AC9
Condensazione e processo di formazione delle stelle
Le equazioni che condizionano l’equilibrio delle stelle:
L’equazione idrostatica
L’equazione di stato
Il trasporto di calore
Il modello teorico
Studio per ordini di grandezza delle equazioni di equilibrio applicate alle stelle della
sequenza principale
Risultato degli studi al calcolatore
L’uscita dalla sequenza principale e i diversi destini stellari
La sorgente di energia delle stelle
Il picco di Gamow
Nascita di una stella
La nascita di una stella avviene per condensazione di materiale intergalattico, inizialmente freddo, che,
per effetto della condensazione, si scalda e si trasforma, continuando a contrarsi, fino a quando il centro
della “protostella” non raggiunge la temperatura ( >12 106 K) necessaria per l’innesco di rezioni nucleari.
L’ordine di grandezza dell’energia gravitazionale liberata dalla condensazione di una stella può essere
stimata da Ec = G M2 / R dove G è la costante di gravitazione universale, M ed R sono la massa e il
raggio della stella. Per il sole si avrebbe Ec ≈ 4 1041 J. Se tutta questa energia rimanesse alla materia che
costituisce la stella ( principalmente idrogeno ) sarebbe sufficiente a portare tutto il materiale della stella
a una decina di milioni di K! Nel caso del sole l’energia media per particella ( metà elettroni e metà
protoni ) sarebbe pari a circa 1 keV.
Non è così per una serie di diversi motivi:
- le stelle irraggiano energia e ciò è vero anche nella fase di protostelle ( nel caso del sole 4 1041 J con la
presente luminosità del sole di 4 1026 W verrebbero dissipati in 1015 s cioè in circa 30 milioni di anni.
Nota : sulla base di questi dati Lord Kelvin sosteneva che l’età dell’universo dovesse essere di
quell’ordine di grandezza e ciò quando già dai lavori di Darwin era chiaro che la vita sulla terra aveva
avuto uno sviluppo molto più lungo ( l’influenza del lord era però tale che Darwin non lo contraddisse
mai apertamente )
- alla fine la stella deve trovare una situazione di quasi equilibrio in cui la contrazione gravitazionale è
arrestata dalla pressione che dall’interno esercitano i materiali che vi si trovano in stato di elevata
agitazione termica. Per raggiungere il quasi equilibrio, il teorema del viriale prescrive che una metà
dell’energia gravitazionale debba essere stata irraggiata verso l’esterno durante la condensazione
- ancora più importante è il fatto che durante la fase di condensazione la stella deve liberarsi, in modo
imponente, di momento angolare e di energia magnetica e ciò comporta grandi emissioni di energia.
La condensazione stellare 1
Sia data una nube omogenea sferica di raggio iniziale r0 e di massa M a temperatura iniziale nulla.
L’unica forza in azione sia la forza gravitazionale. Si ignorino eventuali effetti di conversione di energia
macroscopica in energia microscopica. In tale situazione nulla può fermare il collasso completo della
nube. Calcoliamo il tempo tc necessario per il collasso in questa situazione.
Una particella periferica, una volta giunta a distanza r, avrà una velocità v2 = 2 G M ( r-1 – r0-1 ).
Definendo la variabile θ data da r / r0 = sin2θ e sostituendo si ottiene
dt = - ( 2 r03 / G M )0.5 sin2θ dθ
Integrando tra π/2 e 0 si ottiene il tempo cercato. In funzione della densità iniziale ρ0 della nube tale
tempo risulta
tc = √(3 π / 32 G ρ0).
Se si tiene conto del teorema di Gauss, il tempo di condensazione è lo stesso per tutte le particelle: una
nube omogenea condensa continuando ad essere omogenea!
Se si applica il calcolo ad una nube che ha la stessa massa del sole e una densità uguale alla densità
massima che si trova nelle nubi fredde giganti di materia intergalattica ( M = 2 1030 kg ; ρ0 = 10-15 kg/m3,
T = 10 K) si ottiene un tempo di condensazione di circa 105 anni.
