S. Borra, A. Di Ciaccio – Statistica, metodologie per le scienze economiche e sociali,
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20
Cenni di regressione non-parametrica
funzione non-lineare non-linearità nei parametri o nelle variabili overfitting funzioni
linearizzabili funzione additiva bias-variance tradeoff funzioni parametriche e nonparametriche smoother kernel e bin smoother kernel smoother gaussiano k-nearest neighbors
cross-validation 10-fold cross-validation
smoother multidimensionale
curse of
dimensionality GAM PPR MARS
20.1 – Funzioni non-lineari e misura dell’adattamento
20.2 - La contrapposizione tra distorsione e variabilità
20.3 - Funzioni non-parametriche - smoother
20.4 - Smoother per due o più variabili esplicative
20.1
Funzioni non-lineari e misura dell’adattamento
Nell’approccio classico alla regressione lineare semplice e multipla si ipotizza che la
relazione tra la variabile dipendente e le variabili esplicative possa essere sintetizzata
attraverso una funzione lineare nei parametri. Generalmente vengono comunque adottati
modelli di regressione che sono lineari anche rispetto alle variabili. In alcuni casi, tali
assunzioni di linearità rappresentano una eccessiva semplificazione.
ESEMPIO 20.1.1 – Relazioni non-lineari
Si pensi alla relazione tra l’Età (X) di un individuo e il suo Tasso di crescita nella statura (Y). È
evidente che la relazione tra queste due variabili nel primo anno di vita è molto diversa da quella che
si ha quando l’individuo è adulto. In generale, si è osservato che la relazione tra queste due variabili
può essere espressa più correttamente attraverso una funzione esponenziale negativa, ossia
considerando come componente deterministica la funzione non-lineare f (X ) = exp(− bX ) .
Poiché le determinazioni delle variabili sono note (anche in questo capitolo considereremo
variabili esplicative non-stocastiche) mentre i parametri sono incogniti, è evidente che
ipotesi di non-linearità sui parametri sono più difficili da trattare matematicamente. In effetti,
se la non-linearità riguarda le variabili esplicative e non i parametri abbiamo una situazione
relativamente semplice: in tutti i casi in cui la funzione adottata è fissata, il procedimento di
calcolo dei parametri mediante il metodo di interpolazione dei minimi quadrati è del tutto
simile a quello visto per la regressione lineare semplice e multipla (si veda l’esempio 20.1.2).
Se invece si considera una funzione non-lineare nei parametri, il calcolo dei parametri risulta
assai complesso e necessita spesso di procedure computazionali iterative.
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Cap. 20 - 1
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ESEMPIO 20.1.2 – Esempi di funzioni lineari nei parametri e non-lineari nelle variabili
Esempi di funzioni non-lineari nelle variabili e lineari nei parametri:
f (X )=a + bX+cX2 oppure
f (X1,X2 ) =a + bX14 + c log(X2 ) . Si noti che i parametri presenti (a, b, c) sono tutti lineari di primo
2
4
grado. Se conosciamo i valori assunti dalla X allora conosciamo anche i valori X , X e log(X). Se per
2
esempio poniamo Z = X e sostituiamo nella prima funzione otteniamo f (X )=a + bX+cZ , poiché i
valori di Z sono noti allora la funzione è lineare nei parametri e nelle variabili (si veda anche l’ultima
nota del par. 19.2).
Come mostrato nell’esempio 20.1.2, se abbiamo una funzione lineare nei parametri ma non
nelle variabili, possiamo facilmente trasformarla in una funzione lineare sia nelle variabili
che nei parametri. Tale caso non introduce quindi nulla di nuovo dal punto di vista della
stima dei parametri, rispetto a quanto già detto nei capitoli 16, 17 e 19. D’altra parte si
possono porre dei nuovi problemi che in precedenza non avevamo mai considerato, ciò è
chiarito meglio dal successivo esempio.
ESEMPIO 20.1.3 – Adattamento di funzioni non-lineari nelle variabili
Consideriamo il seguente grafico di dispersione, relativo alla variabile dipendente Y e alla variabile
esplicativa X, in cui abbiamo anche tracciato la retta di regressione stimata.
3000
2000
2000
1000
1000
0
0
Y
Y
3000
-1000
-1000
-2000
-2000
-3000
-3000
-4000
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
-4000
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
X
X
Figura 20.1.2
Figura 20.1.1
L’equazione della retta di regressione stimata, rappresentata nella figura 20.1.1, è data da:
Y = -337,1 + 116,8 X
Non è però difficile notare nel grafico che la relazione tra le due variabili potrebbe essere meglio
descritta da una funzione non-lineare.
Se consideriamo la seguente polinomiale di grado 3
Y = -213 + 80,2 X - 1,3 X2 + 0,22 X3
otteniamo il grafico di figura 20.1.2. Tale funzione sembra cogliere in maniera soddisfacente le
caratteristiche della relazione tra la Y e la X. D’altra parte potremmo considerare una funzione ancora
più complessa per ottenere un adattamento ancora maggiore ai dati osservati.
