Lucidi su valutazione degli investimenti

Analisi tecnico-economica dei progetti ICT
Valutazione degli investimenti
Maurizio Naldi
Università di Roma Tor Vergata
A.A. 2012-13
I flussi di cassa
Le quantità di denaro spese od incassate costituiscono dei flussi di
cassa (cashflows)
Il segno di un flusso di cassa è positivo se costituisce un ricavo e
negativo se costituisce una spesa
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
2 / 102
I flussi di cassa
Rappresentazione grafica
Indichiamo con un freccia diretta verso l’alto i flussi positivi e con una
freccia diretta verso il basso i flussi negativi
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
3 / 102
Il principio di equivalenza economica
Determina la corrispondenza tra quantità di denaro attuali e future
Il procedimento con il quale valutiamo il valore attuale di un flusso di
cassa futuro si chiama attualizzazione
Il procedimento con il quale valutiamo il valore futuro di un flusso di
cassa attuale si chiama capitalizzazione
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
4 / 102
La capitalizzazione semplice
Il capitale attuale è C
Il montante è il valore futuro del capitale
Il capitale cresce di una quantà fissa (interesse) ad ogni periodo
I = rC
(r = Tasso di interesse)
Dopo n periodi il valore futuro del capitale sarà
F = C + nrC = C (1 + nr ) (il valore futuro cresce linearmente)
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
5 / 102
La capitalizzazione composta
Ad ogni periodo il capitale cresce della stessa percentuale r (tasso di
interesse)
Gli interessi sono anch’essi soggetti a capitalizzazione
Dopo n periodi il valore futuro del capitale sarà F = C (1 + r )n
La crescita di valore del capitale attuale è esponenziale
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
6 / 102
Esempi di capitalizzazione composta
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
7 / 102
Calcolo della capitalizzazione
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
8 / 102
Confronto tra regimi di capitalizzazione
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
9 / 102
L’attualizzazione
L’attualizzazione fornisce il valore attuale di un flusso di cassa futuro
L’attualizzazione è l’operazione inversa della capitalizzazione
composta
Il valore attuale C di un flusso di cassa disponibile tra n periodi è
F
C = (1+r
)n
Il tasso r viene detto tasso di sconto
Il divisore 1/(1 + r )n viene detto fattore di sconto
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
10 / 102
Calcolo del fattore di sconto
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
11 / 102
Esempi di curve di attualizzazione
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
12 / 102
Il valore attuale netto
Il valore attuale netto (Net Present Value, NPV) di un investimento è
la somma di tutti i suoi flussi di cassa attualizzati, al netto
dell’investimentoPiniziale
Fi
VAN = −C0 + ni=1 (1+r
)i
Per l’attualizzazione è necessaria la conoscenza completa dei flussi di
cassa e del tasso di sconto (o costo opportunà del capitale)
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
13 / 102
Esempio di calcolo del Valore Attuale Netto
Tasso di sconto r = 12%
Investimento iniziale C0 = 10000
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
14 / 102
Il criterio del valore attuale netto
Per decidere se effettuare o meno un investimento il criterio del valore
attuale netto considera le seguenti condizioni
Il VAN del progetto deve essere positivo
In caso di scelta tra due o più progetti si sceglie quello con il VAN
positivo maggiore
Progetti potenzialmente remunerativi: la somma dei flussi di cassa
non attualizzati è positiva
Progetti sicuramente non remunerativi: la somma dei flussi di cassa
non attualizzati è negativa
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
15 / 102
Proprietà e criticità del VAN
Si assume implicitamente che ogni operazione sussidiaria, di
finanziamento o di impiego, sia fatta allo stesso tasso
E’ un operatore lineare: sommando (o sottraendo) i flussi di cassa di
due progetti si ottiene un VAN uguale alla somma (o alla differenza)
dei VAN dei due progetti presi singolarmente: per confrontare due
progetti si può considerare il VAN differenziale (i flussi di cassa
identici ma non stimabili non accuratezza possono essere ignorati)
Richiede la determinazione del tasso di sconto
Assume la costanza del tasso di sconto nel tempo
Il risultato è influenzato dalle dimensioni del progetto: progetti di
dimensioni maggiori danno luogo a VAN potenzialmente maggiori, ma
Il rischio cresce con le dimensioni del progetto
Il costo del capitale varia con l’entà del finanziamento (ovvero con le
