(ortogonalità)
F = m a = P|| a = P|| / m
P = mg P|| < mg a < g
R
P||
P
PT
Moto uniformemente accelerato, con accelerazione minore di g.
s = ½at2 + v0t + z0
v = at + v0
Il piano inclinato a 45o
In generale la decomposizione descritta richiede l’uso di funzioni
trigonometriche o tecniche geometriche. Però il conto diventa molto
facile per un angolo speciale, a = p/4, ossia 45o.
I due triangoli in figura hanno gli
stessi angoli e quindi sono
equivalenti, pertanto anche
quello usato per la
decomposizione delle forze è
equilatero:
PT = P||
R
P||
P
90o
90o
45o
PT
a = 45o
Dal teorema di Pitagora, si ottiene quindi:
P2 = (mg)2 = (PT)2 + (P||)2 = 2 (P||)2
P|| = ma = mg/√2 ≈ 0.707 mg a ≈ 0.707 g
Attrito con l’atmosfera
Ma nella vita reale, è vero che una piuma ed
un martello arrivano assieme a terra?
Pensa a quando vai in bicicletta: se sei
fermo (v=0) non senti alcuna resistenza,
ma più vai veloce e più senti un vento
(apparente) sul volto che è la resistenza
opposta dall’aria al tuo movimento.
z
z=z0
Fattr
P
Fattr = -bv
z=0
F = P + Fattr
ma = -mg - bv
a = -g - (b/m) v
Accelerazione diversa a
seconda della massa! Il
“fluido” nel quale la
pallina si muove è detto
“viscoso”.
Velocità limite
All’inizio v=0, poi la pallina comincia a cadere e il modulo
della velocità aumenta piano piano, così aumenta la forza
di attrito -bv. La forza peso mg rimane costante.
L’effetto complessivo è che aumenta piano piano anche la
forza totale F=-mg-bv.
In tal modo, la forza di attrito sarà
sempre più vicino alla forza peso in
valore assoluto. Asintoticamente,
quando la eguaglierà (F=0), la massa
Fattr continuerà il moto a velocità
t costante v=v∞:
mg
F
-mg
t
P
F=0
-mg - bv∞ = 0
v∞=-mg/b =cost
Velocità limite: tempo caratteristico
Ipotizziamo come al solito che il tempo
caratteristico dipenda dai parametri in gioco, m,
g, b, nel seguente modo, dove a è un numero privo
di dimensione che non sarà possibile stimare con
argomentazioni dimensionali:
Indicando con [x] le
dimensioni fisiche
di x, si ottiene:
b+d = 0
g=0
-2g-d = 1
t = ambggbd
[t] = mb(s/t2)g(m accelerazione/velocità)d
= mb(s/t2)g(m (s/t2)/(s/t))d =
= mb(s/t2)g(m/t)d = mb+d sg t-2g-d = t
g=0
d = -2g-1 = -1
b = -d = 1
t = am/b
Velocità limite: tempo
caratteristico (2)
Molto più rapidamente, avresti potuto osservare che m, g e b sono già
combinati a formare una grandezza della dimensione di una
velocità, v∞, pertanto potresti ottenere rapidamente un tempo
dividendo una velocità per una accelerazione:
vel / acc = (s/t)/(s/t2) = s/t X t2/s =t
E quindi, come prima:
t proporzionale a g/|v∞| = g/(mg/b) = b/m
z
Il moto dei proiettili
Fx = 0 -> moto rettilineo uniforme
Fy=P -> caduta di un grave: uniformemente accelerato
x
z
Balistica (1)
Fx = 0
Fz = P = -mg
v0,x
v0,z
v0
vx = v0,x
vz = v0,z - gt
x = x0 + v0,xt
z = z0 + v0,zt - ½gt2
x
z
Eq. 1
v0
Eq. 2
z = z0 + v0,z(x-x0)/v0,x- ½g(x-x0)2/v0,x2
= ax2+bx+c = parabola
x
Balistica (2)
z
Equazione in z (Eq. 2):
ricavo i tempi del picco e
dell’arrivo a terra.
Poi sostituisco i tempi
nella x (Eq. 1) ed ottengo z
la posizione del picco e zM
dell’arrivo.
v0
tM
x
Gittata = G = xA – x0
tA
x0 xM
xA
x
Balistica (3)
Nel caso in cui il cannone e l’arrivo a terra del
proiettile giacciano sullo stesso piano, si possono
esprimere in forma semplice la massima altezza
raggiunta e la gittata:
z
zM = v0,z2 / (2 g)
zM
G = 2 v0,z v0,x / g
G
x
Moto circolare uniforme
Moto sul piano orizzontale
Periodo T:
2pr=vT T=2pr/v
r
Velocità angolare:
w = Dq / Dt = 360o / T
Dq
(gradi/secondo)
w = 2p / T
(radianti/secondo)
v = 2 p r/T = w r
Frequenza:
da cui
f=1/T
w=2pf
p ≈ 3.141592654…
La velocità nel moto circolare
uniforme
s (t + Dt ) - s (t )
v (t ) =
Dt
per Dt molto piccolo
t + Dt
s (t + Dt ) - s (t )
s ( t + Dt )
t
s (t )
C
La velocità è tangente alla circonferenza
Moto circolare uniforme: forza centripeta
Che forza tiene la particella in movimento su una traiettoria
circolare? Ad esempio pensa ad una corda bloccata nel centro
C:
• la forza che trattiene la pallina è la tensione della corda t.
