A. Chiodoni – esercizi di Fisica II
LEGGE DI FARADAY, LEGGE DI LENZ, INDUTTANZA, ENERGIA MAGNETICA
Esercizio 1
Una bobina costituita da N=100 spire di area S = 100cm 2 e resistenza complessiva
R = 5Ω è posta tra le espansioni di un elettromagnete e giace in un piano ortogonale
r
alle linee di B . Il campo magnetico, uniforme sui punti di S, varia nel tempo
aumentando linearmente del valore zero al valore B0 = 0.8T in un tempo t 0 = 10 s .
Calcolare la f.e.m. indotta nella bobina e il lavoro totale speso nel tempo t 0 .
→ Soluzione
La legge di variazione del campo magnetico è B =
B0 t
e di conseguenza il flusso
t0
attraverso la bobina vale:
r
r
r
φ ( B) = ∫ N B ⋅ uˆ n dS = ∫ N B cos(θ )dS = NB ∫ dS = NBS =
S
S
S
NSB0 t
t0
Il valore della fem indotta sarà:
r
dφ ( B )
dB
(legge di Faraday) ξ i = femi = −
= − NS
dt
dt
=−
NSB0
100 × 100 × 10 −4 × 0.8
=−
= −8 × 10 − 2 V
t0
10
La corrente indotta sarà parai a:
r
fem
1 dφ ( B) − 8 × 10 −2
i=
=−
=
= −1.6 × 10 − 2 A
R
R dt
5
1
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r
La corrente circola in verso tale da opporsi con il suo campo alla variazione di B (legge
di Lenz). La potenza fornita dalla fem (dissipata sulla resistenza R) e il lavoro totale
valgono:
P = ξ i .i = ( −8 × 10 −2 ) × ( −1.6 × 10 −2 ) = 1.28 × 10 −3 W
L = Pt 0 = ξ i it 0 = 1.28 × 10 −2 J
Esercizio 2
Una bobina rettangolare di lati a = 10 cm e b = 5 cm è composta da N = 100 spire di
resistenza complessiva R = 2Ω e giace nel piano xy. Un campo magnetico
B = 5 x 2 (t 2 − 0.25)uˆ z T agisce sulla bobina. Calcolare (a) la fem indotta ξ (t ) nella bobina
(b) La corrente i(t) e la carica q(t) che circola nella stessa tra l’istante t=0 e t=0,5 s.
→ Soluzione
r
a) Calcoliamo innanzi tutto il flusso di B e poi applichiamo la legge di Faraday.
a
a
r
r
5bN (t 2 − 0.25)a 3
2
2
2
2
ˆ
φ ( B) = ∫ N Bu n dS = N ∫ 5 x (t − 0.25)bdx = N (t − 0.25)b5∫ x dx =
3
S
o
o
5 × 5 × 10 −2 × 100 × 10 3 × 10 −6 2
(t − 0. 25) = 8.33 × 10 −3 (t 2 − 0.25) =
3
= 8.33 × 10 −3 t 2 − 0.25 Wb
=
(
)
Quindi la fem indotta sarà:
r
dφ ( B )
femi = −
= (−2 × 8.33 × 10 −3 × t ) V = (−16.7 × 10 −3 t ) V
dt
2
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b) Calcoliamo la corrente indotta:
i=
fem − 16.7 × 10 −3 t
=
= (−8.33 × 10 −3 t ) A
R
2
E infine, la carica q(t) si ricava da i(t):
t
φ1
to
φ0
q (t ) = ∫ i (t )dt =
∫
r
dφ ( B) 1 1
−
= (φ 0 − φ1 )
dt R R
1
8.33 × 10 −3
→ q (t ) = (φ (0) − φ (0.5)) =
(−0.25 − 0.5 + 0.25) = −1.04 × 10 −3 C
R
3
Esercizio 3
Una spira di raggio a=5cm, costituita da un filo conduttore di sezione S = 1mm 2 e
resistività ρ = 1,7 × 10 −8 Ωm , viene portata da una regione in cui esiste un campo di
induzione magnetica uniforme B = 0,5Wb / m 2 diretto secondo un angolo α = 60°
rispetto alla normale al piano della spira, in una regione in cui il campo è nullo. Qual’è la
carica totale che percorre la spira in conseguenza di tale spostamento?
