Lezioni 1

Circuiti e Componenti Ottici
Marco Farina
Modalità esame: prova orale
Testo di riferimento
“Componenti e Circuiti Ottici”,
Tullio Rozzi e Andrea di Donato
Leggi di Maxwell
 
  
 E  d l   t S B  nds

 
E   B
t

D  
 

 
 D   ds D  n  Q
S
   
H  J  D
t
 
  
 H  d l  I  t S D  nds


 
 B   ds B  n  0
S


B  0
+

  
F  q E  vB

Tutto sui campi EM
ed i loro effetti!
Relazioni costitutive
Nel caso particolare di mezzo omogeneo (proprietà indipendenti
dalla posizione), isotropo (indipendenti dalla direzione), lineare
(mezzo non modificato dal campo che lo attraversa) e senza
memoria (proprietà indipendenti dal tempo), il vettore di
Polarizzazione che riassume come reagisce il mezzo al campo è
P =  0  E D =  0E  P   0 1   E D =  0 r E
Invece per il campo magnetico introduciamo un vettore di
magnetizzazione M


 



B  B 0  B M  0 H  0 M
M  mH
Per cui




B  H  0 1   m H  0 r H
In generale
Un campo elettrico è prodotto:
 o da cariche elettriche
 o da un campo magnetico che varia nel tempo
Un campo magnetico è prodotto:
 o da correnti elettriche
 o da un campo elettrico che varia nel tempo
Possiamo avere un campo elettrico dove non
ci sono cariche ed un campo magnetico dove
non ci sono correnti
Qualitativamente...
Un campo elettrico che varia nel tempo produce un campo
magnetico che varia nel tempo, che produce un campo
elettrico che varia nel tempo….
Ma cos’è c che compare nelle equazioni? (nascosto da noi in
o) Nelle equazioni di Maxwell era una costante da
determinare sperimentalmente (come o) che appariva essere


Quantitativamente uguale alla velocità della luce nel vuoto
Pari alla velocità con cui si propaga l’interazione
elettromagnetica (lo vedremo)
“….sarebbe difficile evitare la conclusione che la luce
consiste di oscillazioni trasversali del medesimo mezzo che è
la causa dei fenomeni elettrici e magnetici” J.C. Maxwell
Implicazioni in equazioni



Poniamoci in una regione (magari nel vuoto) in cui non ci
sono né correnti né cariche, ma c’è un campo
elettromagnetico


 
 
E   B   H  D
t
t
Prendiamo il rotore della prima



    E  0   H
t
Applichiamo la solita identità a sinistra e sostituiamo la
seconda a destra


2


 E
  D 
2


  E   E    0 
   0 0 2

t  t 
t
Non ci sono cariche
Equazione d’onda


Quindi, nel vuoto
c 2 t 2
Equazione di Helmholtz o d’onda
Vediamo cosa rappresenta in un caso semplice:
immaginiamo di avere un campo elettrico tutto in x e che
dipende solo dalla coordinata z


x
E( z, t )  Ex ( z, t )u x
2
2
 Ex
z


 E
2

1  E
2
2

1  Ex
c 2 t 2
z
Provando a sostituire verifichiamo che le soluzioni hanno
l’aspetto di
 z   Non avendo parlato di condizioni al
Ex  f  t  
contorno (ed iniziali) non possiamo
 c
dire nulla per ora sul dettaglio di f
Equazione d’onda

Prendiamo per esempio la soluzione con il segno negativo:
 z
Ex  f  t  
 c


All’aumentare del tempo, subisce una traslazione sull’asse z:
mettiamoci a guardare f ad un certo istante, e vediamo una
forma per f. Se aumenta t, devo aumentare z per continuare
a vedere la stessa forma
Di quanto devo aumentare z? se passa Dt, devo spostarmi di
Dz tale che
Dz
Dz
c

 Dt 
Dt
c
Cioè: mi devo spostare verso z crescenti alla velocità della
luce. La soluzione descrive un campo che si propaga alla
velocità c in direzione di z
Equazione d’onda
Viceversa, dovremo viaggiare a -c nell’altra soluzione

Le soluzioni delle equazioni di Maxwell sono onde

'light itself (including radiant heat, and other radiations if any) is an
electromagnetic disturbance in the form of waves propagated through
the electromagnetic field’ J.C. Maxwell

