Se un qualunque problema può essere ben definito, allora con
“sufficiente sforzo” può essere determinata una sua soluzione,
o per lo meno si può dimostrare che non esiste soluzione
David Hilbert (1862-1943):
definire un sistema matematico formale in cui ogni problema
potesse essere formulato in termini di proposizioni vere o false
nel 1930 molti ricercatori mostrarono che
il problema di Hilbert è non calcolabile
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1
Nel 1931 Kurt Gödel dimostrò il teorema di incompletezza:
non esiste nessun algoritmo il cui input è una proposizione
sugli interi e il cui output ci dice se la proposizione è
vera oppure falsa
Church
Kleene
Post
Turing
…
problemi che non hanno
soluzione algoritmica
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problemi
calcolabili
Universo dei problemi
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- lo studio della calcolabilità ci porta a stabilire quali
problemi
ammettono soluzione algoritmica e quali no
- tra quelli che ammettono soluzione, è di interesse sapere quante
“risorse” di calcolo richiede la loro esecuzione
memoria e tempo
- solo quegli algoritmi la cui esecuzione richiede una quantità di risorse
“ragionevole” sono realmente utili
teoria della complessità
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problemi
calcolabili
problemi
trattabili
Universo dei problemi
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Pr1: determinare il maggiore di n numeri interi
1
2
3
4
…
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n
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Pr1: determinare il maggiore di n numeri interi
…
1
2
3
4
P1. trovare il maggiore fra i primi 2 numeri;
n
P2. trovare il maggiore fra
il terzo numero e il risultato del sottoproblema precedente;
P3. trovare il maggiore fra
il quarto numero e il risultato del sottoproblema precedente;
P4. trovare il maggiore fra
il quinto numero e il risultato del sottoproblema precedente;
…
Pn-1. trovare il maggiore fra
l'ultimo numero e il risultato del sottoproblema precedente.
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1. I passi sono eseguiti uno alla volta
2. Ogni passo è eseguito esattamente una volta:
nessuno è ripetuto nessuno è omesso
3. L'ordine in cui i passi sono eseguiti è esattamente quello
in cui sono scritti
4. La terminazione dell'ultimo passo implica
la terminazione dell'algoritmo
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SEQUENZA
1. I passi sono eseguiti uno alla volta
2. Ogni passo è eseguito esattamente una volta:
nessuno è ripetuto nessuno è omesso
3. L'ordine in cui i passi sono eseguiti è esattamente quello
in cui sono scritti
4. La terminazione dell'ultimo passo implica
la terminazione dell'algoritmo
Poco flessibile!
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Pr1: determinare il maggiore di n numeri interi
…
1
2
3
4
P1. trovare il maggiore fra i primi 2 numeri;
n
P2. trovare il maggiore fra
il terzo numero e il risultato del sottoproblema precedente;
P3. trovare il maggiore fra
il quarto numero e il risultato del sottoproblema precedente;
P4. trovare il maggiore fra
il quinto numero e il risultato del sottoproblema precedente;
Pi. … i+1-esimo e il risultato del sottoproblema precedente;
…
Pn-1. trovare il maggiore fra
l'ultimo numero e il risultato del sottoproblema precedente.
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P1. trovare il maggiore fra i primi 2 numeri;
P 3. trovare il maggiore fra
il nuovo numero da esaminare e
il più grande trovato in precedenza.
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P1. trovare il maggiore fra i primi 2 numeri;
P2. finchè ci sono numeri da verificare
ripetere il passo P3;
P 3. trovare il maggiore fra
il nuovo numero da esaminare e
il più grande trovato in precedenza.
ITERAZIONE
. poter ripetere certi passi in un algoritmo
un numero arbitrario di volte
. per esprimere algoritmi la cui lunghezza varia
in accordo alle “circostanze”
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P1. trovare il maggiore fra i primi 2 numeri;
P2. finchè ci sonoCONDIZIONE
numeri da verificare
ripetere
il passo P3;
AZIONE
P 3. trovare il maggiore fra
il nuovo numero da esaminare e
il più grande trovato in precedenza.
ITERAZIONE
. poter ripetere certi passi in un algoritmo
un numero arbitrario di volte
. per esprimere algoritmi la cui lunghezza varia
in accordo alle “circostanze”
definita
indefinita
descrivere un processo di durata indeterminata mediante
un algoritmo di lunghezza finita
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Pr2: determinare il maggiore fra due numeri interi x e y
P1. determinare la differenza δ fra x e y
P2. se δ >0
allora la soluzione è x
altrimenti la soluzione è y.
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Pr2: determinare il maggiore fra due numeri interi x e y
P1. determinare la differenza δ fra x e y
P2. se δcondizione
>0
allora la soluzione
azione1 è x
altrimenti la soluzione
azione2 è y.
SELEZIONE
. poter selezionare tra diversi cammini in un algoritmo
a seconda delle “circostanze”
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problema
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analisi
soluzione
informale
formalizzazione
algoritmo
programmazione
programma (alto livello)
esecutore del
linguaggio alto livello
soluzione
esecutore del
linguaggio macchina
esecuzione
(HW)
traduzione
programma
(linguaggio
macchina)
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a Methodology for Algorihmic Problem
Solving (MAPS)
Passo 1. Analizzare il problema e sviluppare le specifiche
Passo 2. Progettare una soluzione
- decomposizione (progettazione top-down)
- astrazioni
Passo 3. codifica e documentazione
Passo 4. testing (in parallelo a passo 3)
Passo 5. validazione
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