L’avversione al rischio e
l’utilità attesa
Maria Vittoria Levati
Kreps: "Microeconomia per manager"
1
ARGOMENTI DI QUESTA LEZIONE
In questa lezione introdurremo il modello
dell’utilità attesa, che descrive le scelte individuali
in condizioni di rischio.
Alcuni mercati di primaria importanza sono stati
creati per aiutare i singoli e le imprese a gestire le
incertezze cui essi sono soggetti. Sono i mercati dei:
titoli finanziari,
assicurazioni,
opzioni e
operazioni a termine
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SCELTE IN SITUAZIONI DI
INCERTEZZA
Usiamo il termine rischiose per descrivere quelle situazioni in
cui l’esito di una scelta è incerto.
Ciò che determina l’esito di una situazione incerta, o rischiosa,
è noto come stato del mondo.
Una lotteria è un meccanismo usato per rappresentare
situazioni rischiose.
Ci sono tre elementi fondamentali in una lotteria:
1) l’insieme degli stati del mondo, gli stati possibili;
2) le probabilità connesse a ogni possibile stato del mondo;
3) i valori monetari associati a ogni stato del mondo.
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3
Per semplicità ci concentreremo su lotterie con un numero
finito di stati e valori possibili.
La probabilità di un certo stato del mondo è una misura della
verosimiglianza che questo accada.
Se un certo evento non può accadere, la sua probabilità è zero.
Se un evento accade sicuramente, la sua probabilità è uno.
Se un evento potrebbe accadere, ma non per certo, la sua
probabilità è fra zero e uno.
Per ogni dato processo casuale, le probabilità di tutti gli stati
devono sommarsi a uno, perché è certo che uno o l’altro degli
esiti possibili accadrà.
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Esempio
Se tirate un dado, siete davanti a una situazione aleatoria
(rischiosa); in questo caso, la lotteria associata è caratterizzata da:
(1) Stati del mondo o esiti:
sei possibili esiti (le sei facce del dado)
(2) Probabilità:
ogni esito ha la stessa probabilità, pari a 1/6
(3) Valori monetari:
Es.: una somma di euro pari al numero sulla faccia del dado.
Possiamo rappresentare questa lotteria
col seguente albero decisionale:
I 6 esiti possibili sono riportati alle
estremità dei rami.
La prob. di occorrenza di ogni esito è
indicata sul rispettivo ramo.
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1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
€1
€2
€3
€4
€5
€6
5
Valore atteso
Il valore atteso di una variabile casuale X è il valore di X che si
realizza “in media”.
Per trovare il valore atteso di X, si deve pesare il valore di X in ogni
stato del mondo con la probabilità che quello stato del mondo – e
quindi il relativo valore − si realizzi.
Il valore atteso di una semplice lotteria con due stati del mondo (o
esiti) j = {1, 2} è:
EV = p ⋅ v1 + (1 − p ) ⋅ v2
dove vj è il valore associato allo stato del mondo j e p è la probabilità
relativa al primo stato del mondo.
Se vj = v per ogni stato del mondo j, allora:
EV = p ⋅ v + (1 − p ) ⋅ v = v ⋅ ( p + 1 − p ) = v
1424
3
=1
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In che modo gli individui reagiscono
all’incertezza?
La scelta dipende da come vengono formulate le opzioni
Immaginate che per combattere un’epidemia influenzale
potete attuare un programma di vaccinazione relativo a 600
persone, scegliendo tra due programmi possibili e tra loro
incompatibili:
il primo salverà con certezza 400 persone;
il secondo ha una probabilità pari a 1/3 di non salvare
nessuno e una probabilità pari a 2/3 di salvare 600 persone.
Quale programma consigliate?
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Pensate ora che la scelta sia tra i seguenti due programmi:
con il primo moriranno con certezza 200 persone;
con il secondo vi è una probabilità pari a 2/3 che nessuno
muoia e una probabilità di 1/3 che muoiano 600 persone.
Quale programma preferite?