Immaginiamo che a dare il via a quest’onda, da qualche parte “lontano"
nello spazio dal nostro punto attuale di osservazione, sia stata una
corrente alternata (in realtà andando ad usare l’eq d’onda che è
differenziale -eq. del punto!- basterà considerare punti di osservazione in
cui la densità di corrente è nulla) i  i sint
0

Ci aspettiamo campi anch’essi sinusoidali: in effetti
 z
E x  E0 sin  t  
 c
Soddisfa
l’equazione d’onda
Equazione d’onda

Se E ha tale forma, il campo H riusciamo a ricavarlo

 
dall’equazione di Faraday
E   B
t

 
1
1    E x  
  u y  
 H
E  
 
t
0
0 
 z  



u


 z 
u
y
 H
cos   t   H   y sin  t  z   cost
t
c 0
 c
c 0
 c

Tutto diretto lungo y: sia H che E sono ortogonali alla
direzione di propagazione (ed ortogonali tra loro) ed uniformi
nel piano xy: onda piana
Equazione d’onda

Notate Ex ed Hy sono in un rapporto costante:
0
Ex
  c 0  
0
Hy
 377  Impedenza d’onda
Il segno dipende dalla direzione di propagazione (quale sia l’effettiva
direzione di propagazione dipenderà dalle condizioni al contorno)
Relazioni energetiche in un campo
elettromagnetico: teorema di Poynting
Definiamo la quantità ExH, vettore di Poynting: perché?

pensando all’onda piana della lezione precedente pare
una quantità interessante: è un vettore orientato nella
direzione di propagazione.

Dimensionalmente è una potenza per unità di area (E in
V/m, H in A/m, EH è in VA/m2 cioè Watt/m2)


Proviamo a trarre qualcosa dalle equazioni di Maxwell,
ipotizzando solo di avere mezzi “senza memoria” (, non
dipendono dal tempo), isotropi e lineari
Distinguiamo le correnti in due classi: quelle impresse (per
esempio da un generatore alternato) Ji e quelle indotte dal
campo J
Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico:
teorema di Poynting
Le equazioni del rotore sono in questo caso

E   B
t

  H  D  J  Ji
t
Calcoliamo la divergenza del vettore di Poynting
  P   E  H  H    E  E    H
...Abbiamo usato un’altra identità
Sostituiamo a secondo membro le eq di Maxwell
D
B
   P  E 
H
 E  J  E  Ji
t
t
Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico:
teorema di Poynting
D
B
H
 E  J  E  Ji
t
t
Immaginiamo che le correnti indotte J fluiscano in un
conduttore con conducibilità s: la legge di Ohm
  P  E 

E  J  sE 2

Inoltre, per mezzi lineari, isotropi, senza memoria
D  E B  H
Esprime la
conservazione
 1 2 1
2
2



P


E


H

s
E
 E  J i


dell’energia
t  2
2

densità di energia del
campo elettromagnetico
densità di potenza
dissipata per effetto
termico
densità di potenza fornita
dal generatore
Relazioni energetiche in un campo elettromagnetico:
teorema di Poynting

Integriamo su un volume per ricavarne la forma integrale:
applichiamo il teorema della divergenza
 P  nds 
S



t
1 2 1
2
2

E


H
dV

s
E
dV    E  J i dV


 2

2

V 
V
V
Il primo termine è un flusso di energia nel volume per unità di
tempo
Allora, rileggendo il teorema di Poynting come conservazione dell’energia,
leggiamo l’equazione di sopra dicendo che l’energia che forniamo
nell’unità di tempo ad una certa regione deve essere uguale alla somma di

Potenza dissipata per effetto Joule nei conduttori


Potenza immagazzinata dal campo elettromagnetico in tale regione
Potenza netta portata via attraverso la superficie di bordo S della
regione V dalle onde elettromagnetiche
teorema di Poynting: come viaggia l’energia?



In un conduttore ideale E ed H sono nulli: quindi P è nullo.
Dove viaggia l’energia?
Immaginiamo un esperimento:
Il campo elettrico e la
corrente nel filo sono
orientati lungo z: legge di
Ohm
Ri
E  Ezu z 
uz
l
i
l
B
superconduttore
Conduttore reale
Il campo magnetico è dato
z
dalla legge di Biot-Savart H  H u  i u
 

2r

Il vettore di Poynting
Ri 2
P  E  H  Pr u r  
ur
2rl

Cioè viaggia esternamente (nel dielettrico o
nel vuoto) e penetra radialmente

teorema di Poynting: come viaggia l’energia?

