Induzione elettromagnetica

Induzione
elettromagnetica
n  Legge
di Faraday
n  Mutua induzione e auto-induzione
n  Densita` di energia del campo magnetico
Induzione elettromagnetica
Nel 1831 Michael Faraday
scopre un nuovo fenomeno
Muovendo un magnete rispetto
ad una spira (e viceversa) si
genera una corrente nel circuito
Il verso della corrente dipende
dal verso del moto e
dall orientamento del magnete
Se facciamo passare della corrente in una
spira, vi e` passaggio di corrente in una spira
vicina solo al momento della accensione e
spegnimento. Va a zero quando la corrente e`
stazionaria.
Induzione elettromagnetica
Nel 1831 Michael Faraday
scopre un nuovo fenomeno
Muovendo un magnete rispetto
ad una spira (e viceversa) si
genera una corrente nel circuito
Il verso della corrente dipende
dal verso del moto e
dall orientamento del magnete
Se facciamo passare della corrente in una
spira, vi e` passaggio di corrente in una spira
vicina solo al momento della accensione e
spegnimento. Va a zero quando la corrente e`
stazionaria.
Induzione elettromagnetica
Nel 1831 Michael Faraday
scopre un nuovo fenomeno
Muovendo un magnete rispetto
ad una spira (e viceversa) si
genera una corrente nel circuito
Il verso della corrente dipende
dal verso del moto e
dall orientamento del magnete
Se facciamo passare della corrente in una
spira, vi e` passaggio di corrente in una spira
vicina solo al momento della accensione e
spegnimento. Va a zero quando la corrente e`
stazionaria. (dimostrazione)
Legge di Faraday
!
d"( B)
!i = !
dt
La variazione temporale del flusso del campo magnetico
concatenato ad un circuito genera nel circuito una f.e.m. pari
all opposto della derivata del flusso rispetto al tempo.
La f.e.m. corrisponde alla circuitazione di un
campo elettrico (indotto e non conservativo)
Legge di Faraday
Legge di Lenz
“–“
La fem dipende
dal circuito (E non
e` conservativo)
!
d"( B)
!i = !
dt
! !
" !
d
!C# E ! dr = " dt $(C# ) B ! n dA
Legge di Lenz
n  Per
una spira chiusa la f.e.m. indotta genera una corrente
elettrica
!i
1 d"(B)
i= =!
R
R dt
n  La
n  Il
corrente genera un campo magnetico indotto
segno della corrente e` tale che il campo
magnetico indotto genera una forza che si
oppone alla variazione
Esempio
Una spira piana di sezione S e resistenza R e` immersa in un campo
magnetico unfiorme che forma un angolo α con la normale alla spira. Il
modulo del campo magnetico varia nel tempo secondo una legge
periodica: B(t)=B0cos(ωt). Si vuole determinare la corrente i(t) che
circola nel circuito.
d"
d
! =!
=!
dt
dt
$
! !
d
dB
B # n dA = ! BS cos ! = !S cos !
dt
dt
= !S cos ! (!" B0 sin " t) = SB0 cos ! sin " t
! SB0 cos "
i(t) = =
sin # t = i0 sin ! t
R
R
Esempio
Una spira quadrata di lato L e` immersa in un campo magnetico che
varia nel tempo secondo la legge
z
x
L
d
=!
dt
y
L L
""
0
0
!
!
!
B(t) = Az sin(! t)e x + By cos(! t)ez
d"
d
! =!
=!
dt
dt
L
#
d
Bx dy dz = ! A % "
dt $ 0
$
L
"
0
! !
d
B # n dA = !
dt
#
! !
B " e x dA
&
z dy dz ( sin(! t)
'
L3 d
L3
= !A
sin(! t) = ! A ! cos(! t)
2 dt
2
!
i=
R
Esempio
n 
Bobina di N spire, sezione S, resistenza R
!
! t
B(t) = B0
(0 ! t ! t0 )
t0
! B (t) = NSB = NSB0
t
t0
NSB0
d" B
=!
dt
t0
NSB0
!
i= I =!
R
Rt0
!I = !
opposizione alla variazione di B
carica totale
q=
t0
!
