IL PROBLEMA DELL'INFINITO
Situazione stimolo: qualche pagina di letteratura per esemplificare l'argomento
1- Kurd Lasswitz (1848-1910), filosofo e scienziato, fu anche narratore di fantascienza;
scrisse un racconto fantastico ove si ipotizza l'esistenza di una straordinaria biblioteca,
contenente tutta la letteratura immaginabile, compresa quella del futuro, che si possa
stampare su libri di formato standard, composti ciascuno da un milione di caratteri con
cento simboli tipografici: Perciò il numero complessivo delle opere della biblioteca (cioè
delle combinazioni possibili) sarà uguale alla milionesima potenza di cento, un numero
enorme ma finito.
PROBLEMA: la biblioteca universale di Lasswitz contiene davvero tutto? O per essere
veramente certi che la biblioteca comprenda tutti i libri possibili bisognerebbe eliminare
ogni restrizione al numero dei caratteri e delle pagine di ogni volume e ammettere libri di
lunghezza arbitraria? Ma allora la biblioteca diventerebbe infinita.
2- Jorge Luis Borges scrisse un racconto famoso intitolato La biblioteca di Babele ove
immagina una biblioteca contenente un numero inferiore di volumi combinatoriamente
possibili: la loro quantità equivale alla 656.000esima potenza di 25. Ma questa biblioteca è
infinita perché periodica: gli stessi libri si ripetono nel medesimo ordine, periodicamente,
nei vari scaffali; inoltre la biblioteca è, per Borges, un'allegoria del mondo in cui viviamo,
diventa l'universo, il mondo con le sue leggi e la sua storia, la biblioteca è illimitata e
periodica nel senso del carattere ciclico del tempo e dello spazio che, per Borges,
caratterizza l'universo.
PROBLEMA: ma l'universo è infinito o finito? Il nostro mondo assomiglia veramente alla
biblioteca di Borges o invece è più simile a quella descritta da Lasswitz?
3- Sempre Borges, in un altro racconto, Il libro di sabbia, immagina un volume che non ha né
principio né conclusione, perché il numero delle sue pagine è infinito; tra il frontespizio e
la mano che cerca la prima pagina si interpongono sempre nuovi fogli ed è impossibile
trovare la pagina finale. Il protagonista capisce che " il libro è mostruoso, è un oggetto da
incubo, una cosa oscena che infama e corrompe la realtà". Qui è evidente il senso di
inquietudine che Borges prova di fronte all'infinito, un concetto "corruttore e
ammattitore di tutti gli altri", operante come seme di disordine e assurdità, perché
generatore di antinomie a paradossi.
PROBLEMA: il paradosso di Zenone (V sec. a.C.) afferma che, ammessa la continuità
spaziale e l'infinita divisibilità dello spazio, il "piè veloce" Achille non possa raggiungere la
lentissima tartaruga che fugge davanti a lui: mentre Achille percorrerà 1 metro, la
tartaruga avrà percorso 1/2 m.; mentre Achille percorrerà 1/2 m., la tartaruga avrà
percorso 1/4 m. e così via all'infinito, la distanza diventerà sempre più piccola ma non
potrà mai annullarsi:
1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +…
una somma di infiniti tratti spaziali è una distanza, una grandezza infinita? Per percorrere
infiniti intervalli occorre un tempo infinito?
Eppure nell'universo tutto ciò non accade, nel mondo sensibile un inseguimento del genere
finirebbe presto; dobbiamo dedurne che il mondo fisico non segue le leggi della ragione,
che è assurdo e irreale?
4- Il concetto di infinito, poi applicato all'universo, moltiplica il sentimento dell'angoscia,
poiché " se lo spazio è infinito, noi siamo in qualsiasi punto dello spazio. Se il tempo è
infinito noi siamo in qualsiasi punto del tempo": nell'infinità del cosmo l'uomo si sente solo
e sperduto, "Il silenzio eterno degli spazi infiniti mi sgomenta" dirà Blaise Pascal (16231662) a proposito dell'infinità dell'universo. Qs idea negativa dell'infinito, legata al
timore per la perdita di orientamento e di senso, è in realtà molto antica e nasce su un
terreno filosofico-matematico; e dato che in matematica e in filosofia tutte le strade
riconducono in Grecia, è lì che bisogna ritornare per trovare l'origine.
Prima però di iniziare il discorso storico sulla questione dell'infinito, cerchiamo di trattare qs
idea in una famosa formulazione che ne diede il matematico e logico tedesco Georg Cantor
nella seconda metà dell'Ottocento. Il ns scopo ancora una volta sarà quello di problematizzare
il concetto di infinito, rompere le certezze date per scontate, trovando una definizione
"eccentrica" ma rigorosa di qs concetto.
Cantor fu uno dei maggiori esponenti del logicismo, che si proponeva di dimostrare che il
fondamento della matematica risiede nella logica, nel senso che tutti i concetti-base della
matematica ( numero, funzione, relazione…) sono definibili in termini puramente logici. La
teoria che riesce a svolgere qs importante compito fondazionale per l'intero complesso delle
conoscenze matematiche è la teoria degli insiemi.
Una distinzione molto importante, in tale teoria, riguarda quella tra insiemi finiti e insiemi
infiniti. Già Galileo aveva segnalato un'anomalia caratteristica degli insiemi infiniti:
diversamente da quello che succede con gli insiemi finiti, un insieme infinito può essere messo
in corrispondenza biunivoca con una sua parte propria, ossia con un suo sottoinsieme, che non
coincide con l'insieme stesso. Es.: i numeri naturali e tutti i numeri pari, insiemi che risultano
equipotenti. ALLORA: da un certo punto di vista, sembra che i numeri pari siano di meno
rispetto ai numeri naturali (perché ci sono anche i numeri dispari). Nello stesso tempo, ma da
un altro punto di vista, i numeri pari risultano essere esattamente tanti quanti i numeri
naturali.
Cantor ha avuto il grande merito di intuire che il comportamento che ci sembra paradossale
degli insiemi infiniti dipende dal fatto che noi siamo abituati ad avere a che fare sempre
con insiemi finiti.
La teoria degli insiemi ha trasformato in una definizione rigorosa quella che per tanto tempo
era apparsa solo come un'anomalia del concetto di infinito.
DEFINIZIONE: un insieme A è infinito quando è equipotente a un suo sottoinsieme proprio.
Gli insiemi finiti saranno dunque gli insiemi che non sono infiniti, ossia gli insiemi che non
risultano equipotenti a un loro sottoinsieme proprio.
ESERCIZI
1- Prova a formulare una tua risposta alle domande che sono in precedenza indicate come
problematiche.
2- Dai la precisa definizione di infinito, secondo Cantor.
3- Qual è, secondo te, l'idea intuitiva che sottende la teoria cantoriana degli insiemi infiniti?
4- Prova a spiegare perché la teoria di Cantor porta a una DEFINIZIONE DI INFINITO =
NEGAZIONE DI FINITO
5- Cerca nella nostra biblioteca scolastica i racconti di Borges e prova a leggere almeno uno
di quelli segnalati (La biblioteca di Babele è un racconto breve contenuto nella raccolta
Finzioni ).