Tra l’altro facendone il flusso attraverso un cilindro
concentrico, di raggio r: solo la superficie laterale
contribuisce:
Ri 2
2
P

n
ds

2

rl

Ri

2rl
S

Pari alla potenza dissipata per effetto Joule
Condizioni al contorno



Abbiamo le equazioni differenziali. Quali sono le
condizioni al contorno?
Come si devono comportare i campi quando
incontrano un materiale diverso?
Le equazioni di Maxwell valgono ovunque:
usiamo la loro forma integrale e vediamo che
vincoli devono rispettare le soluzioni delle
equazioni differenziali (valide nel “punto”)
Condizioni al contorno: continuità componente
elettrica tangenziale
E
Supponiamo di avere due
mezzi, caratterizzati da
permettività (1, 1) e (1,
1), rispettivamente




1
t1
Et 2
2
Decomponiamo il campo nelle sue componenti tangenziali
(Et) ed ortogonali (En) alla superficie di separazione
Usiamo la legge di Faraday, applicata ad un percorso
 B
rettangolare intorno all’interfaccia
 E  dl   t
Riduciamo l’altezza del rettangolo fino a renderla infinitesima: il
contributo alla circuitazione di En diventa nullo, come il flusso
B per cui

Quindi la componente
 E  dl  Et1  Et 2 Dl   t  B  0
tangenziale di E deve
essere continua
all’interfaccia
Condizioni al contorno: continuità componente
magnetica tangenziale
Densità di
H
Facciamo lo stesso
ragionamento per H

t1
1
Ht2

corrente J
2
Usiamo la legge di Ampère-Maxwell, applicata ad un
percorso rettangolare intorno all’interfaccia
 D
 H  dl   J  t

Riduciamo l’altezza del rettangolo fino a renderla infinitesima: il
contributo alla circuitazione di Hn diventa nullo, come il flusso di
D, ed il flusso di J (se si ha una densità finita di corrente J...)
 H  dl  Ht1  Ht 2 Dl

  J  t  D  0
La componente
tangenziale di H deve
essere continua
all’interfaccia
Condizioni al contorno: continuità componente
elettrica D normale
Dn1

Usiamo la legge di Gauss
applicata ad un cilindretto
1
Dn 2

2
Facciamo tendere a zero l’altezza del cilindretto, così che si
annulli qualunque contributo tangenziale. Se DS è la
superficie della base
 Dn1  Dn 2 DS  sDS
D

n
ds




S

V
 Dn1  Dn 2  s
Quindi in assenza di cariche libere superficiali s, la componente
ortogonale di D è continua, cioè
Se s  0 Dn1  Dn 2  1En1   2 En 2
Condizioni al contorno: continuità componente
elettrica B normale
Bn1
Per B possiamo fare lo
stesso, con la
semplificazione che non
esistono cariche
magnetiche


1
Bn 2
La componente ortogonale di B è continua, cioè
Bn1  Bn 2  1H n1   2 H n 2
2
Condizioni al contorno: cosa succede in
prossimità di un conduttore ideale??

Il campo elettrico interno
è nullo
1
E n1
En 2  0






E t1
2
La dimostrazione relativa alla continuità delle
componenti tangenziali non cambia: è vera anche qui
Quindi: La componente tangenziale di E è nulla sia dentro che
in prossimità del conduttore
Et1  Et 2  0
Cosa possiamo dire della componente normale?
Non conviene ragionare in termini di D nel conduttore...
Ma vale sicuramente che   r  0 En1   0 En 2  s
Quindi Dn fuori, in prossimità del conduttore ideale è pari alla
densità di carica superficiale
Condizioni al contorno: cosa succede in prossimità di
un conduttore ideale??
Densità di
H
1
t1
corrente J
Il campo magnetico?
Ht2