0
NSB0
i dt = it0 =
R
potenza dissipata P = ! I i
W = Pt0
lavoro
Esempio: spira rotante in un
campo magnetico
spira quadrata di lato L
2
2
!(B) = BL cos ! = BL cos " t
2
! max = BL "
!i
i=
R
d"
2
!i = !
= BL " sin " t
dt
2
i
2
max
!
!
2
P = ! i i = Ri = =
sin " t
R
R
2
Esempio: spira rotante in un
campo magnetico
2
! max = BL "
2
! max 2
P=
sin " t
R
media su un periodo
2
max
!
P=
2R
dal punto di vista della potenza il generatore di
corrente alternata equivale a un generatore in cc
con f.e.m. efficace
Veff =
! max
2
Esempio: spira rotante in un
campo magnetico
i
i
εi
I
t
R
! i BL2"
i= =
sin " t
R
R
p
E0 I
2
! max
P=
sin 2 " t
R
t
Esempio: principio del motore
elettrico
Trasformazione di energia
forza
resistente
y
z
V0
x
B
elettrica in energia meccanica
v
F0
generatore di f.e.m.
i
!
!
!
!
idl = idye y
B = Bez
!
! !
!
F1 = ile y ! ez = iBle x
F1
! B (t) = v t " l " B
sbarretta mobile percorsa
dalla corrente i lunga l
V0 + ! I V0 " v Bl
d# B
! !I = "
= " v Bl ! i =
=
dt
R
R
Esempio: principio del motore
elettrico
B
V0
Il generatore tiene costante la
f.e.m. V0 e varia solo la corrente
v
F0
i
F1
dv
m
= F1 ! F0
dt
dv
m
= iBl ! F0
dt
F0
d v V0 ! v Bl
=
Bl !
dt
mR
m
Esempio: principio del motore
elettrico
β
F0
d v V0 ! v Bl
=
Bl !
dt
mR
m
α
2
V0 Bl F0
(Bl)
=
! !v
mR m
mR
!! ""v
dv
!
= dt
!""v
v
se v(0)=0
1
"!!v
! log
=t
!
"
"
0
dv
=t
!!"v
Esempio: principio del motore
elettrico
(
v(t) = v ! 1 " e
n  A
!t/ !
)
2 2
B
l
! !1 =
mR
V0 RF0
v! =
" 2 2
Bl B l
regime (t >> τ) la velocita` diventa costante.
n  La
forza totale applicata e` nulla, il moto uniforme.
RF0
! I ,! = " v ! Bl = "V0 +
Bl
V0 " v ! Bl F0
i! =
=
R
Bl
P! = V0 i! = (Ri! " ! I ,! )i! = Ri!2 + F0 v !
potenza dissipata nella resistenza
potenza meccanica per vincere F0
Origine fisica della legge di
Faraday
n 
Come abbiamo visto, ci sono due casi
primitivi da considerare
q 
q 
un conduttore e` in moto relativo rispetto alle
sorgenti di un campo magnetico
un campo magnetico variabile nel tempo si
concatena con un circuito a riposo
Ancora sul legame E vs B
n 
Magnete permanente in moto rispetto ad una
spira
q 
osservatore solidale con il magnete
n 
n 
q 
osservatore solidale con la spira
n 
n 
n 
la spira si muove nel campo magnetico del magnete e i suoi
elettroni si mettono in moto sotto la forza di Lorentz
il campo magnetico spiega tutto
il magnete si muove, il flusso concatenato cambia, nasce
una f.e.m. indotta e gli elettroni si mettono in moto
introduco il campo elettrico indotto che spiega tutto
I campi elettrico e magnetico sono componenti
del tensore del campo elettromagnetico
Osservatore solidale con il
magnete
n 
Conduttore in moto relativo rispetto alle sorgenti di un campo
magnetico
velocita` v
vdt
Forza di Lorentz sugli elettroni
! ! !
Campo elettromotore E = v! B
t
t+dt
Moto degli elettroni lungo la spira
! !
f.e.m. ! i = !
# E ! dl =
=
!# (
"
! !
!# v" B ! dl
" ! dr! % !
! ! !
dl ! v " B = !
) $# dl ! dt '& ( B
)
(
)
Osservatore solidale con il
! !
