Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Operatori: richiami
r
Operatore posizione
in 3D
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta !
Operatore
momento
∇
Non
è permessa,
in particolare, la riproduzione anche×
parziale
i
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte
o in
$ tutto la presente
!
!
"
"
#
"W
#−
#Q
"
opera
è
richiesto
il
permesso
scritto
dell’autore
(E.
Silva)
Q,
W
W
Detti
due operatori, la grandezza Q, W = Q
! eW
" e rappresenta l’operazione:
è detta commutatore di Q
&
&
%
$
%
!
"
#Ψ − W
# QΨ
" W
# Ψ=Q
" W
Q,
Si dimostra che operatori con stessi autostati
1] commutano;
2] corrispondono a grandezze simultaneamente misurabili.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Momento angolare.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare classico.
z
v
x
Momento angolare
(momento della quantità di moto):
r
L = rnon
× mv
=r×p
O Enrico Silva - proprietà intellettuale
ceduta
y la riproduzione anche parziale
Non è permessa, in particolare,
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto
il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
z
Elettrone su un’orbita circolare:
L
r
m, –e
L = r × mv = mvrn
n
v
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare quantistico.
Momento angolare classico:
Espressione operatoriale:
!
!ceduta
L = r × p Enrico Silva - proprietà intellettuale nonL
=r× ∇
i
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
Principio
di
ovvero:
della presente opera.
! ∂
! ∂
corrispondenza:
= y la presente
−z
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte oLinx tutto
i
∂z
i ∂y
Lx = ypopera
−
zp
z
è yrichiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
!
∂
∂
!
Ly = zpx − xpz
−x
Ly = z
i ∂x
i ∂z
Lz = xpy − ypx
! ∂
! ∂
Lz = x
−y
i ∂y
i ∂x
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare quantistico: la misura.
! ∂
! ∂
−z
i ∂z
i ∂y
! ∂
! ∂
−x
Ly = z
i ∂x
i ∂z
! ∂
! ∂
ceduta
Lz = x
−y
i ∂y
i ∂x
! = r × !∇
L
i
Espressione operatoriale:
Lx = y
Richiamo: operatori
conSilva
stessi-autostati
Enrico
proprietà intellettuale non
1] commutano;
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
2] corrispondono a grandezze simultaneamente misurabili.
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
Le componenti del momento angolare non commutano.
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
[Lx , Ly ] = i!Lz
[Lz , Lx ] = i!Ly
[Ly , Lz ] = i!Lx
Si ottiene facilmente (con molta algebra):
Non è possibile misurare simultaneamente due componenti di L.
Il quadrato del momento angolare totale e una
qualunque componente di L commutano:
! 2
"
L , Lx,y,z = 0
È possibile misurare simultaneamente L2 e una componente di L.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare: autofunzioni e autovalori
È possibile misurare simultaneamente L2 e una componente di L.
L2 ψ = ωl !2 ψ
! tiene conto
Enrico Silva - proprietà intellettuale
non ceduta
delle dimensioni
Lz ψ = m!ψ
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
! = r × !∇
con L
i
Per l’autorizzazione
a riprodurre in parte o in tutto la presente
∂
1 ∂
1
∂
In coordinateopera
sferiche:
è richiesto
∇ = r̂ il+permesso
θ̂
+ φ̂ scritto dell’autore (E. Silva)
Cerco funzioni ψ t.c.
∂r
sviluppando:
!= !
L
i
Lz =
"
φ̂
r ∂θ
1 ∂
∂
− θ̂
∂θ
sin θ ∂φ
! ∂
i ∂φ !
L2 = −!2
1 ∂
sin θ ∂θ
"
r sin θ ∂φ
#
sin θ
Figura da Griffiths,
Introduction to
Quantum Mechanics
∂
∂θ
#
−
1 ∂2
sin2 θ ∂φ2
$
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare: autovalori.
È possibile misurare simultaneamente L2 e una componente di L.
