Elementi di probabilità
Corso di STATISTICA
Prof. Roberta Siciliano
Ordinario di Statistica, Università di Napoli Federico II
Professore supplente, Università della Basilicata
a.a. 2011/2012
Prof. Roberta Siciliano
Statistica
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Obiettivo dell’unità didattica
•
Introdurre gli elementi fondamentali della
teoria della probabilità e l’utilità per
l’inferenza statistica
Contenuti
• Probabilità e inferenza statistica
• Le diverse scuole
• Elementi di calcolo delle probabilità
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Probabilità e inferenza statistica
• La teoria della probabilità consente la
costruzione di modelli matematici per lo
studio di fenomeni aleatori o casuali
• Sviluppa le conseguenze logico-deduttive
che derivano dall'applicazione di tali
modelli.
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Il passaggio alla inferenza statistica
• I risultati e gli schemi interpretativi
della teoria della probabilità vengono
poi utilizzati dall'inferenza statistica
per giungere ad una scelta tra i modelli
matematici alternativi che possono
aver generato i dati campionari o
sperimentali.
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La differenza
• Mentre la teoria della probabilità stabilisce i
risultati che ci si può attendere
dall'esecuzione di un esperimento o dalla
rilevazione
campionaria,
l'inferenza
statistica si serve dei risultati sperimentali o
campionari per costruire o interpretare la
legge generale sulla popolazione (secondo il
metodo induttivo, dal particolare al
generale).
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Esempio
• Si supponga di dover determinare la proporzione di clienti che
scelgono il pagamento con carta di credito, considerando il
totale di clienti che acquistano con regolarità in un
supermercato.
• Il problema si traduce nella stima della probabilità che un
cliente, che acquista con regolarità, scelga di pagare con carta
di credito.
• Tale stima dovrà essere effettuata in condizioni di incertezza,
in quanto non è possibile rilevare tale informazione per la
totalità dei clienti, bensì occorrerà basarsi sulle informazioni
derivanti dalla rilevazione di un campione statistico di clienti
che acquistano con regolarità.
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3
Esempio
• Con il calcolo delle probabilità si associa alla popolazione che
genera i dati campionari, un modello matematicoprobabilistico da cui è possibile far discendere con logicadeduttiva i possibili risultati derivanti dall’estrazione casuale
delle osservazioni campionarie.
• Con il metodo induttivo si perviene alla stima e, attraverso il
calcolo delle probabilità, è possibile controllare il margine di
rischio o di incertezza derivante dall’informazione parziale.
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Il processo deduttivo
• La Teoria della Probabilità deduce
dal
contenuto
noto
della
popolazione il contenuto probabile
del campione, cioè deduce le
proprietà di un processo fisico da
un modello matematico.
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Il processo induttivo
• L'Inferenza Statistica induce le
caratteristiche
della
popolazione
dall'analisi del contenuto del campione
osservato, cioè inferisce le proprietà
del modello matematico a partire
dall'analisi dei dati campionari che
sono stati osservati.
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Interpretazione della
Probabilità
• La Probabilità è un concetto che viene
usato in molte discipline e che è ormai
entrato a far parte del linguaggio
corrente in quanto usualmente si
devono prendere decisioni che, anche
dopo aver esaminato le informazioni
disponibili, vengono maturate in
condizioni di incertezza.
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Le Definizioni di Probabilità
• Nonostante ciò è difficile dare un'interpretazione,
e quindi una definizione, di probabilità che sia
completamente soddisfacente ed esente da
critiche.
• Si sono succedute nella storia diverse scuole di
pensiero:
– I classici
– I frequentisti
– I soggettivisti
– Gli assiomatici
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Scuola Classica
• La probabilità è il rapporto tra il numero dei
casi favorevoli al verificarsi di un risultato e
il numero totale dei possibili risultati,
ammesso che questi siano egualmente
possibili.