Se la densità scende, dal valore ora utilizzato pari a circa 1012 protoni / m3, a 106 protoni / m3, il tempo di
condensazione diventa di 108 anni che comincia a poter essere confrontato con l’età dell’universo (1.5
1010 y). La formazione di stelle da nubi di densità inferiori è allora certamente impossibile perché
richiederebbe comunque tempi di condensazione troppo lunghi!
Il calcolo ora illustrato non tiene conto di due fatti importanti. Il primo è che una nube di gas
possiede sempre una certa temperatura T e dunque un’energia cinetica microscopica; la condensazione
non può dunque avere inizio se il prodotto del numero di particelle per la loro energia cinetica
microscopica media non è inferiore al valore assoluto della energia potenziale gravitazionale iniziale.
Una nube di idrogeno molecolare avente densità di 10-15 kg/m3, T = 10 K e la massa del sole ha una
estensione di quasi 1015 m, una energia gravitazionale pari a circa – 2 1035 J e un’energia interna pari a
un poco più di 1035 J!
Una nube della stessa massa ma più estesa, avrebbe la stessa energia interna ma un’energia
gravitazionale minore in valore assoluto: le condizioni di condensazione delle stelle sono critiche e
avvengono in nubi fredde e dense!
La condensazione stellare 2
Il secondo motivo di non validità del calcolo relativo alla condensazione delle stelle è legato al fatto che
abbiamo supposto che tutta l’energia gravitazionale liberata andasse in velocità macroscopica di collasso:
ciò è abbastanza vero nelle fasi iniziali in cui la temperatura del sistema si mantiene bassa perché le
particelle sono “lontane”, ben separate spazialmente e la profondità ottica delle radiazioni che emettono è
inferiore all’unità; da un certo punto in poi però la profondità ottica può diventare maggiore di 1, ed esse
possono cominciare a collidere e a scambiare energia: l’energia ordinata della caduta viene trasformata
anche in energia interna e, di conseguenza in temperatura e pressione. E la pressione si oppone al
collasso.
Se si applica il calcolo prima indicato per trovare il tempo di collasso del sole ( M = 2 1030 kg ; r0 = 0.7
109 m ), si ottiene un tempo di collasso di qualche migliaio di secondi! Per nostra buona fortuna il
calcolo non è applicabile a questa situazione: la pressione nel sole equilibra in ogni punto la forza
gravitazionale.
Nubi dove
nascono le
stelle
←
Foto di
protostella
che si sta
formando
dando
origine ad
un sistema
doppio
→
La condensazione stellare 3
Le nubi che fanno parte dello spazio intergalattico sono in generale delle nubi in movimento sia perché
devono ruotare assieme a tutto il restante materiale galattico in un’orbita attorno al centro della galassia,
sia perché sono in moto relativo con velocità anche di alcuni km/s rispetto ad altre parti della galassia ad
esse circostanti: ciò fa si che esse possano possedere un momento angolare proprio. Si consideri perciò
una nube in condizioni di condensazione che abbia densità di 10-15 kg/m3, un raggio di 0.1 pc, una
temperatura di 10 K e una velocità equatoriale dell’ordine del km/s. Se la nube condensasse fino a
formare una stella simile al sole, e se si dovesse conservare il momento angolare iniziale, la velocità
equatoriale finale risulterebbe maggiore della velocità della luce (vfin = 3 1015m / 7 108 m . 1 km/ s = 4
1010 m/s)!
Durante la condensazione la stella ha bisogno di liberarsi di momento angolare
Inoltre il moto della materia, che include anche il moto di ioni, genera dei campi magnetici intergalattici
mediamente uguali a 10-10 T. Durante la condensazione il flusso di campo magnetico si conserva e di
nuovo, se la stella non avesse modo di liberarsene, si raggiungerebbero valori di centinaia di migliaia di
Tesla (sempre nel caso di una stella simile al sole Bfin = (3 1015m / 7 108 m)2 . 10-10 T ) = 105 T)!
