Teoria delle decisioni.

Prof. Ing. Michele Marra – Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale –
Appunti delle Lezioni di Calcolo delle Probabilità e Statistica – Analisi Decisionale
Capitolo 8
TEORIA DELLE DECISIONI
8.0 - Introduzione
In taluni problemi di decisione, il decisore deve operare una scelta tra le diverse opzioni
alternative disponibili, in presenza di informazioni incerte circa gli effetti che queste
opzioni determineranno in futuro. Egli ha la possibilità di utilizzare una serie di tecniche
che sono disponibili allo scopo, fra le quali elenchiamo, a seconda delle condizioni in
cui è costretto ad operare, le seguenti:
• Teoria delle decisioni
• Analisi decisionale in condizioni di rischio
• Analisi decisionale in condizioni di incertezza
• Alberi di decisione
• Teoria dell’utilità
8.1 - Teoria delle decisioni
La teoria delle decisioni consta di quattro passi:
• Individuazione delle alternative
• Individuazione degli eventi futuri
• Calcolo dei guadagni
• Valutazione e confronto delle alternative
8.1.1 - Individuazione delle alternative:
È la fase in cui vengono enumerate le diverse opzioni ammissibili.
Tali m decisioni alternative vengono indicate con
Di con i = 1,2,…,m
8.1.2 - Individuazione degli eventi futuri
Gli eventi futuri, indicati come stati di natura, possono influenzare gli effetti conseguenti alle diverse decisioni.
Gli stati di natura costituiscono un insieme di eventi composti esaustivi e mutuamente
esclusivi
Sj con j = 1,2,….,n
8.1.3 - Calcolo dei guadagni
Ad ogni coppia di decisione e di stato di natura viene associato un corrispondente
guadagno espresso in termini monetari e indice del valore determinato da Di se in
futuro si verificherà Sj.
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Esso viene indicato col simbolo
V (D i , Sj)
8.1.4 - Valutazione e confronto delle alternative
È l’ultimo stadio del processo, cioè quello in cui si definisce un criterio di confronto
delle alternative, espresso come funzione reale f (V) dei guadagni.
La decisione migliore è quella che rende massima ( o minima) la funzione f (V).
8.1.5 - Esempio di problema di Analisi decisionale
Un’azienda deve valutare diversi processi produttivi in alternativa per realizzare un
progetto di innovazione tecnologica.
In particolare supponiamo che siano state individuate quattro possibili decisioni
alternative, indicate con A, B, C e D, corrispondenti a quattro tipi di processo
produttivo.
Supponiamo inoltre che i possibili eventi futuri, relativi al volume della domanda, siano
riconducibili ad una classificazione a tre livelli: alta, media, e bassa domanda.
La tabella 8.1.5.1 ci mostra i guadagni monetari, espressi in euro, per ciascuna coppia
decisione-stato di natura.
Tabella 8.1.5.1- Guadagni monetari
A
B
C
D
Bassa
200000
250000
300000
300000
Media
350000
350000
375000
350000
Alta
600000
540000
490000
470000
Come si vede, la decisione D risulta dominata dalla decisione C, nel senso che, per ogni
stato di natura il guadagno monetario relativo a D è non superiore al corrispondente
guadagno monetario associato a C.
Possiamo quindi eliminare la decisione D, in quanto essa non può risultare ottimale per
nessuna ragionevole definizione della funzione di valutazione a confronto f(V).
D’altra parte le rimanenti tre decisioni A, B e C non si dominano a vicenda.
8.2 - Analisi decisionale in condizioni di rischio
Nell’analisi decisionale in condizioni di rischio si assume che il decisore sia in grado di
associare a ciascuno stato di natura una probabilità di occorrenza P(Sj), con
j=1,2,…,n , frutto sia di valutazioni soggettive di esperti che di esperienze analoghe
condotte in passato.
Dato che gli stati di natura sono mutuamente esclusivi, la sommatoria delle probabilità
deve essere unitaria.