dimensioni del progetto)
E’ in genere possibile ottenere VAN maggiori da progetti piccoli
semplicemente aumentando l’investimento
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
16 / 102
Relazione tra VAN e tasso di sconto
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
17 / 102
Il tasso di rendimento
Indica il rendimento ottenuto sull’investimento
Nel caso di ricavi concentrati in un periodo il calcolo è agevole
Se a fronte di un investimento iniziale C0 otteniamo ricavi pari a C1
dopo un periodo, il rendimento è R = CC10 − 1
Il rendimento ottenuto è quel valore del tasso di sconto che rende
C1
nullo il VAN VAN = −C0 + 1+R
= −C0 + CC11 = 0
1+ C −1
0
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
18 / 102
Il tasso interno di rendimento
Si usa se i flussi di cassa sono distribuiti su più periodi
Il tasso interno di rendimento (TIR, o Internal Rate of Return, IRR) è
quel valore del tasso
che rende il VAN uguale a 0
P di sconto
Ci
VAN = −C0 + ki=1 (1+TIR)
=
0
i
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
19 / 102
Calcolo del tasso interno di rendimento
L’equazione che definisce
il TIR si può scrivere come un’equazione
P
polinomiale −C0 + ki=1 Ci x i = 0 con la posizione x = (1 + TIR)−1
Nel caso in cui il grado sia superiore a 4 è difficilmente risolvibile in
forma analitica e si deve cercare una soluzione numerica
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
20 / 102
Interpretazione del tasso interno di rendimento
Il TIR è il massimo valore del tasso di sconto che rende il progetto
ancora remunerativo (cioè a Valore Attuale Netto positivo)
Se il progetto viene finanziato interamente con capitale di debito, il
TIR rappresenta il massimo tasso di costo del capitale tollerabile
affinché il progetto non vada in perdita
Il TIR può essere considerato come il rendimento lordo di un progetto
(al lordo cioè del costo delle risorse finanziarie)
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
21 / 102
Criterio di valutazione dei progetti con il tasso interno di
rendimento
Nel caso di un progetto valutato isolatamente dagli altri il progetto
sarà accettabile se il suo TIR è superiore al costo del capitale (costo
del capitale di debito nel caso di finanziatori esterni o costo opportunà
del capitale nel caso di finanziamento in proprio)
Nel caso di più progetti alternativi si preferirà quello che presenta il
TIR maggiore
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
22 / 102
Esempio di calcolo del tasso interno di rendimento
Consideriamo la sequenza dei
flussi di cassa
C0 = −4000, C1 = 2000,
C2 = 4000
Il TIR è il 28.04%
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
23 / 102
Vantaggi del tasso interno di rendimento
Ha una interpretazione finanziaria
Ha forma indipendente da scala e durata dell’investimento
Non richiede la determinazione esatta del costo del capitale
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
24 / 102
Svantaggi del tasso interno di rendimento
E’ un indice relativo e non assoluto (non dipende dalle dimensioni del
progetto)
Non permette di valutare progetti non remunerativi (la sequenza dei
flussi di cassa deve presentare almeno un’inversione di segno, per la
regola di Cartesio, affinché esista un TIR)
Non dipende dal segno complessivo della sequenza dei flussi di cassa
Può dare luogo a valori multipli
Non tiene conto del valore del costo del capitale
Non è una funzione lineare dei flussi di cassa
Non si può usare per confrontare due investimenti
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
25 / 102
Errori legati all’uso del TIR
Progetto 1
Sequenza dei flussi di cassa
C0 = −4000, C1 = 1000,
C2 = C3 = C4 = 1500,
C5 = 1000
Il TIR è il 18.5%
Progetto 2
Sequenza dei flussi di cassa
C0 = −4000, C1 = 2000,
C2 = 3000, C3 = 1000
Il TIR è il 25.5%
Secondo il criterio del TIR il progetto migliore è il Progetto 2
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
26 / 102
TIR e tasso di sconto
Il Progetto 1 ha un VAN più alto se il tasso di sconto è inferiore al 7.4%
Il progetto migliore dipende dal tasso di sconto
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
27 / 102
Il periodo di pareggio finanziario
Il periodo di pareggio finanziario (Payback Period) è il tempo
necessario a recuperare l’investimento
Si calcola tramite il valore attuale cumulativo progressivo
Si considera migliore un progetto con Payback Period più breve
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
28 / 102
Il periodo di pareggio finanziario
Esempio di calcolo
Il pareggio si raggiunge tra il terzo e il quarto anno
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
29 / 102
Il periodo di pareggio finanziario