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Cap. 20 - 2
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3000
2000
2000
1000
1000
0
0
Y
Y
3000
-1000
-1000
-2000
-2000
-3000
-3000
-4000
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
-4000
-25
20
-20
-15
-10
X
-5
0
5
10
15
X
Figura 20.1.3
Figura 20.1.4
Nella figura 20.1.3 abbiamo rappresentato la polinomiale di grado 4:
Y = -3,1 + 54,1 X -8,6 X 2 + 0,45 X3 + 0,03 X 4
mentre nella figura 20.1.4 abbiamo considerato la polinomiale di grado 5:
Y = -63,4 + 8,9 X -5,4 X2 + 1,2 X3 + 0,01 X 4 - 0,002 X5
Nell’esempio precedente possiamo osservare che, anche considerando una sola variabile
esplicativa, si può scegliere un modello lineare nei parametri (ma non nelle variabili), in
grado di sintetizzare una complessa relazione non-lineare tra la variabile dipendente e quella
esplicativa.
In alcuni casi, anche le funzioni che sono non lineari nei parametri si possono ricondurre,
dopo una opportuna trasformazione delle variabili, a essere lineari nei parametri, come già
mostrato nell’ultima nota del par. 19.2, anche se questa operazione ha delle implicazioni
importanti sulla distribuzione dell’errore.
(
Ad esempio, la funzione: f ( X ) = exp − bX 2
)
apparentemente non lineare può essere
[ (
)]
facilmente resa lineare applicando il logaritmo in base naturale: ln exp − bX 2 = −bX 2 ..
Aumentando la complessità del modello (nell’esempio 20.1.3, il grado della polinomiale) si
aumenta l’adattamento della funzione ai dati. Questo però non è necessariamente un
vantaggio, anche se alla luce di quanto detto nei precedenti capitoli questa affermazione può
apparire alquanto strana: in fondo, nel trattare la regressione lineare, ci eravamo sempre posti
come obiettivo fondamentale quello di aumentare il più possibile l’adattamento della
funzione di regressione ai dati.
Occorre a questo punto introdurre una nozione nuova: l’eccessivo adattamento della
funzione ai dati, detto anche overfitting. Se osserviamo la figura 20.1.4, possiamo in effetti
notare nella parte iniziale della curva, un maggiore adattamento ai primi due punti del
grafico (quelli con ascissa più bassa). L’andamento della curva sembrerebbe però suggerire
che per valori molto bassi della X ci si debba aspettare una rapida, quanto improbabile,
crescita della Y. In effetti, le polinomiali di grado elevato tendono ad avvicinarsi molto ai
punti del grafico di dispersione ma in questo modo tendono anche ad amplificare l’errore
presente nei dati. E’ il problema noto come bias-variance tradeoff che descriviamo in
dettaglio nel paragrafo successivo. La funzione che cerchiamo deve invece cogliere solo gli
aspetti fondamentali della relazione tra le due variabili, trascurando gli aspetti meno
significativi o accidentali: solo in questo modo si può ottenere una funzione
“generalizzabile”, ossia una funzione che dovrebbe mantenere un buon adattamento anche
considerando un altro campione di dati o tutta la popolazione.
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Cap. 20 - 3
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Tale problema non si era mai posto nei precedenti capitoli, perché avevamo sempre
utilizzato delle funzioni talmente rigide da impedire qualsiasi forma di overfitting: in tale
situazione potevamo porci come obiettivo semplicemente l’individuazione della funzione
lineare che presentava il massimo adattamento.
Nel momento in cui introduciamo funzioni più duttili occorre riconsiderare seriamente
questo aspetto, tenendo conto che il nostro obiettivo non può più essere solo quello di
ricercare la funzione con il massimo adattamento. Sappiamo infatti che aumentando la
complessità della funzione utilizzata si ottiene un maggiore adattamento ai dati osservati ma
al contempo si può ottenere un modello di difficile interpretazione e che potrebbe avere
scarsa capacità previsiva.
Nota In realtà anche nel capitolo 19 abbiamo in qualche modo già affrontato questa problematica:
abbiamo infatti visto che aumentando il numero delle variabili tende ad aumentare anche l’adattamento
del modello ai dati (misurato attraverso il coefficiente di determinazione multiplo) ma che questo può
non essere conveniente. Il coefficiente di determinazione multiplo corretto (19.5.2) è stato introdotto
proprio per tener conto del numero di variabili utilizzate, con l’assunzione implicita che un modello più
semplice è preferibile ad uno più complesso se ciò non porta ad una significativa riduzione
dell’adattamento.
Occorre anche considerare che la complessità di un modello dipende da diversi fattori, ad
esempio un modello additivo è meno complesso di un modello non-additivo. Chiariamo il
senso di questi termini.