Ylm (θ, φ)
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
Le equazioni agli autovalori forniscono autovalori quantizzati:
della presente opera.
Per
l’autorizzazione
o insferiche;
tutto la presente
l è intero perin
le parte
armoniche
L2 ψ
= l(l + 1)!2 ψa riprodurre
sono ammessi
formalmente
anche (E.
valoriSilva)
semiinteri
opera è richiesto il permesso
scritto
dell’autore
Le autofunzioni simultanee di L2 e Lz sono le armoniche sferiche:
−l ≤ m ≤ l
Lz ψ = m!ψ
!
notare: la “lunghezza” di L, l(l + 1)! , è sempre maggiore della grandezza
di Lz, m! , a indicare che la conoscenza di una componente non determina L.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare: autofunzioni.
Le autofunzioni del momento angolare hanno l intero e −l ≤ m ≤ l
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Tabella da Griffiths,
Introduction to
Quantum Mechanics
Rappresentazioni delle armoniche sferiche su:
http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/
Sez. 5.1 (armoniche sferiche)
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare: autostati, autovalori.
Lz
L
Una possibile rappresentazione per l = 2:
2
1
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Attenzione: l’analogia non va spinta oltre. In
0 anche parziale
Non
è
permessa,
in particolare, la riproduzione
particolare il disegno dei vettori è fuorviante:
opera.
se uno stato ha Lz determinato, alloradella
Lx e Lpresente
y
–1
sono indeterminati
perché non hannoaautostati
Per l’autorizzazione
riprodurre in parte o in tutto la presente
comuni conopera
L z.
–2
è richiesto il permesso scritto dell’autore
(E. Silva)
Ly
Lx
Le equazioni agli autovalori forniscono autovalori quantizzati:
L2 ψ = l(l + 1)!2 ψ
Lz ψ = m!ψ
l intero o semiintero, intero per le armoniche sferiche
−l ≤ m ≤ l
!
notare: la “lunghezza” di L, l(l + 1)! , è sempre maggiore della grandezza
di Lz, m! , a indicare che la conoscenza di una componente non determina L.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare: autostati, autovalori.
Lz
2
Una possibile rappresentazione
alternativa per l = 2:
1
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione
0 anche parziale
della
presente
opera.
Attenzione: l’analogia non va spinta oltre. In
–1
Per
l’autorizzazione
a riprodurre
in parte o in tutto la presente
particolare
il disegno
dei vettori “rotanti”
è
fuorviante: se
uno stato
ha Lz determinato,
opera
è richiesto
il permesso scritto dell’autore
(E. Silva)
–2
allora Lx e Ly sono indeterminati perché non
hanno autostati comuni con Lz.
Una misura di Lz proietta il sistema in uno
stato per cui Lx e Ly sono indeterminati.
Ly
Lx
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Potenziale centrale: fdo
Sia V=V(r) un potenziale a simmetria sferica
(dipendente solo dalla distanza da un punto -origine-).
L’equazione di Schroedinger si può scrivere in
Figura da Griffiths,
Introduction to
coordinate
polari:
Quantum Mechanics
Enrico Silva - proprietà intellettuale
non ceduta
!
$
"
#
2
1
∂
∂
Non è permessa, in particolare,
la riproduzione
anche
2
2
2 parziale
−!
r
+ L ψ + V (r)ψ = Eψ
2
∂r
∂r
della2mr
presente
opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
Si può
risolvere
comeilper
il momento
angolare
per separazione
opera
è richiesto
permesso
scritto
dell’autore
(E. Silva)di variabili.
Gli stati stazionari (autofunzioni dell’Hamiltoniana) sono:
ψ(r, θ, φ) = R(r)Ylm (θ, φ)
dove le R(r) sono funzioni della sola r, e le Ylm (θ, φ) sono le armoniche sferiche.
! L2 , Lz sono simultaneamente misurabili.
H,
V(r) influenza esclusivamente la dipendenza radiale R(r).