Proprietà
Non informa sulla redditivà complessiva del progetto, in quanto non
valuta i flussi di cassa successivi al raggiungimento del pareggio
Richiede comunque la determinazione del costo del capitale
Favorisce i progetti di breve durata
E’ indicato in condizione di grande incertezza
Può essere considerato un indicatore del grado di rischio associato al
progetto, in quanto progetti che raggiungono il pareggio più tardi
sono più esposti ai rischi che si possono presentare durante la vita del
progetto
E’ possibile utilizzarlo in associazione con un indicatore di redditivà
(per esempio il VAN), considerando la coerenza dei due indicatori:
progetti con periodo di pareggio più lungo (e quindi intrinsecamente
più rischiosi) dovrebbero avere redditivà maggiori
Nel caso di sequenze di flussi di cassa con cambi di segno ci possono
essere dei surplus temporanei e quindi più periodi di pareggio
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
30 / 102
Il rischio
Definizione nella lingua comune: Possibilà di conseguenze dannose o
negative a seguito di circostanze non sempre prevedibili
In un ambito progettuale è da considerarsi rischioso ogni evento
caratterizzato da incertezza (e quindi descrivibile in termini
probabilistici), non necessariamente negativo
Si suole distinguere tra
Rischi puri (conseguenze negative): incendi, infortuni sul lavoro, guasti
di attrezzature
Rischi speculativi (conseguenze sia positive che negative): oscillazioni
dei tassi di cambio, variazioni dei prezzi delle materie prime,
innovazioni tecnologiche
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
31 / 102
La valutazione del rischio
La prima fase del trattamento del rischio consiste nella:
1
Individuazione delle fonti di rischio
2
Selezione delle fonti più rilevanti
3
Quantificazione del rischio sui flussi di cassa
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
32 / 102
Esempi di rischi esterni
Rischi naturali: alluvioni, terremoti, uragani
Rischi umani: infortuni sul lavoro, indisponibilà di personale
(insufficienza del mercato, malattie, dimissioni)
Rischi tecnici: tecnologie innovative, guasti di apparati, difficoltà di
trasporto ed approvvigionamento, assenza di strutture di accoglienza
Rischi finanziari: variazioni del tasso di sconto, variazioni dei cambi
Rischi economici: variazioni dei costi delle materie prime, rinnovi
contrattuali
Rischi commerciali: prezzi praticati dalla concorrenza, arrivo di
prodotti alternativi
Rischi politici: modifica della normativa amministrativa o fiscale,
rischio Paese, nazionalizzazioni, fusioni, clima sindacale
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
33 / 102
Il diagramma Tornado
La selezione dei fattori di rischio più rilevanti si effettua mediante una
analisi deterministica di sensibilà condotta con il diagramma Tornado
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
34 / 102
Rischio e rendimento
Investimenti diversi hanno rischi diversi
Rischio significa incertezza sui flussi di cassa futuri
Il rischio deve essere remunerato
Rischi maggiori devono essere associati a rendimenti maggiori
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
35 / 102
Rendimento di investimenti finanziari
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
36 / 102
Statistiche del rendimento
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
37 / 102
Rendimenti medi
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
38 / 102
Il differenziale di rendimento
L’investimento più rischioso deve presentare un rendimento maggiore
Tipicamente si assume come investimento privo di rischio quello in
titoli di Stato a breve termine (minore di un anno)
Il maggiore rendimento degli investimenti rischiosi si valuta come
differenziale rispetto a quello dei titoli di Stato a breve scadenza
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
39 / 102
Differenziale medio di rendimento
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
40 / 102
Il trattamento del rischio
Occorre tenere conto del rischio, ovvero della variabilà del rendimento
I flussi di cassa sono incerti
Si può adattare il criterio del VAN per introdurre il rischio
I due metodi più consigliati sono
Metodo del tasso di sconto corretto
Metodo degli equivalenti certi
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
41 / 102
Il metodo del tasso di sconto corretto
Si utilizza il VAN
Si considerano i valori medi dei flussi di cassa
Si scontano con un fattore di sconto modificato k per tener conto del
rischio
Il tasso di sconto è maggiore di quello in caso di flussi di cassa
deterministici (k > r )
Il tasso di sconto incorpora sia il valore monetario del tempo che il
