Descrizione del moto

Descrizione del moto
Problema
Molto spesso si incontrano formulazioni del seguente tipo.
Per descrivere il moto di un corpo si usa la grandezza spazio S in funzione del tempo t e la velocità è
espressa come v = S t .
Purtroppo questa ultima relazione, oltre a essere errata per più motivi, si imprime nella mente dei ragazzi in
modo così forte che, successivamente, è molto difficile farla evolvere verso quella corretta. I differenti moti
sono inoltre divisi in moti vari e in moto uniforme, una suddivisione che non porta ad una migliore
comprensione delle caratteristiche dei vari moti.
Analisi del problema
Spazio e spazio percorso
Partiamo dal termine spazio. Quali significati possiamo dare a questo termine? Cercando in un vocabolario
(per esempio nello Zingarelli 2011) troviamo diverse definizioni di spazio: da quello scientifico e filosofico,
come entità illimitata e indefinita nella quale sono situati i corpi, a quello spaziale come luogo esterno
all'atmosfera terrestre dove ci sono i corpi celesti, oppure come estensione vuota o occupata da corpi. Lo
spazio è quindi inteso come luogo tridimensionale. Perciò non è una grandezza fisica ma un oggetto e di
conseguenza non ha senso rappresentare lo spazio in funzione del tempo.
Per definire la velocità si usa l'espressione "spazio percorso in un tempo". Cosa significa spazio percorso se
lo spazio è un luogo tridimensionale nel quale un oggetto si muove? A questo si aggiunge l'uso della
variabile S con due significati differenti. Se con S si definisce lo spazio del corpo al tempo t, il cui
significato non è chiaro, con la medesima lettera spesso si indica anche lo spazio percorso. Perciò la
medesima variabile indica due concetti molto differenti. Infine la scelta della lettera maiuscola S non è felice
perché è utilizzata per indicare l'entropia e non lo spazio.
Istante
Altro termine che crea problemi è il termine istante. Nella vita di tutti i giorni troviamo espressioni del tipo
"vengo tra un istante". In questo caso significa tra pochi secondi o minuti. Quindi ad un istante viene
attribuita un'estensione temporale. In fisica l'istante non ha estensione, ma rappresenta un valore preciso della
variabile tempo t. Fotografando una persona in movimento con un orologio in mano si conoscerà la sua
posizione in istanti successivi letti direttamente dall'orologio. Il valore indicato non ha un'estensione.
Velocità
Nel grafico è rappresentata la posizione in funzione
del tempo di due corpi. I due corpi hanno la
medesima velocità in quanto la pendenza della retta
è la medesima. Se applichiamo la relazione v = S t
Corpo B
50
posizione x (m)
Infine arriviamo alla relazione v = S t , che viene
utilizzata sia per calcolare la velocità in moti
differenti, dal moto uniforme al moto uniformemente
accelerato, sia per definire la velocità. Applichiamo
per esempio la relazione al prossimo esempio.
Corpo A
60
40
30
20
10
0
0
2
4
6
tempo t (s)
8
10
30 m
40 m
= 6 m s e per il corpo B v =
= 8 m s , due valori
5s
5s
differenti e non corretti. Se poi applicassimo la medesima definizione per l’istante t = 0 s il calcolo non è
all'istante t = 5s troviamo per il corpo A v =
possibile.
Ci sono altre due proprietà della velocità che la relazione non contempla.
• La velocità è una grandezza vettoriale. Se con S indichiamo la spazio percorso, la sua natura vettoriale è
assente.
• La velocità è un differenziale. La relazione v = S t non è un differenziale.
Aggettivazione del moto
Da ultimo analizziamo l'espressione moto vario contrapposto al moto uniforme, dove con vario si vuole
mettere in evidenza che la velocità varia. Se immaginiamo tutti i movimenti possibili, questo termine non ha
molto senso perché tutti i moti sono vari, eccetto un caso: il moto rettilineo uniforme. Il moto dei pianeti è
vario in quanto la loro velocità cambia in direzione, verso e modulo, la caduta libera è un moto vario perché
la velocità cambia in verso e modulo, ecc.
Proposta
Posizione e spostamento
Nelle scienze è importante, quando è possibile, utilizzare dei termini che abbiano un significato chiaro e che
non possano dare adito a differenti interpretazioni. Inoltre è anche importante specificare il modello utilizzato
per descrivere il moto di un corpo.
Utilizzando il modello del corpo puntiforme, dove un oggetto è modellizzato da un punto con una massa m,
un oggetto che si muove in uno spazio descrive una traiettoria, definita come l’insieme dei punti che
rappresentano la posizione dell’oggetto in istanti successivi. La traiettoria sarà una linea nello spazio.
Descrivere il moto di un corpo significa quindi conoscere la sua posizione in ogni istante. Con il termine
posizione indichiamo dove si trova il corpo, un significato semplice e chiaro. La posizione di un corpo è
rappresentato dalle coordinate del punto associato al corpo rispetto ad un sistema di riferimento. In tre
!
dimensioni avremo il vettore-posizione x e nel caso unidimensionale, affrontato alla scuola media, il vettore
!
unidimensionale x . Nella scuola media possiamo però anche lavorare solamente con la componente x del
!
vettore x . Dal prossimo esempio possiamo capire la natura vettoriale della posizione.
