Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni
5 - SEGNALI DIGITALI E A IMPULSI
IN BANDA BASE
Prof. Mario Barbera
[parte 4]
1
Fondamenti di TLC - Prof. M. Barbera
Liberamente tratto da Fondamenti di TLC - Prof. G. Schembra
5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Interferenza intersimbolica (ISI)
La banda di un impulso
rettangolare è infinita
Se il sistema di trasmissione
non filtra opportunamente
Ogni impulso tenderà ad
invadere intervalli adiacenti
La durata di ogni impulso
tende ad aumentare
Interferenza intersimbolica
(ISI)
Problema:
Come limitare la banda occupata per non introdurre ISI?
Ricordiamo che limitando la banda, gli impulsi verranno smussati
2
1
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Effetto dell’ISI sul segnale ricevuto in un
sistema di comunicazione binaria
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Sistema di trasmissione in banda base
Consideriamo un segnale multilivello in ingresso al sistema di
trasmissione
win (t ) = ∑ an h(t − nTs )
n
win (t ) = ∑ an h(t ) * δ (t − nTs ) =
n
= ∑ anδ (t − nTs ) * h(t )
n
dove h(t) è l’impulso elementare formattatore
Es.:Impulso rettangolare di durata Ts
h(t ) = Π (t Ts )
H ( f ) = Ts sinc(Ts f )
Simbolo di informazione:
an ∈ {a1 , K , a L }
Velocità di simbolo:
D = 1 Ts
4
2
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Sistema di trasmissione in banda base
win (t ) = ∑ anδ (t − nTs ) * h(t )
n
wout (t ) = win (t ) * [hT (t ) * hC (t ) * hR (t )] =
= ∑ a nδ (t − nTs ) * h(t ) * [hT (t ) * hC (t ) * hR (t )] =
n
wout (t ) = ∑ a nδ (t − nTs ) * he (t )
n
= ∑ a nδ (t − nTs ) * he (t )
n
wout (t ) = ∑ a n he (t − nTs )
dove:
n
he (t ) = h(t ) * hT (t ) * hC (t ) * hR (t )
5
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Sistema di trasmissione in banda base
wout (t ) = ∑ a nδ (t − nTs ) * he (t )
n
wout (t ) = ∑ a n he (t − nTs )
n
dove:
he (t ) = h(t ) * hT (t ) * hC (t ) * hR (t )
Il sistema complessivo con in ingresso un treno di impulsi
formattati con impulso formattatore h(t)
EQUIVALE
ad un sistema con risposta impulsiva he(t), e con in ingresso un
treno di impulsi di Dirac di ampiezza pari ai simboli trasmessi
6
3
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Sistema di trasmissione in banda base
≡
wout (t ) = ∑ a n he (t − nTs )
n
dove:
∑
a n δ (t − nTs )
He(f)
n
wout (t )
he (t ) = h(t ) * hT (t ) * hC (t ) * hR (t )
H e ( f ) = H ( f ) ⋅ HT ( f ) ⋅ HC ( f ) ⋅ H R ( f )
Abbiamo scoperto che, qualunque sia la forma dell’impulso
elementare utilizzato:
• l’uscita è un treno di impulsi (impulsi elementari di uscita)
di ampiezza pari ai simboli trasmessi
• ciascun impulso elementare di uscita ha la forma del
segnale he(t)
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Annullamento dell’ISI
L’ISI è dovuto all’allargamento degli impulsi nel tempo
Tale allargamento non può essere evitato se il canale ha
banda minore di quella del segnale
IDEA:
ESEMPIO:
possiamo fare in modo che gli impulsi adiacenti siano nulli negli
istanti di campionamento del segnale a destinazione
A
In sorgente:
nTs
τ
A destinazione,
dopo τ secondi (tempo di propagazione)
t
ISI=0
A
t
nTs
8
4
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Annullamento dell’ISI
he (t + τ )
ISI=0
A
t
Decidiamo opportunamente
He(f), tale che annulli l’ISI
nTs
Per ottenere l’ He(f) desiderato:
APPROCCIO 1: possiamo scegliere opportunamente il filtro in ricezione
in modo che la risposta globale He(f) annulli l’ISI
HR( f ) =
He( f )
H ( f ) ⋅ HT ( f ) ⋅ HC ( f )
In tal caso, il filtro in ricezione si chiama filtro equalizzatore
Per adattarsi alla variabilità di HC(f) , il filtro equalizzatore può
essere adattativo
Criteri di Nyquist per il calcolo di He(f) che minimizza l’ISI
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Annullamento dell’ISI
he (t + τ )
ISI=0
A
Decidiamo opportunamente
He(f), tale che annulli l’ISI
9
t
nTs
Per ottenere l’ He(f) desiderato:
APPROCCIO 2: Se non possiamo agire su Hr(f) possiamo scegliere:
He(f) in modo che sia contenuto per intero (e non venga alterato)
nella parte lineare del sistema [HT(f) HC(f) HR(f)]
lo spettro dell’impulso formattatore H (f) = He(f)
H ( f ) ⋅ HT ( f ) ⋅ HC ( f ) ⋅ H R ( f ) = He ( f )
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5
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Primo criterio di Nyquist (ISI nulla)
Per eliminare l’ISI bisogna utilizzare una risposta in frequenza
equivalente, He(f), tale che la relativa risposta all’impulso
soddisfi la condizione:
A n = 0
he (nTs + τ ) =
0 n ≠ 0
dove:
ISI nulla
n : intero arbitrario
τ : ritardo di campionamento del ricevitore
Ts : intervallo di segnalazione
A : costante non nulla
rispetto agli istanti di campionamento del clock
di trasmissione
Se inviassimo all’ingresso del filtro di trasmissione all’istante t=0 un
singolo impulso rettangolare di ampiezza a, l’impulso ricevuto sarebbe
proprio ahe(t).
