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Algebra di Boole e
Funzioni Binarie
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Sommario
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•
•
•
•
•
•
Variabili Binarie
Negazione
Somma Logica
Prodotto Logico
Relazioni- proprietà
Funzioni
Minterm
•
•
•
•
Teoremi
Maxterm
Forme Canoniche
Fine lezione
Algebra di Boole
2
Variabili Binarie
• Variabile binaria: grandezza matematica
che può assumere due soli valori: 0 o 1.
• Sulle variabili binarie definiamo tre
operatori: negazione, somma e prodotto.
• La negazione di una variabile binaria a si
indica con a’ (“non a” o “a negato”)
oppure con ( a o con ā )
Algebra di Boole
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Negazione
• Possiamo rappresentare il valore di x’
tramite tabella di verità:
x
x’
0
1
1
0
Modi equivalenti per negare una variabile X
~
X , X ', X o , X , X
Algebra di Boole
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Somma logica
• La somma di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn vale 0
solo se tutte le xi (1≤i≤n) valgono contemporaneamente
0, vale 1 in ogni altro caso.
x1
x2
x1 + x2
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
esempio di somma logica di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verità
Algebra di Boole
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Prodotto logico
• Il prodotto di n variabili binarie x1, x2, x3, --- xn vale
1 solo se tutte le xi (1≤ i ≤n) sono contemporaneamente
1, vale 0 in ogni altro caso
x1
x2
x1 . x2
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
esempio di prodotto logico di due variabili x1 e x2 mediante tabella di verità
Algebra di Boole
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Relazioni e proprietà
• Le relazioni e proprietà degli operatori somma e
prodotto logico sono riportate nella tabella
Somma
Prodotto
x+1=1
x·0=0
x+0=x
x·1=x
x1 + x2 = x2 + x1
x1 · x2 = x2· x1
x1 + x2 + x3 = (x1 + x2) + x3 x1 · x2· x3= (x1 · x2) · x3
x1· x2+ x1· x3= x1· (x2 + x3)
(x1 + x2) · (x1 + x3) = x1+ x2 · x3
Algebra di Boole
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Relazioni e proprietà
• Per la negazione valgono le seguenti relazioni
e proprietà:
Negazione
0’’ = 0
1’’ = 1
x’’ = x
x + x‘ = 1
x
·
x’ = 0
x’’  x due volte negato
Algebra di Boole
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Funzioni
• Con n variabili binarie (x1, x2, … xn) si possono formare 2n
configurazioni diverse.
• Se prendiamo, ad esempio, 2 variabili: x1, x2 dato che ognuna di
loro può valere 0 od 1, si possono creano le seguenti quattro (22)
configurazioni diverse: 00, 01, 10, 11.
• Così con 3 variabili binarie si potranno formare al massimo 23=8
configurazioni diverse che sono:
000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.
Algebra di Boole
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Funzioni
• Diremo che una variabile y è funzione di n
variabili indipendenti x1, x2, … xn e si scrive:
y = F (x1, x2, … xn)
• quando esiste un criterio che fa corrispondere in
modo univoco ad ognuna delle 2n configurazioni di
x un determinato valore y (ovviamente 0 o 1).
Algebra di Boole
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Funzioni
• Tutte le diverse funzioni di n variabili (x1,x2,…xn)
che si possono costruire sono pari a
2
2n
• Ad esempio tutte le diverse funzioni che si possono
formare con 3 variabili sono pari a
2  2  256
23
8
Algebra di Boole
11
Funzioni
• Una funzione può essere rappresentata
sotto forma di tabella di verità, scrivendo
accanto ad ognuna delle 2n diverse
configurazioni di x1, x2, … xn il valore
assunto dalla y.
• Ad esempio la seguente tabella
rappresenta la tabella di verità di una
delle 256 funzioni possibili di tre variabili
binarie
Cliccare sull’immagine
Algebra di Boole
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Funzioni
Una tabella delle 256
funzioni a 3 variabili
Cliccare sull’immagine
Algebra di Boole
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Minterm
•
Se consideriamo 3 variabili, la scrittura x1x2x3 = 011 indica
tra le 23=8 configurazioni possibili, quella in cui x1 vale 0, x2
vale 1 e x3 vale 1.