8.2.1 - Criteri di valutazione e confronto per l’analisi in condizioni di rischio
Esistono vari criteri per affrontare le condizioni di rischio; i più usati sono i seguenti:
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•
•
•
Valore atteso monetario
Valore atteso della perdita di opportunità
Valore atteso della perfetta informazione
8.2.1.1 - Valore atteso monetario VAM
È il criterio di misura di valutazione delle decisioni più naturale e più utilizzato in
pratica e si basa sul calcolo medio per ogni decisione
VAM (Di) = ? [P(Sj) * V(Di,Sj)]
con i = 1,2,…,m e j = 1,2,…,n.
La decisione ottimale D* è quella che rende massimo il VAM:
VAM* = VAM (D*) = max VAM (Di)
con i = 1,2,…,m
Per l’esempio relativo ai guadagni monetari della tabella 8.1.5.1, ricaviamo la seguente
tabella 8.2.1.1 dei valori attesi monetari.
Come si vede, A rappresenta la decisione ottimale secondo il criterio del valore atteso
monetario.
tabella 8.2.1.1 - Valore atteso monetario
Bassa
Media
Alta
VAM
A
200000
350000
600000
435000
B
250000
350000
540000
416000
C
300000
375000
490000
413000
0.1
0.5
0.4
P(Dj)
8.2.1.2 - Valore atteso della perdita di opportunità
Tale criterio di valutazione si basa sul concetto di perdita di opportunità di una
decisione.
Tale perdita, indicata con L(Di,Sj), rappresenta la differenza tra il guadagno massimo
per il generico stato di natura Sj e il guadagno che deriva dalla decisione Di in merito al
medesimo stato di natura.
In simboli:
L(Di,Sj) = Vmax(Sj) – V(Di,Sj)
con i = 1,2,…,m e j = 1,2,…,n
ponendo
Vmax(Sj) = max V(Di,Sj)
con i = 1,2,…,m
e
j = 1,2,…,n.
Per il solito esempio di tabella 8.1.5.1 ricaviamo la seguente tabella delle perdite di
opportunità:
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8.2.1.2 -
Perdita di opportunità
Bassa
Media
Alta
A
100000
25000
0
B
50000
25000
60000
C
0
0
110000
I valori in tabella, calcolati per colonna, ossia fissato lo stato di natura, si sono ottenuti
considerando il massimo dei valori monetari per stato di natura e sottraendo da questo il
guadagno relativo ad ogni decisione preso in corrispondenza del relativo stato di natura.
Calcolata la matrice delle opportunità, si utilizza il valore medio della perdita delle
opportunità per confrontare le decisioni:
VAPO(Di) =? [P(Sj) * L(Di,Sj)]
con i = 1,2,…,m e j = 1,2,…,n
La decisione ottimale D* è quella che rende minima la perdita di opportunità
VAPO(Di):
VAPO* = VAPO(D*) = min VAPO(Di)
con i = 1,2,…,m e j = 1,2,…,n.
Sempre per lo stesso esempio la successiva tabella indica le perdite di opportunità
attese. La decisione A è ottimale secondo il criterio della perdita di opportunità attesa.
8.2.1.3 -
Perdita di opportunità attesa
Bassa
Media
Alta
VAPO
A
100000
25000
0
22500
B
50000
25000
60000
41500
C
0
0
110000
44000
P(Dj)
0.1
0.5
0.4
Il fatto che la decisione A risulti ottimale sia per il criterio del valore atteso monetario
sia per il criterio della perdita di opportunità attesa non è una circostanza fortuita.
Si può infatti verificare che la decisione ottimale è sempre la medesima per i due criteri,
che pertanto risultano solo apparentemente distinti.
8.2.1.2.1 - Relazioni esistenti tra i due criteri
La decisione ottimale è sempre la medesima per i due criteri:
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VAM* = VAM (D*) = max i ? [P(Sj) * V(Di,Sj)] =
= max i ? {P(Sj) * [Vmax(Sj) – L(Di,Sj)]} =
= ? [P(Sj) * V(Sj)] + max i – ? [P(Sj) * L(Di,Sj)] = = ?[P(Sj) * Vmax(Sj)] +
– min i * ? [P(Sj) * L(Di,Sj)] =
= ? [P(Sj) * Vmax(Sj)] – min i VAPO (Di) =
= ? [P(Sj) * Vmax(Sj)] – VAPO (D*) =
= ? [P(S) * Vmax(Sj) – VAPO*
con i = 1,2,…,m e j = 1,2,…,n
8.2.1.3 - Valore atteso della perfetta informazione
Il VAM ed il VAPO differiscono tra loro per una quantità indipendente dalle decisioni e
denominata valore monetario atteso con perfetta informazione :
VAMPI = ? [P(Sj) * Vmax(Sj)]
con j = 1,2,…,n
Esso rappresenta il valore atteso del guadagno monetario che si otterrebbe se per
ciascuno stato di natura venisse operata la scelta più conveniente.