!
magnete
dl ! dr = dA' n
dA
dl
Φt (B)
dA
(
dr = v dt
t
dA n = dl x dr
! ! !
! !
dl ! dr " B = dA' B " n
)
= d!'
flusso attraverso il !
!
parallelogramma dl ! dr
Φt+dt(B)
Integrando sulla spira si ha il flusso
t+dt
dΦ t (B) sulla faccia laterale descritta dal
movimento della spira
!
d! t ( B) =
"$ (
! ! !
dl " dr # B =
)
$
d%
! !
B # ndA'
Osservatore solidale con il
magnete
! ! !
!
!
dA
dr = v dt
dl
Φt (B)
dA
d! t ( B) =
t
"$ (dl " dr ) # B = $
!
B # ndA'
d%
Dato che il campo magnetico e`
solenoidale
dA n = dl x dr
Φt+dt(B)
t+dt
dΦ t (B) ! t+dt " ! t + d! t = 0
d! " ! t+dt # ! t = #d! t
! i = !"
La f.e.m. indotta e` dovuta alla variazione
nel tempo del flusso tagliato dal circuito
nel suo moto
(
"
! !
v! B # dl
)
d! t
d!
=
="
dt
dt
Osservatore solidale con il
circuito
n 
Il circuito e` fisso. Il campo magnetico varia
con il tempo.
Non c e` forza di Lorentz
Dobbiamo introdurre un campo elettrico indotto
Il campo indotto e` legato alla variazione del
campo magnetico
Legge di Faraday: forma
differenziale
! !
d
!# E ! dr = " dt
varia solo il campo
!
#
$
Stokes !
=
!% (
" !
"B !
# n dA
B ! n dA = ! %
$ "t
! !
! " E # n dA
$
!
! !
$B
!"E =#
$t
)
n  E`
possibile definire la tensione
tra 2 punti
n  Non
coincide con una differenza
di potenziale (la tensione dipende
dal percorso)
Ancora sui conduttori in moto
in un campo magnetico
n 
Su una generica carica di un conduttore in
moto in un campo magnetico agisce la forza
di Lorentz:
!
! ! !
!*
F = q( E + v! B) = qE
n 
In prima approssimazione la legge di Ohm si
modifica come:
!
!*
J =!E
Ancora sui conduttori in moto
in un campo magnetico
n 
Dimostriamo matematicamente che se:
! !
d
#" E ! dr = " dt
C
n 
allora:
#
! #
B ! n dA
$
!* !
! #
d
#" E ! dr = " dt # B ! n dA
C (t )
$(t )
Legge di Lenz: conseguenze
n 
n 
n 
La f.e.m. indotta genera una corrente che
tende ad opporsi alla variazione di flusso
In un solenoide percorso da una corrente
variabile il flusso varia e l induzione genera
una forza contro-elettromotrice
Se la derivata del flusso e` grande (apertura
di colpo di un interruttore in un solenoide) si
genera una grossa d.d.p. con conseguenze
anche pericolose
Legge di Lenz: conseguenze
n 
Conduttore perfetto (R=0, superconduttore)
q 
q 
q 
con R=0 la legge di Ohm direbbe che data una
fem ε piccola a piacere la corrente sarebbe
infinita
Lenz: qualunque variazione di un B produce un B
opposto e nessun flusso magnetico penetra nel
superconduttore
avvicinando un magnete a un superconduttore le
correnti di Foucault ( vorticose ) generano un
campo che si oppone al movimento [effetto
Meissner, levitazione magnetica]
Comportamento magnetico
dei materiali - classificazione
!
B0
!