→ Soluzione
La corrente indotta nella spira ottenuta sfruttando la legge di Faraday, vale:
r
1 dφ ( B )
i=−
R dt
Mentre la carica totale (legge di Felici) verrà:
3
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t
φ1
t0
φ0
Q = ∫ i (t )dt =
∫
r
r
r
dφ ( B) 1
−
= φ 0 ( B) − φ1 ( B)
Rdt
R
[
]
r
Su questo caso, φ1 ( B ) = 0 perchè la spira viene portata in una zona in cui il campo
magnetico è nullo. Allora:
r
r
φ 0( B) = ∫ B ⋅ uˆ n dS = ∫ B cos(α )ds = B cos(α ) ∫ ds = B cos(α )πa 2
S
S
S
Quindi, ricordando che R = ρ
Q=
l
S
r
1
S
S
SB cos(α )a
φ 0 ( B ) = B cos(α )πa 2 =
B cos(α )πa 2 =
ρl
ρ 2πa
2ρ
R
10 −6 × 0.5 × 0.5 × 5 × 10 −2
= 0.37C
=
2 × 1.7 × 10 −8
N.B. questo processo viene utilizzato per la misura di campi magnetici mediante
galvanometro balistico: noto Q si risale al valore di B.
Esercizio 4
E’ dato un sistema di conduttori costituito da un lungo filo rettilineo e da una spira
piana rettangolare disposti (nel vuoto) come in figura. Nel filo rettilineo fluisce una
corrente i=20A. Mediante l’apertura di un interruttore essa viene ridotta al valore 0
in un tempo ∆t = 0.025 . Calcolare la fem indotta nella spira rettangolare ed indicare il
verso in cui fluisce la relativa corrente.
→ Soluzione
4
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c
x
Per conoscere il valore di i, sfruttiamo la legge di Faraday. Per la legge di Biot-Savart,
il campo magnetico generato dal filo vale:
B=
µ0 i
, con x distanza dal filo.
2π x
Consideriamo un elemento infinitesimo della superficie della spira, di forma
rettangolare con lati b e dx:
Dunque:
r
r
r
φ ( B) = ∫ dφ ( B ) = ∫ B ⋅ uˆ n dS =
c+a
S
=
∫
c
µ0 i
bdx
2π x
µ 0 c + a dx µ 0 log(c + a)
ib
ib
=
2π ∫c x 2π
log c
Che è il flusso concatenato alla spira. Se i=20A si ottiene il flusso inizialmente
concatenato con la spira. La fem indotta sarà pari a :
r
φ (t = ∆t ) − φ (t = 0)
∆φ ( B)
fem = −
=−
∆t
∆t
5
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µ 0 ib ⎛ c + a ⎞ 1 4π × 10 −7 × 20 × 20 × 10 −2
15 1
log
= 4.39 × 10 −5 V
=
⎟ =
⎜ log
2π ⎝
2π
c ⎠ ∆t
5 0.025
Per la legge di Lenz il verso della corrente indotto nella spira è orario; poiché il flusso
concatenato diminuisce, il verso della corrente deve essere tale da creare un nuovo
campo magnetico entrante nel piano della spira.
Esercizio 5
E’ dato il sistema di conduttori rappresentato in figura. Il conduttore PQ può
strisciare da sinistra verso destra sulle rotaie x’ e x’’, mantenendosi parallelo a se
r
stesso. Il sistema si trova in un campo magnetico uniforme B perpendicolare al piano
definito dai conduttori.
Tutti i conduttori hanno uguale resistenza r per unità di lunghezza. a) Quale deve
essere la legge del moto del conduttore PQ, affinché la corrente i indotta nel circuito
chiuso APQB sia constante durante il moto? b) Supponendo che al tempo t=0 PQ
e
coincida con AB, qual’e il valore della sua velocità iniziale, se i=0,01A, R=0,1 Ω
m
B = 0.1Wb 2 ? Si trascuri la induttanza del circuito.
