Simulazione di moti con fogli elettronici
La seconda legge della dinamica, F = ma, permette di determinare il moto di un oggetto.
Infatti se di un corpo, considerato come un punto materiale di massa m, si conoscono ad un
dato istante iniziale t0
➔ la posizione iniziale x0;
➔ la velocità iniziale v0;
➔ la forza FP,t che agirebbe sul corpo se fosse posto in un punto qualsiasi P dello spazio
ad un dato tempo t;
è possibile calcolarne la posizione ad ogni istante successivo 1.
Tranne pochi casi semplici, risolubili esattamente, il calcolo effettivo del moto di un oggetto
viene effettuato con calcolatori elettronici utilizzando metodi di approssimazione numerica. I
risultati ottenuti sono affetti da errori che tendono ad aumentare col tempo; impiegando però
metodi più sofisticati di quello che utilizzeremo negli esempi seguenti si possono raggiungere
comunque delle ottime approssimazioni.
Il procedimento di base che impiegheremo per determinare la posizione di un corpo ad un
tempo t noti i parametri sopra elencati {posizione iniziale x0, velocità iniziale v0} ad un tempo
iniziale t0 è il seguente:
1. si suddivide l'intervallo di tempo tra t0 e t in piccoli intervalli ciascuno di uguale durata Dt
Si hanno così gli istanti tk = t0 + k Dt dove k è un numero naturale (discretizzazione del
tempo);
ad es. se t0 = 1 s e t=2s e Dt = 0,1 s, si hanno gli istanti {1; 1,1; 1,2; ....; 1,9; 2}s dati
dalla formula tk = 1s + k 0,1s (k da 0 a 10);
2. in un intervallo di tempo breve l'accelerazione di un corpo non può variare di molto quindi
entro ciascun intervallo di ampiezza Dt l'accelerazione si può considerare costante ossia il
moto si può approssimare con uno uniformemente accelerato2 la cui accelerazione però
cambia da intervallo ad intervallo ed è data dalla 2° legge della dinamica, a = F / m:
tra l'istante tk e l'istante successivo tk+1 , ossia nell'intervallo k, si ha quindi:
ak = Fk / m
(Fk : forza calcolata nella posizione in cui il corpo si trova al tempo tk)
xk+1 = xk + vk Dt + ½ ak Dt²
(moto uniformemente accelerato)
vk+1 = vk + ak Dt
(moto uniformemente accelerato)
Nelle formule precedenti ak vk xk
sono rispettivamente l'accelerazione, la velocità e la
posizione del corpo all'istante tk mentre vk+1 e xk+1 sono la velocità e la posizione all'istante tk+1
immediatamente successivo ( tk+1 = tk + Dt ).
Sulle tre formule precedenti è basato il calcolo iterativo della posizione dell'oggetto secondo
questo schema:
1) dati iniziali (input):
•
la massa m,
•
la posizione iniziale x0 e la velocità iniziale v0 al tempo t0 ,
•
la formula che permette di calcolare la forza F (può dipendere dalla posizione e dalla
velocità dell'oggetto ed eventualmente dal tempo),
•
un intervallo di tempo Dt
2) ciclo: si ripetono i seguenti passi da 1. a 4., partendo dai dati al tempo t0:
1. calcolo l'istante di tempo successivo: tk+1 = tk + Dt
2. calcolo l'accelerazione al tempo tk: ak = Fk / m
3. calcolo la posizione all'istante successivo tk+1 : xk+1 = xk
+
vk Dt + ½ ak Dt²
4. calcolo la velocità al tempo successivo: vk+1 = vk + ak Dt (servirà per il ciclo successivo)
1
2
Esistono dei limiti: da una parte la meccanica classica non è applicabile a livello microscopico, dall'altra le previsioni
sull'evoluzione di sistemi fisici non banali sono ineliminabilmente sensibili ai dati iniziali e anche le minime
imprecisioni dovute gli errori di misura comportano una esplosione degli errori su tempi lunghi.
L'approssimazione si avvicina di più al valore esatto per intervalli di tempo più brevi ma di fatto non si possono
utilizzare intervalli di tempo troppo piccoli perché gli errori di troncamento dei calcolatori diventerebbero troppo
pesanti: un calcolatore può utilizzare solo un numero finito di cifre e deve quindi arrotondare i risultati.