grado di rischio dell’investimento
VAN =
M. Naldi (URM2)
E[Ci ]
i=0 (1+k)i
Pn
Corso ATEP
A.A. 2012-13
42 / 102
Il metodo degli equivalenti certi
Il valore attuale viene calcolato scontando una quantà, detta
equivalente certo, al tasso di rendimento di un investimento privo di
rischio
L’equivalente certo rappresenta il flusso di cassa certo che ha il
medesimo valore attuale del flusso di cassa incerto
L’uso dell’equivalente certo permette di disaggregare gli effetti del
tempo e dell’incertezza
VAN =
M. Naldi (URM2)
Pn
Ĉi
i=0 (1+r )i
Corso ATEP
A.A. 2012-13
43 / 102
Il premio per il rischio
Nel metodo degli equivalenti certi i flussi di cassa vengono decurtati
di una quantà legata al grado di rischio
L’ammontare della decurtazione
rappresenta
il premio per il rischio
i 1+r
Pr = E[Ci ] − Ci = E[Ci ] 1 − 1+k
Il premio di rischio per i flussi di cassa cresce all’aumentare
dell’orizzonte temporale in maniera non lineare (quindi incorpora il
fatto che progetti più lunghi sono più esposti a rischi)
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
44 / 102
Andamento del premio di rischio
Esempio per r=3% e k=8%
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
45 / 102
Il premio di rischio su tempi lunghi
Per tempi molto lunghi l’equivalente
certo
tende a zero
i 1+r
= E[Ci ]
limt→∞ Pr = limi→∞ E[Ci ] 1 − 1+k
Di conseguenza il premio di rischio assorbe l’intero valore atteso del
flusso di cassa
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
46 / 102
Il premio di rischio su tempi brevi
Su tempi brevi e se la differenza tra i tassi non è molto elevata il premio di
rischio cresce quasi linearmente con il tempo
i
1+r
1+r
' 1 + i(r − k)
'
1
+
r
−
k
−→
1+k
1+k
i Pr
1+r
' 1 − [1 + i(r − k)] = i(k − r )
E[Ci ] = 1 − 1+k
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
47 / 102
Trattamento del rischio
I metodi usati in pratica
Tecnica
Percentuale d’uso
Aggiustamento soggettivo
Tasso di sconto corretto
Nessuna
Equivalenti certi
Accorciamento del payback period
Altri
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
48
29
14
7
7
5
A.A. 2012-13
48 / 102
Il significato del tasso di sconto
Per l’investitore (proprietario o finanziatore): il tasso di rendimento
richiesto per mettere capitali a rischio (maggiore è il rischio, maggiore
è il rendimento richiesto)
Per il gestore dell’azienda: il costo per l’ottenimento di fondi sul
mercato (dove i fondi sono una combinazione di capitali di rischio,
finanziamenti a breve/medio/lungo termine, etc.)
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
49 / 102
La determinazione del tasso di sconto
Si può determinare a partire da due riferimenti
il riferimento del mercato finanziario: il tasso di sconto è il tasso di
rendimento per investimenti finanziari disponibili, con durata e rischio
confrontabili con quelli del progetto (obbligazioni di stato e corporate)
il riferimento del settore industriale: il tasso di sconto è il rendimento
atteso per investimenti alternativi fattibili nell’ambito della propria
attività con caratteristiche simili
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
50 / 102
Il costo del capitale
Il progetto deve remunerare le fonti di finanziamento, che hanno una
doppia natura
Costo esplicito = Costo del capitale di debito (mutui bancari,
emissione di obbligazioni, etc.) sul quale occorre corrispondere un
interesse
Costo implicito = Costo opportunà del capitale proprio (degli
investitori) che occorre remunerare adeguatamente rispetto ad
investimenti simili alternativi
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
51 / 102
Il modello CAPM
Il modello CAPM (Capital Asset Pricing Model) permette di valutare il
tasso di rendimento r atteso da un investimento rischioso mediante
l’osservazione dei rendimenti sul mercato
Il tasso di rendimento atteso è r = rf + β(rm − rf )
con rf =Rendimento di un titolo privo di rischio rm =Rendimento medio del
mercato
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
52 / 102
Il premio per il rischio nel modello CAPM
Il modello per il costo del capitale di partecipazione (equity) di tipo
CAPM incorpora il rischio sistematico (quindi non diversificabile)
mediante un premio per il rischio (Equity Risk Premium, ERP)
La valutazione del premio per il rischio può essere effettuata
essenzialmente in due maniere
Storica (ex-post)
Teorica (ex-ante)
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
53 / 102
La valutazione ex-post del premio per il rischio
La valutazione ex-post si effettua tenendo conto delle differenze tra i
ritorni in investimenti “rischiosi” e ritorni in investimenti privi di
rischio
I problemi principali in questa valutazione sono
