Sorgenti
g
di Campo
p Magnetico
g
Un conduttore (filo) percorso da una corrente genera un campo magnetico !
Quale?
Prima legge elementare di Laplace:
D t un ttratto
Dato
tt infinitesimo
i fi it i
di filo
fil
ds , percorso da una corrente i, il
campo dB prodotto in un punto P
distante r da ds vale:
u t : versore di ds
1
km = 10-7 T m /A ! (H/m)
km = μ0 / 4 π
μ0 = 4π km = 1.26 10-6 H/m
ur
Direzione e verso di B: prodotto vettoriale, regola
della mano destra
2
P un circuito
Per
i i qualunque,
l
lo
l sii divide
di id in
i trattii infinitesimi
i fi i i i e sii integra
i
il dB
Campo magnetico prodotto da una carica in moto
n dτ : numero di portatori in dτ. Divedendo dB per n dτ si ottiene il
campo prodotto da una singolo portatore
Disco di Rowland, disco carico in rotazione (1878)
3
Campi magnetici prodotti da circuiti particolari
Filo rettilineo lungo 2a, percorso da una corrente i
P di
Prendiamo
un punto sull’asse
ll’
mediano
di
ddell filo,
fil
a distanza R dal filo.
Un tratto infinitesimo di filo ds, di ascissa s, produce
un campo infinitesimo
4
Notiamo che :
+
Campo entrante nel foglio!
Integrando da -a a a si ottiene il campo prodotto dal filo. (cos (π-θ1) = -cosθ1)
-cosθ1
2
(cosθ1 = a/r )
5
Campo totale del filo, lungo 2 a:
B
Se facciamo tendere a all’infinito,
Questa è la Legge di Biot e Savart
6
Il campo magnetico prodotto da un filo
rettilineo indefinito è tangente
g
a
circonferenze che hanno come centro il
filo stesso. Il verso è dato dalla regola
della mano destra e la sua intensità cala
con il raggio.
raggio Visualizzabile
Vi li bil con la
l limatura
li t
di ferro
f
7
Spira circolare
Campo magnetico prodotto da una spira circolare,
percorsa dalla corrente i , in un punto P lungo ll’asse
asse,
distante x dal centro della spira.
Prendiamo un elemento infinitesimo ds che genera
un campo infinitesimo dB ( ds ⊥ r )
•
θ
r
θ
x
8
dato che :
al centro della spira,
spira x = 0
per x >> R
Se iπ R2 un = iΣ un lo indichiamo con m
9
C f
Confrontiamo
i
questo campo con il campo elettrico
l i di un dipolo
di l elettrico
l i
B
hanno la stesa forma.
Allora chiamiamo m Momento di dipolo
p
magnetico
g
della spira
p
Valgono formule analoghe a quelle che abbiamo visto per il Momento di
dipolo elettrico:
Campo prodotto dal dipolo magnetico
10
Attenzione alla differenza fondamentale:
Le linee di campo di E non sono chiuse (E conservativo)
quelle di B sì (B solenoidale)
11
Solenoide rettilineo
Filo conduttore avvolto a elica cilindrica stretta
(piccolo passo)
Raggio R , lunghezza d, N spire:
n = N/d = numero di spire per unità di lunghezza ( lunghezza totale del filo
L = N 2 π R)
P di
Prendiamo
un tratto
t tt infinitesimo,
i fi it i
d di solenoide,
dx,
l id
contiene ndx spire. Il campo dB prodotto in un
punto P sull’asse x, di ascissa x0, è:
12
parallelo all’asse x
ma
13
Sommando su tutte le spire = integrando in
dφ , da φ1 (prima spira) a φ2 (ultima spira)
(φ’2 = π - φ2)
Se si prende l’origine delle x nel centro del solenoide (OP = x), si ha
( cosφ1 = (d/2 +x)/((d/2 +x)2 +R2)½ )
14
B ha il massimo per x = 0, centro del solenoide
poi cala simmetricamente
simmetricamente.
Al centro delle spire più esterne ( x = ± d/2) si ha :
Se d >> R, in tutto il solenoide:
Formula “standard” p
per B
15
16
Azioni elettrodinamiche tra fili percorsi da corrente
Prendiamo due fili rettilinei, paralleli abbastanza vicini
da poterli considerare indefiniti (L >> r ), percorsi dalle
correnti i1 e i2 .