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Lo schema precedente può essere facilmente realizzato con un foglio elettronico. Le prime
righe le riserveremo a intestazioni e parametri della simulazione. Nelle colonne delle righe
successive metteremo rispettivamente gli istanti di tempo, le posizioni, le velocità e le
accelerazioni. Il tempo iniziale t0 sarà sempre 0.
All'inizio considereremo solo moti rettilinei per cui le posizioni, le velocità e le accelerazioni si
possono indicare con un solo valore numerico per ciascuna grandezza.
1)Moto di un oggetto sottoposto ad una forza costante
Prepariamo un foglio di lavoro come il seguente:
Fig. 1 Foglio di lavoro base: forza costante
Fino alla riga 10 la celle contengono i dati di input standard (posizione e velocità iniziale,
massa dell'oggetto; intervallo di calcolo Dt), il valore della forza e le intestazioni delle colonne
che conterranno i risultati della simulazione.
A partire dalla riga 11 nelle celle sono inserite delle formule.
seguenti formule:
A
FORMULE:
(spiegazione)
0
B
=B3
istante iniziale
Nella riga 11 sono scritte le
C
=B4
posizione iniziale
D
=E7/B5
velocità iniziale
accelerazione
(a=F/m)
Nella riga 12 vengono scritte le formule che verranno copiate per trascinamento nelle righe
successive; dato che alcuni riferimenti (come quello a Dt, nella cella B7) devono rimanere uguali
per tutte le celle copiate, si devono impiegare anche dei riferimenti assoluti (per ottenere i
simboli $: premere Alt+F4 o F4 in Excel dopo aver scritto il nome della cella):
A
FORMULE:
=A11 + $B$7
(spiegazione)
istante precedente
(A11) + incremento
Dt ($B$7)
B
C
=B11+
C11*$B$7+
0,5*D11*
$B$7*$B$7
=C11 +
D11*$B$7
posizione precedente
(B11) +
velocità * Dt +
½*accelerazione*Dt²
velocità precedente +
accelerazione * Dt
D
=D11
per ipotesi
l'accelerazione rimane
sempre uguale
Si selezionano poi le celle A12:D12 e si copiano per trascinamento nelle righe successive fino a
raggiungere il tempo t finale (es. 3 s).
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Si può poi creare un grafico posizione-tempo (seguiremo le procedure di OpenOffice.calc) :
● si selezionano le prime due colonne contenenti i tempi e le posizioni (colonne A e B,
comprese le intestazioni della riga 10),
●
si preme il pulsante <Inserisci diagramma>
●
●
si muove il mouse sopra il foglio (il cursore assume la forma
trascinamento una selezione rettangolare;
si sceglie il tipo DiagrammaXY:
●
e il sottotipo Linee con simboli:
●
si possono evitare i titoli in alto e la legenda (togliere la spunta) e impostare i titoli sugli
assi (asse x: il tempo, asse y la posizione):
●
premuto il bottone Crea si otterrà il grafico (v. Fig. 2)
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,
) e si crea per
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Fig. 2 Forza costante: dati e grafico s-t
Per utilizzare degli estremi fissi per l'asse y invece della scala automatica: si clicca due vv. sul
grafico, si clicca due vv. sull'asse y poi, nella finestra che apparirà (v. sotto), si sceglie la scheda
<Scala> e si tolgono le spunte delle caselle "Automatico" per il minimo e il massimo e si
impostano gli estremi. Per qualche variazione conviene però ripristinare la scala automatica
(basta rimettere la spunta su "Automatico"):
Il risultato di questa simulazione è banale (si ottiene quanto già si sapeva: il moto è
uniformemente accelerato, la velocità aumenta linearmente col tempo, il grafico spazio-tempo è
una parabola) ma lo schema del foglio può essere facilmente adattato ad altre situazioni.
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Per simulare la caduta libera (in assenza d'aria) basta scrivere al posto della forza nella cella E7
la formula corrispondente a mg ossia: =B5*9,8
Quesiti e prove:
a) Cosa accade se la posizione iniziale è 5m o -5m e non 0 (cella B3) ?
b) Cosa accade se la velocità iniziale (cella B4) diventa 4 m/s? o -4?
c) Cosa accade quando massa è di 4 kg e non 2 kg ?
d) Cosa accade se la forza costante diventa di 5N ? o di -5N?
e) Come si interpretano i risultati precedenti ?
f) Quale significato hanno i valori negativi per la posizione e velocità iniziali e per la forza ?