Ampiezza temporale della base storica
Ampiezza spaziale della base storica
Utilizzo della media aritmetica o della media geometrica
Cosa si assume come investimento privo di rischio
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
54 / 102
La valutazione del coefficiente Beta
Nel metodo CAPM il problema principale è costituito dalla
determinazione del fattore Beta
Si può ricorrere ad uno studio dei ritorni azionari su base storica,
applicando una regressione lineare
In questo caso i principali fattori critici sono:
Determinazione della frequenza di campionamento dei ritorni azionari
(mensile, settimanale, quotidiana)
Determinazione dell’ampiezza della base storica (ultimi 5 anni, ultimi 3
anni, ultimi 12 mesi)
Mercato di riferimento (nazionale, internazionale)
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
55 / 102
Influenza dell’ampiezza della base storica
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
56 / 102
Il coefficiente Beta per France Telecom
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
57 / 102
Il coefficiente Beta per British Telecom
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
58 / 102
Il coefficiente Beta per Telecom Italia
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
59 / 102
Il ricorso all’indebitamento
L’entà del ricorso all’indebitamento viene valutata mediante il
rapporto di indebitamento (gearing ratio)
Indicando con E (Equity) il valore dell’azienda desunto dalla sua
capitalizzazione azionaria e con D l’ammontare del debito, il gearing
D
ratio è il rapporto D+E
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
60 / 102
Rapporto di indebitamento per alcuni operatori
Operatore
Rapporto di indebitamento [%]
BellSouth
SBC Communications
Verizon Communications
BT
M. Naldi (URM2)
17
13
27
35
Corso ATEP
A.A. 2012-13
61 / 102
Il costo medio ponderato del capitale
Per tener conto della diversà delle fonti di finanziamento, il costo
complessivo del capitale viene ottenuto come media ponderata dei
costi delle diverse fonti di finanziamento
Il costo cosı̀ ottenuto è denominato WACC (Weighted Average Cost of
D
E
Capital), che nel caso di due fonti risulta WACC = kD D+E
+ kE D+E
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
62 / 102
Scelta dei pesi nel WACC
Il peso rispettivo del capitale proprio e del capitale di debito sul totale delle
fonti di finanziamento può essere valutato in due maniere, che riguardano
la valorizzazione del capitale proprio
Valutazione contabile (dal bilancio)
Semplicà nell’estrazione dei dati (dal passivo del bilancio)
Sottostima del valore delle immobilizzazioni (l’ammortamento è più
veloce del tasso di obsolescenza)
Valutazione di mercato (capitalizzazione di Borsa per le aziende
quotate)
Coerente con l’utilizzo del costo opportunà
Instabilà (fluttuazione del mercato azionario)
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
63 / 102
Pro e contro dell’uso del WACC
Vantaggi
Semplicà
Popolarà in ambito aziendale
Svantaggi
I due tassi (attivo e passivo) si riferiscono ad operazioni diverse
I pesi delle diverse fonti di finanziamento variano nel tempo
Il finanziamento esterno viene valutato solamente mediante il suo
peso e viene trascurata la struttura del rimborso
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
64 / 102
Valutazione del WACC di Telecom Italia
Analista
Data
CSFB
Fortis
Citigroup
Citigroup
Axia
Deutsche Bank
Axia
Dicembre 2001
Febbraio 2002
Novembre 2003
Aprile 2005
Maggio 2005
Luglio 2005
2005
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
WACC [%]
8.5
8.1
7.9
8.4
9.8
7
9.6
A.A. 2012-13
65 / 102
Valutazione del WACC di Tiscali
Analista
Data
Paribas
UBM
Euromobiliare
Akros
Mediobanca
Euromobiliare
Gennaio 2002
Novembre 2003
Novembre 2003
Novembre 2003
Novembre 2003
Maggio 2005
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
WACC [%]
10.2
9.5
9.6
8.1
9.5
9.2
A.A. 2012-13
66 / 102
Le opzioni
L’opzione è un titolo che garantisce il diritto di acquistare (opzione
call) o di vendere (opzione put) un determinato bene (il sottostante)
ad un prezzo fissato (prezzo di esercizio dell’opzione o strike price) ad
una data futura fissata (opzione di tipo europeo) oppure entro una
data futura fissata (opzione di tipo americano)
Esempi di beni sottostanti: titoli azionari; merci
L’opzione ha in sé un valore
Il problema fondamentale delle opzioni è la valutazione del loro valore
(e implicitamente delle cifre corrette per la loro compravendita)
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
67 / 102
Le opzioni reali
Le opzioni reali sono opzioni su attività non finanziarie. Sono
incorporate negli investimenti strategici.