Se abbiamo due o più variabili esplicative e nell’espressione del modello le variabili
compaiono come singoli termini, non vi sono cioè termini moltiplicativi o di interazione tra
due o più variabili esplicative, la somma degli effetti delle singole variabili esplicative ci
fornisce il valor medio della variabile dipendente Y.
Una espressione generale di funzione additiva è data da
f(X1, X 2, X3..., X J) = a +
J
∑ β jf j (X j )
j =1
in cui f1, f2, f3 ecc. sono funzioni delle J variabili esplicative.
Un modello in cui la componente deterministica è una funzione additiva delle variabili
esplicative, viene detto additivo (nelle variabili). Le funzioni fj possono essere note a priori,
come nel modello di regressione lineare dove sono poste tutte uguali a funzioni identità
f j X j = X j , oppure non note, come vedremo nel paragrafo 20.4.
( )
Una funzione lineare nei parametri ma non additiva è ad esempio la funzione
Y = a + bX1 + cX 2 + dX1 X 2 . Funzioni che sono non-additive e non-lineari nelle variabili
possono essere estremamente flessibili, come mostrato nella figura 20.1.5 in cui abbiamo
graficizzato la funzione Y = 5 X1 + 0.01X 22 − 0.1X 12 X 2 .
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Cap. 20 - 4
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Figura 20.1.5 – Grafico di una funzione non-additiva, con due variabili
esplicative
Se consideriamo tutte le possibili funzioni lineari nei parametri o linearizzabili abbiamo
in effetti a disposizione una grandissima varietà di funzioni, tra cui è probabile che esista una
funzione che si adatti in modo soddisfacente ai dati osservati e che potrebbe essere adeguata
a descrivere la relazione tra la variabile dipendente e quelle esplicative. Se la funzione più
adatta non è lineare e non è linearizzabile, ma è nota, è comunque possibile applicare degli
opportuni metodi di calcolo per la stima dei parametri. D’altra parte se le conoscenze del
fenomeno non sono sufficienti ad individuare un preciso schema interpretativo, non vi è una
metodologia efficace in grado di individuare, tra tutte le possibili funzioni (lineari o
linearizzabili), quella che meglio si adatta ai nostri dati.
Oltre a ciò, occorre considerare che alcune funzioni, come ad esempio le polinomiali,
possono adattarsi molto bene ai dati ma al prezzo di una forte instabilità e di una complessa
interpretabilità del modello. Questo implica che piccole variazioni nei dati possono generare
polinomiali completamente diverse. Si confrontino, a questo proposito, i coefficienti delle
polinomiali dell’esempio 20.1.3.
20.2 - La contrapposizione tra distorsione e variabilità
Ipotizziamo che il fenomeno in esame sia descritto in maniera “adeguata” dal modello:
Y = f (X) + ε
in cui per semplicità stiamo considerando una sola variabile esplicativa e supponiamo inoltre
che sia E(ε ) = 0 . Supponiamo inoltre di avere a disposizione un campione di n osservazioni:
D = {(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ),..., (x n , y n )}
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Cap. 20 - 5
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Dato il campione D, il nostro scopo è quello di approssimare la funzione originaria incognita
f tramite una funzione approssimante g:
ˆ = g( X )
Y
Per valutare quanto la funzione g sia “vicina” alla vera funzione f, si utilizza, in analogia a
quanto visto per gli stimatori di parametri della popolazione (si veda il par. 11.4), l’errore
quadratico medio, che in questo contesto indicheremo con la sigla EQM.
L’errore quadratico medio nel nostro campione sarà quindi
EQM =
n
1 n
(y i − g (x i ))2 = 1 ∑ (y i − ŷ i )2
∑
n i =1
n i =1
Per valutare la bontà della funzione approssimante g, quello che ci interessa non è l’EQM
corrispondente al singolo risultato campionario, bensì il suo valore atteso nell’universo dei
campioni di dimensione n:
n
⎧1 n
(y i − yˆ i )2 ⎫⎬ = 1 ∑ E(y i − yˆ i )2
∑
⎩ n i=1
⎭ n i=1
E{EQM} = E⎨
(20.2.1)
Dove il valore atteso E {EQM } si riferisce alla media dei diversi risultati dell’EQM ottenuti
da tutti i campioni D che compongono l’universo campionario.
D’altra parte si ha che:
{
} {
} {
} {
}
2
2
2
E (y i − yˆ i ) = E (y i − f ( x i ) + f ( x i ) − yˆ i ) = E (y i − f ( x i ))2 + E (f ( x i ) − yˆ i ) +
ˆ i )}
+ 2 E{(y i − f ( x i ))(f ( x i ) − y
Poiché il doppio prodotto è nullo, alla fine otteniamo:
{
} {} {
E (y i − ŷ i ) = E ε 2i + E (f ( x i ) − ŷ i )
2
2
}
Quindi, considerando i valori attesi, l’errore quadratico medio può essere scomposto come la
{ }
{ }
varianza dell’errore (infatti, Var (ε ) = E ε 2 − [E (ε )] = E ε 2 poiché per ipotesi E (ε ) = 0 )
2
più l’errore quadratico medio tra i valori medi della Y, f (x i ) , e quelli predetti dal modello.