2
La discussione su B normale non cambia: la componente di B normale è nulla
nel conduttore e deve essere nulla anche nelle immediate vicinanze
Per quanto riguarda la componente tangenziale, si era assunta una densità
di corrente finita. In realtà ora il campo magnetico tangenziale non è
generalmente nullo al di fuori del conduttore (è legato ad E normale dalle eq
di Maxwell) mentre è sicuramente nullo nel conduttore. Come è possibile?
Occorre pensare che J -legata alla densità di carica- non sia finita (del resto
l’importante è che I, la corrente -legata alla carica-, sia finita) nel qual caso il
flusso sarebbe rimasto finito anche per un’area che tende a zero; si definisce
una corrente per unità di larghezza Js [A/m] che scorre su uno strato
infinitesimo di spessore: del resto le cariche su un conduttore sono tutte in
superficie….
 H  dl  Ht1  Ht 2 Dl   J   t  D  J s Dl  0
Condizioni al contorno per un conduttore
ideale


Quindi B ed H normali sono nulli su un conduttore, mentre H
tangenziale è pari alla corrente superficiale
Le precedenti relazioni le possiamo riassumere in forma
vettoriale (indicando con n la normale alla superficie di
separazione)
nE  0
nB  0
nD  ss
nH  Js
Campo elettrico tangenziale nullo
Campo di induzione magnetica
normale nullo
Campo induzione elettrica normale pari alla
densità superficiale di carica
Campo magnetico tangenziale pari alla densità
di corrente superficiale
Ma occorrono tutte? Unicità della
soluzione



Dobbiamo distinguere tra problemi “interni” (in una regione
finita) ed “esterni” (tutto lo spazio: tipico delle antenne)
Concentriamoci per il momento sui problemi interni:
immaginiamo di avere due soluzioni delle equazioni di
Maxwell E,H,J ed Eo,Ho,Jo, in condizioni di linearità
Scriviamo il teorema di Poynting per il campo
E1  E  E0 ; H1  H  H 0
J1  J  J 0
n
in un dato volume V contenuto in una
superficie S, cioè
S
Ma occorrono tutte? Unicità della soluzione

 P  nds  t
S
1
1
2
2
2

E


H
dV

s
E


 2 1 2 1
 1 dV    E1  J1dV

V 
V
V
Ip. 1: la sorgente del primo campo (J) è identica alla
sorgente del secondo J  J 0 t in V  J1  0
In pratica i due campi (E,H) ed (E0,H0) sono generati dalla stessa sorgente, quindi la
“sorgente differenza” è nulla sempre
Ip. 2: le componenti tangenziali sul bordo del volume (S) o
del campo elettrico o del campo magnetico, coincidono
E  n  E0  n o H  n  H 0  n t su S
In pratica, abbiamo indicato con n la solita normale alla superficie, e
chiediamo che le componenti tangenziali dei due campi (E,H) ed (E0,H0)
coincidono sul bordo della regione S. Come conseguenza su tutto il bordo, la
componente tangenziale di E1 o di H1 diventa zero, ed il flusso del vettore di
Poynting sparisce
Ma occorrono tutte? Unicità della soluzione
Quindi rimaniamo con

t
1
1
2
2
2

E


H
dV


s
E


 2 1 2 1
 1 dV

V 
V
Che afferma che che l’energia elettromagnetica immagazzinata dal campo E1
H1 (integrale a primo termine) può essere o stazionaria o decrescere: infatti il
secondo termine, essendo l’integrando positivo o nullo, è negativo o nullo
Se però in un qualunque unico istante (es t=0) i campi coincidono, cioè E=Eo ed
H=Ho in tutto il volume V, l’energia immagazzinata da E1,H1 in quel momento è
ovviamente nulla. Ma abbiamo appena detto che l’energia (quantità positiva)
può solo decrescere o rimanere uguale; non potendo decrescere sotto zero, non
può che restare E=Eo ed H=Ho per ogni t
Unicità della soluzione
Quindi perché la soluzione delle equazioni di
Maxwell sia unica per problemi spazialmente limitati
occorre e basta
•Assegnare le condizioni iniziali in tutto il volume
•Assegnare o le componenti tangenziali di H o
quelle di E su S per ogni istante
Risultato notevole!
Può spaventare il fatto che, almeno in un istante iniziale, occorre assegnare il
campo ovunque; considerate però che con sorgenti sinusoidali, in regime
permanente (dove le condizioni iniziali non servono più e osserviamo le
soluzioni, anch’esse sinusoidali, da un tempo arbitrariamente lungo) quanto
detto dimostra che basta assegnare il campo tangenziale su una superficie in
E oppure in H per avere la soluzione univocamente determinata!!
Equazioni di Maxwell in regime armonico permanente
Basta rimpiazzare le derivate nel tempo con prodotti per j
  E   jB
 D  
B  0
L’equazione di Helmholtz