Ogni tratto dl2 risente della forza dF12 dovuta al campo
magnetico B1 prodotto dalla corrente i1
P ognii unità
ità di lunghezza
l
h
l forza
f
l
Per
la
vale
attrattiva (> 0) se u1 e u2 sono paralleli, repulsiva se sono antiparalleli
17
La grandezza elettrica fondamentale
Coulomb: impossibile da realizzare praticamente
Ampere: più semplice, ma come definirlo senza passare per il Coulomb?
data F12
Definizione della Conferenza Internazionale dei Pesi e Misure,, 1960:
“L’intensità di corrente di 1 A è quella che circolando in due fili
rettilinei
ttili i paralleli
ll li distanti
di t ti r = 1 m dà luogo
l
a una forza
f
F = μo/2π = 2 10-7 N
per metro di ciascun conduttore”
pratica così si fissa anche il valore di μo a 4π 10-7 H/m
In p
18
La Legge di Ampere
Dato un filo rettilineo percorso da una corrente i (uscente dal foglio), il
campo B è sempre tangente alla circonferenza di raggio r
Prendiamo uno spostamento ds lungo la
circonferenza e consideriamo il prodotto scalare
Per un arco finito CD integriamo tra 0 e θ
19
L’integrale dipende solo da θ e non dal cammino specifico.
Se si va da D a C il risultato è
Se si percorre un un circuito chiuso
20
Si possono avere due casi:
1) La linea chiusa contiene il filo percorso da corrente,
corrente
“concatena la corrente”
2) La linea chiusa non contiene il filo percorso da corrente,
non “concatena” alcuna corrente
21
Questo risultato vale per qualunque linea chiusa,
chiusa anche non piana,
piana e
anche per molti conduttori percorsi da correnti diverse.
Si enuncia, quindi, il Teorema di Ampere:
“La
La circuitazione del campo magnetico B lungo un percorso C è uguale
alla somma di tutte le correnti concatenate con C, moltiplicata per μ0 “
Se non ci sono correnti concatenate
N.B. B è prodotto da tutte le correnti presenti, invece i sono solo quelle
concatenate
22
F
Forma
llocale
l del
d l Teorema
T
di Ampere
A
Applichiamo il teo.
teo di Stokes alla circuitazione di B
Σ è una superficie qualsiasi che ha C come contorno.
Attraverso Σ passano le varie i concatenate con C
Quindi ppossiamo scrivere.
Q
j sarà diversa da zero solo dove il conduttore interseca Σ
23
usando le due relazioni si passa da
a
Σ
Σ
Dato che Σ è una superficie qualsiasi, i due integrandi devono essere uguali,
quindi
che è la forma locale del Teorema di Ampere
∇ x B e j sono perpendicolari a B
24
Esempi
1) Filo indefinito di raggio R percorso dalla
corrente i. Determinare B in funzione di r
B ha simmetria cilindrica tangente, quindi la
legge di Ampere diventa: (r ≥ R)
All’interno del filo (r < R), se j è uniforme = i / π R2,
la corrente concatenata a circonferenza di raggio
r è j π r2 , quindi
q
25
2) Solenoide rettilineo indefinito
Calcolare B
Calcoliamo la circuitazione di B lungo un circuito
rettangolare (ABCD) con il lato AB sull’asse del
cilindro .
Per simmetria B deve essere parallelo all’asse
all asse e
uniforme. Supponiamo, pure, che B sia nullo
f ori dal solenoide.
solenoide Quindi
Q indi
fuori
Il risultato non cambia se AB non sta sull’asse ma è solo parallelo all’asse.
Quindi B è uniforme e uguale in tutto il solenoide (indefinfito).
26
3) Solenoide toroidale ( toro = ciambella!)
N spire, rint e rest , corrente i.
Trovare B
Per simmetria le linee di campo di B sono
circonferenze
i
f
concentriche.
ti h
solo se rint
i t ≈ restt ≈ rmed
d
27
P
Proprietà
i tà magnetiche
ti h della
d ll materia
t i
Come si comportano i materiali in presenza di un campo magnetico ?