La differenza tra il VAMPI ed il VAM* prende il nome di valore atteso della perfetta
informazione :
VAPI = VAMPI – VAM* = VAPO*
Il valore atteso della perfetta informazione coincide con il minimo valore atteso della
perdita di opportunità, e può essere interpretato come il prezzo massimo che il decisore
è disposto a pagare per poter acquisire informazioni che gli forniscano certezza circa gli
eventi futuri che si verificheranno.
Nel caso del solito esempio si ha:
VAMPI = 0.1x300000+0.5x375000+0.4x600000=457500
VAPI = VAMPI -VAM*= 457500-435000=22500=VAPO*
8.3 - Analisi decisionale in condizioni di incertezza
Si ricorre all’analisi decisionale in condizioni di incertezza allorché non sono
disponibili valutazioni di probabilità per gli eventi futuri.
Per fare ciò ci si avvale di diversi criteri.
8.3.1 - Criterio maximax
Rappresenta un punto di vista ottimistico da parte del decisore: la decisione migliore è
quella che massimizza il guadagno monetario più favorevole rispetto a tutti gli stati di
natura.
Esso viene espresso dalla funzione:
f(V) = max i max j V(Di,Sj)
con i = 1,2,…,m e j = 1,2,…,n
Per il solito esempio di tabella 8.1.5.1 la decisione A è ottimale secondo il criterio
maximax, come indicato dalla tabella.
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Tabella 8.1.5.1 Bassa
Criterio maximax
Media
Alta
f(V)
A
200000
350000
600000
600000
B
250000
350000
540000
540000
C
300000
375000
490000
490000
8.3.2 - Criterio maximin
Rappresenta, invece, un punto di vista pessimistico da parte del decisore: la decisione
migliore è quella che massimizza il guadagno più sfavorevole rispetto a tutti gli stati di
natura.
Esso viene espresso dalla funzione:
f(V) = max i min j V(Di,Sj)
con i = 1,2,…,m e j = 1,2,…,n
Per il solito esempio di tabella 8.1.5.1 la decisione C è ottimale secondo il criterio
maximin, come indicato dalla tabella
Tabella 8.3.2.1 Bassa
Criterio maximin
Media
Alta
f(V)
A
200000
350000
600000
200000
B
250000
350000
540000
250000
C
300000
375000
490000
300000
8.3.3 - Criterio del realismo o di Hurwicz
Rappresenta un compromesso tra il punto di vista ottimistico e quello pessimistico: la
decisione migliore è quella che massimizza una combinazione lineare convessa del
guadagno monetario più favorevole e quello più sfavorevole:
f(V) = max i {[a * max j V(Di,Sj)] + [(1-a) * min i V(Di,Sj)]}
con i = 1,2,…,m e j = 1,2,…,n con a compreso tra 0 ed 1.
Per il solito esempio di tabella 8.1.5.1, in corrispondenza di α=0.6, la decisione A è
ottimale secondo il criterio del realismo, come indicato dalla tabella 8.3.3.1
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Tabella 8.3.3.1 Bassa
Criterio del realismo
Media
Alta
f(V)
A
200000
350000
600000
440000
B
250000
350000
540000
424000
C
300000
375000
490000
414000
8.3.4 - Criterio di equiprobabilità o di Laplace
È il criterio più adottato in pratica e consiste nell’attribuire una sostanziale
equiprobabilità agli eventi futuri:
P(Sj) = 1/n con j = 1,2,…,n
La decisione migliore è quella che massimizza il VAM
8.3.5 Criterio minimax
Seleziona la decisione che rende minima la massima delle perdite di opportunità.
In simboli viene espresso da:
f(V) = min i max j L(Di,Sj)
con i = 1,2,…,m e j = 1,2,…,n
Per il solito esempio di tabella 8.1.5.1 la decisione B è ottimale secondo il criterio
minimax, come indicato in tabella 8.3.5.1.