Le risposte prevalenti sono state il primo programma per la
prima formulazione del dilemma (salvare con certezza 400
persone) e il secondo per la seconda formulazione.
Se tuttavia analizzate attentamente le due formulazioni, vi
accorgerete che il problema è identico in termini di
conseguenze effettive.
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Meglio scommettere quando le probabilità sono
“note” piuttosto che quando sono ignote
Un’urna contenente 300 palline: 100 sono rosse, le altre 200
sono alcune blu e alcune verdi.
Vincete €100 se estraete dall’urna una pallina di un dato
colore.
Preferite che tale colore sia il rosso, il blu o il verde?
Un numero elevato di persone afferma di essere indifferente
tra il blu e il verde e di avere invece una preferenza stretta
per il rosso.
Queste persone preferiscono scommettere quando le
probabilità sono note piuttosto che quando sono ignote.
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Gli economisti adottano la seguente terminologia:
se una situazione è incerta, ma le conseguenze possibili e le
rispettive probabilità di occorrenza sono oggettivamente
note, la situazione implica rischio o incertezza oggettiva;
quando gli esiti possibili sono noti, ma le relative
probabilità di occorrenza non sono oggettivamente note, la
situazione implica incertezza o incertezza soggettiva;
infine, quando l’elenco dei possibili esiti non è chiaramente
definito, la situazione implica ambiguità o contingenze
impreviste.
L’esempio delle palline colorate nell’urna illustra
l’avversione all’incertezza soggettiva.
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Attitudine al rischio
Gli schemi comportamentali che prenderemo in considerazione sono
riferiti a decisioni prese in condizioni di rischio o incertezza oggettiva.
Consideriamo una lotteria che offre
€100 con una probabilità pari a 0,3
€50 con una probabilità pari a 0,2
€0 con una probabilità pari a 0,4
− € 200 con una probabilità pari a 0,1.
0,3
0,2
0,4
0,1
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€ 100
€ 50
€0
− € 200
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Per qualsiasi lotteria possiamo calcolare il valore monetario
atteso (VMA), la media della lotteria, moltiplicando ogni
premio possibile per la sua probabilità e poi sommando i
risultati.
Qual è il VMA della lotteria appena illustrata?
I premi possibili sono: €100, €50, €0, −€200;
le rispettive probabilità: 0,3 0,2 0,4 0,1.
Quindi il suo VMA è:
0,3 × 100 + 0,2 × 50 + 0,4 × 0 + 0,1 × −200 =
30 +
10 +
0 − 20
= 20
Preferireste giocare la lotteria o ricevere con certezza il suo
valore monetario atteso di € 20?
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Una persona che preferisce il valore monetario atteso di
una lotteria alla lotteria stessa è avversa al rischio.
Nell’esempio
Una persona che è indifferente tra una lotteria e il
corrispondente valore monetario atteso è neutrale rispetto
al rischio.
Nell’esempio
precedente: “20 preferito alla lotteria”.
precedente: “20 e la lotteria sono equivalenti”.
Una persona che preferisce una lotteria al suo valore
monetario atteso è propensa al rischio.
Nell’esempio
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precedente: “la lotteria preferita a 20”.
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EQUIVALENTE CERTO
Data una qualsiasi lotteria, possiamo sempre determinare
una somma certa € X tale che l’individuo è indifferente tra
la lotteria e il pagamento certo X.
“X” è l’equivalente certo (CE dall’inglese “certainty
equivalent”) della lotteria per tale persona. Quindi che
relazione esiste fra CE e VMA della lotteria a seconda
dell’attitudine al rischio dell’individuo?
L’avversione al rischio implica un equivalente certo
inferiore al valore monetario atteso, ossia CE < VMA;
la neutralità rispetto al rischio si traduce in CE = VMA e
la preferenza per il rischio in CE > VMA.
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PREMIO PER IL RISCHIO (risk premium)
Se CE < VMA, la differenza tra l’equivalente certo e il
valore monetario atteso:
VMA − CE
è definita premio per il rischio (PR) della lotteria.
Un individuo avverso al rischio esibirà un premio per il
rischio positivo per ogni lotteria.
