Testo dell`articolo

SI PUÒ DISEGNARE UN TRIANGOLO EQUILATERO
CON I QUADRETTI?
Isabel Zampa
Scuola Secondaria di primo grado M.C. Nannei
Collegio Dimesse – Udine
Classe 2aA
In questo scritto voglio rispondere alla domanda se è possibile disegnare un triangolo equilatero sul
foglio a quadretti basandosi sugli incroci della quadrettatura.
Per semplicità consideriamo il triangolo 30-60-90 che è metà del triangolo equilatero. L'ipotenusa
nel triangolo 30 60 e 90 gradi è il doppio del cateto minore (della base).
Nel triangolo 30 60 90 facendo dei calcoli si ottiene
cateto maggiore =√ ipotenusa −cateto minore
2
2
= √i −c
2
=√(2c) −c2
2
2
=√ 4c −c
2
=√ 3 c
2
=√ 3⋅√ c
=c⋅√3
2
2
da cui si vede che se la base è 1 allora l'altezza è √3 che è un numero irrazionale.
Invece disegnando con i quadretti il rapporto fra i cateti verrà sempre razionale
Per esempio : cat mag : cat min = 7/3.
siccome √ 3 è un numero irrazionale non si potrà mai fare in modo che il rapporto
fra cateto maggiore e cateto minore sia uguale a √3 perché esso è irrazionale (con
cifre infinite dopo la virgola) perciò non si potrà mai disegnare un angolo esatto di 60
gradi con i quadretti.
√ 3 Dovrebbe trovarsi fra 1½ e 2 e perciò coi quadretti è impossibile disegnarlo, sia
con queste che altre misure, e questo di conseguenza dimostra ancora che non si può
disegnare un triangolo 30-60-90 coi quadretti.
Però si può cercare di approssimare con le frazioni. Come? Il modo più semplice è con le frazioni
decimali siccome
√3 =1,73205...
si può approssimare con
17
,
10
173
,
100
1732
….
1000
a parte la prima le altre frazioni sarebbero molto scomode da disegnare sui quadretti. Ma anche
17/10 vedremo ora che non è una buona approssimazione. Quindi dobbiamo trovare un metodo di
approssimazione migliore.
Nel libro di Benoît Rittaud La favolosa storia della radice quadrata di due, nelle prime pagine del
capitolo 18 si spiega come riuscire ad arrivare all'approssimazione migliore di √ 2 e noi
l'abbiamo applicata a √3
Nel metodo di calcolo di Stern-Brocot inventato dall'orologiaio Achille Brocot si spiega come
approssimare radice di 2 infatti egli aveva bisogno di una frazione che si avvicinasse a radice di 2
ma che non facesse entrare in gioco dei numeri troppo grandi.
La formula si basa sul fatto che se p/q e r/s sono due frazioni tali che p/q < r/s allora
p p +r r
<
<
q q +s s
usiamo questa formula con i numeri per approssimare
1,73205...
Siccome
√3
che sappiamo essere circa uguale a
1
2
<√ 3<
1
1
allora
1+2 3
=
1+1 2
adesso
3
2
< √3<
2
1
quindi calcoliamo
3+2
=1,6666....<√ 3
2+1
e troviamo una frazione che approssimi meglio andando avanti
5
2
< √ 3<
3
1
adesso
5+2 7
= =1,75> √3
3+1 4
approssima ancora meglio, quindi
57 12
=
34 7
continuando troveremo sempre delle frazioni che approssimano meglio
sempre più grandi e più scomodi per disegnarle sui quadretti.
√ 3 ma con numeri
Queste sono le tre approssimazioni migliori di √3 :
7
12
19
4
7
11
Adesso calcoliamo l'errore relativo o percentuale che si commette usando queste frazioni al posto di
√3
Errore percentuale di
7
rispetto a
4
√3
(1,75−1,7320508)
≃0,0104
1,7320508
viene un errore dell'1,04%.
L'errore di
12
7
(1,714285−1,7320508)
≃0,0103
1,7320508
viene dell'1,03%.
L'errore di
19
11
(1,72727−1,73205)
=0,003
1,73205
viene dello 0,3%.
Invece l'errore di
17
10
(1,7320508−1,7 )
=0,0185≃0,019
1,7320508
viene dell'1,9%
Le approssimazioni migliori sono quelle con errore percentuale minore che sono:
7
4
12
7
19
.
11
Ovviamente per disegnare circa un angolo di 60° le frazioni più comode sono
7
e
4
12
, mentre
7
19
ha una approssimazione migliore ma è più scomoda.
11
Più avanti si va a calcolare le approssimazioni migliori e più i numeri crescono e si avrà un errore
relativo minore, una approssimazione migliore ma più scomodità nel svolgere il disegno su carta.
Ora disegniamo con GeoGebra i triangoli con le approssimazioni migliori e così misuriamo gli
angoli.
Con 7 e 4 viene un angolo di 60,26 gradi,
mentre con 12 e 7 l'angolo è di poco inferiore a 60 gradi
Infine con 19 e 11 l'approssimazione è ancora migliore:
Disegnando con GeoGebra si legge la misura degli angoli e grazie al metodo di Brocot siamo
riusciti a trovare 3 approssimazioni ottime. Nel mondo pratico la differenza di un piccolo errore
relativo rispetto al valore vero non si nota.
In conclusione usando i quadretti è possibile disegnare dei triangolo quasi equilateri. In realtà i lati e
la base di esso non saranno mai uguali perché come dimostrato prima non si può tracciare un
triangolo con un angolo di 60 gradi con i quadretti
Voglio ringraziare il mio professore di matematica Paolo Dall'Aglio in quanto mi è stato di sostegno
e mi ha aiutata molto.