b - moto rettilineo e curvilineo

Cinematica
Moti rettilinei e curvilinei
Posizione di un punto materiale
La posizione s è definita dalle
coordinate del punto materiale nel
sistema di riferimento fissato
y
S(3;4)
S(2;3)
S(4;3)
S(5;2)
x
s=-1 s=1s=2s=3
0
Moto rispetto ad un sist. di rif.
Un punto materiale si dice in moto
rispetto ad un sistema di riferimento
se la sua posizione (coordinate)
cambia al passare del tempo
Velocità
Si dice velocità media di un punto
materiale il rapporto fra la variazione
di posizione (spostamento) e
l’intervallo di tempo necessario per
compiere quello spostamento
s s2  s1
spostament o
vm 


t t 2  t1 durata dello spostamento
Se t è tendente a zero, la velocità così calcolata
è detta velocità istantanea
Accelerazione
Si dice accelerazione media di un
punto materiale il rapporto fra la
variazione di velocità e l’intervallo di
tempo necessario per compiere
quella variazione
v v2  v1
am 

t t 2  t1
Se t è tendente a zero, l’accelerazione così
calcolata è detta accelerazione istantanea
Traiettoria
linea costituita da tutte le posizioni
occupate dal corpo in esame
Legge oraria
legge matematica che, per ogni
particolare moto, permette di
individuare la posizione s dell'oggetto
al variare del tempo
Legge oraria:
s = f(t)
Esempio:
s = t2 – 10t
Moto rettilineo uniforme
v= costante
Quindi vm=v (cioè velocità media e velocità istantanea sono uguali)
ACCELERAZIONE
a0
VELOCITÀ
v
a
POSIZIONE (legge oraria)
s  s0
 costante
t
v
s  s0  v  t
s
s0
O
t
O
s  s0
v
t
vt  s  s0
t
O
t
Se s0 = 0, s=vt
Il grafico orario è
una semiretta che
passa per l’origine
O(0,0)
Velocità = pendenza del grafico
orario
rette nel grafico s-t:
quella con pendenza maggiore corrisponde
al corpo con velocità maggiore
s
a
s
b
c
B
A
t
D
C
E
F
t
Test
Un’auto percorre 15 km in 10 minuti
e, successivamente, 5 km in 5
minuti. La sua velocità media è:
A.
B.
C.
D.
E.
50
60
70
80
90
km/h
km/h
km/h
km/h
km/h
vm 
spostament o
durata dello spostamento
20km 20km
km
vm 

 80
1
15 min
h
h
4
Test
A.
B.
C.
D.
E.
Un’automobile percorre un tratto di
strada in salita alla velocità v e lo stesso
tratto in discesa alla velocità v’. La
velocità media è:
spostament o
(v+v’)/2
vv’/2
vv’/(v+v’)
2vv’/(v+v’)
vv’/(v+2v’)
vm 
durata dello spostamento
Se la lunghezza del tratto è s :
s
durata della salita  t 
v
s
durata della discesa  t ' 
v'
2s
2s
2s
2
2vv'
vm 




t  t' s  s
 1 1  v'v v  v'
s  
v v'
vv'
 v v' 
Moto rettilineo uniformemente
accelerato
a  costante
(e quindi
am  a , cioè accelerazione media e accelerazione istantanea sono uguali)
ACCELERAZIONE
v  v0
a
 costante
t
a
VELOCITÀ
v  v0  a  t
v
v0
O
t
(a<0)
O
POSIZIONE (legge oraria)
s  s0  v0  t 
1
a t2
2
s
(a<0)
t
s0
O
(a<0)
Se v0 = 0, il grafico
orario è una
semiretta che passa
per l’origine O(0,0)
t
Se s0 = 0, il grafico orario è un
arco di parabola passante per
l’origine O(0,0)
Se v0 = 0, il grafico orario è un
arco di parabola con vertice
sull’asse delle ordinate (y)
Se s0 = 0 e v0 = 0 il grafico
orario è un arco di parabola con
vertice nell’origine O(0,0)
MRUA: legge ausiliaria
Risolvendo il sistema
v  v0  at
s  s  v t  1 at 2
0
0

