LOTTO e SUPERENALOTTO CALCOLO COMBINATORIO e CALCOLO DELLE PROBABILITA’ GIOCO DEL LOTTO COME SI GIOCA: Scegli da 1 a 10 numeri; scegli la sorte (ambo, terna…) e l'importo da associare; scegli la ruota; scegli eventuali abbonamenti, multiple e sistemi. Gioca la tua schedina e attendi l'estrazione (martedì-­โgiovedì-­โsabato). 1. Qual è la probabilità di azzeccare l’estratto semplice? Gioco un numero, ad esempio il 13 e spero che esca nella cinquina estratta. I casi possibili sono tutte le cinquine non 90
ordinate costruibili con i 90 numeri 1,2,…, 90: . I casi favorevoli sono tutte le cinquine che contengono il numero 13 5
89
scelto, ossia sono tutte le quaterne costruibili con gli 89 numeri rimanenti, cioè: . La probabilità di azzeccare un 4
numero è pertanto: ๐ =
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=
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. 2. Qual è la probabilità di azzeccare l’ambo? Gioco due numeri, ad esempio il 13 e il 17 spero che escano nella cinquina estratta. I casi favorevoli sono tutte le cinquine che contengono i numeri scelti (il 13 e il 17, per es.), ossia sono tutte le terne costruibili con gli 88 numeri !!
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88
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rimanenti, cioè: . La probabilità di azzeccare un ambo è pertanto: ๐ = !"
=
≅ 0,0025 =
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3
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3. Qual è la probabilità di azzeccare il terno? Gioco tre numeri, ad esempio il 13, il 17 e il 65 spero che escano nella cinquina estratta. I casi favorevoli sono tutte le cinquine che contengono i numeri scelti (il 13, il 17 e il 65, per es.), ossia sono tutte le coppie costruibili con gli 87 !"
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87
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numeri rimanenti, cioè: . La probabilità di azzeccare un terno è pertanto: ๐ = !"
=
≅ 0,000085. !!"#$
2
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4. Qual è la probabilità di azzeccare la quaterna? Gioco quattro numeri, ad esempio il 13, il 17, il 65 e il 66 spero che escano nella cinquina estratta. I casi favorevoli sono tutte le cinquine che contengono i numeri scelti (il 13, il 17, il 65 e il 66, per es.), ossia sono tutti i possibili 86 numeri !"
!
86
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rimanenti, cioè: = 86. La probabilità di azzeccare una quaterna è pertanto: ๐ = !"
=
≅ 0,0000019. !""#$%
1
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5. Qual è la probabilità di azzeccare la cinquina? Gioco cinque numeri, ad esempio il 13, il 17, il 65, il 66 e il 90 spero che escano. I casi possibili sono tutte le cinquine non 90
ordinate costruibili con i 90 numeri 1,2,…, 90: . Si ha solo un caso favorevole. La probabilità di azzeccare una 5
!
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cinquina è pertanto: ๐ = !" =
≅ 0,0000000227. !
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IL GIOCO DEL LOTTO NON E’ EQUO PERCHE’ A FRONTE DELLE PROBABILITA’ SOPRA CALCOLATE RESTITUISCE MOLTO MENO DEL VALORE ATTESO Si dice che un GIOCO è EQUO se la posta S che siamo disposti a pagare per parteciparvi è uguale al prodotto della vincita V per la probabilità p di ottenerla (S=V*p) Allora una scommessa risulta equa se la vincita V che possiamo realizzare è uguale a 1/p volte la posta S che abbiamo pagato per parteciparvi (V=S/p) Se giochiamo 1€ (cioè S=1) allora la vincita equa è 1/p. Se gioco per fare… ho una probabilità di vincita… l’estratto semplice l’ambo il terno la quaterna la cinquina !
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Ma, in caso di vittoria, vinco la posta giocata moltiplicata per*… 11,23 250 4.500 120.000 6.000.000 * Fonte: http://www.lottomaticaitalia.it/lotto/gioco/lotto_premi.html; le cifre sono poi al lordo delle ritenute di legge, che vengono detratte all’atto del pagamento della vincita. GIOCO DEL SUPERENALOTTO COME SI GIOCA: Basta scegliere sulla schedina un minimo di due combinazioni di 6 numeri ciascuna, compresi tra 1 e 90. Il regolamento, infatti, stabilisce che la giocata minima non possa essere inferiore a due combinazioni di gioco. Il costo di una giocata minima è di 1 € avendo ciascuna combinazione un costo di 0,50 €. La giocata massima su una schedina è di 27.132 colonne (corrispondente ad una giocata di 19 numeri su un pannello) per un importo pari a 13.566 € (“sistema integrale”). Si vince, dopo aver scommesso su una schedina, indovinando il terno, la quaterna, la cinquina, il cinque più uno (ovvero cinque numeri più il numero jolly) o il sei, ovvero i sei numeri della combinazione base. Esaminiamo i vari casi di vincita (fare “3”, “4”, “5”, “5+1”) giocando sei numeri (giocata minima) 1. Qual è la probabilità di “fare 3”? Gioco sei numeri, ad esempio il 10, il 20, il 30, il 40, il 50 e il 60 e spero che nella sestina vincente ci siano 3 fra i miei numeri. I casi favorevoli sono tanti quante le sestine costruibili utilizzando 3 dei miei 6 numeri insieme con 3 degli 84 numeri che non ho giocato. La probabilità di “fare 3” è pertanto: ๐ =
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≅ 0,003 = 3 โ 10!! . 2. Qual è la probabilità di “fare 4”? Gioco sei numeri, ad esempio il 10, il 20, il 30, il 40, il 50 e il 60 e spero che nella sestina vincente ci siano 4 fra i miei numeri. I casi favorevoli sono tanti quante le sestine costruibili utilizzando 4 dei miei 6 numeri insieme con 2 degli 84 ! โ !"