B
campo magnetico nel vuoto
campo magnetico in un materiale
corrispondente alle stesse
sorgenti esterne
B
! µ r B ! B0 = ( µ r ! 1)B0 = ! B0
suscettivita` magnetica
B0 permeabilita`
magnetica relativa
Comportamento magnetico
dei materiali - classificazione
n 
Sostanze diamagnetiche
µ r < 1, ! < 0 χ costante al variare di B
il campo esterno genera una variazione del momento angolare orbitale
degli elettroni (precessione di Larmor) che induce un campo in
opposizione a quello esterno
!0.42 " 10!5 Si
!0.90 " 10!5 H 2O
!0.45 " 10!8 H
Comportamento magnetico
dei materiali - classificazione
n 
Sostanze paramagnetiche
µ r > 1, ! > 0
correnti amperiane equiverse a
quelle di conduzione
Allineamento dei momenti di dipolo magnetico di atomi
con elettroni spaiati – principio di esclusione di Pauli
"
! (T ) = C
T
effetti piccoli
legge di Curie
! ! 10 ÷ 10
!4
!5
Comportamento magnetico
dei materiali - classificazione
n 
Sostanze ferromagnetiche
3
! ! 10 ÷ 10
5
! = ! (B)
funzione non univoca (isteresi)
5 elementi (+composti): Fe, Co, Ni, Ga, Dy
Magnetizzazione persistente anche dopo la rimozione del campo esterno
Interazioni tra spin inducono interazione tra momenti magnetici di atomi
adiacenti. Per T>Tcurie (=1024 K per il Fe) i legami si spezzano à
diamagnetici
Domini di Weiss – fenomeno quantistico, non spiegabile classicamente
Materiali diamagnetici
n 
diamagnetismo
q 
q 
q 
q 
q 
q 
tutti i materiali sono diamagnetici
normalmente il diamagnetismo e` mascherato dal
paramagnetismo e ferromagnetismo
gli elettroni in movimento intorno al nucleo sono dei piccoli
dipoli magnetici (valore medio macroscopico nullo)
in presenza di un campo magnetico esterno cambia la
velocita` di rotazione degli elettroni e si genera un campo
magnetico che si oppone a quello esterno
il campo e` molto piccolo; la suscettivita` magnetica
dell acqua e` χ = -9.05 x 10-6
un superconduttore ha diamagnetismo perfetto: χ = -1
Esempio: levitazione di una
rana
Radboud University Nijmegen, High Field Magnet Laboratory [HFML]
Diamagnetismo: effetto
debole – ma con alti
campi magnetici puo`
dare effetti spettacolari
Campo magnetico di 16 T
Legge di Lenz - conseguenze
n 
n 
Se si avvicina un magnete ad un conduttore reale, le correnti di Foucault,
(si estinguono dissipate in effetto termico)
“frenano” il moto del magnete (~ attrito viscoso)
x
il flusso concatenato cambia
dx
V
V = BL = BL v i =
R
dt
!
!
B 2 L2 v
F2 = ! F3 F1 = !iLB = !
R
n 
Forza opposta a quella applicata, proporzionale alla velocità
dW
dx
!B 2 L2 v 2
P=
=F
=Fv=
= Vi
dt
dt
R
Mutua induzione e
autoinduzione
n 
Legge di Faraday
q 
n 
relazione tra le variazioni di corrente in un circuito
e gli effetti prodotti nel circuito stesso e in quelli
vicini
Fattorizzazione del flusso del campo
magnetico in una parte dipendente dalla
corrente e una dalla geometria
q 
non vale per i materiali ferromagnetici, non lineari
– B non e` proporzionale a i
Mutua induzione e
autoinduzione
n 
Approssimazioni
q 
q 
q 
formule valide per i campi stazionari applicate
anche ai campi variabili nel tempo
buona se la variazione e` lenta rispetto al tempo
td=d/c (d=dimensioni lineari del circuito)
condizioni quasi-stazionarie ( B ∝ i con ottima
approssimazione)
Mutua induzione e
autoinduzione
N circuiti
j
k
!
! k ( B j ) = M jk i j
coefficienti di mutua induzione
Flusso del campo magnetico
generato dal circuito j
percorso dalla corrente ij
concatenato con il circuito k
!
! j ( Bk ) = M kj ik
Mutua induzione e
autoinduzione
!
! k ( B j ) = M jk i j
!"% #$ Wb
!M # =
" jk $ ! # = A
"i $
= H (Henry)
Mutua induzione e
autoinduzione
n 
Una variazione della corrente in un circuito
provoca una variazione anche del flusso del
campo magnetico concatenato con il circuito
stesso
!
! k ( Bk ) = M kk ik ! Lk ik (Li)
coefficiente di auto-induzione o induttanza del
circuito
Mutua induzione e
autoinduzione
M jk = M kj
! ! !