Le modalità con cui le stelle si liberano di energia, eccesso di momento angolare ed eccesso di campo
magnetico non sono ancora del tutto chiarite. Dal punto di vista osservazionale si vede che le protostelle
tendono a formarsi dentro le nubi dense che fanno parte dello spazio intergalattico, emettono di solito
copiosamente radiazione infrarossa, sono spesso circondate da due lobi opposti ( prima figura della slide
successiva ) che sono costituiti da materiale che viene sparato via dalla protostella con velocità
supersoniche tra 50 e 100 km/s.
Inoltre la polarizzazione della luce emessa implica che il meccanismo di emissione incorpori effetti
di campo magnetico.
La condensazione stellare 4
Vi sono anche molti motivi per ritenere che le polveri, che fanno parte delle nubi giganti in cui si
formano le stelle e che ivi schermano le molecole dalla radiazione che altrimenti le distruggerebbe,
giochino un ruolo importante anche nei processi di formazione delle stelle.
Un possibile modello prevede che, a mano a mano che la condensazione precede con un contemporaneo
aumento della temperatura, si possa arrivare alla formazione di uno strato dove le polveri raggiungono la
temperatura di circa 2300 K così che i granuli di carbone delle polveri evaporano formando del gas: si
avrebbe così uno strato di materiale a temperatura pressochè costante capace di irraggiare buona parte
delle radiazioni infrarosse rivelate sperimentalmente. Il gas formato dalla evaporazione delle polveri
potrebbe inoltre cadere velocemente contro un nucleo solido interno creando delle onde d’urto che
dissipano energia meccanica sotto forma di calore e quindi di ulteriore radiazione infrarossa.
I modelli che permettono l’eliminazione di momento angolare sono di due tipi. Nel primo tipo viene
prevista la formazione di un anello di materiale attorno alla stella in cui si condensa la maggior parte del
momento angolare: il materiale che sta cadendo per formare la stella può essere trasportato verso l’anello
esterno se le forze viscose in gioco sono abbastanza elevate. Più interessante il secondo modello che
risolve contemporaneamente l’asportazione di momento angolare e di campo magnetico e che
permetterebbe di capire l’origine dei due lobi di materiale supersonico attorno alla stella. La spiegazione
involve la fisica dei plasmi cioè del materiale fortemente ionizzato che tende a seguire le linee di campo
magnetico. Si immagini la stella in formazione circondata da un disco spesso di materiale ( disco di
accrezione ). La stella ruota e possiede un momento magnetico proprio che trasporta con se le linee di
campo magnetico. Di conseguenza queste si avvolgono a spirale su se stesse e il plasma, contenuto
nell’anello e ivi mantenuto dalla radiazione ultravioletta prodotta dalla stella, tende a muoversi lungo tali
linee: a sua volta il plasma tende a conferire il suo moto alla materia neutra che lo circonda e perciò la
materia dell’anello viene messa in rotazione. Per reazione, ciò frena il moto della stella.
La condensazione stellare 5
Le freccie indicano delle masse che verosimilmente
corrispondono a stelle in formazione
Equazione di stato e pressione in una stella
•
Fintanto che il prodotto del volume a disposizione di una particella per il cubo dell’impulso
della particella ( ( 3 m k T ) 0.5 ) e’ maggiore di h3, la particella si comporta in modo
“classico” e, nel caso di un ambiente stellare, puo’ essere trattata come facente parte di un
gas.
• Se si considerano i dati della slide precedente per il sole si trova che il volume a disposizione
di un elettrone è di circa 10-32 m3 e che il suo impulso vale circa 2 10-23kg m/s.
Si è pericolosamente vicini al limite!