Tabella 8.3.5.1 Bassa
Criterio minimax
Media
Alta
f(V)
A
100000
25000
0
100000
B
50000
25000
60000
60000
C
0
0
110000
110000
8.4 - Alberi di decisione
Metodologia che si avvale dell’ausilio grafico di rappresentazioni ad albero per:
• sviluppare analisi decisionali sequenziali
• facilitare le interazioni con il decisore
• migliorare la qualità di rappresentazione .
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•
Nodi decisione: nodi scelta delle possibili alternative da parte del decisore;
corrisponde il max dei valori monetari
• Nodi evento: si verifica uno stato di natura con relative probabilità di
occorrenza; corrisponde il valore atteso dei valori monetari
• Nodi terminali: il guadagno monetario è determinato dalla catena di decisione
ed eventi verificatisi
Il solito esempio in tabella 8.1.5.1 origina l’albero di decisione indicato in figura. Il
calcolo dei valori monetari associati a ciascun nodo si sviluppa a partire dai nodi
terminali fino a raggiungere il nodo decisione. Al termine della procedura di calcolo, il
valore monetario associato alla radice dell’albero costituisce il valore atteso monetario
massimo VAM*.
Fig. 8.4 – Albero di decisione per l’esempio di analisi in condizioni di rischio della Sezione 12.2.1
8.4.1 - Esempio di analisi decisionale sequenziale
Per il solito esempio consideriamo un nuovo scenario.
L’azienda può infatti commissionare in una prima fase una ricerca di mercato, al costo
di 2500 euro, e successivamente, sulla base dei risultati ottenuti, decidere in merito al
tipo di tecnologia da adottare.
Si presentano pertanto due fasi sequenziali nel corso del processo decisionale:
1. Decidere se commissionare la ricerca di mercato;
2. Decidere quale tipo di tecnologia adottare.
Ipotizziamo ora che la ricerca di mercato possa avere tre possibili esiti, corrispondenti
ad una situazione di mercato favorevole, invariato e sfavorevole.
Abbiamo deliberatamente utilizzato una classificazione diversa dalla suddivisione in
livelli introdotta a proposito della domanda: il lettore deve tenere infatti ben distinto, ad
esempio, il livello della domanda alta dalla previsione di mercato favorevole.
E’ verosimile attendersi, d’altra parte, che se il test di mercato esprime una valutazione
di mercato favorevole allora il livello di domanda alta abbia maggiori possibilità di
verificarsi, a posteriori, rispetto agli altri livelli di domanda.
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Per esprimere in termini analitici queste considerazioni di carattere intuitivo è
necessario introdurre alc uni concetti di natura probabilistica.
Indichiamo con Tk , k=1, 2, …r gli r possibili esiti del test.
Supponiamo che, sulla base di analoghe esperienze di applicazione del test nel passato,
sia possibile definire una tabella che fornisce le probabilità relative all’esito del test
condizionate al verificarsi degli stati di natura.
In simboli, la tabella che segue contiene le probabilità condizionate
P(Tk |Sj)
k=1, 2, .., r
j = 1, 2, .., n
Tabella 8.4.1 - Probabilità degli esiti del test dati gli stati di natura
Bassa
Media
Alta
Favorevole
0.2
0.4
0.7
Invariato
0.2
0.3
0.2
Sfavorevole
0.6
0.3
0.1
L’albero di decisione corrispondente alle decisioni sequenziali del problema descritto è
rappresentato nella figura che segue.
Per poter procedere al calcolo dei valori monetari per tutti i nodi dell’albero, è
necessario valutare le probabilità degli archi uscenti dai nodi evento corrispondenti da
un lato all’esito del test e dall’altro all’accadimento degli stati di natura condizionati
all’esito del test.
Ci occupiamo dapprima del nodo evento relativo all’esito del test. Agli archi che ne
scaturiscono dobbiamo associare le probabilità incondizionate dei diversi esiti.
Per procedere al calcolo utilizziamo un risultato di teoria della probabilità, solitamente
indicato come teorema di probabilità totale.