B=!"A
(rigorosamente valida nel caso stazionario)
! !
! !
µ0
A( r ) = ! Ak ( r ) =
!
#
!
4! k Ck
k
!
ik dlk
! !
r " rk
Per distribuzione
di correnti in
circuiti filiformi
Mutua induzione e
autoinduzione
n 
Flusso concatenato con il circuito j
!j = ' &
k
%j
(
!
!
! ! !
" Ak ! dl j
" # Ak $ n j dA = # !
)
k Cj
! !
! ! µ
dl j ! dlk
0
=!
" Aj ! dl j + 4! % !" !" ik r! # r!
Cj
k$ j C j C k
j
k
! Li j + # M jk ik
k" j
Simmetrico rispetto allo scambio degli
indici
Mjk dipendono solo da forma e posizione
dei circuiti
Mutua induzione e
autoinduzione
n 
Due soli circuiti
M 12 = M 21 ! M
n 
Legge di Faraday
di
d"
= !M
!I = !
dt
dt
Esempio: solenoidi accoppiati
lE
NE avvolgimenti, sezione S > A
N avvolgimenti, sezione A
I coefficienti di mutua induzione sono simmetrici. Conviene calcolare il
coefficiente del grande rispetto al piccolo perche` il suo campo
magnetico ha una espressione semplice.
µ0 iN E
BE =
lE
ANN E
! = NABE = µ 0
i
lE
M
Esempio: due spire
concentriche
i(t) = i0 sin ! t
R
ε?
r
i(t)
i
B = µ0
2R
Flusso concatenato con la
spira piccola (B ~ costante
sulla spira piccola)
r << R
2
2
µ0" r
µ0! r
di
)i0# cos # t
! = !r B =
i ! ! = "M = "(
dt
2R
2R
2
Esempio: filo parallelo a una
dr
spira rettangolare
d
spira di dimensioni a, b
r
d
b
a
r
b
Flusso del campo generato dal filo attraverso
la spira (piu` semplice)
d!(r) = Bfilo adr = µ0 i adr
2! r
d +b
!=
"
d
µ0a
b
d! =
ln(1 + )i
2!
d
M
Induttanza
n 
Coefficiente di proporzionalita` tra la corrente
che circola in un circuito e il flusso del campo
magnetico da essa generato concatenato
con il circuito stesso
Esempio: solenoide lungo l, N spire,
sezione A
di
! I = !L
dt
(approssimazione infinito )
2
µ0 N A
! = NAB =
i
l
µ0 Ni
B=
l
µ0 N 2 A
Lsolenoide =
l
Serie e parallelo di induttanze
n 
In un circuito un induttore e` un elemento che
possiede una induttanza di valore dato e di
solito molto piu` grande di quella degli altri
elementi presenti
n 
La resistenza di un induttore e` idealmente
nulla, in pratica spesso trascurabile
n 
Due o piu` induttori possono essere collegati
in serie o parallelo, originando un induttore
equivalente
Serie di induttanze
L1
ε1
L2
ε2
Se disaccoppiate
di1
di2
di
! = !L1
! L2
= !(L1 + L2 )
dt
dt
dt
f.e.m. indotte
N induttanze disaccoppiate in serie
N
L = ! Li
i=1
Serie di induttanze
L1
L2
ε1
ε2
f.e.m. indotte
Se il coefficiente di mutua
induzione M non e` trascurabile
L = L1 + L2 ± 2M
(segno positivo per correnti equiverse nelle due induttanze)
2
M ! kL1 L2 (0 " k " 1)
Parallelo di induttanze
L1
i1
L2
i = i1 + i2
di1
di2
di
i2 ! = !L
= !L ! L
dt
dt
dt
i
di1
!
=!
dt
L1
di2
!
=!
dt
L2
induttanze disaccoppiate
1 1 1
= +
L L1 L2
Parallelo di induttanze
L1
i1
L2
i = i1 + i2
di1
di2
di
i2 ! = !L
= !L ! L
dt
dt
dt
i
di1
!
=!
dt
L1
di2
!
