2. Trigonometria

2. Trigonometria
2. Trigonometria. La trigonometria è una parte molto importante della matematica.
Essa ci permette di risolvere facilmente numerosi problemi di geometria euclidea senza
dover ricorrere a difficili teoremi o noiosi passaggi algebrici. Vediamo gli aspetti più
importanti iniziando dalle definizioni. Per i nomi ci riferiam
ˆ . Il lato a è quello opposto al vertice A.
è l’angolo in A, ossia l’angolo BAC
Funzione trigonometrica
Seno !#"$%%'&
Coseno 10)) *(+,-)-'.
Tangente 10)) *(+,-)-4.
CH
AC
AH
cos α =
AC
CH
tgα =
AH
sin α =
Definizione
Rapporto fra il cateto opposto ()) *(+,-)-/./0
l’ipotenusa di un triangolo rettangolo.
Rapporto fra il cateto adiacente (2)) *(+,-)-3.30
l’ipotenusa di un triangolo rettangolo.
Rapporto fra il cateto opposto ()) *(#+,-)-4.0165)
78:9; <=8>;@?ABA
cateto adiacente (1 .
rettangolo.
Figura 1
I grafici delle tre funzioni sin(x), cos(x) e tg(x) sono riportati qui di seguito. Notate che
la funzione sin(x) e cos(x) hanno lo stesso andamento; esse sono solamente sfasate di
90° l’una dall’altra: il cos(x) è in “anticipo” di 90° rispetto al sin(x), cioè:
sin(x)=cos(x-90°)
Prof. Roberto Fantini
Liceo Scientifico “A.Righi” di Cesena
1
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2
sin(x) e cos(x) sono periodiche su base 360° ossia (vedi oltre 2.2) ogni 2π radianti.
Ciò vuol dire che ogni 360° i valori di seno e coseno si ripetono. Invece il periodo
della tangente è 180°, ossia π radianti.
2.1 Il cerchio goniometrico.
Consideriamo un cerchio di raggio
unitario (OA=1) come nella figura
a fianco: esso prende il nome di
cerchio goniometrico.
Il seno, il coseno e la tangente
dell’angolo x, non sono altro che la
lunghezza dei lati AH, OH e BK
(ecco spiegato il perché del suo
nome di tangente) proprio perché
abbiamo scelto opportunamente
l’ipotenusa di lunghezza 1.
Figura 2
Cambiando x si può vedere che, per es., quando 90°<x<180° il sin(x) è ancora
positivo, mentre il cos(x) è negativo, perché il lato OH cade a sinistra dell’origine, in
“territorio” negativo. Si può continuare ad aumentare x e verificare come cambia il
segno di sin(x) e cos(x).
2.2 Proprietà e relazioni delle funzioni trigonometriche. Per le funzioni seno,
coseno e tangente, suddette valgono le seguenti proprietà:
tgα =
≠ 0 e, ∀α ∈ ℜ ,
sin α
cos α
(1.1)
cos 2 α + sin 2 α = 1
(1.2)
(1.3)
(1.4)
sin α = ± 1 − cos α
2
cos α = ± 1 − sin 2 α
La (1.2) non è altro che il Teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo
AHC. Il segno ± delle (1.3) e (1.4) si sceglie in base al fatto che l’angolo o ottuso. Vediamo ora alcuni valori delle funzioni trigonometriche di angoli notevoli.
!#"$%'&)(
*
%,+./
*
-
0
0
30
0
1
0
1
2
3
3
45
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
1
0
60
90
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1
3
/
3
!"#%$'&((%)$+*-,*.*0/1&*23(%$+1$+*(
à:
cos(90° + α ) = − sin α
cos(180° + α ) = − cos α
sin(90° + α ) = cos α
(1.5)
(1.6)
(1.7)
(1.8)
sin(180° + α ) = − sin α
Esempi:
cos 120° = cos(90°+30°) = - sin 30° = −
sin 135° = sin(90°+45°) = cos 45° =
1
2
2
2
Altre formule importanti sono quelle note con il nome di formule di addizione.