Data una collezione Sj, j=1, 2, …, n di eventi esaustivi e mutuamente disgiunti e un
generico evento A, vale l’eguaglianza
n
P(A) = ∑ P( S j ) P ( A | S j )
j= 1
Possiamo quindi applicare il teorema di probabilità totale per ricavare le probabilità
degli esiti incondizionati del test.
Ad esempio, per l’esito di mercato favorevole si ha
P(Favorevole) = P(Alta)*P(Favorevole|Alta) +
+ P(Media)*P(Favorevole|Media) +
+ P(bassa)*P(Favorevole|Bassa) =
= 0.4x0.7 + 0.5x0.4 + 0.1x0.2 = 0.5
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Fig. 8.4.1 – Albero di decisione per l’analisi sequenziale dell’esempio della Sezione 12.4.1
In modo analogo possono essere calcolate le rimanenti probabilità, ottenendo
P(Invariato) = 0.4x0.2 + 0.5x0.3 + 0.1x0.2 = 0.25 e
P(Sfavorevole) = 0.4x0.1 + 0.5x0.3 + 0.1x0.6 = 0.25
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Rivolgiamo ora la nostra attenzione agli archi che scaturiscono dai nodi evento relativi
agli stati di natura che si trovano a valle del nodo evento relativo all’esito del test.
Evidentemente, le probabilità associate a questi archi devono essere condizionate
all’esito del test.
Più precisamente dobbiamo calcolare le probabilità
Per procedere al calcolo utilizziamo il teorema di Bayes
P( S j | A) =
P ( S j ) P( A | S j )
n
∑ P( S j ) P( A | S j )
j =1
Ad esempio calcoliamo la probabilità a posteriori di ottenere un livello di domanda alta
dato che il test ha fornito un esito favorevole
P( Alta | Favorevole) =
P ( Alta) P ( Favorevole | Alta)
=
P( Favorevole)
0. 4 * 0. 7
= 0.56
0. 5
Si ottiene in tal modo:
P( Media | Favorevole) =
0.5 * 0.4
= 0. 4
0.5
P( Bassa | Favorevole) =
0.1* 0.2
= 0.04
0.5
P( Alta | In var iato) =
0.4 * 0.2
= 0.32
0.25
P( Media | In var iato) =
0.5 * 0.3
= 0.6
0. 25
0.1* 0.2
= 0.08
0. 25
0.4 * 0.1
P( Alta | Sfavorevole) =
= 0. 16
0.25
P( Bassa | In var iato) =
0.5 * 0. 3
= 0.6
0.25
0.1* 0.6
P( Bassa | Sfavorevole) =
= 0. 24
0.25
P( Media | Sfavorevole) =
Una volta determinate le probabilità di tutti gli archi uscenti da nodi evento, siamo in
grado di calcolare i valori monetari per tutti i nodi dell’albero di decisione.
Come si vede dalla figura il valore atteso monetario massimo è pari a 437850 euro, e
corrisponde alla seguente strategia:
- In un primo tempo si commissiona la ricerca di mercato;
- successivamente, se l’esito indica condizioni di mercato favorevoli oppure
invariate si adotta la tecnologia A;
- se indica condizioni sfavorevoli, si opta per la tecnologia C.
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8.4.2 - Valore atteso dell’informazione campionaria
Il valore atteso dell’informazione campionaria per un test assegnato (VAIC) è la
differenza tra il valore atteso monetario ottimo in presenza del test e il valore
ottimo in sua assenza
Valore atteso monetario  Valore atteso monetario 
−

ottimo con test

  ottimo senza test 
VAIC = 
8.4.3 - Efficienza dell’informazione campionaria
Misura l’efficienza relativa dei diversi test mediante il rapporto tra VAIC e VAPI
EIC = VAIC / VAPI
Se EIC = 1
Efficienza max
Per il test del nostro esempio abbiamo
EIC=5350/22500=0.24
Come ci si poteva attendere, la probabilità a posteriori di ottenere un alto livello di
domanda in presenza di un esito favorevole del test di mercato aumenta rispetto alla
corrispondente probabilità a priori.
Possiamo calcolare, mediante il teorema di Bayes, le rimanenti probabilità a posteriori.
8.5 – Teoria dell’utilità
Fino a questo punto abbiamo introdotto e discusso numerosi criteri di natura monetaria
per la valutazione e il confronto di decisioni. Tuttavia, talvolta si presentano situazioni
nelle quali i criteri di natura esclusivamente monetaria denunciano evidenti limiti di
efficacia.
