Geometria non commutativa: aspetti algebrici, analitici e

Rapporto Scientifico
Finale
Progetto di Ricerca
“Geometria non commutativa: aspetti algebrici, analitici
probabilistici e applicazioni in fisica matematica”
finanziato
dalla Regione
Friuli-Venezia
e
Giulia
Coordinatore Scientifico: U. Bruzzo (SISSA)
Altri afferenti: G. Carbone (SISSA - adesso presso Ecole Normale Lyon), C. Cecchini (Univ.
Udine), L. Dabrowski (SISSA), T. Krajewski (SISSA), G. Landi (Univ. Trieste), G. Marelli
(SISSA - adesso presso Univ. Salamanca), C. Reina (SISSA), G. Tondo (Univ. Trieste).
Introduzione
L’attività del gruppo di ricercatori afferenti al progetto è consistita nel lavoro di ricerca
su vari problemi di geometria non commutativa e probabilità non commutativa, nella
partecipazione a congressi internazionali in cui i risultati conseguiti sono stati esposti,
nell’organizzazione di un congresso scientifico internazionale, e nell’organizzazione di u n
seminario annuale presso la SISSA.
Si sono affrontati sia questioni inerenti alla struttura matematica della teoria, sia
applicazioni alla fisica, segnatamente la teoria quantistica dei campi, la gravità
quantistica e la teoria delle stringhe.
Risultati
conseguiti
Si sono costruite
teorie di gauge su spazi noncommutativi. Esempi importanti di tali
spazi sono le sfere n o n c o m m u t ative 4-dimensionali S4θ da noi introdotte recentemente. I
campi di gauge sono definiti su fibrati vettoriali che vengono caratterizzati
algebricamente attraverso le loro sezioni. Si sono costruiti insiemi canonici di sezioni
sulle sfere n o n c o m mutative e su tali sezioni si sono costruiti campi di gauge e definiti gli
analoghi delle derivate covarianti che servono per costruire equazioni di campo. Infine,
strutture metriche sulle sfere noncommutative (o su più generali spazinoncommutativi)
sono state definite attraverso un operatore che generalizza l' operatore di Dirac.
Una opportuna definizione di modello sigma non-lineare in geometria non c o m m u t a t i v a
è stata applicata allo studio della compattificazione di D-brane su tori in p r e s e nza d i
campo B.
Nell’ambito delle algebre di Hopf e della teoria della rinormalizzazione delle teorie d i
campo quantistiche, sono stati estesi i risultati di Connes e Kreimer sulla
rinormalizzazione della funzione d’onda ottenuta introducendo un 1-cociclo sul g r u p p o
associato ai diagrammi di Feynman. In particolare si è considerato un formalismo
generale basato sulla relazione fra alberi con radici e le equazioni differenziali adattato a l
trattamento della rinormalizzazione dal punto di vista “wilsoniano”.
Per quanto riguarda le ricerche sui gruppi quantici condotte all’interno del gruppo d i
ricerca, si è dimostrato che l’algebra di Hopf del gruppo Slq(2) è libera sull’algebra d e l
gruppo Sl(2) nel caso q N =1.
Si è iniziata la costruzione di una trasformata di Fourier-Mukai in un ambito simpletticocomplesso atta a descrivere le dualità di teorie di stringa di tipo IIA-IIB, anche i n
presenza di campo B.
L’approccio statistico alla gravità quantistica è in qualche modo connesso alla g e o m et r i a
non commutiva, in particolare tramite le r a p presentazioni in termini di gruppi q u a n t i c i
dei gruppi di trecce. Si è preso spunto dai lavori di Ponzano-Regge e Turaev-Viro, in c u i
è stato definito oltre ad un invariante della struttura PL delle 3-varietà anche un m o d e l l o
in grado di descrivere un a p proccio discretizzato alla gravità quantistica 3-dimensionale,
rendendo questi modelli più trattabili e inserendoli in un contesto più generale. Il p r i m o
problema e' stato affrontato definendo una rappresentazione in termini di “surgery” d e l
calcolo di q uesti invarianti. Il secondo problema e' stato sviluppato generalizzando i
modelli al caso di varietà con bordo, Questo ha mostrato la presenza sul bordo di u n ' a l t r a
classe di invarianti legati alla caratteristica di Eulero ed ai modelli matriciali. Si è p o i
passato ad analizzare il problema in dimensioni maggiori di 3. Questo ha portato a
formulare una struttura gerarchica nello spazio degli invarianti PL che risulta essere
regolata da un algoritmo "olografico".