m
→ Soluzione
r
a) Il flusso di B concatenato con il circuito varia come:
v
φ ( B ) = Bax , a = distanza AB
L’intensità di corrente sarà data da:
r
dφ ( B) 1
aB
dx
i=−
=−
dt R
2r (a + x) dt
Separiamo le variabili e sfruttiamo il fatto che i=cost:
6
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dx
− 2 Ri
=
dt
(a + x)
aB
→∫
dx
− 2 Ri
=∫
dt
(a + x)
aB
ln(a + x) =
− 2 Rit
+ cos(t ) → a + x = e
aB
−2 R
it
aB
⋅ cos t
Ricaviamo il valore della costante di integrazione introducendo le condizioni iniziali
nell’equazione precedente, cioè x=0 a t=0:
a + 0 = e 0 ⋅ cos t → cos t = a
Quindi, la legge oraria del moto è x(t ) = a (e
−2 R
it
aB
− 1)
b) Calcoliamo ora la velocità iniziale:
−2 R
dx
⎛ 2 R ⎞ aB it
v=
i ⎟e
= a⎜ −
dt
⎝ aB ⎠
−2
−1
dx
⎛ − 2 R ⎞ − 2 Ri − 2 × 1 × 10 × 1 × 10
=
= 2 × 10 − 2 m
= a⎜
v0 =
i⎟ =
s
dt t =0
B
0.1
⎝ aB ⎠
Esercizio 6
Un circuito rigido quadrato ABCD di lato l=20cm è costituito da un filo di alluminio di
resistività ρ = 2,56.10 −8 Ωm e sezione S=4mm 2 . Esso è parzialmente immerso, nel
vuoto, in un campo magnetico uniforme di intensità H=3x10 5 A/m diretto
perpendicolarmente al piano del circuito (vedi figura). Tutto il circuito trasla con
velocità costante v=50cm/s nella direzione e nel verso indicato dalla freccia.
Determinare
a) L’intensità della corrente indotta nel circuito durante il moto.
b) La quantità di calore sviluppata nel circuito per effetto Joule per uno
spostamento h=10cm. Mostrare inoltre che detta quantità di calore è
equivalente al lavoro speso per compiere il suddetto spostamento h.
→ Soluzione
7
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a) Subito dopo l’inizio del moto il flusso del campo magnetico B concatenato con il
circuito vale:
r
φ ( B) = µ 0 Hl (l '−vt ) (ricordiamo che µ0H=B)
Dove l’ è la lunghezza della porzione dei lati AD e BC immersa nel campo magnetico a
t=0. La corrente indotta sarà quindi:
r
S
1 dφ ( B)
i= −
= µ 0 Hlv
=
R
dt
ρ 4l
4π × 10 −7 × 3 × 10 5 × 20 × 10 −2 × 50 × 10 −2 × 4 × 10 −6
= 7.36 A
4 × 2.56 × 10 −8 × 20 × 10 − 2
La corrente circola in senso orario (si oppone alla variazione del flusso concatenato
che, in questo caso sta diminuendo e quindi deve circolare in modo tale da generare un
campo magnetico entrante nel piano della spira).
=
b) Il calore sviluppato per effetto joule à pari a:
Q = i 2 Rt = i 2 R
h
2.56 × 10 −8 × 0.2 × 4 0.1
.
= 5.54 × 10 − 2 J
= (7.36) 2
−6
v
0.5
4 × 10
Sul lato AB della spira agisce una forza F = ilB che tende a risucchiare la spira
all’interno del campo magnetico. Il lavoro compiuto da tale forza vale:
L = µ 0 ilHh = 4π × 10 −7 × 7.36 × 0.2 × 3 × 10 5 × 0.1 = 5.5 × 10 −2 J
Pari cioè al calore dissipato per effetto joule. Infatti:
Q = i 2 Rt = i 2 R
h
h
⎛ dφ ( B ) ⎞ h
= i ⎜−
⎟ = i ( µ 0 Hlv ) = µ 0 ilHh = L
v
dt ⎠ v
v
⎝
8
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Esercizio 7
Una bobina rettangolare formata da N spire circolari di lati a e b è collegata a dei
collettori circolari e ruota intorno all’asse AA’ con velocità angolare ω in un campo
r
magnetico di induzione B .
a) Ricavare l’espressione del flusso quando la bobina si trova nella posizione della
r
figura ( B ortogonale al piano della spira) e della differenza di potenziale
massima tra i collettori, specificando la posizione della bobina rispetto al
campo.
b) Con i dati a=1cm, b=5cm, N=100, B=0.4T, calcolare a quale velocità angolare la
bobina deve ruotare per ottenere una d.d.p massima di 100V.