Esse sono:
(1.9)
cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
(1.10)
sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cos α
Esempi:
1 2
3 2
2− 6
⋅
−
=
2 2
2 2
4
2 3 1 2
6+ 2
+ ⋅
=
sin 75° = sin(45°+30°) = sin45°cos30°+sin30°cos45° =
2 2 2 2
4
cos 105° = cos(60°+45°) = cos60°cos45°-sin60°sin45° =
Dalle (1.9) e (1.10) si ottengono le formule di duplicazione:
cos(α + α ) = cos 2α = cos 2 α − sin 2 α
(1.11)
e
sin(α + α ) = sin 2α = 2sin α cos α
(1.12)
Esempi:
3
4
1
4
cos 60° = cos (30°+30°) = cos2 30° − sin 2 30° = − =
sin 90° = sin(45°+45°) = 2sin45°cos45° = 2 ⋅
1
2
2 2
=1
2 2
2.3 Teorema dei seni e dei coseni. I teoremi che vedremo di seguito, sono quelli più
utili nella risoluzione dei triangoli, ossia nel determinarne tutti i lati e gli angoli
conoscendo almeno 3 elementi distinti indipendenti: 1 lato e 2 angoli, 2 lati ed 1
angolo oppure 3 lati. Se sapessimo solo il valore dei 3 angoli interni del triangolo, in
realtà avremmo solo 2 informazioni, perché la somma degli angoli interni di un
triangolo è 180°. In riferimento alla Figura 1 si hanno i seguenti teoremi.
i.
Teorema dei seni. In ogni triangolo, il rapporto fra un lato ed il seno
dell’angolo opposto è costante e vale 2R con R il raggio del cerchio
circoscritto al triangolo. In formule:
a
b
c
=
=
= 2R
sin α sin β sin γ
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(1.13)
4
ii.
Teorema di Carnot o dei coseni. Esso è una estensione del teorema di
Pitagora anche ai triangoli non rettangoli. Esso afferma che:
a 2 = b2 + c 2 − 2bc cos α
(1.14)
Se infatti l’ang "!$#%'&(%)$!*#+$,*#+$-
(1.14) il noto teorema di Pitagora in quanto cos 90° = 0.
Esempi:
a) Nel triangolo ABC è a = 2 2 , b = 2 3 e .
Soluzione.
Dal T. dei seni (1.13) si ha:
sin β =
= 45°.
Determinare l’angolo β .
a
b
=
e quindi:
sin α sin β
b
2 3
3 2
3
=
⇒ β = 60°
sin α =
sin 45° =
a
2
2 2
2 2
ˆ .
b) Nel triangolo ABC è AB=14, BC=10, AC=6. Determinare l’angolo ACB
Soluzione.
Dal Teorema di Carnot (1.14) si ha: c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos γ . Sostituendo i valori
otteniamo:
196 = 100 + 36 – 120cos .
/0 . − 60 = − 1 132 . 465879:
120
2
2.2 Radianti
Finora abbiamo misurato gli angoli in gradi, ma esiste un’altra unità di misura degli
angoli chiamata radiante.
Definizione di Radiante. L’angolo di un radiante corrisponde all’angolo al centro di
una circonferenza sotteso da un arco lungo come il raggio. Un angolo giro di 360°
corrisponde quindi a 2π radianti, perché la circonferenza è lunga 2π R .
L’arco AB è lungo come il raggio r,
allora l’angolo AOB vale 1 radiante
ossia circa 57,3°.
Figura 3
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5
Fra la misura in gradi e radianti di un angolo esiste perciò la seguente proporzione:
α ° : α rad = 180 : π
(1.15)
che permette di passare da un sistema di misura all’altro. In pratica per passare dai
gradi ai radianti si moltiplica per
π
180°
, dai radianti ai gradi si moltiplica per
.
π
180°
Esempi.
α = 45° ⇒ α rad = 45° ⋅
α rad =
π
π
=
180° 4
π
π 180°
⇒ α° = ⋅
= 60°
3
3 π
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