2
è possibile eliminare la variabile tempo t
e arrivare alla seguente equazione (utile se nei
problemi non si conosce t, ma solo le altre
grandezze):
v  v0
s  s0 
2a
2
2
Accelerazione = pendenza del
grafico v-t
v
a
b
c
t
v
b
a
c
t
Spostamento deducibile
dal grafico v-t
v
Spazio percorso s
fra t0 e t
t0
t
t
Caduta e salita di gravi
esempio notevole di M.R.U.A.:
moto di caduta dei gravi
l'accelerazione ha:
direzione verticale
verso il basso
modulo costante
g= 9,8 m/s2
Test
Un sasso viene lasciato cadere con
velocità nulla in un pozzo. Il rumore
del sasso che tocca il fondo giunge
dopo 6 s dall’istante iniziale. La
profondità del pozzo è circa:
A.
B.
C.
D.
E.
0,018 km
90 m
45 m
450 m
180 m
Essendo il suono molto veloce, il tempo di risalita
del suono è trascurabile rispetto al tempo di
discesa del sasso. Quindi consideriamo solo la fase
di discesa, durante la quale:
s
1 2
gt
2
La profondità del pozzo è allora
1
s  10  36  180 m
2
Test
Consideriamo un tram nel percorso
rettilineo fra due fermate. Se per metà
percorso l’accelerazione è a=a1 mentre
nella seconda metà è a=-a1, quale sarà il
grafico della velocità? (a1 è costante e
positiva)
v
v
t
A.
B.
C.
D.
E.
1
v
2
3
4
Nessuno
t
v
t
t
Test
Un’automobile si muove con velocità
v=v0+at, dove v0=6m/s, a=2m/s2 e t è
misurato in s. Il grafico dello spazio
percorso in funzione del tempo, nel caso
di spazio iniziale uguale a zero,
rappresenta:
A.
B.
C.
D.
Una retta non passante per l’origine degli assi
Una retta passante per l’origine degli assi
Un arco di parabola con il vertice nell’origine degli assi
Un arco di parabola con il vertice posto fuori dall’origine
degli assi
E. Una funzione indeterminata (non elementi per rispondere)
È un MRUA. Quindi s = s0+v0t+1/2at2=6t+t2
s = 6t+t2 è una parabola con vertice non nell’origine
Test
A.
B.
C.
D.
E.
Un’automobile percorre un rettilineo
infinitamente lungo. Esprimo lo spazio in km e il
tempo in h. La velocità dell’auto sia costante e
uguale a 100km/h. A partire da un certo istante
in poi l’auto subisce un’accelerazione negativa
costante, uguale a -200km/h2. Dopo quanti
minuti si inverte il senso di marcia?
1
5
30
60
mai
Il senso di marcia si inverte quando la velocità si
azzera e cambia segno.
L’espressione della velocità è:
v = 100 -200t
Essa si azzera quando t = 0,5 h = 30 min
Moti curvilinei
Quando i moti avvengono su
una traiettoria curva, tutte
le grandezze cinematiche
(s, s0, s, v, a) diventano
vettori:

s = vettore posizione:
unisce l’origine O(0,0)
con il punto in cui si
trova il punto mobile
 s  s
= vettore
s 
0
spostamento: unisce il
punto iniziale con il
punto finale del moto
P0

s0
O(0;0)

s

s
P
Moti curvilinei


vm =svettore
1  velocità
vm 

s  scalare  vettore
t 
t la stessa
media:
ha
direzione e verso del
P0
vettore spostamento
 
vv=vmvettore
con t 
0
velocità
quindi P  P0è tangente
istantanea:
alla traiettoria nel
punto in cui si trova il
O(0;0)
punto mobile

v

vm

s
P
Moti curvilinei

a
= vettore accelerazione
istantanea: è diretto verso l’interno
della curva. Tale vettore può sempre
essere scomposto in due
componenti:

at
1)
= accelerazione
tangenziale, tangente alla
traiettoria. È responsabile della
variazione del modulo e del verso
della velocità. Se non c’è la
componente tangenziale, il moto è
uniforme.

an
2)
= accelerazione
centripeta, perpendicolare alla
traiettoria e orientata verso il centro
di curvatura. È responsabile della
variazione della direzione della
velocità. Essa è la causa della
curvatura della traiettoria. Se non
c’è la componente centripeta, il
at
v
an
a
Moto parabolico (o dei proiettili)
Composizione
di un Moto Rettilineo Uniforme
e di un Moto Rettilineo Unif. Accel.
in direzioni perpendicolari
v
vy
vy
vx
v
vx
g
g
Moti periodici
a intervalli di tempo regolari, le
grandezze cinematiche (s, v, a)
riassumono gli stessi valori
cioè posizione, velocità e
accelerazione ritornano uguali ai
valori iniziali, dopo un tempo T, detto
periodo del moto
MOTO CIRCOLARE UNIFORME
Moto periodico che avviene su traiettoria
circolare, con velocità costante in modulo (N.B.:
non è costante in direzione e verso).
Velocità: tangente alla circonferenza, in ogni
istante
B
Accelerazione: non ha la componente
tangenziale, ma solo la componente centripeta,
responsabile della curvatura della traiettoria
Poiché il raggio di curvatura nel moto circolare
non cambia, deve essere costante il modulo della
componente centripeta dell’accelerazione.
A
C
Parametri del M.C.U.:
R = raggio della circonferenza
T = periodo = tempo necessario per compiere un giro completo (s)
f = frequenza = numero di giri in un secondo (s-1 = hertz = Hz)
v = velocità tangenziale = rapporto fra lo spazio percorso sulla
traiettoria circolare dal punto mobile ed il tempo impiegato per percorrere
tale spazio (m/s)
v = s/t
 = velocità angolare = rapporto fra l’angolo descritto dal raggio mobile
ed il tempo impiegato per descrivere tale angolo (rad/s)
 = /t
ac = accelerazione centripeta (m/s2)