→ Soluzione
A’
A
a) Il flusso magnetico concatenato è:
r
r
φ ( B) = N ∫ B ⋅ uˆ n dS = NBab cos( Bnˆ ) = NBab cos(θ ) = NBab cos(ωt )
S
r
se B // uˆ n , come in figura, cos(ωt ) = 1 e quindi si avrà il massimo valore del flusso:
r
r
φ ( B) = φ ( B) max = NBab
r
dφ ( B)
La fem indotta è: fem = −
= ωNBab sin(ωt ) e sarà massima per sin(ωt ) = 1 , cioè per
dt
r
B ⊥ nˆ : ( fem )max = ωNBab
b) ω =
( fem)max
NBab
=
100V
= 5000 Hz
100 × 0.4 × 1 × 5 × 10 − 4
Esercizio 8
9
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Sia dato un solenoide rettilineo di lunghezza l, sezione circolare S, numero di spire N
−4
(l=0.1m; S=5x10 m 2 ; N=100). Calcolare:
a) Il coefficiente L di autoinduzione.
b) Di quanto varia L per un solenoide avente stesso diametro e lo stesso numero di
spire, ma lunghezza doppia.
c) Di quanto varia L per un solenoide avente la stessa sezione S e la stessa
lunghezza, ma un numero doppio di spire.
→ Soluzione
a) Poiché L =
r
φ ( B)
r
Nφ ( B)
per una singola spira, per il solenoide si avrà L =
, dove
i
i
N = numero di spire.
Ricordiamo che il campo magnetico in un solenoide vale B = µoin (n=numero di spire
r
per unità di lunghezza) e scriviamoci la definizione di φ (B ) :
r
r
r
φ ( B) = ∫ B ⋅ uˆ n dS = ∫ BdS = BS = µ 0 inS , dove û n è la normale alla superficie del
S
S
spire, parallela a B.
Quindi:
N
N
Ni
N2
4π × 10 −7 × 10 4 × 5 × 10 −4
L = µ 0 inS = µ 0
S=
= 6.28 × 10 −5 H
µ0 S =
i
i
l
l
0.1
b) In questo caso, si ha L' =
µ 0 N 2 Si
=
L
= 3.14 × 10 −5 H
2
i 2l
2 N µ 0 i 2 NS 4 N 2 µ 0 S
=
= 4 L = 25.12 × 10 −5 H
c) Infine, L' ' =
i
l
l
Esercizio 9
Un lungo conduttore cilindrico di raggio a è percorso da una corrente continua i. Detta
µ la permeabilità magnetica del materiale, si calcoli l’energia per unità di lunghezza
Ue del campo magnetico presente all’interno del conduttore.
→ Soluzione
10
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Possiamo determinare il campo magnetico all’interno del conduttore utilizzando la
legge d’Ampere e scegliendo un cammino chiuso di integrazione di raggio r < a:
r r
πr 2
r2
r
⋅
=
'
→
2
=
=
µ
µ
π
µ
i
B
d
s
i
B
r
i
→ B = µi
2
2
∫
πa
a
2πa 2
dove i’ = parte di corrente totale concatenata con la circonferenza scelta.
Possiamo ora determinare la densità di energia del campo magnetico come:
uB =
1 B 2 1 µ 2i 2 r 2
µi 2 r 2
=
=
2 µ
2 µ 4π 2 a 4 8π 2 a 4
L’energia magnetica sarà data da:
dU B = u B dV → U B =
∫
u B dV ->> Integro su un tratto di filo lungo l.
filo
Se considero 2πrl come volume
a
UB = ∫
0
a
a
⎡ µi 2 l r 4 ⎤
µi 2
µ i 2l a 4 µ i 2l
3
u B 2πrldr =
l
r
dr
=
=
=
2
π
⎢
⎥
4
4
∫0
8π 2 a 4
⎣ 4πa 4 ⎦ 0 4π a 4 16π
E infine, l’energia per unità di lunghezza:
Ue =
U B µi 2
=
l
16π
Esercizio 10
Sia dato un circuito di resistenza R = 10Ω ed autoinduzione L = 0.05H . E inserita una
fem Vo=50V. Si calcoli l’energia magnetica accumulata nell’autoinduzione L e la potenza
applicata all’autoinduzione nel momento in cui nel circuito passa una corrente i=1A.