2)Moto di un oggetto sottoposto a: forza costante + resistenza proporzionale alla velocità
Si copia il foglio della simulazione precedente: si clicca
col tasto destro sulla scheda del foglio e dal menù
contestuale (Fig. 3) si sceglie <Sposta/Copia tabella ...
>; nella finestra di dialogo che si aprirà, Fig. 4, si
mette la spunta su copia e si sceglie una posizione
(nell'es. in ultima posizione).
Il grafico in OpenOffice.calc deve essere aggiornato
manualmente altrimenti verrà copiato quello vecchio.
Per aggiornare il grafico: si clicca col pulsante destro
sul grafico e si sceglie <Modifica area dati>. Nella
finestra di dialogo si deve sostituire nella cella <Area>
il nome del nuovo foglio, al posto di quello vecchio. Ad Fig. 3 Menù della scheda
es. se comparisse come <Area> la formula
$Fcost.$A$10:$B$31 si deve sostituire Fcost (=il nome
del vecchio foglio) col nome del nuovo foglio, ad es. Tabella3, lasciando invariato il resto; si
dovrebbe scrivere la formula $Tabella3.$A$10:$B$31
In questo esempio determineremo il moto di
un corpo, con traiettoria sempre rettilinea,
che è sottoposto a due forze parallele alla
propria traiettoria: una forza costante, come
nel caso precedente ed una forza di
resistenza proporzionale alla velocità, ma
con verso opposto ad essa.
Una situazione del genere si riscontra nella
caduta di un piccolo oggetto in fluidi viscosi
come l'olio e, rendendo la resistenza
proporzionale non alla velocità ma al suo
quadrato, ad un corpo che cade in aria. Per
effetto della resistenza del fluido al
movimento, dopo una fase iniziale di
accelerazione si arriva ad un moto a velocità
costante.
Infatti
la
resistenza
è
proporzionale alla velocità. Se l'oggetto Fig. 4 Finestra di dialogo Sposta/Copia tabella
parte da fermo la velocità iniziale è nulla
così come la forza di resistenza e quindi il moto è inizialmente governato solo dalla forza
costante, che produce un moto uniformemente accelerato e un incremento della velocità nella
direzione della forza. Man mano che passa il tempo però l'aumento della velocità determina un
aumento della resistenza che cresce fino ad equilibrare la forza costante; quando si raggiunge
l'equilibrio tra le due forze, l'accelerazione risulta essere nulla e il moto uniforme.
Le modifiche da apportare al foglio di calcolo sono le seguenti:
●
in H7 mettiamo il coefficiente di resistenza C; la forza di resistenza sarà data da -Cv,
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ossia l'opposto del prodotto del coefficiente di resistenza C e la velocità dell'oggetto;
●
la formula dell'accelerazione, in D11, diventa la seguente
=($E$7 - $H$7*C11)/$B$5
ossia: (Fcostante – C*v)/m
Si seleziona poi la cella D11 e la si copia per trascinamento nelle righe seguenti per aggiornare i
valori dell'accelerazione. Le formule per la posizione e la velocità rimangono invariate per tutte
le simulazioni, solo l'accelerazione dovrà tener conto delle diverse forze.
Fig. 5 Forza costante con resistenza proporzionale alla velocità: dati e grafico s-t
Si ottiene, dopo un tempo che dipende dall'entità relativa di F e C, un'accelerazione nulla e un
valore costante della velocità (velocità limite). Il grafico spazio-tempo, dopo una fase iniziale di
moto quasi uniformemente accelerato, evidenziato da un andamento simile ad una parabola,
diventa sempre più rettilineo, come avviene nel moto uniforme.
Come si determina il valore costante della velocità limite ?
3)Moto armonico senza attrito
In questo esempio simuleremo il moto di un corpo soggetto ad una forza di richiamo che tende
a riportarlo nella posizione iniziale da cui era stato allontanato (corrispondente al valore zero
della posizione) e che aumenta proporzionalmente alla distanza dell'oggetto; tali forze vengono
dette forze elastiche. La situazione è ad es. quella di un corpo attaccato ad una molla, che
esercita la forza di richiamo, ma è comune a tanti sistemi fisici: ad es. i pendoli o anche gli
atomi in un solido (sono soggetti a forze simili: esistono delle posizioni di equilibrio stabile e se
si allontanano da tali posizioni le forze interatomiche tendono a riportarli nelle posizioni iniziali.)