Questo ultimo termine si può scomporre in modo simile:
{
} {
} {
} {
}
E (f ( x i ) − yˆ i ) = E (f ( x i ) − E{yˆ i }+ E{yˆ i }− yˆ i ) = E (f ( x i ) − E{yˆ i }) + E (E{yˆ i }− yˆ i ) +
ˆ i })(E{yˆ i }− yˆ i )}
2 E{(f ( x i ) − E{y
2
2
2
2
Considerando che il doppio prodotto è nullo, l’espressione diventa:
{
}
E (f(x i ) − ŷ i ) = B (ŷ i ) + Var {ŷ i }
2
2
dove B (ŷ i ) è la distorsione o bias tra la vera funzione e quella stimata.
Quindi otteniamo che
{
}
E (y i − ŷ i ) = Var {ε} + B (ŷ i )2 + Var {ŷ i }
2
(20.2.2)
Per minimizzare la (20.2.1), ossia il valore atteso dell’EQM, dobbiamo minimizzare
l’espressione precedente per ogni i, tenendo conto che la varianza dell’errore è un dato
esogeno, e pertanto non può essere ridotto.
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Quindi si tratta di minimizzare contemporaneamente la distorsione e la varianza, ma ciò non
è affatto semplice. In effetti, per minimizzare la varianza basta scegliere una funzione
approssimante costante yˆ i = c , dove c è una costante qualsiasi, in tal modo la varianza sarà
necessariamente uguale a zero mentre la distorsione sarà necessariamente molto alta. D’altra
parte se il nostro modello interpola perfettamente i dati del campione (ciò è possibile se non
vi sono valori uguali delle xi) allora avremo che
E {ŷ i } = f (x i )
e quindi
{
B(ŷ i ) = E (f (x i ) − E {ŷ i })
2
2
}= 0
Mentre la Var {yˆ i } diviene uguale alla Var{ε } , che può essere in alcuni casi piuttosto
elevata.
Tale problema viene definito nella letteratura inglese bias-variance tradeoff: minimizzare
eccessivamente il bias può far aumentare troppo la varianza e viceversa. Come si può vedere
dalla figura 20.2.1, l’uso di modelli troppo complessi (overfitting) produrrà una bassa
distorsione ed una elevata varianza, mentre l’utilizzo di modelli troppo semplici
(underfitting) produrrà una elevata distorsione e una bassa varianza. Avendo a disposizione
solo un campione, non si può conoscere la soluzione ottimale; soluzioni accettabili possono
essere individuate tramite metodologie quali ad esempio la cross-validation, di cui diamo
cenno nel paragrafo successivo.
EQM
E{ EQM }
EQM nel campione
underfitting
modello migliore
overfitting
complessità
Figura 20.2.1 – Confronto tra il valore atteso dell’EQM e il valore calcolato nel campione, al
variare della complessità del modello.
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20.3 - Funzioni non-parametriche - smoother
Consideriamo innanzitutto una applicazione dell’approccio parametrico classico a dei dati
reali.
ESEMPIO 20.3.1 – Indagine sul diabete mellito
In un’indagine sul diabete mellito si vuole indagare la dipendenza del livello del siero C-peptide da
altre variabili, tra cui l’età e il deficit basico. Il logaritmo della concentrazione del C-peptide è la
variabile dipendente (per maggiori dettagli cfr. Hastie e Tibshirani 1990). Nel grafico di dispersione di
Figura 20.3.1 abbiamo considerato come variabile esplicativa l’età riportando sia la retta di
regressione di equazione:
f(X) = 1,377 + 0,019 X
sia la polinomiale di equazione:
2
3
f(X) = 1,05 + 0,170 X + 0,017 X + 0,001 X .
Si può notare un evidente miglioramento nell’adattamento ai dati utilizzando la polinomiale; questo
modello mette in luce una relazione tra l’età e il logaritmo della concentrazione C-peptide crescente
sino a circa 7 anni e poi pressoché costante.
2,00
1,90
1,80
retta di
regressione
1,70
Y
1,60
1,50
1,40
1,30
Polinomiale
1,20
1,10
1,00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
X
Figura 20.3.1 - Grafico di dispersione e funzioni parametriche
Nei capitoli precedenti, per descrivere il tipo di relazione esistente tra la variabile dipendente
e le variabili esplicative, si è innanzitutto ipotizzata una generica funzione parametrica,
quindi si sono determinati i valori dei suoi parametri mediante il metodo dei minimi quadrati
in modo da trovare la funzione che si “accosta meglio” ai dati. In sostanza, la scelta della
funzione da adottare avviene necessariamente nel momento iniziale, prima del calcolo dei
parametri.
ESEMPIO 20.3.2 – Funzione parametrica
Se assumiamo che la relazione tra la Y e la X può essere espressa da una funzione esponenziale
negativa f(X) = exp(bX) allora il problema diventa la determinazione del parametro b in modo che la
funzione si accosti il più possibile ai dati osservati.