L'auto si trova alla posizione x = + 5 m . Questo significa che ha una distanza di 5 m dall'origine nella parte
positiva della retta. Il pino si trova alla posizione x = − 3m . Questo significa che il pino si trova alla
distanza di 3 m dall'origine nella parte negativa della retta. Indicare che il cane si trova a 2 m dall'origine
non è sufficiente, in quanto ci sono due punti che soddisfano questa condizione, x = + 2 m e x = − 2 m .
Quando un corpo varia la posizione possiamo descrivere questo cambiamento con il termine spostamento e
!
lo possiamo indicare con Δx , dove la lettera delta maiuscolo indica una differenza. Anche in questo caso il
termine ha un'interpretazione chiara: con spostamento si intende un cambiamento della posizione data dalla
! !
!
differenza tra la posizione finale e la posizione iniziale: Δx = x finale − xiniziale . Lo spostamento ha una natura
vettoriale anche in una dimensione e ci limiteremo ad usare la componente x del vettore spostamento. Nel
prossimo esempio possiamo vedere che il topo ha effettuato uno spostamento Δx = 5 m − 3m = + 2 m ,
mentre il gatto ha effettuato uno spostamento Δx = 2 m − 6 m = − 4 m . Un valore positivo significa che lo
spostamento avviene nel medesimo verso della retta (va in avanti) mente per un valore negativo lo
spostamento avviene nella direzione opposta al verso della retta (va indietro).
Si potrebbe obiettare chiedendo qual è la differenza tra spostamento e distanza percorsa. Lo spostamento
tiene conto della direzione in cui si muove il corpo, mentre per la distanza non si differenzia se si muove in
un verso oppure nel verso opposto. Per esempio se un gatto si muove dalla posizione x = 2 m alla posizione
x = 6 m e poi ritorna alla posizione iniziale, lo spostamento del gatto Δx = 0 m mentre la distanza percorsa
è 8 m.
Istante e intervallo di tempo
Tutti questi spostamenti avvengono in un intervallo di tempo Δt , che rappresenta un'estensione temporale e
che, nell'esempio descritto prima, possiamo riconoscere come la differenza del valore del tempo indicato
dall'orologio tra due fotografie successive: Δt = t fin − tin . Quindi è corretto indicare la posizione di un corpo
in un istante t, non è corretto indicare uno spostamento di un corpo in un istante o in un tempo t, ma lo si
deve indicare in un intervallo di tempo Δt .
Velocità istantanea e velocità media
A questo punto, dopo aver definito lo spostamento in un intervallo di tempo, abbiamo le grandezze che ci
permettono di determinare la velocità media.
Prima di tutto si deve definire la velocità. Una possibile proposta è la seguente: la velocità di un corpo
descrive la rapidità con la quale il corpo cambia la sua posizione nel tempo.
Si deve quindi trovare come sia possibile misurare e quantificare questa rapidità del cambiamento della
posizione. Per determinarne il valore osserviamo quanto segue.
!
!
1. La velocità è un differenziale, vale a dire la derivata della posizione rispetto al tempo: v = dx dt . In una
dimensione possiamo scrivere la relazione tra le componenti dei vettori: vx = dx dt . Per intervallo di
tempi abbastanza piccoli possiamo approssimare la velocità istantanea di un corpo all’istante t con
!
!
v = Δx Δt dove Δt è un piccolo intervallo attorno all’istante t. In una dimensione possiamo scrivere
vx = Δx Δt .
!
!
2. La velocità media vmedia = Δx Δt indica lo spostamento medio del corpo per ogni secondo.
Rappresenta anche la velocità che dovrebbe avere il corpo per effettuare il medesimo spostamento a
velocità costante. In una dimensione abbiamo vx, media = Δx Δt
!
!
3. In un moto uniforme il valore costante della velocità è data dalla relazione v = Δ x Δ t . In ogni istante
il corpo ha la medesima velocità. In una dimensione possiamo scrivere vx = Δx Δt . Se riprendiamo
l'esempio precedente e consideriamo l'intervallo di tempo compreso tra t = 0s e t = 5s troviamo nei
due casi la medesima velocità. Per il corpo A abbiamo vx =
vx =
30 m − 10 m
m
= 4 e per il corpo B
5s
s
40 m − 20 m
m
=4 .
5s
s
4. La velocità è una grandezza vettoriale. Se ci limitiamo al caso unidimensionale una velocità costante
vx = + 2 m s indica che ogni secondo il corpo si sposta in avanti di 2 m, vale a dire nella medesima
direzione del verso del sistema di riferimento, mentre una velocità costante vx = − 3 m s indica che ogni
secondo il corpo di sposta indietro di 3 m.
Aggettivazione del moto
Infine per descrivere un moto è meglio utilizzare un aggettivo che permette di evidenziarne delle particolarità
ben definite. Con moto rettilineo uniforme si intende un moto dove la velocità è costante in modulo,
direzione e verso, con moto uniformemente accelerato un moto dove l'accelerazione è costante in modulo,
direzione e verso, con moto circolare uniforme un moto circolare dove solamente il modulo della velocità è
costante, con moto armonico un moto dove l'accelerazione, la velocità è la posizione variano nel tempo come
una funzione sinusoidale, ecc