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento angolare: riassunto
[Lx , Ly ] = i!Lz
Le componenti del momento
angolare non commutano.
Non è possibile misurare
simultaneamente due
componenti di L.
[Lz , Lx ] = i!Ly
[Ly , Lz ] = i!Lx
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Il quadrato
momento in particolare,
È possibile
misurare
Non èdelpermessa,
anche
parziale
! 2 la riproduzione
"
=0
, Lx,y,zopera.
angolare totale e una qualunque dellaLpresente
simultaneamente L2 e una
componente
L commutano: a riprodurre in parte o in tutto componente
Perdil’autorizzazione
la presente di L.
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
m
Le autofunzioni simultanee di L2 e Lz sono le armoniche sferiche: Yl (θ, φ)
Con autovalori dati da:
L2 ψ = l(l + 1)!2 ψ
l = 0, 1, 2, ...
Lz ψ = m!ψ
−l ≤ m ≤ l
Potenziale centrale V(r): gli stati stazionari (autofunzioni dell’Hamiltoniana)
sono:
ψ(r, θ, φ) = R(r)Y m (θ, φ)
l
dove le R(r) sono funzioni della sola r, determinate da V(r)
! L2 , Lz sono simultaneamente misurabili in un potenziale centrale.
H,
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Momento magnetico.
Spin.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Momento magnetico classico.
n
Per una spira circolare di area S, dove scorre la corrente I, il
m = IS n
momento magnetico è
I
In un campo di induzione B i momenti magnetici tendono ad allinearsi
Enrico
Silva -diproprietà
con il campo (agisce
il momento
una forza).intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
La forza agente è F = −∇V
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
Elettrone su un’orbita circolare.
z opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Momento angolare: L = r × mv = mvr n
m: massa
L
−e
−e
Corrente equivalente: I =
=
n
r
T
2πr/v
2
Superficie della spira: S = πr
m, –e
v
e
µB
−e
vr n = −
L=−
L
Momento magnetico “orbitale”: m =
2
2m
!
L’energia potenziale è V = −m · B
Magnetone di Bohr: µB =
e!
≃ 9.274 · 10−24 JT−1
2m
N.B.: m ↑↓ L
perché l’elettrone
ha carica negativa
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Rapporto giromagnetico
Definizione: dato un sistema (o particella) dotato di momento magnetico m
e di momento angolare L, si definisce rapporto giromagnetico la grandezza:
m
L sono valori algebrici
Enrico Silva - proprietà
γ = intellettuale nonm,ceduta
rispetto a un medesimo asse.
L
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente
Per un corpo puntiforme dotato
di massaopera.
m e di carica q, che ruota attorno
Per l’autorizzazione a riprodurre inq parte o in tutto la presente
a un asse, si può dimostrare che: γ = (anche per orbite non circolari) m: massa
opera è richiesto il permesso scritto
2m dell’autore (E. Silva)
−e
µB
= −ge
Per un elettrone si ha sperimentalmente: γ = ge
2m
!
con ge ≅ 2.
(Considerando il solo momento magnetico orbitale, si è ottenuto sopra ge = 1)
Il momento magnetico è maggiore del solo momento orbitale.
Il rapporto giromagnetico vale ≈ –2.
Esiste un ulteriore e diverso momento magnetico microscopico
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Esperimento di
Einstein-De Haas
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Esperimento di Einstein-de Haas
Lrot
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
m
della presentemopera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
Figura da W. Greiner,
è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Quantum Mechanicsopera
- An Introduction
B
Sbarra di ferro sospesa a una fibra
sottile, all’interno di un solenoide.
B=0
Le
L=0
L = Le + Lrot = 0
All’accensione del campo di induzione magnetica B il
cilindro, inizialmente in quiete, si pone in rotazione.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Analisi qualitativa
Lrot
All’accensione del campo di induzione
magnetica B il cilindro, inizialmente in quiete,
si pone in rotazione.