Esempi:
Acquisizione di una licenza
Acquisizione di un’infrastruttura riutilizzabile
Investimento in ricerca e sviluppo
Acquisizione di un marchio
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
68 / 102
Opzioni fondamentali
Le opzioni base sono due
Opzione CALL (opzione di acquisto)
Opzione PUT (opzione di vendita)
L’opzione viene detta di tipo
Americano se il suo esercizio è possibile in qualsiasi istante prima della
scadenza
Europeo se il suo esercizio è possibile solamente alla scadenza
E’ possibile costruire anche sulla base di queste sole varianti base dei
meccanismi di opzione più complessi
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
69 / 102
Grandezze di interesse
S = valore del bene sottostante (variabile durante la vita dell’opzione)
E = prezzo di esercizio dell’opzione
P = prezzo di acquisto dell’opzione (premio)
T = tempo di scadenza dell’opzione
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
70 / 102
Funzionamento dell’opzione CALL
1
Il sottoscrittore acquista l’opzione pagando il prezzo P
2
Al momento dell’acquisto dell’opzione il prezzo attuale del sottostante
è S0
3
Al tempo T il sottoscrittore osserva il prezzo del sottostante ST e
decide se esercitare l’opzione
4
Il sottoscrittore eserciterà l’opzione se il valore del sottostante è
maggiore del prezzo di esercizio E : ST > E
5
Se il sottoscrittore esercita l’opzione guadagna la cifra ST − E
6
Se il sottoscrittore lascia scadere l’opzione non deve versare null’altro
(perde la cifra versata inizialmente pari al prezzo dell’opzione P)
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
71 / 102
Funzionamento dell’opzione PUT
Il sottoscrittore acquista l’opzione pagando il prezzo P
Al momento dell’acquisto dell’opzione il prezzo attuale del sottostante
è S0
Al tempo T il sottoscrittore osserva il prezzo del sottostante ST e
decide se esercitare l’opzione
Il sottoscrittore eserciterà l’opzione se il valore del sottostante è
minore del prezzo di esercizio E : ST < E
Se il sottoscrittore esercita l’opzione guadagna la cifra E − ST
Se il sottoscrittore lascia scadere l’opzione non deve versare null’altro
(perde la cifra versata inizialmente pari al prezzo dell’opzione P)
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
72 / 102
Diagramma di profitto delle opzioni CALL
La perdita è limitata al prezzo
di acquisto dell’opzione
Il guadagno è potenzialmente
illimitato
Al momento della scadenza il
valore dell’opzione è
max(ST − E , 0)
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
73 / 102
Diagramma di profitto delle opzioni PUT
La perdita è limitata al prezzo
di acquisto dell’opzione
Il guadagno è limitato alla
differenza tra il prezzo di
esercizio e quello di acquisto
Al momento della scadenza il
valore dell’opzione è
max(E − ST , 0)
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
74 / 102
Esempi di opzioni reali
Differimento dell’investimento
Espansione della scala di un progetto
Contrazione della scala di un progetto
Chiusura temporanea dell’esercizio
Chiusura definitiva con riutilizzo degli impianti (switching)
Chiusura definitiva con realizzo sul mercato dell’usato (salvage)
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
75 / 102
L’evoluzione del sottostante
Consideriamo un’attività sottostante di valore attuale S e che nel
periodo considerato può variare in due sole maniere: incremento o
decremento
+
S
incremento
S=
S − decremento
Sebbene questo modello sia molto semplificato la sua bontà di
adattamento può sempre essere migliorata riducendo la durata del
periodo oppure aumentando il numero di possibili esiti
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
76 / 102
Valore dell’opzione a scadenza
L’opzione call ha un prezzo di esercizio E
In corrispondenza ai due diversi esiti il valore dell’opzione C varia in
due possibili maniere (se non esercito l’opzione questa vale 0)
+
C = max(S + − E , 0) incremento
C=
C − = max(S − − E , 0) decremento
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
77 / 102
Il portafoglio equivalente
Costruiamo un portafoglio equivalente costituito da N unà
dell’attività sottostante (titolo azionario), avendo preso in prestito
una quantà B di denaro a tasso privo di rischio r (per esempio il tasso
dei titoli di stato a 3 mesi)
Il vantaggio è costituito dal sostituire alla valutazione dell’opzione (il
cui valore è appunto l’incognita obiettivo) quella di un portafoglio
costruito con titoli negoziati (di cui quindi sono sempre noti i valori)
che però ricalca il valore dell’opzione
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
78 / 102
Evoluzione del valore del portafoglio equivalente
A seguito dell’evoluzione del valore del sottostante e della necessà di
rimborsare il prestito con tasso pari a r sul periodo unitario, il valore del
portafoglio equivalente nell’ambito di un periodo può assumere due valori
(corrispondenti a due valori del sottostante)
NS + − B(1 + r ) incremento
NS − B =
NS − − B(1 + r ) decremento
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
79 / 102
Replica del valore dell’opzione
Il portafoglio sintetico (funzione lineare dei suoi costituenti) è stato
costruito per replicare il valore dell’opzione (funzione non lineare dei
suoi costituenti)
Problema: Come dimensionare il portafoglio equivalente affinché
replichi esattamente in tutti i casi il valore dell’opzione ?