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Cap. 20 - 8
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Un diverso approccio di analisi è quello che prende il nome di regressione nonparametrica. Questa tecnica utilizza in genere opportune funzioni smooth (lisce, regolari)
dette smoother, e si basa sull’asserto che devono essere i dati a mostrarci la forma
funzionale più appropriata.
In sostanza, non si definisce a priori la funzione adatta a descrivere la relazione, utilizzando i
dati solo per la determinazione dei parametri, bensì si adotta una metodologia che sfrutti le
osservazioni anche per la definizione stessa della funzione da utilizzare.
Per descrivere tali metodologie è necessario però innanzitutto introdurre il concetto di
smoother.
Data una variabile dipendente Y e K variabili esplicative X1, X2, ..., XK , chiameremo
smoother una funzione s(X1, X2, ..., XK) che riproduca l’andamento della variabile Y al
variare delle variabili esplicative, con una variabilità inferiore a quella osservata.
Una caratteristica comune a quasi tutti gli smoother è la natura non-parametrica: non si
assume cioè una forma funzionale rigida.
Per semplicità soffermiamoci inizialmente al caso di una sola variabile esplicativa X e
consideriamo il corrispondente diagramma di dispersione. Se la variabile X è discreta e per
ciascun valore della X abbiamo una distribuzione di valori di Y, allora un possibile smoother
è la spezzata di regressione, che associa ad ogni xi la media della Y nelle unità che
presentano xi, ossia Ma(Y / X = xi). Tale funzione è stata già considerata nel paragrafo 6.8.
Se la variabile X è continua, allora generalmente ogni xi non verrà osservato più di una volta
e quindi non si ha a disposizione una distribuzione della Y per ogni xi. In tale situazione per
costruire uno smoother si può determinare per ogni valore osservato xi un intervallo (o
intorno) che lo contenga e quindi calcolare la media dei valori osservati della Y in tale
intervallo. Naturalmente si possono determinare diversi smoother a seconda di come viene
calcolata la media delle Y per ogni intervallo e di come vengono definiti gli intervalli.
Il metodo più semplice, ma anche più grossolano, consiste nel suddividere il carattere X in
classi di uguale ampiezza, quindi all’interno di ciascuna classe calcolare il valore medio di
Y.
Data una suddivisione della variabile X in K classi, I1, I2, ..., IK, si definisce bin
smoother :
(20.3.1)
s(x) = media (y i ) per x∈ Ij.
i ∈I j
Lo smoother che si ottiene è una funzione a “scalini” di scarsa flessibilità, come illustrato
nella Figura 20.3.2. Il difetto principale di tale approccio deriva essenzialmente dalla
suddivisione del campo di variazione della variabile in un numero fissato di intervalli non
sovrapposti.
Se vogliamo rendere più flessibile tale approccio, potremmo definire un intorno
[x − h; x + h] per ciascun valore x, quindi definire s(x) come media di Y per tutti i punti
corrispondenti a tale intorno. La funzione risultante sarà tanto più smooth quanto più grande
sarà l’intorno, ossia quanto maggiore sarà il valore di h.
Un approccio più soddisfacente consiste nel calcolare, all’interno di ogni intorno, una media
ponderata di Y, con pesi decrescenti via via che ci si allontana dal valore di riferimento di X.
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Cap. 20 - 9
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Nadaraya-Watson smoother.
Data una funzione g(t) decrescente in |t|, per ogni x0 interno al campo di variazione di
X, un kernel smoother può essere definito:
n
n
1
⎛ x − xi ⎞
⎛ x − xi ⎞
s(x) =
g⎜
c0 =
g⎜
con
⎟y i
⎟ (20.3.2)
1
1
i=
i=
c0
⎝ λ ⎠
⎝ λ ⎠
in cui c0 è una costante di normalizzazione, mentre λ è un parametro fissato a priori ,
chiamato bandwidth o parametro di smoothing, che, in sostanza, definisce l’ampiezza
dell’intervallo intorno a x.
∑
∑
Un altro tipo di kernel smoother è il seguente.
Gasser-Müller smoother.
Data una funzione g(t) decrescente in |t|, per ogni x0 interno al campo di variazione di
X, un kernel smoother può essere definito:
si
1 n
⎛ x −u⎞
s(x) =
yi
g⎜
⎟du
λ i=1 si −1 ⎝ λ ⎠
in cui s i = (x i + x i +1 ) / 2 ; s 0 = 0; s n = 1
∑
∫
La funzione g definisce il kernel, ossia il sistema dei pesi adottato nella media ponderata
della Y. Ambedue gli smoother possono infatti essere scritti come:
s(x) =
∑i=1ωi ,n (x )y i
n
Questo implica che è necessario scegliere g in modo che sia verificata la condizione:
∑i=1ωi ,n (x ) = 1
n
È possibile scegliere tra numerose funzioni, tra le quali viene spesso utilizzata la funzione di
densità della distribuzione Normale standardizzata, con media nulla e varianza unitaria.