Inizialmente:
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
L = 0 (cilindro
Noninè quiete)
permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
m
La conservazione
del momento angolare
Per l’autorizzazione
a riprodurre in parte o in tutto la presente
richiede che l’insorgere
del momento
angolare scritto dell’autore (E. Silva)
opera è richiesto
il permesso
B
macroscopico (rotazione del cilindro) sia
Il campo B allinea i momenti magnetici.
della presentemopera.
compensato dai momenti angolari microscopici.
L’esperimento mostra che:
B=0
Le
L=0
L = Le + Lrot = 0
1] esiste un momento angolare microscopico, collegato al momento magnetico microscopico.
2] Il momento magnetico degli atomi è orientato in verso opposto al loro momento angolare.
3] Il momento angolare microscopico può dar luogo a fenomeni macroscopici.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Analisi quantitativa
Lrot
È possibile misurare sia Lrot (per esempio,
attraverso il periodo delle piccole oscillazioni) che
il momento magnetico complessivo della sbarra, M.
Supponiamo che vi siano N elettroni, ciascuno con
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
momento angolare microscopico j
(−e)
Non
è
permessa,
in particolare,
j la riproduzione anche parziale
m=
e quindi momento magnetico orbitale
2m
m
della presentemopera.
PerLl’autorizzazione
a
riprodurre
in
parte
o
in
tutto
la
presente
e = Nj
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Il momento magnetico della sbarra è
B
M = Nm
La conservazione del momento angolare impone
B=0
Le
Lrot = −N j
L=0
L = Le + Lrot = 0
La somma di tutti i momenti angolari microscopici è
Per cui: M = N
(−e)
µB
(−e)
j=
Lrot = −
Lrot
2m
2m
!
Sperimentalmente:
Il momento magnetico è maggiore del solo momento orbitale.
µB
Il rapporto giromagnetico vale ≈ –2.
Lrot Esiste un ulteriore e diverso momento magnetico microscopico
M≃− 2
!
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Esperimento di
Stern-Gerlach
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Esperimento di Stern-Gerlach
Per osservare l’effetto della
quantizzazione sull’asse z, si sfrutta
Lz ψ = m!ψ
m = 0, ±1, ±2,...,±l l’esistenza di un momento magnetico
associato
al momento angolare.
Enrico Silva - proprietà intellettuale
non ceduta
figura da
http://galileo.phys.virginia.edu/classes/252/Angular_Momentum/Angular_Momentum.html
L2 ψ = l(l + 1)!2 ψ
l = 0,1,2...
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
Si invia
un fascio di particelle massive (es:
della presente
opera.
atomi di Ag), in un campo magnetico
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
disomogeneo lungo l’asse z: i poli S e N
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
del momento magnetico subiranno forze
disuguali, e a seconda dell’orientazione
del momento magnetico saranno deflessi
lungo z sotto l’azione della forza:
F = −∇V = ∇(m · B) ≃ mz ∇Bz
(trascuriamo le variazioni lungo x e y)
Se le particelle non hanno momento angolare,
l’analisi dei risultati riguarda solo i momenti angolari degli elettroni.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Esperimento di Stern-Gerlach
Risultati attesi:
Classicamente:
con un fascio Enrico
in cui i momenti
angolari sono
Silva - proprietà
intellettuale non ceduta
distribuitiNon
a caso,
si ha un allargamento
del la
fascio.
è permessa,
in particolare,
riproduzione anche parziale
della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Quantisticamente,
momento magnetico proporzionale al momento orbitale:
un numero dispari di deflessioni,
perché
Lz ψ = m!ψ
m = 0, ±1, ±2,...,±l
caso per l = 1
m=0
figure adattate da D.M.Harrison,
http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/SternGerlach/SternGerlach.html
Esperimento di Stern-Gerlach
Risultato sperimentale:
DUE fascetti separati.
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Esperimento
ripetuto anche
con atomi inla riproduzione anche parziale
Non è permessa,
in particolare,
cui l = 0. della presente opera.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
opera è richiesto il permesso scritto dell’autore (E. Silva)
Se ne deduce che il momento magnetico lungo una determinata
direzione è quantizzato e può assumere solo due valori opposti.