• La relazione pV = nRT viene di solito riscritta o nella forma:
R
p ( r ) = ρ ( r ) ______ T ( r )
PM
dove PM e’ il peso molecolare e ρ ( r ) e’ la densita’
oppure nella forma
k ρ(r)
p ( r ) = ____________ T ( r )
mH µ ( r )
dove k e’ la costante di Boltzman, mH e’ la massa di un atomo di idrogeno, µ ( r ) = (2X +
0.75 Y + 0.5 Z) -1 = peso molecolare medio e dove X,Y,Z sono le abbondanze relative di
idrogeno, di elio e di altri componenti ( metalli ) ( solo H completamente ionizzato µ = ½;
solo elio µ = 4/3; solo altro µ = 2 )
NOTA Per stelle pesanti occorre considerare anche la pressione di radiazione P = b T4 con b
= 2.5 10-16 J / m3 k4.
Al solo scopo di stimare gli
ordini di grandezza interessanti
si possono introdurre
- il raggio R della stella
- un valore medio ρ di densita’
- la pressione Pc e la
temperatura Tc al centro della
stella e stimare dP/dr e dT/dr
come rapporti Pc/R e Tc/R
- supporre che vi sia solo
trasporto radiativo
Le conclusioni cui si arriva
usando nel modo indicato tutte
le equazioni, ad eccezione di
quella che riguarda l’equilibrio
termico, sono elencate nella
slide successiva
Andamento reale e con potenza 3 della relazione
luminosita’ massa per le stelle della sequenza principale
Confronto tra la
relazione effettiva
del diagramma di
Hertzsprung
Russel e la stima
per ordini di
grandezza che si
e’ ricavato
La riserva di energia di una stella è proporzionale alla
sua massa M. Se la luminosità L, cioè la perdita di
energia della stella per secondo, è all’incirca
proporzionale ad M, la vita τ della stella è
proporzionale ad M-2. Le stelle grandi hanno vita
breve: le stelle più longeve sono le più piccole.
La vita del sole è prevista essere circa 10 miliardi di
anni: perciò la vita media di una stella che abbia una
massa dieci volte maggiore della massa del sole è
dell’ordine di cento milioni di anni.
Se si può pensare che un gruppo di stelle siano nate
contemporaneamente dalla condensazione di una nube
di gas e polveri, si può datare l’età del gruppo ( figura a
fianco ).
La densità ρ di una stella è proporzionale al rapporto
tra la massa e il cubo del raggio che, per una stella
della sequenza principale, è a sua volta
approssimativamente proporzionale alla massa della
stella. Dunque la densità di una stella è inversamente
proporzionale al quadrato della sua massa.
Più le stelle sono piccole più sono dense. Non possono
dunque esistere stelle “classiche” molto più piccole del
sole ( nel core del sole siamo già molto vicini al
limite).
Un oggetto è classificato come pianeta se la sua massa
è minore di 0.02 masse solari. Al di sopra, fino a 0.08
masse solari è una nana bruna con massa insufficiente
ad accendere qualunque reazione nucleare
Misura del tempo di formazione di cluster di stelle
Storie stellari al computer
Uscita di una stella di massa confrontabile con quella del sole dalla
sequenza principale: ovvero, il destino del sole
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L’idrogeno del core si esaurisce ma la combustione di idrogeno continua attorno al core
Il core si contrae e il centro della stella comincia a non verificare più la legge dei gas:
gli elettroni del core diventano un gas degenere. Il core si scalda e scalda il layer in cui
brucia l’idrogeno. Viene bruciato più idrogeno e la temperatura interna cresce
notevolmente.
Di conseguenza il trasporto di calore verso la superficie diventa prevalentemente
convettivo e ciò fa aumentare moltissimo il volume della stella. La superficie diviene
più fredda ma la superficie è tale che la luminosità della stella aumenta: la stella sta
diventando una gigante rossa.