Ad esempio, consideriamo una ipotetica alternativa decisionale con due possibilità:
A. Il decisore riceverà 50000 euro con assoluta certezza.
B. Il decisore lancia una moneta: se l’esito è “testa” riceve 101000 euro, mentre se
è “croce” non riceve nulla.
Il lettore provi a stabilire qual è la propria istintiva scelta tra le due alternative,
immaginando di prendere come realistiche le due opzioni che sono state poste.
E’ molto probabile che egli opti per l’alternativa A.
Tuttavia, se attribuiamo probabilità ½ a ciascuna delle facce della moneta, possiamo
calcolare il valore atteso monetario di entrambe le alternative, ricavando
VAM(A) = 50000
VAM(B) = ½*101000+1/2*0=50500
Questi calcoli ci mostrano che B è la decisione che massimizza il valore atteso
monetario. Il fatto che la maggior parte degli ipotetici decisori preferisca l’alternativa A
si spiega in base alla seguente osservazione di carattere generale: alcuni decisori
preferiscono un guadagno immediato inferiore piuttosto che rischiare possibili perdite
future nel tentativo di acquisire guadagni maggiori.
Questo tipo di attitudine psicologica da parte del decisore viene indicata come
avversione al rischio.
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Supponiamo ora che le medesime alternative sino riformulate modificando le
somme in gioco, e ponendole pari a 50 e 99 euro in luogo di 50000 e 101000.
E’ probabile che molti di coloro che avrebbero optato per l’alternativa A, mutino la loro
scelta in questo nuovo scenario, preferendo la decisione B.
Tuttavia, per il criterio del valore atteso monetario, A è la scelta ottimale, essendo:
VAM(A)= 50
VAM(B)= ½*99+1/2*0=49.5
Questo secondo esempio illustra un’attitudine del decisore che viene indicata come
propensione al rischio
Vogliamo ora considerare un criterio di valutazione e confronto delle decisioni diverso
dal valore atteso monetario, mediante la definizione della funzione di utilità, che
attribuisce un valore numerico a ciascuna decisione.
Naturalmente la funzione utilità esprime una misura soggettiva del valore che uno
specifico decisore attribuisce alle alternative disponibili.
Tale misura tiene conto dei valori monetari, ma anche di altri criteri e attitudini che il
decisore prende in considerazione nel corso del processo decisionale.
In base alla propensione o avversione al rischio attribuisce, tramite la funzione utilità,
un valore numerico a ciascuna decisione
8.5.1 - Costruzione della funzione utilità
Dato un problema di decisione con un insieme di decisioni Di per i = 1,2,…,m e di stati
di natura Sj per j = 1,2,….,n cui associamo una tabella V(D i , Sj) di guadagni monetari,
si ponga
Vmin = min i,j V(Di,Sj)
Vmax = max i,j V(Di,Sj)
U (V) è la funzione utilità
Si attribuisce per definizione utilità 0 e utilità 1 rispettivamente a
U (Vmin ), U (Vmax )
quindi si procede per bisezioni successive dell’intervallo (0,1) dei valori di utilità per
poi applicare una tecnica di interpolazione numerica.
Definita U (V) si ricava una tabella W(Di,Sj) di valori di utilità per ogni coppia di
decisione e stato di natura ponendo:
W(Di,Sj) = U (V (Di,Sj) )
con i = 1,2,…,m
e
j = 1,2,…,n
Nella figura seguente si riportano le due situazioni relative a DM propenso al rischio e
DM avverso al rischio. E’ evidente che il segmento di retta che congiunge l’origine con
il valore 1 assegnato a Vmax rappresenta una condizione di equilibrio per il DM.
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Prof. Ing. Michele Marra – Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale –
Appunti delle Lezioni di Calcolo delle Probabilità e Statistica – Analisi Decisionale
Bibliografia
[1] - Carlo Vercellis, “Modelli e Decisioni: Strumenti e metodi per le decisioni
Aziendali”, Progetto Leonardo, Bologna, 1997.
[2] - Massimo Paolucci, DIST – Università di Genova, Diapositive del Corso di
“Teoria delle decisioni”, 2001/2002.
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