Maggiore è il premio per il rischio, maggiore è,
approssimativamente, il livello di avversione al rischio
della persona per la lotteria in questione.
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L’avversione (assoluta) al rischio decrescente
Come varia il livello di avversione al rischio quando la
ricchezza posseduta aumenta o diminuisce?
Un metodo per misurare questa variazione consiste
nell’osservare la variazione del premio di rischio per una
data lotteria all’incrementare del livello complessivo
della ricchezza dell’individuo.
Se un individuo tende a diventare meno avverso al rischio
all’aumentare della sua ricchezza, tale individuo esibisce
un’avversione (assoluta) al rischio decrescente.
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IL MODELLO DELL’UTILITÀ
ATTESA
È il modello più utilizzato dagli economisti per
rappresentare il processo decisionale in presenza di esiti
incerti.
Iniziamo descrivendone il funzionamento per le scommesse
con date probabilità oggettive e dati premi monetari (ossia
scommesse in condizioni di rischio).
Le preferenze di una persona tra tali scommesse sono
determinate dalla sua funzione di utilità, che assegna a ogni
premio monetario un numero, ossia l’utilità del premio.
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p
⎧ v1
Consideriamo una generica lotteria V :
V =⎨
⎩v 2 1 − p
Ipotizziamo che un individuo sia in grado di assegnare un livello di
utilità a ogni valore possibile vj attraverso una funzione di utilità u(vj).
Quindi u(v1) è l’utilità che l’individuo associa al premio monetario v1.
Teorema dell’utilità attesa: date alcune ipotesi sulle preferenze,
l’utilità attesa della lotteria V può essere rappresentata dalla seguente
funzione di utilità Von Neumann-Morgenstern:
U (V ) = p ⋅ u (v1 ) + (1 − p ) ⋅ u (v2 ) = Eu
Quindi l’utilità che l’individuo si aspetta di ottenere ex ante (l’utilità
attesa) dalla lotteria è semplicemente il valore atteso delle utilità
derivate dai due premi monetari.
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Il teorema dell’utilità attesa implica che un individuo, se chiamato a
scegliere fra diverse lotterie, paragonerà i livelli di utilità attesa Eu
associati alle diverse lotterie e sceglierà la lotteria con l’utilità attesa
più elevata.
Supponiamo che l’individuo debba scegliere tra le seguenti tre lotterie:
0,7
0,33
€ 750
(Y)
(X)
0,3
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€0
0,12
€ 1500
0,44 € 250
0,39
(Z)
0,23 − € 750
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0,21
0,28
€ 1500
€ 250
− € 450
€0
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Supponiamo inoltre che l’individuo sia caratterizzato dalla seguente
funzione di utilità:
u(v)
u
2
1
€0
€750
v
Consideriamo la lotteria (X) che paga “€750” o “0” con p = 0,7 e 0,3.
L’utilità associata a € 0 è u(0) = 1; quella associata a € 750 è 2.
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Dinnanzi a questa scelta, se l’individuo vuole rispettare il
modello dell’utilità attesa:
1. utilizza la propria funzione di utilità per calcolare l’utilità
associata ad ogni premio (vj) di ciascuna lotteria (u(vj));
2. calcola l’utilità attesa di ogni lotteria:
per ogni lotteria moltiplica la probabilità di ogni
premio per l’utilità corrispondente e somma i prodotti;
ad esempio l’utilità attesa della prima lotteria è
U(Vx) = Eux = 0,7 × u(750) + 0,3 × u(0) =
0,7 × 2 + 0,3 × 1 = 1,7;
3. sceglie la lotteria caratterizzata dall’utilità attesa maggiore.
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21
0,7
0,33
€ 750
(Y)
(X)
0,3
0,12
€ 1500
0,44 € 250
0,39
(Z)
0,23 − € 750
€0
0,21
0,28
€ 1500
€ 250
− € 450
€0
PREFERITE LA LOTTERIA (X), (Y) oppure (Z)?