• Critica: la definizione è ridondante in
quanto “egualmente possibili” è sinonimo di
“egualmente probabili”.
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Scuola Frequentista
• La probabilità è il limite della frequenza
relativa di un evento ripetibile quando
cresce, oltre ogni limite, il numero delle
prove.
• Critica: non sempre è possibile ripetere
l’esperimento all’infinito!
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Scuola Soggettivista
• La probabilità rappresenta il grado di fiducia
che un individuo coerente attribuisce al
presentarsi di un evento, ovvero, per
quantificare, come la somma p che è disposto
a scommettere quando, verificandosi
l'evento, vince 1.
• Critica: il grado di fiducia è stabilito in
maniera soggettiva e pertanto la probabilità
non è univocamente determinata.
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L'Impostazione Assiomatica
• La probabilità non si definisce, è un
concetto primitivo.
• L’impostazione assiomatica si basa su:
– Concetti Primitivi
– Postulati
– Teoremi fondamentali
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I concetti primitivi
• Si
introducono
i
Concetti
Primitivi e la loro reciproca
relazione:
• "la Prova genera l'Evento con una
certa Probabilità"
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• Prova: è un esperimento
soggetto a incertezza e può
suddividersi in sottoprove.
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• Evento: è uno dei possibili risultati
della prova e costituisce un insieme
di descrizioni circa i possibili
risultati dell'esperimento.
• L'insieme di tutti i risultati possibili
prende il nome di Spazio
Campionario.
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• Probabilità: è un numero reale
compreso tra 0 e 1 associato al
presentarsi di un evento e gode
di proprietà intuitive
formalizzate nei postulati
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I postulati Si stabiliscono delle
affermazioni, detti Postulati o
Assiomi, che non si dimostrano
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I teoremi fondamentali
• Dai postulati si deducono tutte le
possibili conseguenze, sia logiche
sia matematiche, pervenendo alla
dimostrazione dei Teoremi del
calcolo delle probabilità.
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L'Algebra degli Eventi
• a) Unione o Somma Logica fra due
eventi A e B è quell'evento C che si
verifica quando si verifica A oppure B
oppure A e B contemporaneamente:
• C = A ∪ B (“ A o B ”)
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• b) Intersezione o Prodotto Logico
fra due eventi A e B è quell'evento
D che si verifica quando si verifica
sia A sia B contemporaneamente:
• D = A ∩ B (“ A e B ”)
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• c) Negazione di un evento A è
quell'evento E che si verifica
allorquando A non si verifica:
• E = (“ non A ”)
• Si può anche indicare con
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Eventi particolari
• Evento Certo = I: è l'evento che si verifica
sempre;
• Evento Impossibile = : è l'evento che non
può mai verificarsi;
• Evento Incompatibile:
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Eventi particolari
• Evento Necessario:
• Evento Elementare:
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Alcune definizioni …..
• Spazio Campionario S: è l'insieme di tutti
i risultati possibili dell'esperimento.
• Spazio degli Eventi: una classe di eventi ai
quali si vuole assegnare una probabilità e
che questa classe sia un'algebra, ovvero che
contenga S e
come elementi e sia chiusa
rispetto alla complementazione e all'unione.
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Alcune definizioni
• Quando S è costituito da un numero finito k
di elementi, lo spazio degli eventi può
essere rappresentato dall'insieme di tutti i
possibili sottoinsiemi di S ed ha cardinalità
2k.
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Esempi
• lancio di una moneta
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Esempi
• lancio di un dado
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Esempi
• lancio di un dado (cont.)
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Diagrammi di Venn
• Le relazioni dell'algebra degli eventi vengono
illustrate su un piano mediante grafici caratteristici
detti Diagrammi di Venn nei quali lo spazio
campionario viene disegnato come un rettangolo
all'interno del quale vengono posti insiemi chiusi
che rappresentano gli eventi. Non interessa l'esatto
contorno, quanto piuttosto le mutue relazioni fra di
essi e con lo spazio campionario.