Si inferisce che il momento magnetico stesso sia quantizzato.
Poiché a un momento magnetico corrisponde un momento angolare (vedi
esperimento di Einstein-de Haas), questo esperimento implica che gli
elettroni abbiano un momento angolare intrinseco (spin).
figura da D.M.Harrison,
http://www.upscale.utoronto.ca/GeneralInterest/Harrison/SternGerlach/SternGerlach.html
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Spin
La combinazione di due esperimenti fondamentali (Stern-Gerlach e Einstein-de Haas)
indica che i momenti magnetici di spin sono legati a un ulteriore e diverso momento
angolare, intrinseco agli elettroni (e ad altre particelle, in generale).
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
Esso
il nomeladiriproduzione
“spin” Sanche parziale
Non è permessa,
inprende
particolare,
È un momento angolare (quindi
ne
segue
le
regole),
della presente opera.MA NON È dovuto a rotazioni
meccaniche:
è
una
proprietà
intrinseca
della particella
ad es.
massa o la carica).
Per l’autorizzazione a riprodurre
in parte o(come
in tutto
la presente
operaorbitali:
è richiesto il permesso
scritto dell’autore
(E. Silva)
Per i momenti
analogamente
per i momenti
angolari di spin:
µB
e
µB
e
S
ms = − S = −2
L=−
L
m=−
m
!
2m
!
S è quantizzato, e la sua proiezione sull’asse z è Sz = ± ! /2,
ovvero il numero quantico corrispondente può assumere valori ms = ±1/2.
In analogia (si può dimostrare) al momento angolare,
S2 ha autovalori discreti dati da:
s(s + 1)!2
dove per gli elettroni, legati o liberi, s = 1/2.
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Spin.
Oltre al momento angolare orbitale, esiste il momento angolare di spin (o “spin”).
Lo spin è una grandezza intrinseca, non è dovuta a rotazioni meccaniche.
Enrico Silva - proprietà intellettuale non ceduta
anche parziale
della presente opera.
Allo spin è associato un momento magnetico.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
è richiesto
permesso
scritto
dell’autore (E. Silva)
È descrivibileopera
come fdo
(esperienzaildei
filtri di Stern
Gerlach).
Lo spin è una
proprietà
quantistica,
non ha analogolaclassico.
Non
è permessa,
in particolare,
riproduzione
Le proprietà di osservabilità sono come quelle dei momenti angolari:
S2 ha autovalori s(s+1).
La proiezione su un asse, Sz, ha autovalori: m = –s, –s+1, ..., s-1, s
L[’autovalore dell]o spin di una particella assume valori: S = 0, 1/2, 1, 3/2, ....
L [’autovalore dell]o spin di un singolo gli elettrone, legato o libero, vale s = 1/2
Enrico Silva - diritti riservati - Non è permessa, fra l’altro, l’inclusione anche parziale in altre opere senza il consenso scritto dell’autore
Nota sulla combinazione dei momenti
angolari orbitali e di spin.
Un sistema (ad esempio, un atomo) può contenere numerosi elettroni.
Il momento angolare totale J rappresenta la somma di tutti i momenti
Enricoelettroni
Silva - proprietà
angolari dei singoli
(orbitali eintellettuale
di spin): J =non
L +ceduta
S.
Non è permessa, in particolare, la riproduzione anche parziale
della
presente opera.
Il momento magnetico totale,
similmente,
sarà dato da mJ = ml + ms.
Per l’autorizzazione a riprodurre in parte o in tutto la presente
il permesso
scritto dell’autore
(E.
Silva)
Mentre mopera
e richiesto
ms || S, non
si ha necessariamente
che m
|| a J.
l || L, è
J sia
Questo è comprensibile, ricordando che
ms = −
m=−
e
µB
S = −2
S
m
!
µB
e
L=−
L
2m
!