0,7
0,33
€ 750 [2]
(Y)
(X)
0,3
€ 0 [1]
Eux = 1,4 + 0,3 = 1,7
0,12
€ 1500 [4]
0,44 € 250 [1,35]
€ 1500 [4]
0,39 € 250 [1,35]
(Z)
0,23 − € 750 [1,5]
EuY = 1,32 + 0,59 – 0,345 = 1,57
0,21
− € 450 [0]
0,28 € 0 [1]
EuZ = 1,29
SULLA BASE DELL’UTILITÀ ATTESA:
(X) È PREFERITA ALLE ALTRE DUE LOTTERIE
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22
Quindi, secondo il modello dell’utilità attesa, un individuo
caratterizzato dalla funzione di utilità mostrata in
precedenza dovrebbe scegliere la lotteria (X), in quanto
essa ha l’utilità attesa maggiore.
La funzione di utilità specifica è importante solamente per
preservare l’ordine delle utilità attese: se U è la funzione di
utilità che (insieme all’ipotesi di massimizzazione
dell’utilità attesa) caratterizza le scelte di un dato
individuo, allora la funzione W determinata
moltiplicando U per una costante positiva e
aggiungendo un’altra costante
porta esattamente alle stesse scelte.
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23
I premi non monetari
È facile estendere il modello dell’utilità attesa a
premi non monetari, ossia premi non espressi in
moneta (ad esempio, in euro):
qualsiasi sia la gamma dei premi possibili, la
funzione di utilità U assegna ad ogni premio un
livello di utilità e quindi possiamo misurare il
valore di ogni lotteria in base alla sua utilità attesa.
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24
Ricavare gli equivalenti certi a
partire da una funzione di utilità
Poiché la scala della funzione di utilità può essere
dilatata o compressa a piacimento, è difficile attribuire
un significato alle differenze dei livelli di utilità attesa.
Nel caso di premi monetari possiamo misurare di
quanto una lotteria o un qualsiasi paniere rischioso è
migliore riconvertendo i livelli di utilità attesa in
quantità monetarie.
A tal fine si legge la funzione di utilità a ritroso.
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25
u
L’equivalente certo
u(v2 )
Eu
u(v1 )
v1
CE
v2
v
L’equivalente certo è il prospetto senza rischio che genera un livello di
utilità pari all’utilità attesa della lotteria: un individuo è indifferente tra
ottenere l’ammontare monetario rappresentato dall’equivalente certo
con certezza e il guadagno aleatorio derivante dalla lotteria.
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26
Avversione al rischio
u
u (v2 )
u (v )
u(EV)
U(V)=Eu
u (v1 )
v1
⎧ v1
V = ⎨
⎩v2
p
1− p
v2
EV
v
Valore monetario atteso della lotteria:
EV
= p ⋅ v 1 + (1 − p ) ⋅ v 2
Utilità attesa della lotteria:
U ( V ) = Eu = p ⋅ u (v 1 ) + (1 − p ) ⋅ u (v 2
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)
27
Quando un individuo preferisce un prospettiva senza rischio
(certa) ad una lotteria rischiosa che ha lo stesso valore monetario
atteso, l’individuo è avverso al rischio.
u (v )
u
u (EV )
In questo esempio
l’alternativa certa, EV,
è preferita alla lotteria
V che ha lo stesso
reddito atteso.
U (V ) = Eu
v1
EV
v2
v
u ( EV ) > Eu
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28
Notate come l’avversione al rischio possa definirsi anche in
termini di equivalente certo (come detto in precedenza).
u (v2 )
u (v )
Eu
u (v1 )
v1
CE
EV
v2
v
Equivalente certo (CE) < Valore monetario atteso della lotteria (EV)
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Chiaramente l’individuo pagherebbe per sbarazzarsi del rischio: il
massimo ammontare che è disposto a pagare è dato dalla differenza
tra il valore monetario atteso della lotteria (EV) e l’equivalente
certo della lotteria.
u (v2 )
u (v )
Abbiamo detto prima che questa
differenza viene definita premio
per il rischio e rappresenta il
premio che l’individuo pagherebbe
per sbarazzarsi del rischio.