La forza esercitata sull'oggetto si può scrivere come Felastica = -kx, dove il segno – indica che la
forza tende a riportare l'oggetto verso la posizione x=0 (infatti se si allontana verso destra si ha
x>0 e F <0 quindi F spinge verso sinistra, se si allontana verso sinistra x<0 e F > 0 ovvero
spinge verso destra) mentre k è una costante di proporzionalità, detta costante elastica (si
misura in N/m, maggiore è k, più intensa è la forza di richiamo).
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Per approntare il foglio di calcolo si copia ancora il foglio della prima simulazione e in H7 si
mette il valore della costante elastica k. La formula dell'accelerazione in D11 diventa la
seguente: = - $H$7*B11/$B$5
ossia -k*x/m
Si trascina la formula dell'accelerazione nelle righe seguenti. Conviene aumentare di molto il numero di valori
calcolati ed estendere conseguentemente la selezione del grafico. Inoltre in questo esempio si faranno sentire
gli effetti delle approssimazioni introdotte e per ridurre l'imprecisione si diminuisce la durata dell'intervallo di
tempo in modo che l'ipotesi adottata (in ogni intervallo di tempo il moto è considerato uniformemente
accelerato) sia più vicina alla realtà.
Fig. 6 Forza elastica: dati e grafico s-t
(sono state lasciate intatte le celle D7:F7 anche se la forza costante non è utilizzata in questo modello).
Si ottiene un grafico spazio-tempo che è una sinusoide (moto armonico). Prova a variare l'intervallo di calcolo
per osservare l'effetto delle approssimazioni. Prova a misurare il periodo dell'oscillazione (ad es. come
intervallo di tempo tra due massimi/minimi) e cerca di determinare da quali parametri {tra x0, v0, m, k}
dipende.
4)Moto armonico con forza di resistenza
È il caso di una molla o di un pendolo reali, soggetti anche alla resistenza del mezzo in cui si
muovono. Le forze di resistenza al solito tendono a frenare il moto dell'oggetto; il risultato è un
moto armonico smorzato con ampiezze via via decrescenti.
Copiamo il foglio della simulazione precedente e al posto della forza F mettiamo il coefficiente di
resistenza C (celle D7:F7). Aggiorniamo sempre l'area dati del grafico col nome del nuovo foglio.
La formula per l'accelerazione iniziale, in D11, diventa: =(-$E$7*C11-$H$7*B11)/$B$5
ossia (-Cv – kx)/m (i riferimenti a k, C e m devono essere assoluti).
Si copia la formula dell'accelerazione e si ha un grafico come quello mostrato nella figura seguente, con
oscillazioni smorzate la cui ampiezza tende a zero.
La distanza tra i massimi dipende da C o da k ?
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Fig. 7 Forza elastica e resistenza proporzionale alla velocità: dati e grafico s-t
5)Moto di un proiettile
In questa simulazione dovremo abbandonare i moti rettilinei.
Considereremo infatti un oggetto lanciato da una certa altezza e
con una data inclinazione. Il moto del proiettile si svolge in un
piano, quello verticale contenente la direzione del vettore
velocità iniziale.
v
Per descrivere la posizione del proiettile (v. Fig. 8)adotteremo le
sue coordinate cartesiane (x, y) nel piano verticale: x sarà la
coordinata orizzontale, y quella verticale (valori positivi verso y=0
l'alto). Consideriamo poi con ordinata zero (ossia y = 0) la quota
x
x=0
a cui si trova il terreno mentre il proiettile può partire da quote
diverse (date dai valori di y iniziali).
L'ascissa nulla (x=0) Fig. 8 Lancio d'un proiettile:
corrisponde alla posizione orizzontale del proiettile all'istante coordinate
iniziale.
Dovremo inoltre considerare le componenti della
velocità lungo le due direzioni (vx , vy ) e quelle dell'accelerazione (ax , ay ). Queste ultime si
ricavano dalle componenti della forza: ax = Fx / m e ay = Fy / m.
