Corso di Metodi Matematici per la fisica applicata
Prof. Gaetano Festa
Funzioni analitiche
Campo dei numeri complessi, derivabilità delle funzioni, relazioni tra funzioni analitiche ed
equazione di Laplace. Integrazione di funzioni di variabile complessa e formula di Cauchy. Punti
singolari, serie di numeri complessi. Sviluppi di Taylor e Laurent, Teorema dei residui. Calcolo di
residui in presenza di poli semplici e di ordine superiore. Calcolo dei residui in presenza di tagli.
Equazione delle onde
Problema di una corda vibrante unidimensionale, principio di Hamilton. Teorema di Ostrogradskij.
Soluzione di D’Alambert per una corda di lunghezza infinita, problema al contorno per una corda di
lunghezza finita. Soluzioni stazionarie per il problema della corda vibrante. Eq. delle onde
tridimensionale. Teorema di Poisson per l’equazione omogenea. Eq. delle onde tridimensionale non
omogenea. Soluzioni generalizzate. Funzione di Green e potenziale ritardato. Oscillazioni di una
sfera. Laplaciano in coordinate sferiche. Soluzioni per la parte angolare. Soluzione per serie
dell’equazione di Legendre. Armoniche sferiche. Soluzioni per la parte radiale. Equazione di
Bessel. Soluzioni per serie dell’equazione di Bessel. Modi normali di una sfera liquida. Oscillazioni
libere della Terra. Soluzioni dell’equazione dell’elasticità. Teorema di Lamè. Potenziali di Helmotz.
Potenziali elastodinamici. Funzioni di Green elastodinamiche, onde P ed S. Propagazione di onde
elastiche all’interno della Terra. Soluzioni asintotiche dell’equazione delle onde: teoria del raggio.
Equazione iconale, equazione del raggio, formalismo Hamiltoniano. Raggi in mezzi omogenei ed a
gradiente costante. Applicazioni della teoria del raggio: problema di un mezzo con curvatura.
Formula di Wiechert-Herglotz. Integrale di Abel e stabilità dell’inversione tomografica dei tempi di
arrivo. Onde sferiche come sovrapposizione di onde piane e onde coniche. Interazione tra onde
piane e interfacce in un mezzo acustico. Coefficienti di riflessione e trasmissione. Phase advance.
Trasformata di Hilbert. Unicità dell’equazione delle onde.
Equazione di Laplace
Caratteristiche dell’equazione di Laplace. Formula di Green per il caso tridimensionale.
Rappresentazione integrale per le soluzioni di Laplace. Proprietà delle funzioni armoniche.
Soluzioni per l’equazione di Laplace in coordinate sferiche. Formula di Rodrigues per i polinomi di
Legendre. Ortogonalità dei polinomi di Legendre. Proprietà delle armoniche sferiche.
Caratteristiche del campo magnetico terrestre.
Trasformata di Laplace
Definizione della trasformata di Laplace. Proprietà della trasformata di Laplace. Inversione della
trasformata di Laplace. Metodo di Cagnard-de Hoop per la soluzione di equazioni differenziali in
trasformata di Laplace. Soluzione per una sorgente linea di onde SH.