Diventa (nota, non
2

 E
2
  H  jD  J
1  E
c t
2
usiamo il cappelletto per
semplificare le notazioni…)
2
2 


 2E   2 E
c
La quantità /c si definisce numero d’onda, e si indica con
k; si definisce anche un vettore d’onda, come un vettore di
modulo k e direzione corrispondente al vettore di Poynting


2
 Ek E  0
2
Onde piane in regime armonico permanente


Vediamo di nuovo il caso dell’onda piana: immaginiamo di
avere un campo elettrico tutto in x e che dipende solo dalla
coordinata z


x
E( z)  Ex ( z)u x
L’equazione d’onda per il campo
elettrico diventa semplicemente

2
z 2

Ex  k 2 Ex  0
z
La soluzione è una combinazione di esponenziali in k
Ex  E  e  jkz  E e jkz

Volendo recuperare l’espressione nel tempo, per esempio della
componente progressiva (assumiamo E+ reale (E0) per semplificare)
 z
Ex (t )  Re(Ex e jt )  Re(E  e j t kz  )  E0 cos   t  
 c

CVD
Polarizzazione onde piane



Fin qui abbiamo visto onde piane con una sola
componente di campo E, e che quindi oscillano sempre in
uno stesso piano: queste si dicono polarizzate linearmente
(anche ovviamente se con due componenti di campo E,
purché l’oscillazione avvenga in un piano)
Un insieme di onde piane propagantesi nella stessa
direzione, ma con orientazioni e fasi arbitrarie dei campi,
generano un’onda non polarizzata
Due onde piane, stessa freq, ma diverse ampiezze fasi ed
orientazioni (ma con relazioni prefissate) producono un’
onda polarizzata ellitticamente
Polarizzazione onde piane

Infatti, se per esempio abbiamo
  z 
  z

Ex  E1 cos   t   E y  E2 cos   t    
  v 
  v


Notiamo che, mettendoci in un punto (es z=0)
z0
E x  E1 cost 
E y  E2 cost  

Che è l’equazione parametrica di una ellisse. Se Y è /2
ed E1=E2 è proprio una circonferenza: polarizzazione
circolare
Polarizzazione onde piane

Infatti, nella polarizzazione circolare avremo
  z 
Ex  E1 cos   t  
  v 
y
t  0, z  0
x
  z 
E y   E1sin   t  
  v 
y

t
,z0
2
x
Polarizzazione onde piane

In termini di fasori avremmo (pol. Ellittica)
Ex  E1e

 jkz
E y  E 2 e  j ( kz  )
Nota: fin qui abbiamo parlato di c come velocità di fase
dell’onda em nel vuoto o in aria; il discorso resta valido in
generale con l’accorgimento di usare la giusta velocità
Polarizzazione onde piane
Polarizzazione Lineare
Polarizzazione Circolare
Onde piane in direzione arbitraria


Abbiamo introdotto le onde piane pensando ad una
propagazione lungo un asse (z)
Vediamo come generalizzare il discorso al caso un cui
compaiono tutte le variabili spaziali: facciamolo
direttamente per i fasori

E  E0e
 j kx xk y y kz z


Dove E0 è un vettore che non dipende dalla posizione, ma
può avere tutte le componenti
E0  E0 xu x  E0 y u y  E0 z u z
Onde piane in direzione arbitraria

L’equazione di Helmholtz corrisponde a 3 equazioni scalari


2
 Ek E  0
2 Ex  k 2 Ex  0
2
2Ey  k 2Ey  0
2 Ez  k 2 Ez  0

Concentriamoci sulla prima e sostituiamo l’espressione
generale per l’onda piana
 2 Ex

 2 Ex

 2 Ex
x 2
y 2
z 2
 k x 2 E0 x  k y 2 E0 x  k z 2 E0 x  k 2 E0 x
 kx2  k y2  kz 2  k 2
k  k xu x  k y u y  k z u z

 k 2 Ex  0
Cioè, il vettore d’onda k che ha
modulo k può essere diviso in 3
componenti, proprio pari a kx, ky, kz
Onde piane in direzione arbitraria