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Diagrammi di venn
Spazio Campionario
S
A
B
A
S
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B
S
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Diagrammi di Venn
S
S
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I postulati del Calcolo delle Probabilità
I. Positività: La Probabilità di un evento A è un
numero unico non negativo: P(A)≥0.
II.Certezza: La Probabilità dell’evento
certo e quindi dello Spazio Campionario S è
sempre 1: P(I)=P(S)=1.
III. Unione: Se A e B sono eventi incompatibili, allora
la probabilità della loro unione è la somma delle singole
probabilità di A e B:
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Modello Probabilistico
• Consiste nell'insieme ipotizzato dei
risultati possibili di una prova e nella
descrizione delle probabilità assegnate a
tali risultati.
• Spazio Campionario S: E' l'insieme di
tutti i risultati possibili dell'esperimento.
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.
Quando l’assegnazione delle probabilità ad eventi
soddisfa i tre postulati, la funzione P(evento) viene
definita funzione di probabilità.
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I Teoremi Fondamentali
Teorema della Probabilità Totale
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
A
B
S
€
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I Teoremi Fondamentali (cont.)
Generalizzazione al caso di 3 eventi
A
B
C
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S
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Probabilità Condizionata
• La probabilità dell'evento B, dato che si è
verificato l'evento A, è il rapporto fra la
probabilità del contemporaneo verificarsi di A e B
e la probabilità di A, se questa è diversa da zero:
Teorema della Probabilità Composta
P(A ∩ B) = P(A | B) × P(B) = P(A) × P(B | A)
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€
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Indipendenza Stocastica
• Due Eventi A e B sono Stocasticamente
Indipendenti se:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
€
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Teorema di Bayes
• Siano date due cause, A e la negazione di A, che possono
generare l’evento E
• Siano date le probabilità a-priori delle singole cause e le
probabilità probative del verificarsi dell’evento E date le
singole cause.
• Si dimostrano le probabilità a-posteriori:
P( A | E ) =
P ( A) P ( E | A)
P ( A) P ( E | A)
=
P( E )
P ( A) P ( E | A) + P ( A ) P ( E | A )
P( A | E ) =
P ( A )P( E | A )
P( A )P( E | A )
=
P( E )
P ( A) P ( E | A) + P ( A ) P ( E | A )
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€
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Una misura della Probabilità
• Data una Prova che genera k eventi elementari
• E1, ..., Ek necessari ,
•
E1 ∪ E2 ∪….∪ Ek = I,
• incompatibili a due a due
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Una misura della Probabilità
• Dai postulati si deduce univocamente la misura
della probabilità per ciascuno di essi
1
P(E i ) =
k
€
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Il postulato empirico del caso
• In una successione di prove, ripetute molte
volte nelle stesse condizioni, ogni evento si
presenta con una frequenza relativa quasi
uguale alla sua probabilità;
• la differenza tra frequenza relativa e
probabilità di un evento tende ad annullarsi
all'aumentare delle prove.
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osservazioni
la frequenza è un concetto a posteriori, cioè
si calcola dopo
aver compiuto
l'esperimento, mentre la probabilità è un
concetto a priori, cioè si calcola prima
dell'esperimento e senza che sia necessario
effettuarlo;
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osservazioni
• nella teoria della probabilità alla parola
"caso" non si dà il significato che gli affida
il linguaggio comune; per lo statistico, in un
esperimento concreto, "caso" è l'insieme di
quei fattori che egli non ritiene
preponderanti nel determinare il risultato
della prova;
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osservazioni
• la "tendenza" della frequenza relativa verso
la probabilità di un evento non deve essere
interpretata nel senso dell'analisi
matematica (cioè come il limite di una
successione); essa scaturisce solo da una
universale convinzione circa il
comportamento degli eventi casuali.
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