• Però se la pallina sentisse solo t, si dirigerebbe verso C!
Infatti, per il solo semplice fatto di ruotare, la pallina sente
anche una forza Fall che tende a farla allontanare da C …
• .. e che bilancia la tensione della corda.
t : forza centripeta
Fall: forza centrifuga
Fall + t = 0
Forza centripeta
Cresce con v
Diminuisce con r
Fall
t
C
Moto circolare uniforme: accelerazione
La forza centripeta Fc dunque è quella che tiene la particella al
suo posto, impedendo che la rotazione (forza centrifuga
apparente) la faccia allontanare.
Per la legge di Newton:
Fc = m a
E dunque anche l’accelerazione della particella è in ogni istante
centripeta, ossia diretta verso il centro del cerchio!
Ma quanto vale in modulo? Il calcolo non è facile, e non lo
faremo. Se vuoi, puoi vedere una dimostrazione basata su
semplici argomenti dimensionali. Il risultato comunque è:
a = v2/r
Da cui ricaviamo: a =
w2
2 r
F
=
m
a
=
m
w
r, c
Moto circolare uniforme: accelerazione (2)
Dato un moto circolare uniforme di raggio r e velocità
con modulo v, possiamo ipotizzare che il modulo
dell’accelerazione dipenda solo da r e v. Cerchiamo
allora le potenze giuste che rendono l’accelerazione
della dimensione fisica giusta.
a = cvbrd
Dove c è una costante adimensionale,
ossia un numero
[a] = s/t2=[vbrd]=(s/t)bsd=sb+d/td
Abbiamo indicato con
s una lunghezza
generica e con t
un tempo
generico
d = 2 e b+d = 1, ossia b = 1-d = -1
E quindi:
a = cv2/r
Excursus matematico: i gradi
1 angolo giro = 360 gradi = 360o
Dividendo l’angolo giro in n parti,
ciascuna misurerà
q = 360o / n
Es.
Angolo piatto = 360o/2 = 180o
Angolo retto = 360o/4 = 90o
360
270
45ooo
90
135
180
Bottone per
tornare indietro
Excursus matematico:
i radianti
A’
Da un teorema di geometria: il rapporto fra la
circonferenza ed il raggio NON dipende dalle
dimensioni del cerchio, e vale 2 p.
C
A
B’ B
Lo stesso vale per qualsiasi arco di circonferenza:
AB : CA = A’B’ : CA’.
Quindi una misura, che NON dipende dal cerchio scelto,
dell’angolo sotteso da un arco s di una circonferenza di
raggio r è: Q=s/r.
360o
2p rad
Questa si chiama misura in radianti dell’
180
p
angolo, ed è una grandezza adimensionale.
Angolo piatto = 2 p ->
q
(o)
:
360o
360o
= q (rad) : (2 p)
Bottone per
tornare indietro
90
p/2
45
p/4
60
p/3
Massa e molla
La forza elastica è tanto
maggiore quanto la molla è
allungata rispetto alla
posizione di equilibrio della
massa
Fel = -kz
[k] = forza/spazio
= N/m nel S.I.
Massa in equilibrio Molla allungata
z=0
z
z
Fel
Forza di richiamo elastica:
tende a riportare la
molla nella sua posizione
di equilibrio
Nota che se z è troppo grande, può succedere che la
definizione data per Fel non valga più in quanto, ad esempio,
la molla si spezza.
Fel = ma = -kz a = -(k/m) z
Il pendolo a molla
t=0
t=T/4
t=T/2
t=3/4 T
t=T
-zM
0
zM
z
t
… e così via
0
z
Moto armonico
Il pendolo a molla: il periodo
m,k T?
Il problema principale del sistema molla-massa è di
determinare il periodo T delle oscillazioni.
Gli unici parametri che descrivono la massa e la molla
sono m, k, quindi è ragionevole ipotizzare che T debba
dipendere solo da una loro combinazione.
T aumenta con m e diminuisce con k
La dimostrazione è complessa, però
anche con semplici argomentazioni
dimensionali si può ricavare che
T = 2p√(m/k)
Periodo del pendolo a molla
a = -(k/m) z
F = ma = -kz
Ipotesi:
T = c (k/m)a
Dove c è una costante
adimensionale, ossia
un numero
[T] = [k/m]a =
[W] vuol dire dimensioni fisiche di W
= (accelerazione / lunghezza)a
= ( (lunghezza / tempo2) / lunghezza )a =
= (1 / tempo2 )a = (tempo)-2a
-2a = 1
Ma [T] = tempo = tempo1 = (tempo)-2a
a = -1/2
T = c (k/m)-1/2=c √(m/k)
Risultato corretto, ma non possiamo predire il
valore di c, che però NON dipenderà da m o k
Esperimento virtuale: il pendolo a molla
•
•
•
osserviamo il fenomeno fisico nell’intervallo di tempo
da t=0 a t=toss,
dividiamo l’intervallo in tante parti piccole di
larghezza Dt: [0, Dt), [Dt, 2Dt), [2Dt, 3Dt), [3Dt,
4Dt), …
In ogni intervallino applichiamo la definizione
discreta di accelerazione e velocità come variazione
rispettivamente della velocità e dello spazio diviso
per l’intervallo di tempo Dt, e da qui cerchiamo di
ricostruire nel tempo la storia di a, v, z.