Parte dell’attività di ricerca del gruppo ha riguardato la probabilità quantistica. In q u e s t o
contesto si è trovato, nell’ambito della teoria modulare delle algebre di von Neumann, u n
oggetto generale di cui le aspettazioni condizionali, i pesi a valori operatoriali e l e
derivate di Radon-Nikodym sono casi particolari.
Pubblicazioni
scientifiche
1. L. Castellani, G. Landi, F. Lizzi (editori), Brane New World and Noncommutative
Geometry, World Scientific, Singapore, 2 0 0 1 .
2. L. Castellani, G. Landi, F. Lizzi (editori), Noncommutative Geometry and Hopf Algebras
in Field Theory and Particle Physics, World Scientific, Singapore 2 0 0 1 .
3. G. Landi, Noncommutative Geometry (An Introduction to Selected Topics)
Quaderno Dipartimento di Scienze Matematiche, Trieste, DSMA-TS 488, marzo 2001. I n
stampa in `Acta Applicandae Mathematicae'.
4. G. Landi, J. Madore.Twisted
math.QA/0102195.
Configurations
over
Quantum
Euclidean
Spheres.
5. L. Dabrowski, G. Landi, I n s t a n t o n Algebras
math.QA/0101177. Diff. Geom. Appl. in s t a m p a .
and
Quantum
4-Spheres.
6. L. Dabrowski, G. Landi, T. Masuda, Instantons on the Quantum 4-Spheres S4q . C o m m u n .
Math. Phys. 221 (2001) 1 6 1 - 1 6 8 .
7. A. Connes, G. Landi, Noncommutative Manifolds, the Instanton algebra and isospectral
deformations. Commun. Math. Phys. 221 (2001) 1 4 1-159.
8. L. Dabrowski, T. Krajewski, G. Landi, Some Properties of Non-linear s-Models i n
Noncommutative Geometry. Int.J.Mod.Phys. B14 (2001) 2 3 6 7 - 2 3 8 2 .
9. G. Landi, F. Lizzi, R.J. Szabo, From Large N Matrices to the Noncommutative
Commun. Math. Phys. 217 (2001) 1 8 1 - 2 0 1 .
10. G. Landi. Projective Modules of Finite Type over the Supersphere
Appl. 14 (2001) 9 5 - 1 1 1 .
11. G. Landi. Deconstructing
1367-1390G.
Torus.
S22 . Diff. Geom.
Monopoles and Instantons. Rev. Math. Phys. 12 ( 2 0 0 0 )
12. L. Dabrowski, T. Krajewski and G. Landi. Some properties of non linear sigma m o d e l s
in noncommutative geometry. Int.J.Mod.Phys. B14 pg 2367-2382 h e p - t h / 0 0 0 3 0 9 9
13. T. Krajewski and M. Schnabl. Exact solitons on noncommutative
tori. JHEP 0 1 0 8 .
14. F. Girelli, T. Krajewski a nd P. Martinetti. Wave function renormalization
algebra of Connes and Kreimer. Mod. Phys. Lett. A16 (2001) 2 9 9 .
and the Hopf
15. L. Dabrowski, C. Reina e A. Zampa. A[Slq(2)] at roots of unity is a free module o v e r
A[Sl(2)]. Lett. Math. Phys. 52 (2000) 3 3 9 -3 4 2 .
16. L. Dabrowski, H. Grosse, P.M. Hajac. Strong Connections and Chern-Connes Pairing i n
the Hopf-Galois Theory. Commun. Math. Phys. 220 (2001), 3 0 1 - 3 3 1 .
