Michelangelo Laterza – Principi di Statica e di Dinamica delle Strutture

Michelangelo Laterza – Principi di Statica e di Dinamica delle Strutture
Introduzione al concetto di sforzo
Alle sollecitazioni di trazione, di
compressione, di taglio, o ai
momenti flettenti all’interno di una
struttura sono associati degli
sforzi interni corrispondenti. Lo
sforzo, forza specifica per unità di
superficie, è una misura di come
una forza sia distribuita su di
un’area.
Una forza che agisce su una piccola area produce sforzi più elevati di quanto non
faccia la stessa forza che agisca su un’area maggiore. Questi sforzi tendono a
causare una rottura per trazione, o per compressione o per taglio.
Materiali diversi hanno capacità diverse di sopportare i diversi tipi di sforzo.
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Sforzi di trazione e di compressione
Sforzo = forza / superficie
σ =P/A
Esempio:
Un elemento con sezione che misura 50x50
mm regge un carico assiale 100 kN. Qual‘è
l’intensità degli sforzi in una generica
sezione?
σ = P/A
σ = 100/(50x50)=0,04kN/m2=40 N/mm2
dove σ è lo sforzo (forza per unità di superficie), P è la forza assiale, e A è l’area
della sezione trasversale considerata. Sforzi di questo tipo sono sforzi assiali, o
normali. Gli sforzi che si sviluppano in un elemento caricato in compressione
semplice possono descritti in modo simile.
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Proprietà dei materiali: Rigidezza e Resistenza
Nel linguaggio ordinario il significato di parole come “forte, solido, duro, rigido,
resistente” è di solito molto vago, e queste parole sono usate spesso come
sinonimi.
Il Greco antico ed il Latino erano altrettanto imprecisi - per esempio in Latino
“TENSIO” significa indistintamente Tensione e Deformazione “Ut tensio, sic vis”
“la forza è proporzionale all’allungamento”.
La prima testimonianza storica di un approccio scientifico ai problemi della
resistenza si trova nei manoscritti di Leonardo da Vinci (1452-1519) “La
meccanica è il paradiso delle scienze matematiche perché è qui che la matematica
dà i suoi frutti”. Leonardo sperimentò la resistenza di cavi applicando ad essi
carichi di trazione (era interessato a variazioni della resistenza al variare della
lunghezza del cavo). Anche se può sembrare ovvio che la resistenza non dipenda
dalla lunghezza del cavo si ha che a parità di carico di rottura la variazione di
lunghezza in una fune lunga è maggiore che in una fune corta ossia l’energia di
rottura è più elevata (tutto dipende da cosa si intende per “RESISTENZA”).
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per l’Architettura
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Proprietà dei materiali: Rigidezza e Resistenza
Il padre della definizione moderna della resistenza dei materiali può essere
considerato Galileo Galilei (1564-1642) che processato dall’Inquisizione per le
teorie eliocentriche sul sistema solare fu costretto ad abbandonare le osservazioni
astronomiche e a dedicarsi a problematiche per lui di ripiego come lo studio dei
materiali e delle strutture, considerato innocuo dalla chiesa. Nei suoi studi (Discorsi
e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze) egli stabilì che “il carico
di rottura” di un’asta sottoposta a trazione “è proporzionale all’area della
sezione trasversale”.
Isaac Newton (1642-1727) sosteneva che “gli Dei non risiedessero in cucina” e
quindi disprezzava le scienze applicate. Nondimeno la Meccanica Newtoniana
pubblicata nei “Principia” del 1687 era destinata ad avere nella progettazione delle
strutture un ruolo fondamentale - La terza legge di Newton (Uguaglianza tra
Azione e Reazione) fissa il concetto di equilibrio alla base del calcolo delle
strutture.