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
80 / 102
Equivalenza tra portafoglio e opzione
Gli esiti del valore dell’opzione devono essere uguali a quelli del
portafoglio equivalente in tutti i casi
C + = NS + − B(1 + r )
C − = NS − − B(1 + r )
La soluzione delle due equazioni fornisce
Il numero di unà del sottostante
La quantà di denaro da prendere in prestito
La soluzione per il numero di unà del sottostante è uguale allo hedge
ratio, cioè spread opzione/spread sottostante
N=
M. Naldi (URM2)
C + −C −
S + −S −
B=
Corso ATEP
NS + −C +
1+r
A.A. 2012-13
81 / 102
Il valore dell’opzione
L’equivalenza tra valore del portafoglio e valore dell’opzione è stata
imposta a valle del periodo di osservazione
Per la legge del prezzo unico se l’opzione ricalca il portafoglio
equivalente a valle del periodo di osservazione deve ricalcarlo anche a
monte
Il valore dell’opzione a monte (cioè il valore attuale dell’opzione) è
quindi uguale al valore attuale del portafoglio equivalente
C = NS − B
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
82 / 102
Espressione alternativa del valore dell’opzione
Sostituendo nella espressione del valore dell’opzione i parametri ottenuti
per il portafoglio equivalente si ottiene il valore attuale dell’opzione come
media attualizzata dei valori dell’opzione a valle del periodo di osservazione
pC + +(1−p)C −
1+r
)S−S −
= (1+r
S + −S −
C=
p
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
83 / 102
La probabilà equivalente neutrale al rischio
Il valore atteso dei valori dell’opzione dopo il periodo di osservazione è
ottenuto utilizzando una probabilà definita opportunamente e
denominata probabilà equivalente neutrale al rischio
L’utilizzo della probabilà equivalente neutrale al rischio è associato ad
una attualizzazione mediante il tasso di sconto per attività non
rischiose
Il valore atteso cosı̀ valutato non è il vero valore atteso dell’opzione
(per ottenere il vero valore atteso si dovrebbero utilizzare le probabilà
dei due esiti)
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
84 / 102
Il modello di Cox-Ross-Rubinstein
Per valutare l’opzione nel caso di un periodo di validà lungo, in cui
sono possibili una molteplicà di eventi, si può utilizzare il modello
proposto da Cox, Ross e Rubinstein nel 1979
Questo modello utilizza un portafoglio sintetico in maniera iterativa
Il periodo che va dall’emissione alla scadenza viene segmentato in un
certo numero di intervalli, ottenendo cosı̀ un sistema tempo-discreto
Per ogni intervallo vale la corrispondenza tra valore dell’opzione e
valore del portafoglio sintetico
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
85 / 102
L’evoluzione del sottostante
Nel modello binomiale moltiplicativo ad ogni passo il valore del
sottostante può evolvere in due sole maniere (sono anche utilizzate
evoluzioni con 3 o 4 esiti, che danno luogo ai modelli trinomiali e
quadrinomiali)
Le due evoluzioni possibili sono
crescita di un fattore u (con probabilà q)
diminuzione di un fattore d = 1/u, l’inverso di u
S=
M. Naldi (URM2)
S + = uS
S − = dS
incremento
decremento
Corso ATEP
A.A. 2012-13
86 / 102
Parametri del portafoglio sintetico
I parametri del portafoglio sintetico sono:
Il numero N di unà del sottostante
Il valore B preso in prestito
+ −C −
C + −C −
= C(u−d)S
S + −S −
dC + −uC −
B = (u−d)(1+r
)
N=
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
87 / 102
La probabilà equivalente neutrale al rischio
La probabilà equivalente neutrale al rischio risulta pari al rapporto tra lo
spread tra fattore di capitalizzazione in caso di assenza di rischio e in caso
di evoluzione peggiore del sottostante (a numeratore) e spread dei fattori
di capitalizzazione del sottostante (a denominatore)
p=
M. Naldi (URM2)
1+r −d
u−d
Corso ATEP
A.A. 2012-13
88 / 102
Estensione al caso multi-periodo
Se il periodo di validà dell’opzione si suddivide in un numero di
sottointervalli di uguale durata, la procedura di valutazione può essere
ripetuta per ogni sottointervallo
Operando a ritroso sugli n sottointervalli i possibili percorsi che
conducono ai diversi esiti hanno una distribuzione binomiale
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
89 / 102
La distribuzione degli esiti
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
90 / 102
Il calcolo del valore dell’opzione
Il valore dell’opzione si ottiene percorrendo a ritroso l’albero ed
applicando più volte la formula di valorizzazione sul singolo periodo
Si deve quindi attualizzare, con il tasso per investimenti non rischiosi,