La materia nel core continua ad aumentare e il core continua nel processo di contrazione
e di riscaldamento fino a quando la temperatura non si avvicina a 108 K dove può
iniziare la fusione dell’elio. Però il core è degenere e la produzione di calore dovuta alla
combustione dell’elio non ne provoca l’espansione. La stella si sta interamente
trasformando in gigante rossa. Solo quando il core raggiungerà una temperatura di 350
milioni di gradi smetterà di essere degenere e finalmente comincerà ad espandersi e a
raffreddarsi.
La stella ora torna a bruciare combustibile ( sia He che H ) in modo regolare fino a
quando anche l’elio del core non è bruciato quasi completamente ( sintetizzando nel
frattempo dei nuclei di carbonio con il processo tripla α).
Si torna ad una situazione simile a quella in cui la stella si trovava dopo aver esaurito
l’idrogeno del core. Ora però diventa possibile il processo CNO ( vedi più avanti ) che
tuttavia è anche più instabile e conduce la stella ad una serie ripetuta di esplosioni del
core che si riflettono all’esterno della stella che comincia ad espellere molto materiale
verso l’esterno. Aiutato dalla pressione di radiazione questo materiale si espanderà
formando una nebula planetaria.
Il core della stella, caldissimo e in stato degenere, rimane esposto: la stella è diventata
una nana bianca.
Non avendo più alcuna sorgente di energia, la nana bianca comincia lentamente a
raffreddarsi: ora però la superficie della stella è modesta ( il raggio è circa un centesimo
del raggio solare ) e la stella è compattissima e quindi possiede una grande riserva
termica; si trasformerà in una nana bruna in qualche miliardo di anni
Storie stellari al computer
Una stella di massa > di 10
masse stellari brucia
rapidamente e alla fine esplode
dando origine ad una stella di
neutroni o ad un buco nero
La fusione nucleare è la sorgente di energia
delle stelle
Curva (valle) di stabilità nucleare e andamento
della energia di legame nucleare lungo la valle
Le reazioni che portano alla fusione
di idrogeno in elio
Il “consumo” del sole e il ciclo CNO
La sintesi di un nucleo di elio attraverso la reazione ppI
libera una energia di 26.76 MeV di cui una piccola
frazione viene immediatamente asportata dai neutrini
mentre 26.26 MeV = 4.2 10-12 J rimangono, sotto forma
di radiazione γ, a scaldare localmente il sole.
Il sole ha una luminosità di 4 1026 W e perciò sintetizza
4 1026 / 4.2 10-12 ≈ 1038 nuclei di elio per secondo e
brucia 4 1038 nuclei di idrogeno per secondo.
Ciò corrisponde ad un consumo di idrogeno di
4 1038 . 1.6 10-27 ≈ 6 1011 kg/s di idrogeno.
Se il sole potesse utilizzare tutto il suo idrogeno in tale
modo, potrebbe vivere 2 1030 /6 1011 s cioè circa 1011
anni.
Il sole però potrà bruciare nel suo core solo circa il 10%
del suo idrogeno e perciò la sua vita è limitata a circa 10
miliardi di anni.
Verso la fine della sua vita produrrà carbonio attraverso
le reazioni triplo α
4He + 4He → 8Be
8Be + 4He → 12C
Successivamente utilizzerà il carbonio così prodotto
come catalizzatore della reazione di combustione
dell’idrogeno nota come ciclo CNO
Reazioni ulteriori nelle stelle di grande massa. Tempo di vita dei fotoni nelle stelle
Nelle stelle di grande massa si può arrivare fino alla sintesi del ferro.E’ l’ultima sintesi che possa
produrre energia da fusione nucleare.
Le reazioni principali verso il ferro sono:
4He + 12C → 16O
4He + 16O → 20Ne
12C + 12C → 20Ne + 4He
12C + 12C → 23Na + p
12C + 12C → 23Mg + n
16O + 16O → 28Si + 4He
Tutte le reazioni sono in generale accompagnate da γ che creano una densità locale di fotoni intrappolati
localmente perché continuano ad interagire soprattutto con gli elettroni del mezzo.