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Proprietà dei materiali: Rigidezza e Resistenza
Robert Hooke (1635-1703) sosteneva invece che “gli Dei Legge di Hooke:
risiedessero in cucina” e quindi non disprezzava le scienze “I materiali solidi
applicate. Egli dimostrò sperimentalmente che “Ut Tensio, sono elastici. Vale a
sic Vis - la Forza è proporzionale all’Allungamento ” (The dire, riacquistano
forma e dimensione
true theory of elasticity or springiness).
originale quando
viene rimosso un
Hooke affermava che:
Un solido può resistere a una forza esterna solo cambiando carico che era stato
la sua forma: allungandosi se è soggetto a una forza di loro applicato in
precedenza”.
trazione, contraendosi se è soggetto a una forza di
compressione.
La sua scoperta era una logica conseguenza della terza legge
di Newton (Uguaglianza tra Azione e Reazione).
Non esiste quindi secondo Hooke un materiale perfettamente
RIGIDO (solo deformandosi elasticamente, un materiale può
accumulare energia per reagire ad una forza esterna).
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Carico
Hooke
Allungamento
Proprietà dei materiali: Rigidezza e Resistenza
Allungamento
Perdita di elasticità
Carico
Carico
Hooke
Legge di Hooke:
“I materiali solidi sono
elastici.
Vale
a
dire,
riacquistano
forma
e
dimensione originale quando
viene rimosso un carico che
era stato loro applicato in
precedenza”.
Metalli Duttili
Allungamento
Curva a J tipica dei
Tessuti Animali
La legge di Hooke è vera in
molti altri materiali solo per
bassi o bassissimi livelli di
sforzo.
Allungamento
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Curva a S tipica del comportamento
elastico della Gomma
Carico
Carico
La legge di Hooke è rigorosamente vera per i materiali ceramici, il vetro, la maggior parte
dei minerali e per i metalli molto duri.
Allungamento
Proprietà dei materiali: Rigidezza e Resistenza
Tensioni e Deformazioni
Augustin Cauchy (1789-1857) definì lo Sforzo (Tensione) come “la forza per
unità di superficie della sezione trasversale passante per un punto particolare del
materiale” mentre la Deformazione è “la conseguenza di uno sforzo applicato al
materiale”.
Lo Tensione (σ = F/A) ci dice con quanta forza vengono allontanati o avvicinati
gli atomi in un dato punto di un solido.
La Deformazione (ε = Δl/l) di quanto gli atomi vengono allontanati o avvicinati (di
quanto il materiale viene allungato o compresso).
l
l
A
F
σ = F/A
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F
F
ε = Δl/l
Δl
F
Proprietà dei materiali: Rigidezza e Resistenza
Thomas Young (1773-1829) per primo affermò che “ogni materiale possiede una
propria rigidezza che quindi lo caratterizza” e mostrò che la deformazione totale
di una struttura che resiste ad un dato carico è dovuta agli effetti combinati della
rigidezza del materiale da un lato e della dimensione e forma della struttura
dall’altro.
L’espressione matematica del Modulo di Young (1826) è invece dovuta a ClaudeLouis-Marie-Henry Navier (1785-1836) che definì la rigidezza del materiale
come pendenza della curva Sforzo-Deformazione ossia “il rapporto tra Tensione e
Deformazione”.
Carico
Acciaio
Alluminio
Osso
Più alto è il Modulo di Young, più il materiale è
Rigido.
Legno
Più alta è la Tensione da applicare per provocare la
rottura, più il materiale è Resistente.
Allungamento
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Verifica di resistenza
Se lo sforzo (o tensione) (σ = P / A) è minore dello sforzo di rottura del materiale,
determinato sperimentalmente, l’elemento soddisfa la verifica di resistenza e può
reggere il carico dato.
Nella verifica di resistenza si introduce un fattore di sicurezza che tiene conto
dell’incertezza della valutazione della resistenza del materiale.
Esempio:
Per l’acciaio si impiega un fattore di sicurezza (detto coefficiente parziale
dell’acciaio) pari a 1,15. Se si assume per la resistenza a trazione un valore
(caratteristico) pari a 450 MPa (N/mm2), la massima tensione di trazione che può
sopportare l’acciaio sarà pari:
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