Il proiettile in volo sarà soggetto alla forza di gravità e alla resistenza dell'aria. La forza di
gravità è data da
e dipenderebbe dalla distanza r tra il proiettile e il centro
F
della Terra ma, dato che il corpo non si allontana molto rispetto
al raggio terrestre (6378 km),
gravi
possiamo approssimare la forza di gravità col valore (costante) che si ha al suolo (con r=R
raggio della Terra):
dove la costante g (accelerazione di gravità) vale
F
M
gra
). Il segno – indica il verso della forza, che è diretta
verso il centro
2
R
della Terra ossia per noi verso il basso e quindi per la forza di gravità si hanno le seguenti
componenti:
circa 9,8 m/s² ( g=G
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Fxgrav = 0
e
Fygrav = - mg (forza: solo verso il basso, le y negative).
La resistenza dell'aria ha la stessa direzione della velocità del proiettile ma verso opposto;
assumiamo poi che il modulo della resistenza aerodinamica sia proporzionale alla velocità del
proiettile. Se C è la costante di proporzionalità della resistenza aerodinamica (dipende solo dal
mezzo e dalla superficie efficace del proiettile), assumendo la resistenza proporzionale alla
velocità, avremo due componenti, ciascuna delle quali si oppone alla componente della velocità
lungo il proprio asse:
Fzres = - C vx
e Fyres = - C vy
Se la resistenza del mezzo è trascurabile, come nel vuoto, l'unica forza presente è la forza di
gravità verso il basso e quindi le componenti dell'accelerazione lungo i due assi sono:
lungo l'asse X: ax = Fx /m = 0
(nessuna forza orizzontale; lungo x il moto è uniforme)
lungo l'asse Y:
(Fgravità, segno – perché rivolta verso il basso)
ay = Fy/m = -g
In questo caso si avrà la composizione di un moto uniforme per la coordinata x, con velocità
uguale a quella iniziale vx0 (quindi x = vx0 t supponendo che al tempo iniziale x=0), con un
moto uniformemente accelerato, con accelerazione -g e velocità iniziale vy0, per la coordinata y
(quindi y =y0 + vy0 t - ½ gt² dove y0 è la quota iniziale); la traiettoria sarà una parabola con la
concavità rivolta verso il basso (basta ricavare t dalla coordinata x e sostituirla nell'equazione
che dà y : si ottiene y = y0+ vy0 / vx0 x – ½ g/vx0² x² che è della forma y = c + bx + ax² ossia
una parabola). Il moto in questo caso è indipendente dalla massa dell'oggetto, dipende solo
dalla velocità iniziale e dalla costante g: lanciando una piuma o un TIR con la stessa velocità la
traiettoria sarebbe la stessa e cadrebbero assieme.
Prendendo in considerazione anche la resistenza dell'aria si avrà invece:
lungo l'asse X: ax = Fx/m =
- C vx /m
lungo l'asse Y: ax = Fy/m = -g - C vy /m
basso)
(solo la f. di resistenza; nel vuoto C=0)
(Fgravità
e
resistenza,
entrambe
verso
il
In questo caso lungo l'asse x la velocità diminuisce fino a raggiungere lo zero per la resistenza
dell'aria mentre lungo l'asse y la velocità tende ad un valore negativo costante dato da -mg/C
(velocità limite). La traiettoria differisce anche di molto da una parabola e dipende dalla massa
del proiettile.
A parte il raddoppio delle coordinate, delle velocità e delle accelerazioni dovute al passaggio dai
moti in una dimensione a quelli in due dimensioni, lo schema del calcolo non cambia:
–
si calcolano le accelerazioni
–
si calcolano le posizioni
–
si calcolano le velocità
–
si ripetono i passi precedenti fino al tempo stabilito.
Copiamo il foglio standard della prima simulazione (quella con F costante) e cancelliamo
l'eventuale vecchio grafico.
Fig. 9 Moti in due dimensioni: proiettile
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Nella sezione di input (v. Fig. 9) mettiamo
le coordinate iniziali x 0 (in B3) e y0 (in F3),
le velocità iniziali vx 0 (in C3) e vy0 (in F4),
l'intervallo di calcolo Dt (in B7)
la costante g (in E7)
la costante C (per la resistenza dell'aria) all'inizio posta uguale a zero (in I7).