=!
dt
L2
N induttanze disaccoppiate
N
L = "L
!1
!1
i
i=1
Densita` di energia del campo
magnetico
n 
Circuito in cui si varia l intensita` della corrente
che vi circola
q 
q 
q 
q 
q 
nel circuito si genera una f.e.m. autoindotta
la f.e.m. si oppone alla variazione
un generatore di f.e.m. esterno deve compiere del
lavoro
il lavoro compiuto equivale ad un trasferimento di
energia
questa energia viene immagazzinata nel campo
magnetico
Densita` di energia
L
n  Apertura
e chiusura di T
n  Variazioni
V
R
T
n  f.e.m.
di corrente nel circuito
di autoinduzione
V +VL = Ri
di
! V = Ri "VL = Ri + L
dt
Densita` di energia
L
V
di
V = Ri + L
dt
R
T
di
dt
=
V ! Ri L
1 V ! Ri t ! t0
! ln
=
R V ! Ri0
L
Densita` di energia
L
V
1 V ! Ri t ! t0
! ln
=
R V ! Ri0
L
R
V ! Ri = (V ! Ri0 )e
R
! t
L
(t0 = 0)
T
Ri = V ! (V ! Ri0 )e
R
! t
L
V
i(t) = (1 ! e
R
= V (1 ! e
R
! t
L
) + i0 e
R
! t
L
R
! t
L
) + Ri0 e
R
! t
L
Densita` di energia
L
V
V
i(t) = (1 ! e
R
R
T
Corrente di regime
n  Chiusura
V
i(t) ! i" =
R
velocita` con cui si raggiunge
il valore asintotico regolato
dalla costante di tempo del
circuito ! = L / R
R
! t
L
) + i0 e
R
! t
L
del circuito: i(0)=0
R
! t
V
i(t) = (1 ! e L )
R
i! " i(t)
extracorrente di chiusura
Densita` di energia
L
V
V
i(t) = (1 ! e
R
R
T
i(t )
n  Apertura
R
! t
L
) + i0 e
R
! t
L
del circuito: i(0)=V/R
V =0
R
V ! Lt
i(t) = e
R
diversa da zero per un breve tempo (qualche R/L)
extracorrente di apertura
(d.d.p. ai capi dell interruttore)
Potenza dissipata
n 
Dall istante in cui viene chiuso il circuito
di
2
Vi = Li + Ri
dt
di
V = L + Ri
dt
= Ve
R
! t
L
R
! t
V
i(t) = (1 ! e L )
R
R
"V R ! Rt %
!
t
V
L
L
= L$
e ' + R (1 ! e )
R
#R L
&
+V (1 ! e
R
! t
L
)
R
! t
WL
=e L
WGen
R
! t
WR
= 1! e L
WGen
Densita` di energia
n 
Induttanza L percorsa da una corrente i(t) variabile nel
tempo a partire da i(0)=0
n 
f.e.m. autoindotta ε che si oppone alla variazione
n 
Lavoro compiuto nel tempo dt:
di
dW = ! dq = ! idt = !L idt = !Lidi
dt
lavoro esterno per bilanciare quello del campo autoindotto
dW
ext
1 2
= !dW = Lidi = d( Li )
2
Densita` di energia
n 
Lavoro immagazzinato sotto forma di energia
potenziale del campo magnetico
1 2
U B = Li
2
n 
Solenoide indefinito
2
2
µ0 AN
µ0 AlN
2
L=
=
= µ 0Vn
l
l !l
Densita` di energia
L = µ 0Vn
2
1 2
U B = Li
2
1 2 22
1
1
2
2 2
µ0Vn i =
VB
U B = µ 0Vn i =
2µ 0
2µ 0
2
2
dU B B
uB =
=
dV
2µ 0
densita` di energia
immagazzinata in
un campo
magnetico nel
vuoto
Esercizio: cavo coassiale
n 
Due superficie cilindriche conduttrici coassiali
Immersi in un materiale di permeabilita`
magnetica relativa µr
r1
r2
Corrente di uguale intensita` ma versi opposti
r1 < r < r2 B = µ r ⋅
per una lunghezza l
µ0 i
2π r
d Φ( r ) = Bldr =
µ0 µr li r2
⇒Φ=
ln
2π
r1
µ0 µr li dr
2π r
dL µ0 µr r2
=
ln
dl
2π
r1