Fondamenti di Informatica - Algebra di Boole
FONDAMENTI DI INFORMATICA
Prof. PIER LUCA MONTESSORO
Facoltà di Ingegneria
Università degli Studi di Udine
Algebra di Boole
© 2000 Pier Luca Montessoro (si veda la nota di copyright alla slide n. 2)
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Fondamenti di Informatica - Algebra di Boole
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Algebra di Boole
costanti
operatori
variabili
assiomi
teoremi e
proprietà
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Fondamenti di Informatica - Algebra di Boole
Costanti
• Due soli valori, convenzionalmente
indicati con 0 e 1
• Talvolta indicati anche con “vero” e
“falso”
• Detti anche “valori logici”, corrispondono
ai valori che possono assumere i bit
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Fondamenti di Informatica - Algebra di Boole
Operatori
• Sono definiti da tabelle che
esaustivamente ne descrivono il
comportamento (il numero di
combinazioni di valori di ingresso è
finito)
• Le tabelle vengono dette “tabelle della
verità”
• Spesso si utilizzano anche descrizioni di
tipo funzionale
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Fondamenti di Informatica - Algebra di Boole
Operatori
• Si possono utilizzare diverse notazioni:
– porte logiche (corrispondono ai dispositivi
elettronici che svolgono la funzione
dell’operatore)
– notazione algebrica (come nell’algebra
tradizionale)
– tabella della verità
– mappa di Karnaugh
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Fondamenti di Informatica - Algebra di Boole
Mappe di Karnaugh
A
0
B
!
1
0
AB
!
1
00
0
1
01
11
10
00
01
AB
C
00
CD
01
11
10
11
10
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Fondamenti di Informatica - Algebra di Boole
Mappe di Karnaugh
• Topologicamente sono dei TORI:
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Fondamenti di Informatica - Algebra di Boole
Mappe di Karnaugh
• Topologicamente sono dei TORI:
AB
00
01
11
10
00
0
1
1
1
01
1
0
1
0
CD
11
0
1
1
0
10
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
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Operatore AND
U = AB
U = A•B
U = A AND B
U=A∧B
A
0
B
A
B
U
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
A
0
0
0
1
0
1
U
B
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Operatore AND
• Descrizione funzionale (applicabile a
porte a N ingressi):
A•B vale 0 se almeno un
ingresso vale 0
A•B vale 1 se tutti gli
ingressi valgono 1
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Operatore OR
U = A+B
U = A OR B
U=A∨B
A
0
B
A
B
U
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
A
0
0
1
1
1
1
U
B
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Fondamenti di Informatica - Algebra di Boole
Operatore OR
• Descrizione funzionale (applicabile a
porte a N ingressi):
A+B vale 0 se tutti gli
ingressi valgono 0
A+B vale 1 se almeno un
ingresso vale 1
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Operatore NOT (“inverter”)
U=A
U = NOT A
U = A’
U= A
A
U
0
1
1
0
A
0
1
1
0
A
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U
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Altri operatori
• AND seguito da NOT = NAND
• OR seguito da NOT = NOR
• OR esclusivo (EXOR)
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Operatore NAND
U = AB
U = A•B
U = A NAND B
U = (A•B)
ecc.
A
0
B
A
B
U
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
A
0
0
0
1
0
1
U
B
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Operatore NOR
U = A+B
U = A NOR B
U = (A+B)
ecc.
A
0
B
A
B
U
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
A
0
0
1
1
1
1
U
B
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Operatore EXOR
U=A B
U = A EXOR B
mappa a scacchiera
A
0
B
A
B
U
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
A
0
0
1
1
1
0
U
B
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Operatore EXOR
• A B = AB + AB
• 3 possibili descrizioni funzionali
– complementatore pilotato
– comparatore
– generatore di parità
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Operatore EXOR
• Descrizione funzionale come
complementatore pilotato:
se A = 0 → U = B
se A = 1 → U = B
A (controllo)
U
B (dato)
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Operatore EXOR
• Descrizione funzionale come
comparatore:
se A = B → U = 0
se A ≠ B → U = 1
A
U
B
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Operatore EXOR
• Descrizione funzionale come
generatore di parità:
AB
A1 A2 ... An = 1
se e solo se il numero di
ingressi a 1 è dispari
C
00
01
11
10
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
bit di parità
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