Le intestazioni delle colonne per i valori devono essere cambiate come si vede nella figura 9: si
devono raddoppiare le coordinate, le velocità e le accelerazioni.
Nella riga 11 sono state scritte queste formule:
A
FORMULE:
(spiegazione)
0
B
=B3
istante
iniziale
C
D
= F3
=B4
coordinata x coordinata y velocità x
iniziale
iniziale
iniziale
E
= F4
velocità y
iniziale
F
G
= - $I$7/
$B$5*D11
= - $E$7$I$7/$B$5*
E11
ax :
- C vx /m
ay :
-g - C vy/m
Nella riga 12 invece:
A
FORMULE:
(spiegazione)
B
=B11+D11
*$B$7+0.5*
=A11+$B$7
F11*$B$7^
2
istante
successivo
C
D
E
F
G
=C11+E11*
= - $E$7=D11+F11 =E11+G11 = - $I$7/
$B$7+0.5*
$I$7/$B$5
*$B$7
*$B$7
$B$5*D12
G11*$B$7^
*E12
2
solita
formula del
moto unif.
accelerato,
ma con
come a lato,
velocità,
ma per la y
accelerazione
e pos.
iniziale
sull'asse x
velocità x al
tempo Dt
velocità y al
tempo Dt
ax:
basta copiare
per
trascinamento la cella
F11
ay:
basta copiare
per
trascinamento la cella
G11
Si trascinano le formule della riga 12 fino al tempo massimo stabilito (ad es. 2 s).
Si possono fare due tipi di
grafici:
spazio-tempo
e
traiettoria.
Nel grafico spazio tempo (Fig.
10) avremo la coordinata
tempo sull'asse orizzontale ed
entrambe
le
coordinate
spaziali X e Y su quello
verticale: si selezionano tutti i
dati delle prime tre colonne
(da A a C) comprese le
intestazioni della riga 10, si
crea il diagramma al solito
modo (opzioni: prima riga
come dicitura > diagramma XY
> linee con simboli > {titolo:
distanze e quote; legenda;
Fig. 10 Distanze dal punto iniziale (x) e quote (y) raggiunte
asse X: t[s]; asse Y: distanza
dal proiettile durante il moto (nel vuoto).
e quote [m]}). Si ottiene un
grafico come quello a lato in cui sono rappresentate al passare del tempo le distanze orizzontali
dal punto di partenza (x) e le quote raggiunte dal proiettile (y; quando y <0 il proiettile si
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troverebbe sottoterra e non sono da considerare). Nel caso illustrato siamo nel vuoto (C=0) e
quindi il moto lungo l'asse x è rappresentato da una retta (moto uniforme) mentre lungo l'asse
y abbiamo una parabola (moto unif. accelerato).
Per ottenere invece la traiettoria (Fig. 11),
ovvero la curva formata da tutti i punti
raggiunti dal corpo durante il moto, si
selezionano, sempre dalla riga 10, le sole
colonne delle coordinate (colonne B e C) e si
crea un grafico al solito modo (opzioni: prima
riga come dicitura > diagramma XY > linee con
simboli > {titolo: traiettoria; legenda; asse X: x
[m]; asse Y: y [m]}). Si dovrebbe ottenere,
con gli stessi dati del grafico precedente, un
diagramma come quello a lato. Per non avere
distorsioni della traiettoria si dovrebbe riuscire
ad avere sui due assi uguali distanze per uguali
intervalli, altrimenti un arco di circonferenza
diventerebbe un arco di ellisse; i fogli di calcolo
non prevedono modi automatici per ottenere un Fig. 11 Traiettoria del proiettile nel vuoto. Il
tale risultato, bisogna operare manualmente quadrato colorato serve per regolare le scale
impostando sui due assi intervalli uguali, dei due assi.
mostrando la griglia per entrambi e poi cambiando i valori massimi/minimi o
allungando/accorciando il grafico finché la griglia apparirà quadrata. Ci si può aiutare, come
nella figura, piazzando un quadrato, creato con gli strumenti di disegno, sulla griglia.
Non si devono confondere le due parabole ottenute nei due diagrammi nel caso di resistenza
aerodinamica assente (C=0): il primo diagramma mostra la quota y del proiettile al passare del
tempo, il secondo invece mostra la quota raggiunta ad una data distanza dalla posizione di
lancio.