t
(s)
z
(m)
a
(m/s2)
v
(m/s)
0
z0=0.1
-100
v0=0
0.005
0.0975
-97.5
-0.5
0.01
Dv
k
k
100
a ( 0 s ) = - z0 = 0.1 m/s 2 = -100 m/s 2
1) a = = - z
m
0.1
Dt
m
k
v
(
D
t
)
=
v
z0 Dt
k
k
0
2) Dv = - zDt v(t + Dt ) = v(t ) - z(t )Dt
m
m
m
k
100
v (0.005 s) = v0 -
Dz
3) v =
Dt
z (t ) = z (t - Dt ) + v (t )Dt
z0 Dt = 0 0.1 0.005 m/s = -0.5 m/s
m
0.1
z( Dt ) = z0 + v( Dt )Dt
z (0.005 s) = 0.1 m - 0.5 m/s 0.005 s = 0.0975 m
Nota la leggera differenza fra lo “schema alle differenze“ per la velocità e quello per la posizione
Il pendolo a molla
Condizioni iniziali
z0 (m):
output
T (s):
v0 (m/s):
Parametri
velocità
posizione
m (kg):
k (N/m):
V(t)
Z(t)
Dt (s):
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Il pendolo semplice
Allontanamento
dall’equilibrio
Equilibrio
Ampiezza
angolo
periodo
tempo
Moto armonico
Il pendolo semplice (2)
Procediamo come per il piano
inclinato, decomponendo la
forza peso lungo il raggio e
lungo la perpendicolare al
raggio.
l
La prima sarà annullata dalla
t
tensione della corda, mentre la
seconda sarà quella che
Pr
produrrà il moto della
particella lungo la
P
circonferenza.
m
In questo caso le due componenti
Pt
non sono costanti ma cambiano
durante il moto! In ogni caso però rimangono entrambe proporzionali alla
massa. Pertanto nell’equazione del moto ma = Pt, ottengo che la massa si
semplifica!
Come per tutti i fenomeni periodici che abbiamo visto, il calcolo del periodo è
abbastanza difficile, il risultato per PICCOLE
Se sei interessato, puoi
oscillazioni è dato dalla seguente
vedere una dimostrazione
equazione:
su base dimensionale … o
T = 2p√l/g
per analogia.
Periodo del pendolo semplice
T = c la g b
Ipotesi:
Dove c è una costante
adimensionale, ossia un
numero. Nota che NON
abbiamo incluso la massa.
[T] = sa[accelerazione]b = sa(s/t2)b =sa+bt-2b
Ma [T] = t =
Ossia:
t1
=
sa+bt-2b
b = -1/2
a = -b = 1/2
-2b = 1
a+b = 0
T = c l1/2g-1/2=c √(l/g)
Risultato corretto, ma non possiamo predire il valore di c, che però sarà un
numero privo di dimensione fisica e NON dipenderà da l o g
Periodo del pendolo semplice (2)
Da una analisi degli angoli si dimostra
facilmente che i triangoli OAB e BDC
sono simili, pertanto:
O
q
l
A
A’
s=0
B
90o
mg
q
C
90o
Pt
D
CD : AB = BC : OB
(-Pt) : AB = mg : l
Pt = -AB mg / l
s Utilizziamo la circonferenza come
asse delle “ascisse” curvo per
segnare la posizione B (s) della
pallina, con origine A’ (s=0).
Per piccole oscillazioni, B è molto vicino ad A, pertanto il
segmento AB è quasi uguale all’arco A’B: AB ≈ A’B = s
Pt = ma ≈ -smg / l a ≈ - (g/l) s
La massa sparisce!
Periodo del pendolo semplice (3)
Pendolo a molla
ma = -kz a = - (k/m) z
T = 2p√(m/k)
Pendolo semplice
a ≈ - (g/l) s
T = 2p√(l/g)
La frequenza
Per ogni moto che avviene con periodo T, la frequenza è
sempre definita come f=1/T ed è misurata in s-1, detti
anche cicli al secondo oppure Hertz (Hz).
Ad esempio, se una macchina effettua un giro di pista ogni
100 secondi, diremo che ha una frequenza di 1/100 ciclo
al secondo, oppure 0.01 s-1, oppure 0.01 Hz.
La frequenza rappresenta il numero di cicli effettuati dal sistema
fisico in un secondo, infatti poiché è noto che il sistema effettua 1
ciclo in un periodo T, possiamo scrivere la seguente proporzione
f cicli : 1 secondo = 1 ciclo : T
Da cui f = 1/T.