In particolare
⎛ z2 ⎞
1
⎟
g (z ) =
exp⎜ −
⎜ 2 ⎟
2π
⎝
⎠
NOTA Il parametro λ definisce la semi-ampiezza dell’intervallo centrato nel punto
stimare la funzione. Ad esempio, prendiamo la funzione Kernel triangolare:
x 0 in cui si vuole
⎧1 − u − 1 ≤ u ≤ +1
g (u ) = ⎨
altrove
⎩ 0
che attribuisce pesi decrescenti via via che ci si allontana dal punto da stimare e dove in questo caso
u = x − x i λ . Si voglia stimare la funzione nel punto x 0 = 3 e sia λ = 2 . Allora i pesi
(
)
3 − xi
sono non nulli per tutti i valori osservati x i all’interno dell’intervallo 1 ≤ x i ≤ 5 che è
2
centrato nel punto x 0 = 3 e di semi-ampiezza pari a λ = 2 .
1−
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Cap. 20 - 10
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Ad ogni modo si dimostra che non è tanto la scelta della funzione g a determinare la qualità
dell’approssimazione, quanto il valore del parametro di smoothing λ che, in sostanza, regola
l’ampiezza del kernel.
E’ anche interessante osservare che, sotto opportune condizioni, i kernel smoother sono degli
stimatori consistenti della “vera” funzione f(X). Poiché questi stimatori sono delle somme
ponderate di v.c., si può applicare il teorema del limite centrale e si può assumere che tali
stimatori abbiano una distribuzione Normale. Per questa ed altre proprietà si veda Härdle
(1994).
ESEMPIO 20.3.3 – Kernel smoother e bin smoother
Nella Figura 20.3.2 è riportato il grafico di dispersione del logaritmo della concentrazione del Cpeptide (Y) e dell’età (X) relativi ad un collettivo di individui e il corrispondente Kernel smoother e il
Bin smoother. Entrambe le funzioni evidenziano tra i due caratteri una relazione prima crescente e poi
costante.
Figura 20.3.2 - Kernel e Bin smoothers
2,0
1,9
1,8
1,7
Kernel smoother
Y
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
Bin smoother
1,1
1,0
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
X
Per comprendere meglio la logica del kernel smoother, concentriamoci sul valore xi e
determiniamo il corrispondente valore s(xi). Si noti che per ogni xi calcoliamo un nuovo
valore y i* = s(x i) che si ottiene come media ponderata della Y nell’intorno di xi. Nella figura
20.3.3 abbiamo messo in evidenza la logica di funzionamento dello smoother in riferimento
al solo punto xi.
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Figura 20.3.3 - Kernel smoother gaussiano
Quando i pesi, rappresentati dalla
densità della Normale, sono vicini
allo zero, allora i corrispondenti
valori di X non hanno peso nel
calcolo di s(xi). Nel grafico abbiamo
ipotizzato come sistema di pesi, una
funzione di densità normale. Tale
scelta corrisponde ad un kernel
smoother gaussiano. Si noti che
aumentando λ, il parametro dello
smoother, è come se si aumentasse la
varianza della Normale che definisce
i pesi e, quindi, aumenta il numero di
punti che entrano nel calcolo di s(xi)
con un peso significativo, ottenendo
uno smoother di forma più regolare.
La stima Kernel della Y è stata quindi definita come una media ponderata della Y in un
intorno di grandezza fissata della X. Il k-nearest neighbor smoother (k-NN) segue una
logica leggermente diversa in quanto non è fissato l’intorno, bensì il numero (k) di unità
vicine da considerare. In pratica, dato il valore xi si calcola la media dei valori della Y
corrispondenti ai k valori di X più vicini a xi.
Vi sono comunque molti altri tipi di smoother, non-parametrici o semi-parametrici, tra cui
rivestono particolare interesse quelli basati sulle spline che godono di numerose utili
proprietà.
Una spline è una polinomiale a tratti costruita in tale modo che è smooth in corrispondenza
ai punti di giunzione (nodi) tra le polinomiali. Le spline sono estremamente flessibili e
possono essere utilizzate per approssimare qualsiasi tipo di funzione, provvisto un adeguato
numero di nodi. In particolare, possiamo utilizzare come funzione approssimante g una
funzione spline cubica, ossia una spline con le seguenti caratteristiche:
ha un nodo in corrispondenza ad ogni valore osservato della X
è una polinomiale cubica in ciascun intervallo [x i −1 ; x i ]
ha due derivate continue
Il problema che si pone è quello di evitare l’overfitting e quindi imporre un certo grado di
regolarità a tale funzione.