Diventa più interessante introdurre le forze di
resistenza; ad es. con C= 1 e m= 4 kg si ottengono
i seguenti diagrammi (Fig. 12 e Fig. 13):
Fig. 13 Distanze dal punto iniziale (x) e quote (y)
raggiunte dal proiettile in presenza d'aria (C= 1).
Fig. 12 Traiettoria del proiettile in
presenza d'aria (C=1)
Prove e quesiti:
a) Cosa accade aumentando il coefficiente C della forza di resistenza ?
b) Considera nulla la resistenza dell'aria (C=0), scrivi in I3 "velocità" e in J3 "angolo", poi in I4
scrivi 10 e in J4 scrivi 0; modifica il foglio in modo da ottenere vx0 (in B4) come I4*cos
(J4*pi.greco()/180) e vy0 (in F4) come I4*sen(J4*pi.greco()/180) [si deve moltiplicare per
PI.greco()/180 ossia p/180 per passare ai radianti]. Modifica via via l'angolo in J4 e cerca di
stabilire per quale valore si raggiunge la massima gittata (massima distanza orizzontale del
punto di ricaduta dal punto di lancio; tieni presente che y=0 è la quota del suolo).
c) Qual è la gittata (distanza orizzontale del punto di ricaduta da quello di lancio) di un proiettile
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di 4 kg , con C=0, lanciato alla velocità di 1 m/s in orizzontale e di 10 m/s in verticale ? Cosa
accadrebbe sulla Luna che ha un'accelerazione di gravità pari a circa 1/6 di quella terrestre ? e
su Giove ?
6)Moto di un pianeta
Consideriamo un pianeta che interagisce gravitazionalmente con il Sole. Se M e m sono rispettivamente le masse del Sole e del pianeta e r è la loro distanza, la forza tra i due corpi è data da
. Dal momento che la massa del pianeta è di molto più piccola di quella del
F
Sole, possiamo trascurare il moto del Sole
e considerarlo fermo. Inoltre si ha che il moto del
gravita
pianeta si svolge in un piano, quello passante per il Sole e per il vettore velocità iniziale. Per
descrivere la posizione del pianeta adotteremo le sue coordinate cartesiane (x, y) nel piano
dell'orbita; il Sole rimarrà nell'origine del sistema di assi cartesiani.
Dovremo inoltre
considerare le componenti della velocità lungo le due direzioni (vx , vy ) e quelle
dell'accelerazione (ax , ay ).
La situazione è simile a quella dell'esempio precedente: l'unica differenza è che avremo a che
fare con una forza gravitazionale che non è costante.
pianeta
r
y
q
Per calcolare le accelerazioni lungo i due assi determiniamo le
proiezioni del vettore posizione r ,cioè il vettore che unisce l'origine,
dove si trova il Sole, al pianeta e che forma un angolo q con l'asse
delle ascisse: le sue proiezioni lungo gli assi sono proprio le
coordinate (x, y) del pianeta e inoltre si ha:
cos q = x/r
x
e
sen q = y/r
Le ultime due relazioni permettono di scrivere le proiezioni della forza
di gravità sul pianeta, che ha la stessa direzione del vettore r (ma verso opposto: punta al
Sole):
Fx = Fgravità cos q
e Fy = Fgravità sen q . Sostituendo l'espressione della forza di
gravità ed esprimendo le funzioni angolari con le coordinate del pianeta si ottiene:
e
F
=
−
y
F
x
infine, dividendo per la massa m del pianeta otteniamo
le componenti dell'accelerazione:
MM
x
a
a
=−G
=−G
x
y
Invece delle unità del
Sistema Internazionale
conviene adottare le unità di misura "naturali" per3
r
r
i moti dei pianeti del sistema solare: l'unità astronomica ua per le lunghezze invece del
metro e
e
3
l'anno y invece del secondo. Adottando queste unità di misura la costante di proporzionalità k
della terza legge di Keplero5, T2 = k a3, assume il valore di 1 y2 / ua3, dato che per la Terra si
ha T=1y e r=1 ua. Simpatiche manipolazioni algebriche standard, lasciate come utile esercizio,
portano alle seguenti formule per le componenti dell'accelerazione nelle unità ua-y:
4
la costante K,
K K
x
y
a
=−
erede a
del prodotto
vale 4p
ua=−
/y . Le accelerazioni, e quindi il moto, non dipendono dalla
xGM,
y
3
3
massa dell'oggetto: tranne le perturbazioni provocate r
dagli altri pianeti,
se la Terra si trovasse
r
alla distanza di Giove , percorrerebbe la stessa orbita (e viceversa).