Prendiamo un solenoide indefinito: B0 =
Definiamo il vettore H = B/μ0 = n i
Riempiano completamente il solenoide
con un materiale omogeneo
28
Misuriamo B all’interno del materiale: B risulta parallelo a B0 e
km (numero puro) si chiama permeabilità magnetica relativa (a quella
del vuoto) del materiale
materiale. Allora
definiamo permeabilità magnetica assoluta del materiale
h le
l stesse
t
di
i i di μ0
μ ha
dimensioni
H (= n i) dipende dal circuito, μ descrive le proprietà magnetiche del mezzo
29
e
sono valide per circuiti di qualunque forma
Allora se un circuito è immerso in un mezzo di permeabilità magnetica
relativa km allora la legge Ampere-Laplace diventa.
La legge di Ampere diventa
30
Chiamiamo suscettività magnetica:
= (B –B0)/B0
Definiamo un nuovo vettore: il vettore magnetizzazione
allora
l’intensità
l’i t ità ddell campo magnetico
ti nell solenoide
l id sii puòò scrivere
i
31
il secondo
d termine
t
i sii puòò vedere
d in
i due
d modi
di
μ0 (χmn ) i come se ci fossero altre χmn spire per unità di lunghezza
μ0 n (χm i) come se nelle n spire per unità di lunghezza circolasse
una extra corrente χm i
In effetti si può dire che sulla superficie esistono delle correnti di origine
atomica, prodotte dal campo B0 (vedi cariche di polarizzazione nei
dielettrici). Queste correnti di dicono Amperiane
32
L sostanze sii dividono
Le
di id
in
i tre categorie,
i a seconda
d della
d ll risposta
i
all campo
magnetico esterno:
1) Sostanze Diamagnetiche
Caratterizzate da km < 1
χm < 0,
B < B0
Le correnti amperiane circolano in verso opposto a quelle nel solenoide.
M è opposto
t a H.
H Effetto
Eff tt molto
lt piccolo
i l ( ≈ -10
10-55)
33
2)) Sostanze Paramagnetiche
g
Caratterizzate da km > 1
χm > 0,
B > B0
Le correnti amperiane circolano nello stesso verso di quelle nel solenoide.
M è concorde con H. Effetto piccolo ( ≈ 10-4)
χm dipende dalla temperatura secondo la I legge di Curie :
ρ è la densità e C è la Costante di Curie
34
3)) Sostanze ferromagnetiche
g
((FM))
Sostanze FM: Fe, Co, Ni, qualche TR, loro leghe (metalli)
In questi metalli km e χm non sono costanti ma dipendono fortemente
da H e dalla storia. km sta nel range 103 – 105 (>0) quindi B >>B0
(Correnti Amperiane concordi con i vera e molto intense)
La relazione tra H e B (B(H)) non è
univoca e non può essere prevista a priori.
Va misurata.
35
Poi M ((H)) = B(H)
( ) / μ0 - H
Ciclo di Isteresi (simmetrico):
(
)
Msat , Mr , Hm , Hc
Mr = Br /μ0
Il ciclo si “stabilizza”
stabilizza dopo vari cicli.
Inizialmente materiale “vergine”
( ff dd t lentamente
(raffreddato
l t
t senza campii
magnetici)
Poi, al crescere di i e H si ha la “curva di prima magnetizzazione.
36
μ = B / H , km = B /μoH = μ/μo ,
χm = km -11 sono tutti
t tti funzioni
f i i di H
gg di Curie:
seconda Legge
TC temperatura di Curie.
Al di sotto di TC χm non è definita
definita, al di sopra il FM diventa
paramagnetico
Ciclo di isteresi = Diagramma di stato
dipende da natura e composizione del materiale.
Materiali magnetici “duri” e “ dolci”
duri : memorie ; dolci: trasformatori
Lavoro per magnetizzare un volume unitario: dW = B dH
Area B(H) = energia dissipata per unità di volume
37
Meccanismo di Magnetizzazione e Correnti Amperiane
N li atomii esistono
Negli
i
due
d possibili
ibili origini
i i i di un momentii di dipolo
di l
magnetico (m.d.m.):
a)
gli elettroni che ruotano attorno al nucleo corrispondono a
microscopiche spire con relativo m.d.m. (orbitale)
b) ogni elettrone possiede un suo m.d.m. intrinseco (spin)
In genere in un atomo tutti i momenti, orbitale e di spin, si compensano
In presenza di un campo magnetico gli elettroni modificano le orbite
quindi il loro momenti orbitali variano e la somma non è più nulla.