Relazioni matematiche nel M.C.U.:
f 
1
T
T
1
f
s 2  R
v

 2  R  f
t
T
 2


 2  f
t
T
v2
ac 
  2  R  4 2 f 2 R
R
v R
Test
Se un corpo di massa M è animato
di moto circolare uniforme, allora si
verifica che varia:
A.
B.
C.
D.
E.
Il modulo della velocità
Il modulo dell’accelerazione
La velocità angolare
Il modulo dell’accelerazione centripeta
La direzione dell’accelerazione centripeta
Test
Sia dato un moto rettilineo in cui la
velocità passa da 4m/s a 6m/s in
2s. L’accelerazione centripeta vale:
A.
B.
C.
D.
E.
zero
2 m/s2
(6/2 – 4/2) m/s2
(4/2 – 6/2) m/s2
4 m/s2
Test
Un sasso ruota attorno a un centro
fisso trattenuto da un filo lungo 1m
con velocità angolare  = 10rad/s.
Se g è l’accelerazione di gravità,
qual è (entro il 2%) la giusta
proposizione?
A.
B.
C.
D.
E.
È sottoposto ad accelerazione pari a 1g
È sottoposto ad accelerazione pari a 10g
La velocità periferica è 10 m/s
ac=2R=10*1=10m/s2 1g
2
La velocità periferica è  m/s
La frequenza del moto è 2 Hz
Moto armonico
È la proiezione ortogonale
(moto ombra) di un moto
circolare uniforme su un
diametro o su una retta
parallela ad un diametro
della circonferenza.
Si tratta di un moto
oscillatorio su traiettoria
rettilinea.
A
B
C
Parametri del moto armonico
R = ampiezza dell’oscillazione (m)
s = posizione o elongazione (m)
T = periodo = tempo necessario per
compiere un’oscillazione completa (s)
f = frequenza = numero di oscillazioni
compiute in un secondo (Hz)
v = velocità (m/s)
 = pulsazione (è la velocità angolare
del moto circolare uniforme associato)
(rad/s)
a = accelerazione (m/s2)
Leggi matematiche: f 
1
T
  2  f
Caratteristiche di s, v, a
il moto armonico non è uniforme: la velocità del
punto “ombra” è massima al centro, nulla agli
estremi, dove il moto si inverte
l’accelerazione è massima agli estremi, dove è
massima anche la posizione, ed è nulla al centro,
così come la posizione
l’accelerazione e la posizione sono due vettori con
verso opposto
l’accelerazione e la posizione sono direttamente
proporzionali
Grafici del moto armonico
s
t
E1
O
E2
v
t
a
t
Pendolo semplice
Pendolo semplice: pallina di
massa m appesa con un filo
di lunghezza l ad un punto
fisso O.
Si dimostra che per piccole
oscillazioni, cioè se l’angolo
di apertura dell’oscillazione 
è minore di 5°, il moto della
pallina, che avviene lungo un
arco di circonferenza, è circa
armonico.
O

l
Pendolo semplice
per piccole oscillazioni, il periodo T
del pendolo è dato dalla formula:
l
T  2
g
Il tempo per compiere un’oscillazione
completa è quindi direttamente
proporzionale alla radice della
lunghezza del filo
Proprietà del pendolo (sempre
nell’ipotesi di piccole oscillazioni)
1. isocronismo delle piccole oscillazioni: il
periodo T non dipende dall’ampiezza di 
2. il periodo T non dipende dalla massa m della
pallina
3. il periodo T è direttamente proporzionale
alla radice della lunghezza del filo
4. Il periodo T è inversamente proporzionale
alla radice dell’accelerazione di gravità g
5. Il piano di oscillazione di un pendolo non
varia rispetto ad un sistema di riferimento
inerziale
6. Il piano di oscillazione di un pendolo varia
rispetto ad un sistema di riferimento non
inerziale (pendolo di Foucault)
Test
Foucault nel 1851 sospese con un filo di
67 m una sfera di 28 kg al soffitto della
cupola del Panthéon di Parigi e la fece
oscillare per una famosa dimostrazione.
Trovate fra le seguenti l’affermazione
sicuramente ERRATA.
A.
B.
C.
D.
E.
Il moto era parabolico
Il piano di oscillazione mutava rispetto al pavimento
L’ampiezza di oscillazione si riduceva con le ore
La frequenza di oscillazione si riduceva con le ore
Il periodo sarebbe stato lo stesso usando un’altra massa
Test
Durante l’oscillazione di un pendolo,
il modulo dell’accelerazione è
massimo quando il pendolo:
A.
B.
C.
D.
E.
Ha la velocità massima
Ha velocità nulla
Ha velocità uguale alla media delle velocità
Ha velocità intermedia
Transita nella posizione di equilibrio