I liberi cammini medi λ dei fotoni in quelle condizioni sono dell’ordine del mm ( si verifichi il dato
usando la densità al centrodel sole pari a 1.5 105 kg/m3 e l’ordine di grandezza tipico delle sezioni d’urto
appropriate che dipende dal raggio classico dell’elettrone).
A mano a mano che i fotoni si spostano verso l’esterno della stella si mettono in equilibrio a temperature
via via decrescenti fino a quando non arriveranno alla temperatura della fotosfera. Nel percorso dal core
alla superficie della stella essi eseguono un tipico random walk: assumendo un valore medio di λ = 1
mm, per arrivare con un random walk dal centro alla superficie del sole il numero N di passi casuali è
dato dalla relazione
λ √ N ≈ R = 7 108 m
cioè da N ≈ 5 1023 per un percorso totale di 5 1020 m e un tempo totale di circa 1.7 1012s che corrisponde
a circa 50000 anni ( la luce di oggi ha avuto origine quando sulla terra c’era l’uomo di Neanderthal !).
Esercizi
1) Si verifichi che per una sfera omogenea l’energia gravitazionale negativa liberata dalla sua condensazione è data da - 3 G M2 / 5 R
( per stelle della sequenza principale il fattore non è 3/5 ma circa 1.5).
2) Si utilizzi il teorema del viriale per stimare la pressione al centro del sole.
3) Si utilizzi la legge dei gas per stimare la temperatura al centro del sole
4) Se tutta l’energia gravitazionale di condensazione fosse rimasta al sole, quale temperatura avrebbe tutta la materia del sole?
5) Si calcoli l’estensione lineare di una nube di idrogeno a 10 K che sia in condizioni di condensare formando una stella di dimensioni simili al
sole
6) Una nube sferica e omogenea di idrogeno molecolare ha una massa uguale a quella del sole, una temperatura di 5 K e un raggio di 0.01 pc.
Si confronti l’energia gravitazionale della nube con la sua energia interna e si dimostri che il sistema può collassare.
Che cosa afferma il teorema del viriale a proposito di una nube che sta collassando?
Se il sistema si riduce ad una stella simile al sole e se si può usare il teorema del viriale, quanta energia si libera sotto forma di radiazione durante
la fase di protostella?
Se durante tale fase la luminosità della stella è dieci volte maggiore di quella attuale del sole, quanto dura la fase di protostella?
Quale sarebbe la luminosità assoluta di tale protostella?
7) Si consideri ancora la nube di cui all’esercizio 1 e si supponga che, inizialmente, le molecole siano in rotazione attorno ad un asse fisso con
velocità angolare costante e con una velocità periferica all’estremo della nube pari alla loro velocità di agitazione termica.
Descrivete che cosa avviene della nube sferica durante il collasso tenendo conto sia dell’effetto delle forze gravitazionali sia della velocità
angolare iniziale
Con quale velocità periferica si muoverebbero le molecole dopo il collasso della nube? Commenti e note.
8) Quanto vale approssimativamente il rapporto tra la luminosita’ di una stella di massa 3 volte quella del sole e la luminosita’ del sole? E come si
raffrontano le relative durate di vita?
9) La luminosita’ assoluta del Sole vale circa 4 10 26 w. Si stimi quante reazioni nucleari vi avvengono per secondo e quanti neutrini, di
conseguenza, vengano emessi al secondo.Si calcoli il flusso dei neutrini solari sulla terra.
10) Una stella ha una luminosità assoluta pari a 1000 volte la luminosità assoluta del sole. Quale è l’ordine di grandezza della massa di quella
stella? Si stimi la pressione al centro della stella. Si stimi la sua temperatura superficiale. Quale è l’ordine di grandezza della vita della stella?
Quale è il suo destino finale?
16) Un cluster globulare si è formato 109 anni fa.
Quale è la massima magnitudo assoluta delle stelle che lo compongono e che appartengono ancora alla sequenza principale?