•
Questa configurazione si scrive semplicemente con il prodotto
•
Se in una configurazione una variabile compare con 1 si assume il
valore diretto se invece compare con uno 0 si assume il valore
negato.
•
Consideriamo la funzione di 3 variabili rappresentata sotto forma
di tabella di verità in fig.1 e le 3 configurazioni in cui la stessa
vale 1
•
Avremo che la funzione vale 1 per le seguenti configurazioni:
x1x2x3 ( questo e’ un minterm)
x1x2x3
x1x2x3
x1x2x3
Ciascuno di questi prodotti si chiama minterm
Algebra di Boole
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Minterm
•
Conoscendo la tabella di verità fi una
funzione , la espressione algebrica potrà
essere espressa sotto forma di somme di
prodotti dei termini minimi.
•
Nel caso della funzione in Fig 1 scriveremo
y = x1x2x3 + x1x2x3 + x1x2x3
•
Se una funzione è direttamente espressa
sotto forma di somme di minterm sarà
possibile costruire la sua tabella di verità,
mettendo 1 nelle configurazioni relative ai
minterm, e 0 negli altri casi.
Algebra di Boole
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Minterm
• Ad esempio data la funzione di 3 variabili
F(x,y,z) = xy’z + xyz’ + x’yz
la sua tabella di verità sarà:
x
y
z
F(x,y,z)
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
xy’z
1
0
1
1
xyz’
1
1
0
1
1
1
1
0
x’yz
Algebra di Boole
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Teoremi
TEOREMI
Idempotenza
Assorbimento
De Morgan
Diretto
Versione Duale
x + x + x + ---+ x = x
x · x · x · --- ·x = x
x + xy = x
x · (x +y) = x
x + x’y = x + y
x · (x’ + y) = x · y
xy +yz + x’z = xy + x’z
(x +y)·(y+z)·(x’+z) = (x+y) · (x’+z)
(x+y)’ = x’ · y’
(x · y)’ = x’ + y’
Algebra di Boole
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Maxtem
• Il teorema di De Morgan applicato alla funzione
della fig.1 ci consente di scrivere la funzione in
questo modo:
• y = (x1+x2+x3)· (x1+x2+x3)· (x1+x2+x3)·
·(x1+x2+x3)·
(x1+x2+x3)
• ossia sotto forma di prodotto di somme.
• Ciascuna delle somme chiama maxterm (termine
massimo).
Algebra di Boole
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Maxtem
• L’espressione della y come prodotto di maxterm
si può ottenere dalla tabella di verità della
funzione;
•
ci sono tanti maxterm quanto sono i valori 0
della funzione;
• ogni maxterm è la somma di tutte le variabili
dirette
o
negate
a
seconda
che
la
configurazione contenga 1 o 0.
Algebra di Boole
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Forma Canonica
• Entrambe le espressioni della funzione sotto
forma di:
– somme di prodotti (minterm)
– prodotti di somme (maxterm)
• si chiamano forme canoniche di una funzione
binaria.
Algebra di Boole
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MACCHINA DEL CAFFE’/Te’
• ESEMPIO : Costruire un circuito logico che simuli
una macchina che fornisce (previo inserimento di
una moneta) caffè o tè.
• Se selezioniamo il pulsante del caffè la macchina
dovrà fornire il caffè.
• Se selezioniamo il pulsante del tè la macchina
dovrà fornire il tè.
• Se selezioniamo entrambi i pulsanti (del Tè e del
caffè) la macchina dovrà fornire Tè.
Algebra di Boole
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Costruiamo la tabella di verità della macchina
S C T
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
Uscita-Tè Uscita-caffè
0
0
0
0
0
0
1
1
Algebra di Boole
0
0
0
0
0
1
0
0
22
Sfruttiamo la rappresentazione
con i minterm
per la colonna UC= Uscita-caffè
Uc  S * C *T  (C * S )*(C *T )
Ricordare DE-MORGAN
Algebra di Boole
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• Sfruttiamo la rappresentazione con i
minterm
per la colonna UT= Uscita-Tè
UT  S * C *T  S * C *T  S *T
Algebra di Boole
24
E ORA IL CIRCUITO
Grazie a queste relazioni possiamo ottenere il circuito logico richiesto:
Algebra di Boole
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Prossima Lezione:
ARCHITETTURA DEGLI
ELABORATORI
Arrivederci!