Eu
u (v1 )
v1
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CE
EV
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v2
v
30
Propensione al rischio
u
U (V ) = Eu
u (EV )
v1
EV
CE
v2
v
u ( EV ) < Eu
CE > EV
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Indifferenza al rischio
u
Eu
=
u (EV )
v1
u ( EV ) = Eu
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EV = CE
e
v2
v
CE = EV
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32
Il grado di avversione al rischio è strettamente legato alla
concavità della funzione di utilità u(v); l’individuo è:
avverso al rischio se la funzione di utilità è strettamente
concava;
neutrale rispetto al rischio se la funzione di utilità è lineare;
amante del rischio se la funzione di utilità è strettamente
convessa.
Il grado di avversione al rischio è direttamente proporzionale
alla curvatura della funzione: più la funzione è concava, più
avversi al rischio sono gli individui.
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33
Coefficiente assoluto di avversione al rischio
Sulla base della precedente osservazione sulla relazione tra
avversione al rischio e concavità, possiamo costruire una misura
del grado di avversione al rischio di un individuo basata su
quanto la sua funzione di utilità è concava.
Una possibile misura è il coefficiente assoluto di avversione al
rischio di Arrow-Pratt, definito come
u ' ' ( x)
RA( x) = −
u ' ( x)
dove u', u'' sono le derivate prima e seconda della funzione di
utilità u avente come argomento un valore non aleatorio x (uno
dei premi della lotteria).
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34
RA( x) = −
La curvatura di una funzione in un punto è data dal rapporto
della sua derivata seconda rispetto alla prima.
¾
u ' ' ( x)
u ' ( x)
la normalizzazione tramite u' è finalizzata a rendere il valore di RA
indipendente dall’unità di misura adottata, così che RA è un numero puro, da
cui l’aggettivo assoluto per identificare il coefficiente di avversione al rischio.
Dato che se una funzione è concava la sua derivata seconda è
negativa, davanti al rapporto è stato aggiunto un segno negativo
per preservare la proporzionalità di RA a u''.
Una curvatura decrescente implica un’avversione al rischio
decrescente: se RA(x) decresce, l’individuo farà scelte sempre
meno avverse al rischio man mano che il livello base della sua
ricchezza aumenta.
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35
In base al coefficiente assoluto di avversione al rischio, una
funzione di utilità si definisce:
CARA (dall’inglese Constant Absolute Risk Aversion), o
funzione di utilità con avversione assoluta al rischio costante:
se RA(x) è costante rispetto a x.
DARA (Decreasing Absolute Risk Aversion), o funzione di
utilità con avversione al rischio decrescente:
se RA(x) decresce al crescere di x.
IARA (Increasing Absolute Risk Aversion), o funzione di
utilità con avversione al rischio crescente:
se RA(x) cresce al crescere di x.
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36
La funzione di utilità con avversione assoluta al rischio costante
(CARA) è molto utilizzata perché sembra avere validità
empirica. Una funzione di utilità che possiede questa proprietà
è:
u ( x) = A − Be − RA⋅ x
dove A e B > 0 sono costanti.
L’ipotesi di DARA (funzione di utilità con avversione assoluta
al rischio decrescente) è di norma giustificata sulla base della
regolarità empirica per cui individui che dispongono di
maggiore ricchezza sarebbero più propensi a correre rischi.
Niente vieta d’altra parte, che una funzione di utilità sia, ad
esempio, CARA per dati livelli di ricchezza e DARA per livelli
diversi.
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37
L’incertezza soggettiva e l’avversione nei
confronti delle probabilità ignote
La maggior parte dei modelli utilizzati dagli economisti non
ammette la possibilità che il decisore non conosca tutti gli
esiti possibili.
La procedura standard consiste nell’ipotizzare che il
decisore:
1.
2.
assegni delle probabilità ai diversi esiti possibili;
consideri le probabilità soggettive esattamente come quelle
oggettive.
L’assegnazione delle probabilità è soggettiva, ossia dipende
dal giudizio del decisore.