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numeri che non ho giocato. La probabilità di “fare 4” è pertanto: ๐ =
=
!"โ!"#$
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≅ 0,0000839 = 8,39 โ
10!! . 3. Qual è la probabilità di “fare 5”? Gioco sei numeri, ad esempio il 10, il 20, il 30, il 40, il 50 e il 60 e spero che nella sestina vincente ci siano 5 fra i miei 90
numeri. I casi possibili sono tutte le sestine non ordinate costruibili con i 90 numeri 1,2,…, 90: . I casi favorevoli 6
sono tanti quante le sestine costruibili utilizzando 5 dei miei 6 numeri insieme con 1 degli 84 numeri che non ho giocato. La probabilità di “fare 5” è pertanto: ๐ =
! โ !"
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≅ 0,0000008 = 8 โ 10!! . N.B. Questa probabilità non tiene conto del famoso “settimo numero estratto”, il numero Jolly, quello che può permettere a chi ha fatto “5”, di totalizzare il cosiddetto “5+1”. 4. Qual è la probabilità di “fare 5+1”? Gioco sei numeri, ad esempio il 10, il 20, il 30, il 40, il 50 e il 60; vinco con il “5+1” se esce una “settimina” composta da 6 termini iniziali (costituiti da 5 fra i 6 numeri da me giocati insieme con un numero che sta fra gli 84 numeri da me non giocati) e da un numero finale coincidente col numero rimanente della mia sestina; ad esempio se l’estrazione fosse: 20, 6
84
30, 40, 50, 60, 70 e numero jolly 10 io vincerei. Posso formare โ
โ 1 = 6 โ 84 di queste sestine (numero casi 5
1
favorevoli). 90
84
Il numero dei casi possibili è invece dato da: โ
perché si moltiplica il numero dei modi di scegliere (non 6
1
importa l’ordine) 6 numeri fra i 90 disponibili, più un settimo numero (che è IL numero jolly) fra gli 84 rimanenti. La probabilità di fare “5+1” è data quindi da: ๐ =
! โ !" โ!
!
!
!" โ !"
!
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=
!
!"
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≅ 0,000000009 = 9 โ 10!! . A tale risultato si poteva arrivare anche ragionando così: i casi favorevoli sono rappresentati da tutte quelle sestine costruibili usando (ad esempio) il 10 associato con 5 fra i 6 numeri della sestina vincente. Tali sestine sono in numero di 6 (basta prendere la sestina vincente e sostituire il primo,, oppure il secondo, …, oppure il sesto elemento, con il numero !
!
jolly 10). Allora la probabilità di fare “5+1” è ๐ = !" =
≅ 0,000000009 = 9 โ 10!! ossia è esattamente 6 volte !
la probabilità di fare “6”. !""!#$!%&
IL GIOCO DEL SUPERENALOTTO è EQUO o è INIQUIO? La valutazione è un po’ più elaborata rispetto a quella fatta per il Lotto dal momento che il premio in caso di vincita è il frutto della ripartizione di un monte premi variabile di settimana in settimana, fra i vari giocatori che hanno azzeccato le varie combinazioni vincenti. IN OGNI CASO…Può aver senso giocare solo se si giocano piccolissime cifre con la quasi certezza di perdere ma con la remota
speranza di vincere milioni!
L’emozione di un sogno milionario giustifica una piccola cifra giocata e quasi certamente persa!
La seguente tabella riporta le combinazioni in gioco e le probabilità di “vincita secca” (“fare 6”) a seconda del totale di numeri giocati in combinazione integrale su un solo pannello. Numeri
giocati su
un pannello
Combinazioni in
gioco
Probabilità di
vincita
6
1
1 su
622.614.630
7
7=C7,6
1 su 88.944.947
8
28=C8,6
1 su 22.236.237
9
84=C9,6
1 su 7.412.079
10
210=C10,6
1 su 2.964.832
11
462=C11,6
1 su 1.347.651
12
924=C12,6
1 su 673.825
13
1.716=C13,6
1 su 362.829
14
3.003=C14,6
1 su 207.331
15
5.005=C15,6
1 su 124.399
16
8.008=C16,6
1 su 77.749
17
12.376=C17,6
1 su 50.308
18
18.564=C18,6
1 su 33.539
19
27.132=C19,6
1 su 22.948
Calcolo matematico
90
6 = 622614630 = 88944947, 142857
7
7
6