il valore atteso dei possibili valori a scadenza dell’opzione, utilizzando
la probabilà equivalente neutrale al rischio
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
91 / 102
Ipotesi del modello di Black-Scholes
L’opzione è una call di tipo europeo
Il tasso di interesse privo di rischio è noto e costante durante la vita
dell’opzione
Il mercato è privo di attriti
Assenza di costi di transazione
Il prestito di denaro avviene allo stesso tasso in entrambi i sensi
I titoli sono infinitamente divisibili
Alla scadenza dell’opzione il prezzo del bene sottostante segue una
distribuzione di tipo lognormale
La varianza del tasso di rendimento istantaneo del bene sottostante è
costante nel tempo
Durante la vita dell’opzione non vengono distribuiti dividendi
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
92 / 102
Il valore attuale dell’opzione
Sotto l’ipotesi di neutralà al rischio, con un tasso di rendimento istantaneo
composto privo di rischio δ il valore attuale di un’opzione call è
C0 = e −δT E[CT ]
Il rendimento istantaneo composto δ è definito dalla relazione
e −δT = (1 + r )T
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
δ = ln(1 + r )
A.A. 2012-13
93 / 102
Il valore dell’opzione a scadenza
Il valore dell’opzione a scadenza è aleatorio, perché dipende dal valore del
sottostante a scadenza, che è anch’esso aleatorio
CT = max(ST − E , 0)
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
94 / 102
Il valore attuale del bene sottostante
Sempre sotto l’ipotesi di neutralà al rischio il valore attuale del bene
sottostante si ottiene dalla attualizzazione del valore atteso del
sottostante a scadenza
L’attualizzazione è effettuata al tasso per operazioni non rischiose
S0 = e −δT E[ST ]
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
95 / 102
Evoluzione del valore del bene sottostante
Il prezzo del bene sottostante nell’intervallo 0 − T segue
un’evoluzione scandita dai valori S0 , S1 , . . . , ST
Il primo valore della sequenza è noto; i successivi sono aleatori
Il tasso di rendimento (aleatorio) sull’intero periodo è
0
g = STS−S
= SST0 − 1
0
Il tasso di rendimento istantaneo composto è γ = ln(1 + g ) = ln
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
ST
S0
96 / 102
Scomposizione del tasso di rendimento
Si può considerare una scomposizione del periodo 0 − T in T
sottoperiodi
i
I tassi di rendimento istantanei nei sottoperiodi sono γi = ln SSi−1
La relazione tra i tassi istantanei dei sottoperiodi ed il tasso
istantaneo
composto
Qè
P
P
T
T
T
ST
Si
Si
γ = ln S0 = ln
i=1 ln Si−1 =
i=1 γi
i=1 Si−1 =
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
97 / 102
I tassi di rendimento istantanei dei sottoperiodi
I tassi di rendimento istantaneo dei sottoperiodi si suppongono
variabili aleatorie tra di loro indipendenti ed identicamente distribuite
(i.i.d.)
La distribuzione dei tassi di rendimento istantaneo dei sottoperiodi si
suppone gaussiana γi ∼ N(µ, σ 2 )
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
98 / 102
Il tasso di rendimento istantaneo composto
Il tasso di rendimento istantaneo composto è ancora una variabile aleatoria
gaussiana con valore atteso e varianza pari alla somma dei valori attesi e
delle varianze dei tassi istantanei dei sottoperiodi
P
E[γi ] = µT
E[γ] = T
PTi=1
V[γ] = i=1 V[γi ] = σ 2 T
γ ∼ N(µT , σ 2 T )
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
99 / 102
Il valore del sottostante alla scadenza dell’opzione
Alla scadenza dell’opzione si ha
ST
S0
= eγ
Questo rapporto ha distribuzione lognormale (esponenziale di una
gaussiana)
Anche il prezzo del sottostante alla scadenza ha distribuzione
lognormale
Il valore atteso del prezzo del sottostante alla scadenza è
E[ST ] = S0 e µT +
M. Naldi (URM2)
σ2 T
2
Corso ATEP
A.A. 2012-13
100 / 102
Il tasso di rendimento neutrale al rischio
Sotto l’ipotesi di neutralà al rischio il valore attuale del bene
sottostante è S0 = e −δT E[ST ]
Sotto le ipotesi fatte
sull’evoluzione del sottostante si ha
2
S0 = e
− µT + σ 2T
E[ST ]
Il tasso istantaneo neutrale al rischio è δ = µ +
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
σ2
2
A.A. 2012-13
101 / 102
Il valore dell’opzione
Il valore dell’opzione a scadenza è CT = max(ST − E , 0)
Il valore atteso dell’opzione a scadenza é
R∞
σ2 T
E[CT ] = E (x − E )fST (x)dx = S0 e µT + 2 P[Z < d1 ] − E · P[Z < d2 ]
con Z ∼ N(0; 1) d1 =
ln(S0 /E )+(δ+σ 2 /2)T
√
σ T
d2 =
ln(S0 /E )+(δ−σ 2 /2)T
√
σ T
Il valore dell’opzione al tempo 0 è
C0 = E[CT ]e −δT = S0 P[Z < d1 ] − E · e −δT P[Z < d2 ]
M. Naldi (URM2)
Corso ATEP
A.A. 2012-13
102 / 102