Quindi potremo riscrivere brevemente, per una onda piana
che si propaga lungo una direzione generica:

E  E0e
 j kx xk y ykz z
  E e  jk r
0
Onde piane in direzione arbitraria

In generale quindi E ed H per un’onda piana saranno
E  E0e  jkr

H  H0e
 jk r
Si possono ricavare proprietà generali sostituendo alle
equazioni di Maxwell: notate che se calcoliamo il rotore di
una quantità come quelle di sopra, il risultato sarà che
   jk 
Cioè il rotore diventa, grazie alla forma esponenziale, una
semplice moltiplicazione vettoriale! Allo stesso modo la
divergenza diventa un prodotto scalare. Le equazioni di
Maxwell (fasori in assenza di sorgenti) si “algebrizzano”
k  E0   H 0
  E   jB
k  H 0   E0
  H  jD
Sia E che H
k  H0  0
B  0
ortogonali a k
k  E0  0
D  0

Onde piane in direzione arbitraria
k  E0   H 0
k  H 0   E0

Possiamo subito ricavare una relazione tra E ed H
generale: dalla prima
H0 



k  H0  0
k  E0  0
ovvero
1

k  E0
H(r) 
1

u k  E(r)
Dove  è l’impedenza d’onda del mezzo: generalizza
l’espressione già trovata!
E l’equazione d’onda diventa  k  E0  k   2 E0
k

2
  2  E0  0
Onde piane e linee

Per un’onda piana che si propaga lungo un asse z abbiamo
visto che l’equazione d’onda (fasori) produce le soluzioni
  jkz
Ex  E e

 jkz
E e

e  jkz 
E

e jkz
Mentre le equazioni del telegrafista (linee) producono
v  v  e  jz  v  e jz

Hy 
E
v   jz v  jz
i
e

e
Z0
Z0
Quindi, possiamo analizzare il comportamento delle onde
piane per mezzo di “linee equivalenti”
EV, HI,  Zo, k 
Onde piane e linee


Cosa succede quando un’onda piana passa da un materiale
ad un altro, incidendo ortogonalmente alla superficie di
separazione?
Per risolvere il problema dovremmo scrivere E ed H in
ciascun mezzo, ed imporre le condizioni al contorno, ovvero
continuità di Et ed Ht all’interfaccia (in realtà vista la direzione di
propagazione, E=Et ed H=Ht )


Ma nel risolvere il problema con le linee abbiamo imposto
proprio che v ed i fossero continue tra le due linee
Quindi il metodo ci consente
anche di vedere cosa avviene in
mezzi stratificati
Ex
1
2
Zo1
Zo2
Hy k
1 Zo1, 2 Zo2….
Onde piane e linee

Se per esempio l’onda viaggia in un mezzo con impedenza
d’onda 1ed incide su un mezzo (semi-infinito) con
impedenza d’onda 2, parte dell’onda verrà riflessa e parte
passerà, essendo
Ex1

E x1  E 1 e  jk1 z  E 1 e jk1 z  E 1 e  jkz  e jkz

Hy1 k
 2  1

 2  1
1
  jk2 z
E x 2  TE 1 e
 1   E 1 e
  jk2 z
2
Onde piane in mezzi stratificati e linee

Nel caso di un’onda che viene da un mezzo ed incontra
mezzi stratificati, possiamo usare tutto quanto visto per le
linee! Sono vere anche le conclusioni
Immaginiamo per esempio che il materiale in mezzo sia un
multiplo di l/2
 r3
 r1
r2

Questo sarebbe per
E1 , H1
E 2 , H 2 E3 , H 3
esempio il caso se
avessi un segnale a 1
GHz, e con il mezzo 2
aria, la lunghezza fosse
0
d
d=c/(2f), cioè 15 cm

In tal caso tutta la regione 2 sarebbe “trasparente” all’onda;
e se i mezzi 1 e 3 fossero uguali, l’onda sarebbe
completamente trasmessa