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1,2
1,0
0,8
Y
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,6
0,8
1,0
0,6
0,8
1,0
X
1,2
1,0
0,8
Y
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
X
1,2
1,0
0,8
Y
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
X
Figura 20.3.4 – Bias-variance trade-off. La funzione rossa tratteggiata è quella “vera”, lo
smoother (blu) è stato considerato con: a) un λ molto piccolo (in alto, lo smoother passa per tutti i
punti), b) un λ intermedio (al centro, si ottiene una buona approssimazione), c) un λ molto grande (in
basso, lo smoother ha una variabilità molto bassa ma una forte distorsione).
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Tale obiettivo si può ottenere introducendo una penalizzazione alla eccessiva irregolarità
della curva: in termini computazionali, per una funzione g che sia almeno due volte
differenziabile, una quantità che presenta alcuni vantaggi come penalizzazione è ∫ (g ′′)2 dx .
In tal caso si definisce somma dei quadrati dei residui penalizzata la quantità:
n
Pλ (g ) = ∑ {y i − g (x i )}2 + λ ∫ (g ′′)2 dx
i =1
Si cercherà quindi la funzione spline g che minimizza Pλ (g ) . Il parametro λ determina il
trade-off tra adattamento e regolarità della curva, si considerino i casi estremi: se λ = 0
allora la funzione g non ha vincoli e passa per tutti i punti (se non vi sono valori uguali di X),
se λ = ∞ allora la funzione g è una retta. Per una introduzione all’argomento si veda Green
& Silverman(1994).
La suddivisione del campione è un metodo spesso efficace per la scelta del livello di
smoothing e per la valutazione complessiva del modello. Il metodo consiste essenzialmente
nella suddivisione (eventualmente ripetuta) del campione di dati a disposizione, in due parti:
il sottocampione di training e il sottocampione di test. Il sottocampione di training viene
utilizzato per stimare il modello, il sottocampione di test viene utilizzato per verificare la
bontà di adattamento del modello a dei dati non utilizzati nella stima e quindi ottenere una
stima più affidabile dell’EQM.
EQM
bias elevato
varianza bassa
bias basso
varianza alta
EQM nel test
EQM nel training
underfitting
modello migliore
overfitting
complessità
Figura 20.3.5 – Confronto tra l’EQM nel Test set e l’EQM nel Training set, al
variare della complessità del modello.
Nella figura 20.3.5 possiamo vedere il valore dell’errore quadratico medio calcolato nel
sottocampione di training e nel sottocampione di test. Si può notare che all’aumentare della
complessità del modello l’EQM calcolato nel sottocampione di training tenda sempre a
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diminuire, mentre ciò non avviene per il sottocampione di test. Si confronti tale figura con la
figura 20.2.1.
In effetti, l’uso degli stessi dati per ottenere sia la stima sia la valutazione del modello, porta
generalmente ad una valutazione eccessivamente ottimistica: se non abbiamo duplicazioni
per i valori della X e si sceglie un livello di smoothing molto basso, si può ottenere un
adattamento pressoché perfetto (si veda quanto detto nel paragrafo precedente). Il risultato
sarebbe quindi una scelta sbagliata del parametro di smoothing ed una valutazione errata del
modello.
Nella 10-fold cross-validation, il campione viene innanzitutto suddiviso in 10 sottoinsiemi
che chiameremo A1, A2, A3, …, A10, si applica quindi la seguente procedura:
-
Training su (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9), test su (A10)
-
Training su (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A7 ∪ A8 ∪ A10), test su (A9)
-
Training su (A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ A7 ∪ A9 ∪ A10), test su (A8)
-
……… ………. ………. …………… ……….. ……..
-
Training su (A2 ∪ ... ∪ A7 ∪ A8 ∪ A9 ∪ A10), test su (A1)
Al termine della procedura abbiamo 10 stime del modello, utilizzando dati (almeno in parte)
diversi; inoltre tutti i dati entrano in una procedura di test, che comunque non utilizza mai i
dati già usati nel corrispondente training. La valutazione finale della performance del
modello si può ottenere quindi come una semplice media delle 10 valutazioni effettuate sui
dati di test.
A1
Primo passo
A2
A3
A4
A5
Insieme di
training
A6
Stima del
modello
A7
A8
A9
A10
Insieme di
test
Valutazione
campione
Figura 20.3.6 - Illustrazione del primo passo della procedura 10-fold
crossvalidation
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20.4 Smoother per due o più variabili esplicative
L’esposizione precedente si può estendere al caso di due o più variabili esplicative seguendo
due diversi approcci. Una prima possibilità richiede la definizione di uno smoother
multidimensionale, ad esempio nel caso di due variabili esplicative
f (X1,X 2 ) = a + b s(X1,X 2 )
Una seconda possibilità, molto più restrittiva, consiste nel supporre l’additività della
funzione f(.) e quindi l’utilizzo dei soli smoother univariati:
f (X1,X 2 ) = a + b s1 (X1 ) + c s 2 (X 2 )
Ambedue tali approcci portano, per due variabili esplicative, all’individuazione di una
superficie di regressione, di cui mostriamo un esempio, con due sole variabili esplicative,
nella figura 20.4.1.