38
Il nuovo momento produce un campo che si oppone a quello che lo ha
provocato con un m.d.m. atomico
ma = – αa H = – αa B /μo
B < Bo : Diamagnetismo!
g
( Cfr. Di(a)elettrici
( )
)
Ma se i momenti orbitale e di spin non si compensano,
l’atomo ha già un suo momento che si orienta secondo il
campo esterno, rafforzandolo: B > Bo : Paramagnetismo
Però l’agitazione termica si oppone all’allineamento,
quindi
i di il m.d.m.
d
atomico
i ha
h la
l forma
f
39
Ferromagnetismo
g
Fenomeno di carattere quantistico. Grandissimi blocchi di atomi
paramagnetici
ti i tutti
t tti spontaneamente.
t
t allineati:
lli ti Domini
D i i di Weiss.
Wi
Senza campo
p esterno i domini sono orientati a caso, ma con anche ppiccoli
campi quelli favoriti crescono e gli altri si riducono, con enorme aumento di
B e M, finchè tutto il materiale è un unico dominio.
Togliendo il campo B e M non tornano a zero e il materiale resta
magnetizzato.
40
Il vettore magnetizzazione M
Dato un volumetto τ che contiene N atomi/molecole,, se sia applica
pp
Bo = μo H,
τ acquista
m = N <m>
D fi i
Definiamo
il Vettore
V tt
M
Magnetizzazione
ti
i
M
M = m/τ = N/τ <m> = n <m>
n densità di atomi/molecole
Diamagnetici: M = - nαaH = χm H
Paramagnetiche:
M
= χm H
M è uniforme se è costante nel mezzo :
amorfi,, a simmetria cubica,, in B uniforme
41
P di
Prendiamo
un cilindro
ili d con M uniforme
if
e parallelo
ll l all’asse
ll’
del cilindro.
Ora un disco di spessore infinitesimo dz.
Dividiamolo in
prismetti di area dΣ e volume dτ = dΣ dz. Ognuno ha
momento magnetico
dm = M dτ = M dΣ dz uz.
Potremmo sostituirlo con una spira di area dΣ percorsa
da una corrente dim.
Quanto deve essere dim ? : M dz
42
Se prendiamo due prismetti adiacenti, le correnti sui lati di
contatto si annullano e restano solo le correnti sui lati
esterni.. Continuando
este
Co t ua do con
co tutti
tutt i p
prismetti
s ett de
del ddisco
sco restano
esta o
solo le correnti sulla superficie esterna.
Tutto il disco equivale a una spira alta dh percorsa dalla corrente dim = M dz
Integrando su tutto il cilindro, si ha che esso equivale a una fascia alta h
percorsa dalla corrente (correnti Amperiane)
im = M h per cui M = im / h = js,m
43
N.B.
js,m
s m è una densità lineare di corrente,, A/m,, indica la corrente
per unità di altezza del cilindro!
se indichiamo con un il versore del raggio del
cilindro p
possiamo scrivere js,m
s m = M x un
essendo js,m tangente al cilindro.
Se calcoliamo la circuitazione di M lungo il
percorso indicato in figura, dato che M è diverso
da zero solo nel cilindro
44
Dato che le linee di campo di B sono sempre chiuse (non esiste il mono
mono-polo
polo
magnetico !), il flusso di B attraverso una superficie chiuse è sempre nullo
e utilizzando il teorema delle divergenza
Queste sono le due forme della Legge di Gauss per il campo magnetico.
45
B è solenoidale.
Proprietà dei campi solenoidali: Se il flusso attraverso un sup. chiusa è nullo
il Flusso attraverso una superficie aperta dipende solo dalla linea di
“contorno”
co to o della
de a superficie
supe c e stessa e non
o dalla
da a sua forme
o e o estensione.
este s o e.
46
Differenze tra campo elettrico, E, e campo magnetico B
47
Equazioni generali della magnetostatica in presenza di mezzi magnetizzati
Legge di Ampere modificata per tener conto delle correnti Amperiane
(N.B.
(N B questa
t non è la
l estensione
t i
introdotta
i t d tt da
d Maxwell,
M
ll vedi
di dopo!)
d
!)
Ricordando che
Legge di Ampere per H
Legge di Gauss per B
N.B. In Fisica: B: campo magnetico, H: campo magnetizzante
Elettrotecnica, ecc. : B: Induzione magnetica, H campo magnetico!
48
Magnete toroidale
Solenoide toroidale riempito di materiale con permeabilità magnetica relativa km.
Calcolare H, B e M nel materiale.
Applichiamo la Legge di Ampere per H:
49