Incidenza Obliqua TM
TM rispetto y e z (E nel piano incidenza)
H( y, z)  H  e
 jk y y  jkz z
ux
z
ky
 kz
   jk y y  jkz z
E( y, z ) 
H  k   
uy 
u z  H e

 
 
1
  jk y y  jkz z
Ht ( y, z)  H e
ux
x
H
q
E
  jk y y  jkz z
  kz
Et ( y, z )   H 
u y e
  
k z k cos q
TMz
(Vedere nel corso di microonde il
Z0 



perché di questa relazione)
y
Considerazioni
•Velocità di fase rispetto a z:
v pz 

kz


k cos q
•Velocità di fase rispetto a y:
v py 

ky


k sin q
Possono essere
entrambi maggiori di c
Considerazioni
La continuità delle componenti tangenti
all’interfaccia ci impone che
ky incidente e riflesso coincidano:
k1 sin qi  k1 sin q r  qi  q r Legge di
riflessione
dell’ottica
k1 sin qi  k2 sin qt v2 sin qi  v1 sin qt n1 sin qi  n2 sin qt
Legge di Snell
qi qr
qt
y
Riflessione Totale

n2
q t   sin q ic 
n1
2
Esiste solo
n1>n2
q c  arcsin
n2
n1
n1  n2
Riflessione Totale
Quali sono le Condizioni di riflessione?
Zo1
Zl=0
Zl=
Zl=jX
Zl
2
TM:
Zl 
TE:
Zl 
k 2 cos q t
 2

k 2 cos q t

k 2 1  sin q t
k2
2
 2



2
k2
 v2 
2
1    sin q i
 v1 
 v2 
2
1    sin q i
 v1 
 2
Conseguenze dell’Analogia con le Linee
Modello Rigoroso ma semplice
Zo1
Un esempio:
1
2
3
vetro
jXo2
aria
vetro
Zo3
Zo1
Zo2
Zo3
Piano di Goos-Hänshen
qi  qic  Zl immaginari o  k z  k cosq immaginari o
Coeff di riflessione: modulo unitario, ma la fase?
Piano di Goos Hänshen
1
   arg(  )
2
f
Angolo Polarizzante o di Brewster
Esiste un angolo per cui non avviene riflessione?
Onda TM:
Z 01  Z 02  k1 cos q i  k 2 cos q t  k 2 1  sin q t
1
 2
 2
 1 
1
2
 cosqi  
1    sin qi
2
 2 
2
2
1
1
 qi  q P  sin
 tan
1   2
1
k2
2

 1 
2
1    sin q i
 2 
 2
Angolo Polarizzante o di Brewster
Onda TE:
Z 01  Z 02 

k1 cos q i


k 2 cos q t
Non ammette soluzione!
Se incide un’onda a polarizzazione arbitraria,
in corrispondenza all’angolo di Brewster solo
il TE viene riflesso
Onda Incidente obliqua su
interfaccia dielettrica: calcoliamoci i
campi
Caso TEz

( y, z)  E e
Et ( y, z)  E  e
(1)
Et
( 2)

 jk y y  jkz1z
 e
 jk y y  jkz 2 z
u
x
 jk y y  jkz1z
u
qi qr
x
qt
2
1
Z 02  Z 01


Z 02  Z 01  cosq 2  cosq1 
Def: Coefficiente di
2
1

cosq 2  cosq1  Fresnel
2 Z 02

Z 02  Z 01
y
Incidenza obliqua: TEz
E
E
 jk y  jk z

Hy 
cosq e
e
 e jk
H ( y, z )  

j
y
Hz  
E

sin q e
 jk y y
z1
e
 jkz 1 z
z1z

 e jkz1z

Onda Incidente obliqua su
interfaccia dielettrica
Caso TMz

( y, z)  H e
Ht ( y, z)  H  e
(1)
Ht
( 2)

 jk y y  jkz1z
 e
 jk y y  jkz 2 z
u
 jk y y  jkz1z
x
Z 02  Z 01  2 cosq 2   1 cosq1 


Z 02  Z 01  2 cosq 2   1 cosq1 
2 Z 02

Z 02  Z 01
u
qi qr
x
qt
y
Incidenza obliqua: TMz
  H E y   H  cosq e jk y e jk z  e jk
E( y, z ) 
j
 jk y
 jk z
jk

y
E z  H  sin q e
y
 e
z1
z1
 e
z1z
z1z