→ Soluzione
11
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L’energia magnetica è direttamente calcolabile dalla formula:
UB =
1 2 1
Li = 0.05 × 1 = 0.025 J
2
2
Per determinare la potenza applicata all’autoinduzione possiamo ricavarla come
differenza tra la potenza erogata dal generatore e quella dissipata nella resistenza:
PL = Pfem − PR = V0 i − Ri 2 = 50 − 10 = 40W
Esercizio 11
Una spira circolare di raggio a = 5cm e resistenza R = 1.5Ω è immersa in un campo
magnetico B uniforme perpendicolare al piano della spira, che varia nel tempo con la
legge B (t ) = α + β t , con α = 0.3T e β = 0.5 T . Calcolare: a) il flusso φ 0 ( B) all’istante t=0
s
b) la fem indotta ξ nella spira c) la potenza PR dissipata dalla stessa.
→ Soluzione
Il flusso di B è dato da:
r
v
φ ( B) = ∫ B ⋅ uˆds = ∫ B(t )ds = B(t ) ∫ dS
S
S
S
a) A t=0, abbiamo:
∫
S
(α + βt )ds = ∫ αds = απa 2 =
S
= 0.3 × 3.14 × 5 2 × 10 −4 = 2.36 × 10 −3 Wb
b) A t generico
ξ = femind
r
dφ ( B)
d
=−
= − (απa 2 + β tπa 2 ) =
dt
dt
12
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= − Bπa 2 = −0.5 × 3.14 × 25 × 10 −4 = −3.92 mV
c)
PR =
ξ2
R
=
(−3.92 × 10 −3 ) 2
= 1.03 × 10 −5 W ≅ 10µW
1.5
Esercizio 12
In figura è mostrato un conduttore a sezione quadrata di lato pari a 2cm. Nella
regione vi è un campo magnetico, in direzione normale e uscente dalla pagina, la cui
intensità è data da B = 4t 2 y , dove B è spesso in tesla, t in secondi e y in metri. Si
determini la fem indotta all’istante t=2,5 secondi.
→ Soluzione
r
Scriviamo dapprima il flusso di B
r
v
φ ( B) = ∫ B ⋅ uˆ n dS = ∫ BdS = ∫ 4t 2 ydS ;ma S = xy → dS = xdy
S
Allora
S
S
y
v
⎡ 2 y2 ⎤
2
φ ( B ) = 4t ∫ yxdy = ⎢4t x ⎥ = 2t 2 xy 2 ,
2 ⎦0
⎣
0
y
Quindi:
r
dφ ( B)
d
fem = −
= − (2t 2 xy 2 ) = −4txy 2 = −4 × 2.5 × 8 × 10 −6 = −80µV
dt
dt
Esercizio 13
13
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In un solenoide rettilineo ed indefinito di raggio R=10cm. Il modulo del campo
magnetico B viene fatto crescere linearmente di 0,1 Wb/m 2 al secondo variando in
modo opportuno l’intensità di corrente che circola nel solenoide.
a) si esprima il modulo E del campo elettrico indotto in funzione della distanza r
dall’asse del solenoide.
b) Si calcoli il valore di E per r=5cm
→ Soluzione
a) La forma elettromotrice indotta ottenuta dalla legge di Faraday implica la
presenza di un campo elettrico che può essere calcolato come:
r
v r v r
dφ ( B )
fem = −
= ∫ Ei ⋅ dl , ( Ei ⋅ dl ≠ 0 perchè Ei non è conservativo!).
dt
Calcoliamo il flusso di B attraverso una superficie delimitata da un cerchio di
raggio r < R.
r
r
φ ( B) = ∫ B ⋅ uˆ n dS = πr 2 B
S
E calcoliamo l’integrale di linea dl campo elettrico indotto:
∫
r
E i dl = E i 2πr Allora:
E i 2πr = −πr 2
r dB
dB
→ Ei = −
2 dt
dt
r 0.05
b) Se r = 5 cm, E =
0.1 = 2.5 × 10 −3 V
m
2
14
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