7 dis - Unicas

Test di Ipotesi
Misure Meccaniche e Termiche - Università di Cassino
1
Classificazione dei Test di ipotesi


a)
b)
c)
d)
Ogni volta che si effettua uno studio sperimentale di un
fenomeno fisico (e.g. la validazione di un modello
teorico, la stima di un parametro fisico, la differenza tra
due fenomeni, ecc.) e quindi che si analizzano dati
sperimentali per pervenire ad una soluzione è necessario
formulare alcune ipotesi di lavoro.
Le ipotesi adottate possono essere ricondotte a diverse
tipologie quali:
la casualità nel campionamento dei dati;
il valore numerico dei parametri caratteristici della
distribuzione attribuiti alla popolazione della variabile
osservata in funzione della stima dei corrispondenti
parametri di un campione;
la distribuzione statistica ipotizzata nella determinazione
dei parametri caratteristici della variabile osservata;
il modello “teorico” deterministico osservato.
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Validazione e criterio di decisione

Pertanto un approccio metodologicamente corretto richiederebbe, una
volta terminata l’analisi dei dati, una validazione delle ipotesi
adottate.

Questa validazione data la natura induttiva del processo non può mai
essere univoca, ma potrà soltanto stabilire in termini probabilistici la
consistenza delle ipotesi effettuate.

In altre parole fissato un certo livello di confidenza è necessario
definire un criterio per decidere se le ipotesi effettuate sembrano
essere consistenti e conseguentemente:
accettare l’ipotesi con il rischio di accettare un’ipotesi “falsa” (errore
tipo II).
rigettare l’ipotesi con il rischio di rigettare un’ipotesi “vera” (errore
tipo I);
a)
b)
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Null Hypothesis (Ho)
a)
b)
Da quanto detto è possibile
strutturare un test di ipotesi
formulando la cosiddetta
“ipotesi nulla” Ho e quindi
suddividere lo “spazio
campione” (ovvero lo spazio di
possibile accadimento dei
risultati di un esperimento) in
due regioni:
regione di accettazione A (con
una probabilità b di effettuare
un errore di tipo II)
regione di reiezione B (con una
probabilità a di effettuare un
errore di tipo I)
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Alternative Hypothesis (Ha)
Ovviamente una volta
definita una qualsiasi
ipotesi Ho è
automaticamente fissata
quella alternativa Ha
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Test semplice o composto
Se l’ipotesi Ho fissa esattamente il valore del parametro
oggetto della valutazione (e.g. m=mo) il test si definisce
semplice;
Se l’ipotesi Ho stabilisce l’appartenenza ad un intervallo
finito (m1<m<m2) o infinito (m>0) il test si definisce
composto
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Passi procedurali del test
1)
2)
3)
4)
In definitiva per effettuare un test di ipotesi è
necessario:
definire l’ipotesi Ho (ed eventualmente l’ipotesi
alternativa Ha);
scegliere la variabile aleatoria che rappresenta l’evento
Ho (ed eventualmente Ha) definito “statistic del test”;
fissare il rischio a (b) che si è disposti ad accettare nel
commettere un errore tipo I (errore di tipo II) come
discriminante del test (generalmente 5% o 1%);
suddividere lo “spazio campione” nelle regioni di
accettazione e reiezione (critica).
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Test relativi ad una
distribuzione normale
Esistono numerosi test che possono essere effettuati sui
parametri o sulla distribuzione di una popolazione
normale e che indicano l’appartenenza di un campione
(o più campioni) ad una assegnata popolazione tra cui:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
il test sulla media stimata con varianza supposta nota;
il test sulla media stimata con varianza incognita;
il test sulla varianza stimata con media supposta nota;
il test sulla varianza stimata con media incognita;
il test sul confronto tra due medie stimate (test t);
il test sul confronto tra due varianze stimate (test F);
il test di gaussianità del campione (test c2)
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a) Test sulla media stimata con varianza supposta nota
Dati
n, x
, mo, o, a
Ipotesi nulla
Ho: mmo ;
o
Ipotesi contraria
test
H1
1
mmo
2
mmo
3
m  mo
Statistic del
test
z
x  m0
0
n
Regione critica o di reiezione
x  m0  z1a   0 /
n
x  m0  z1a   0 /
n

 x  m 0  z1a / 2   0 /


 x  m 0  z1a / 2   0 /
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n
n
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b) Test sulla media stimata con varianza incognita
Dati
n, x , s, mo , a
Ipotesi nulla
Ho: mmo ; 
Ipotesi contraria
test
H1
1
mmo
2
mmo
3
m  mo
Statistic del test
t
x  m0
s n
Regione critica
x  m0  t1a  s x
x  m0  t1a  s x
 x  m0  t1a / 2  s x

 x  m0  t1a / 2  s x
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c) Test sulla varianza stimata con media nota
Dati
n, x1…xn, mo, o, a
Ipotesi nulla
Ho: 2o 2
mm
;
Ipotesi contraria
test
H1
1
Statistic del test
2o 2
n
2
3
 o
2
   o
2
2
2
c 
2
 (x
i 1
i
 m0 ) 2
 02
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Regione critica
sˆ 2   02  c 12a n
sˆ 2   02  c a2 n
2
2
2

ˆ
s



c
n

0
a /2
 2
2
2
ˆ
s



c
n

0
1a / 2

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d) Test sulla varianza stimata con media incognita
Dati
n, s, x , mo, o, a
Ipotesi nulla
Ho: 2o 2
;
Ipotesi contraria
test
H1
1
- <m+
Statistic del test
2o 2
n
2
3
2o 2
   o
2
2
c 
2
 (x
i 1
i
 x )2
 02
Regione critica
s 2   02  c 12a n
s 2   02  c a2 n
2
2
2

s



c
n

0
a /2
 2
2
2
s



c
n

0
1a / 2

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e) Test di gaussianità del campione (test c2)
Dati
n, x , s , a
Ipotesi nulla

1
Ho: p ( x )   2 e
test
1
H0
( xm )2
2
Statistic del test
c 
2

j 1, m
(n j  np j ) 2
np j
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Regione critica
cˆ 2  c 2a
1
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