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38
Relazione tra questo capitolo e il modello
del consumatore che massimizza l’utilità
Indichiamo con Z = (z1, z2, …, zN) l’insieme di tutti gli N
oggetti tra cui l’individuo deve scegliere; essi possono
essere costituiti da una varietà di elementi. Possiamo
pensare a ogni z
1.
come a un paniere di beni;
2.
come a una lotteria. In questo caso esiste un altro insieme X
di premi possibili e ogni z rappresenta una lotteria o
scommessa che offre i premi dell’insieme;
3.
come a un portafoglio di titoli, dove zi sono i soldi investiti
nel titolo i.
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39
4.
come a denaro contante derivante da investimenti nel
tempo, dove z1 rappresenta la quantità di euro derivanti
dall’investimento oggi, z2 sono gli euro accumulati il
prossimo mese, e così via.
5.
come a una particolare varietà di un dato prodotto di
consumo, per esempio un’automobile, dove
z1 è il tipo di carrozzeria del veicolo,
z2 il colore,
z3 la cilindrata e
z4 il consumo di carburante.
Questo tipo di rappresentazione degli oggetti viene utilizzato
nel marketing dei beni di largo consumo.
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40
Per costruire un modello del comportamento di scelta
dell’individuo dinnanzi a questi oggetti supponiamo che
una data funzione u associ a ogni oggetto z dell’insieme Z
un indice numerico, u(z), e,
dato un insieme di oggetti tra i quali scegliere,
l’individuo scelga l’oggetto che fornisce l’utilità più
elevata.
Il punto è che utilizziamo il termine
funzione di utilità in due modi diversi!
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41
Nel modello del consumatore la funzione di utilità (con la u
minuscola) fornisce, per ogni oggetto che potrebbe essere
scelto, una misura diretta della preferenza dell’individuo
per l’oggetto.
In questa lezione, invece, la funzione di utilità (con la U
maiuscola) misura le preferenze dell’individuo per le
lotterie.
U(x) fornisce, infatti, un indice della desiderabilità del
premio x, che deve essere moltiplicato per la probabilità
di occorrenza di x e poi sommato agli altri risultati per
ottenere la misura complessiva della desiderabilità della
lotteria in questione.
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42
Riepilogo
In questa lezione, abbiamo introdotto alcuni concetti
fondamentali di scelta in condizioni di rischio.
Il primo passo in questa direzione consiste nel presentare il
modello dell’utilità attesa.
Nel modello dell’utilità attesa:
1.
2.
3.
una funzione di utilità assegna un dato valore di utilità a ogni
premio possibile;
per ogni lotteria si calcola l’utilità attesa (si moltiplica l’utilità di
ogni premio possibile per la probabilità di occorrenza e
successivamente si sommano i prodotti) e
la lotteria scelta sarà quella caratterizzata dall’utilità attesa
maggiore.
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43
Quando i premi sono monetari, la funzione di utilità può
essere rappresentata graficamente.
La funzione di utilità (in tali grafici) è quasi sempre
crescente e continua.
Nella maggior parte dei modelli economici è anche
concava, riflettendo l’avversione al rischio (le funzioni
lineari corrispondono alla neutralità al rischio e quelle
convesse alla preferenza per il rischio).
Il valore delle unità della funzione di utilità non ha alcun
significato particolare, e la scala su cui vengono misurate
può essere spostata, allungata o compressa in modo
uniforme senza modificare il comportamento di scelta
dell’individuo.
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44
Se U è concava e se il coefficiente assoluto di avversione
al rischio RA(x) = −U′′(x)/U′(x) è decrescente, il livello di
avversione al rischio diminuisce all’aumentare della
ricchezza.
Se −U′′(x)/U′(x) è costante, la funzione di utilità (CARA)
ha un’avversione al rischio costante, ossia la scelta
dell’individuo tra le lotterie non è influenzata dal suo
livello di ricchezza;
le funzioni di utilità che possiedono questa proprietà sono
del tipo
− RAx
U ( x) = A − Be
per le costanti B > 0 e A.
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45