17. U. Bruzzo, G. Marelli, F. Pioli. A Fourier-Mukai transform for sheaves on real tori. P a r t
I: the correspondence Sky(T) ≈ Loc(T^). J. Geom. Phys. 39 (2001) 1 7 4 - 1 8 2 .
18. U. Bruzzo, G. Marelli, F. Pioli. A Fourier-Mukai transform for sheaves on real tori. P a r t
II: relative theory J. Geom. Phys. 2001 (in s t a m p a ) .
19. C. Cecchini, S. Cavallaro, A u nified approach to generalized conditional expectations,
operator valued weights and Radon Nikodym derivatives on von Neumann algewbras, i n
stampa in “Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics”.
20. G. Carbone, M. Carfora, A. Marzuoli. Wigner Symbols and combinatorial invariants o f
three-manifolds with boundary, Comm. Math. Phys. 212 (2000) 5 7 1 - 5 9 0
21. G. Carbone, M. Carfora, A. Marzuoli. Invariant of spin networks with boundary i n
Quantum Gravity and TQFT's, in Recent Developments in General Relativity, SpringVerlag, Berlin (2000) 4 1 9 - 4 2 6
22. G, Carbone, Turaev-Viro invariant and 3n-j Symbols, J. Math. Phys. 41 (2000) 3 0 6 8 3085
23. G. Carbone, M. Carfora, A. Marzuoli. Hierarchies of invariant spin models, Nucl. Phys.
B 595 (2001) 6 5 4 - 6 8 8
24. G. Carbone, M. Carfora, A. Marzuoli. Hierarchies of spin network models, in stampa i n
Proceedings of IX Marcell-Grossman meeting.
25. G. Carbone, M. Carfora, A. Marzuoli. Spin Models, TQFTs and their Hierarchical
Structure, in stampa in Recent Developments in General Relativity, Spring-Verlag, Berlin
(2001)
Partecipazione
a congressi
Si elencano qui congressi a cui ricercatori afferenti al progetto hanno p a r t e c i p a t o
presentando in relazioni invitate o comunicazioni spontanee i risultati delle loro ricerche.
1. VI Workshop `Problemi attuali di Fisica Teorica', Vietri sul Mare (Sa), Aprile 2 0 0 1 .
2. Workshop su ` Noncommutative
Ancona, Febbraio 2 0 0 1 .
Geometry
b e t ween
3. Workshop on `String Theory and Noncommutative
Maggio - 5 Giugno 2 0 0 0 .
mathematics
and
physics',
Geometry', Beirut, Libano, 3 1
4. V Workshop `Problemi attuali di Fisica Teorica', Vietri sul Mare (Sa), Aprile 2 0 0 0 .
5. Nichtkommutative Geometrie, Oberwolfach, Germania, Marzo 2 0 0 0 .
6. `Index theory and physics’, Bologna, Febbraio 2 0 0 1 .
7. Incontro del Gruppo Nazionale di Fisica Matematica su `Operatore di Dirac e spinori i n
geometria non commutativa’, Camerino Febbraio 2 0 0 1 .
8. `Mathematical and physical aspects of quantum groups’, Bayrishzell Aprile 2 0 0 1 .
9. `Seminar on noncommutative
Varsavia, Giugno 2 0 0 1 .
geometry
and
quantum
groups’,
Banach
Centre,
10. `Mathematical aspects of string theory’, E. Schrödinger Institut, Vienna, Settembre
2001.
11. `Conference on noncommutative
Varsavia, Settembre 2 0 0 1 .
geometry and quantum
groups’, Banach Centre,
12. `School on Geometric analysis and index theory’, ICTP, Trieste, Marzo 2 0 0 1 .
Organizzazione
di seminari
e congressi
Il gruppo di ricerca ha organizzato nell’anno 1999-2000 un seminario annuale presso l a
SISSA, dal titolo
“Hopf algebras, renormalization group, and the Riemann-Hilbert
problem”.
Inoltre nel marzo 2001 è stato organizzato un workshop presso il Centro Internazionale
di Fisica Teorica, dal titolo “Workshop on Quantum field theory, n o n c o m m u t a t i v e
geometry and quantum probability”, a cui hanno partecipato circa 100 ricercatori.