e
dove r,x e y sono in ua, le accelerazioni in ua/y2 e
2
3
2
Copiamo il foglio della simulazione precedente (proiettile) e cancelliamo l'eventuale vecchio
grafico. Inseriamo una nuova colonna tra C e D. Nella sezione di input (v. figura seguente)
mettiamo
le coordinate iniziali x 0 (in B3) e y0 (in F3),
le velocità iniziali vx 0 (in C3) e vy0 (in F4),
3
4
5
L'unità astronomica corrisponde alla distanza media tra Terra e Sole e vale circa 150 milioni di km.
Senza sottilizzare tra anno sidereo e anno solare; circa 32 milioni di secondi.
"Il quadrato del periodo di rivoluzione (T) è direttamente proporzionale al cubo del semiasse maggiore (a)
dell'orbita del pianeta".
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l'intervallo di calcolo Dt (in B7)
la costante K (in E7) che per il Sole vale circa 40 ua3 / y 2 .
È stato poi aggiunto un riquadro in cui inserendo il periodo di rivoluzione T, in anni, si ricavano
le distanze medie dal Sole (in ua), la velocità (in ua/y) e l'accelerazione (in ua/y²) del
corrispondente moto circolare uniforme. Le formule sono le seguenti:
R = T2/3 [dalla 3° legge di Keplero],
v= 2pR/T,
a=v²/R.
Fig. 14 Moti dei pianeti
Le intestazioni delle colonne per i valori devono essere cambiate come si vede nella figura: si
devono raddoppiare le coordinate le velocità e le accelerazioni inoltre, per efficienza di calcolo, è
stata aggiunta una colonna (la D) con il cubo della distanza dal Sole. Gli istanti di tempo sono
calcolati in giorni invece che in anni.
Nella riga 11 sono state scritte queste formule:
A
FORMULE:
(spiegazione)
0
B
=B3
istante
iniziale (in
giorni)
C
= F3
coordinata
x iniziale
coordinata
y iniziale
B
C
D
=
(B11*B1
1+C11*
C11)
^1.5
cubo della
distanza
E
=B4
velocità x
iniziale
F
= F4
velocità y
iniziale
G
H
==$E$7*B1 $E$7*C1
1/D11
1/D11
componente x
accelerazio
ne
componente y
accelerazio
ne
G
H
Nella riga 12 invece:
A
FORMULE:
D
=B11+
=C11+
=
=A11+
E11*$B$ F11*$B$
(B12*B1
$B$7*36 7+0.5*G 7+0.5*H
2+C12*
5
11*$B$7 11*$B$7
C12)
*
*
^1.5
$B$7
$B$7
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E
F
===E11+
=F11+
$E$7*B1 $E$7*C1
G11*$B$ H11*$B$
2/D12
2/D12
7
7
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A
(spiegazione)
B
C
solita
formula del
moto unif.
accelerato,
istante
come a
ma con
successivo,
lato, ma
velocità,
in giorni
per la y
accelerazio
ne e pos.
iniziale
sull'asse x
D
come nella
riga
superiore;
cubo della
distanza
E
F
G
componenvelocità x
velocità y
te x
al tempo Dt al tempo Dt accelerazio
ne
H
componente y
accelerazio
ne
Le formule della riga 12 si trascinano fino al tempo di simulazione
scelto (almeno 1 anno; con in dati dell'esempio si deve arrivare oltre
la riga 3600). Conviene scegliere un tempo leggermente superiore al
periodo calcolato nel riquadro.
Per il grafico questa volta considereremo l'orbita e quindi si
selezionano solo le coordinate (x,y). Alla richiesta di riordinare i dati
rispondere NO. Alla fine si ottiene una curva (quasi) chiusa come
quella a lato.
Prova a variare l'espressione della forza di gravità ad es cosa accade se fosse inversamente
proporzionale al cubo delle distanze ?
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