Figura 20.4.1 Esempio di Kernel smoother bidimensionale
Il primo approccio, che include le interazioni tra le variabili, è spesso difficile da applicare in
quanto richiede un numero molto elevato di osservazioni all’aumentare del numero di
variabili esplicative. E’ il problema denominato “the curse of dimensionality”.
Per curse of dimensionality si intende il rapido incremento di volume che si ha
aggiungendo ulteriori dimensioni allo spazio di riferimento.
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Per meglio descrivere il fenomeno, ipotizziamo di avere a disposizione 100 osservazioni
relative ad una variabile quantitativa continua. Se dividiamo il range della variabile in 10
intervallini, siamo in grado di analizzare la distribuzione della variabile abbastanza bene,
tramite ad esempio un istogramma. Ogni intervallino avrà due intervallini vicini, che
conterranno presumibilmente qualche osservazione. Se le osservazioni si riferiscono invece a
10 variabili, ed effettuiamo la stessa suddivisione in intervallini per ciascuna variabile,
otteniamo 1010 celle nello spazio a 10 dimensioni e ogni cella avrà 310-1= 59048 celle vicine:
le osservazioni diventano quindi dei punti isolati in un ampio spazio di celle vuote. Per
ottenere una situazione equivalente a quella che avevamo nel caso unidimensionale,
sarebbero ora necessarie ben 1020 osservazioni.
L’aumento delle dimensioni provoca in definitiva un incremento generalizzato delle distanze
tra i punti che tendono quindi a divenire lontani ed equispaziati.
Per ovviare a tale problema sono stati proposti modelli quali ad esempio PPR, MARS o il
modello additivo generalizzato (GAM), (si veda Hastie, Tibshirani & Friedman, 2001).
Il modello GAM è una variante del modello additivo già visto nel paragrafo 20.1. e si basa
sulla somma di J funzioni, in questo caso non-parametriche e non note, delle J variabili Xj
(più l’intercetta). La differenza sta essenzialmente nell’aggiunta della funzione link
parametrica che collega la somma delle funzioni alla variabile dipendente:
J
⎞
⎛
E(Y | X ) = f(X1, X 2 , X 3 ..., X J ) = G ⎜ a + ∑ s j X j ⎟
⎟
⎜
j=1
⎠
⎝
L’additività del modello permette un procedimento di stima abbastanza agevole in quanto le
funzioni sono tutte univariate. Occorre però considerare che le funzioni non-parametriche sj
sono incognite e quindi è richiesta una procedura di stima iterativa.
La Projection Pursuit Regression utilizza trasformazioni di proiezioni ottime dei dati
originali in sottospazi di dimensione ridotta. Più precisamente, la variabile dipendente è
legata ad un insieme di J variabili esplicative, tramite una combinazione di M funzioni
smooth unidimensionali di combinazioni lineari delle variabili esplicative:
( )
E(Y | X ) = f(X1, X 2 , X 3 ..., X J ) =
M
∑ s m (α m1 X1 + α m2 X 2 + " + α mJ X J )
m =1
Quando il numero di variabili esplicative è alto e tra esse sussiste un elevato grado di
collinearità, questo modello è più parsimonioso rispetto al GAM e può considerare (anche se
non esplicitamente) interazioni di variabili esplicative.
MARS (multivariate adaptive regression splines) può essere visto come una
generalizzazione del Recursive Partition Regression method. Questo metodo utilizza una
espansione di prodotti di funzioni base (ad es. spline cubiche) per costruire funzioni spline
multivariate ed una procedura stepwise per ottenere una selezione automatica di questa base
di funzioni. E’ possibile scrivere il modello MARS in forma additiva, raggruppando le
funzioni in questo modo:
E(Y|X ) = f(X1, X 2, X3..., X J ) = α 0 +
∑ gi ( Xi ) + ∑ gih ( Xi ,Xh ) + ∑ gihk ( Xi ,Xh , Xk )"
K m =1
K m =2
K m =3
In cui la prima sommatoria riguarda tutte le funzioni che si riferiscono ad una sola variabile
esplicativa; la seconda sommatoria riguarda tutte le funzioni che si riferiscono a due variabili
esplicative, e così via. Occorre fissare a priori alcuni parametri: il numero di funzioni base, il
massimo grado di interazione ed il grado delle spline. Tramite questi parametri si può
determinare il grado desiderato di complessità del modello.
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Cap. 20 - 17
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Bibliografia del capitolo
Green, P., Silverman, B. (1994) Nonparametric Regression and Generalized Linear models:
A Roughness Penalty Approach, Chapman and Hall, London.
Härdle, W. (1994) Applied Nonparametric Regression, Cambridge University Press.
Hart, J. D. (1997) Nonparametric Smoothing and Lack-of Fit Tests. Springer Verlag New
York.
Hastie, T., Tibshirani, R. & Friedman, J. (2001) The elements of statistical learning, Springer
Verlag New York.
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McGraw Hill, 2004, ISBN 88-386-6162-6
Cap. 20 - 18