Quest’ultimo avrebbe poi ampiezza aA all’istante t=τ, ma non
causerebbe interferenza in quanto he (nTs + τ ) = 0 per n ≠ 0
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Primo criterio di Nyquist (ISI nulla)
Scegliamo:
he (t ) = sinc( f s t )
f s = 1 Ts
TF
τ =0
He ( f ) =
1 f
Π
fs fs
Soddisfa il primo criterio di Nyquist
ISI = 0
Non vi sarà ISI
se la banda del sistema è almeno pari a: BΣ = f s 2
Questo è il filtraggio ottimo da utilizzare, dato che è
ottenuto con un sistema a banda minima
1
BΣ : banda del sistema di trasmissione = banda del segnale
2
12
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Primo criterio di Nyquist (ISI nulla)
Permette velocità di segnalazione pari a 2 volte la banda del
sistema di trasmissione:
D = 1 Ts = 2 BΣ impulsi/s
Difficoltà di ordine pratico:
dove BΣ : banda del sistema di trasmissione
La risposta complessiva He(f) è costante sulla banda -BΣ<f<BΣ. Ciò è
fisicamente irrealizzabile, perché la risposta impulsiva sarebbe causale e di
durata infinita. In ogni caso i fianchi sarebbero troppo ripidi.
La sincronizzazione tx-rx è molto difficile perché sarebbe necessario un circuito
di campionamento in ricezione molto complesso, dato che si dovrebbe
campionare il sinc(x) proprio negli istanti di nullo. Il diagramma a occhio è
molto stretto, e una sincronizzazione non accurata provocherebbe forte ISI
Soluzione:
Ricerca di altre forme d’onda aventi la proprietà di essere nulle agli istanti di
campionamento adiacenti, ma con code che decrescono più rapidamente di
1/x, per evitare il problema dell’ISI in caso di fluttuazioni dell’istante di
campionamento
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Filtro di Nyquist a coseno rialzato
Definizione: filtro che ha risposta in frequenza data da:
f < f1
1
π f − f1
1
H e ( f ) = 1 + cos
f1 < f < B
2
2 f ∆
0
f >B
f 0 : banda a - 6 dB
r=
f∆
f0
BΣ : banda assoluta del sistema
f ∆ = BΣ − f 0
f1 = f 0 − f ∆
Fattore di decadimento
oppure rolloff
0 ≤ r ≤1
Corrispondente risposta impulsiva
cos(2πf ∆ t )
he (t ) = 2 f 0sinc(2 f 0 t ) ⋅
2
1 − (4 f ∆ t )
Σ
Σ
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Filtro di Nyquist a coseno rialzato
banda minima: BΣ = f 0
r =0
risposta impulsiva di tipo sinc(x)
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Filtro di Nyquist a coseno rialzato: velocità
di segnalazione
Per ottenere assenza di ISI:
Notiamo dalla figura di he(t) che:
he (t ) = 0
∀ t = n (2 f 0 ) , n ≠ 0
∀r
Il filtro a coseno rialzato he(t) soddisfa il primo criterio di Nyquist,
con τ=0, purchè si scelga un intervallo di segnalazione
Ts = 1 (2 f 0 )
D = 1 Ts = 2 f 0 simboli /s velocità di segnalazione
Per avere assenza di ISI
La banda a -6dB del filtro a coseno rialzato deve essere metà della
velocità di segnalazione
f ∆ = BΣ − f 0
f
r= ∆
f0
Velocità di segnalazione
ammissibile
Banda occupata
D=
2 BΣ
1+ r
BΣ =
1+ r
D
2
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Annullamento dell’ISI – approccio 2
he (t + τ )
ISI=0
A
Decidiamo opportunamente
He(f), tale che annulli l’ISI
t
nTs
Per ottenere l’ He(f) desiderato:
APPROCCIO 2: Se non possiamo agire su Hr(f) possiamo scegliere:
He(f) in modo che sia contenuto per intero (e non venga alterato)
nella parte lineare del sistema [HT(f) HC(f) HR(f)]
lo spettro dell’impulso formattatore H (f) = He(f)
H ( f ) ⋅ HT ( f ) ⋅ HC ( f ) ⋅ H R ( f ) = He ( f )
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Annullamento dell’ISI – approccio 2
HT ( f ) ⋅ H C ( f ) ⋅ H R ( f )
− BC
f
BC
H( f )
IMPULSO formattatore:
Filtro a coseno rialzato
si sceglie:
−BΣ
f1 f 0 BΣ
f
BΣ = BC
R
f0 =
2
He( f ) = H( f )
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Filtro di Nyquist a coseno rialzato:
realizzabilità del filtro
D=
2 BΣ
1+ r
0 ≤ r ≤1
Nessun filtro
0
BC > D
r=
2 BC
−1 > 1
D
D
≤ BC ≤ D
2
0 ≤ r ≤1
D
2
r<0
BC ≤
D 2
1+ r
D
2
BΣ =
r=
2 BΣ
−1
D
Qualunque filtro
BC
D
qualunque filtro di Nyquist a coseno rialzato elimina
l’ISI conviene scegliere r=1 per minimizzare la
complessità del filtro
è possibile trovare un r tale da annullare l’ISI
non è possibile trovare un r tale da annullare l’ISI
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Progettazione del filtro di Nyquist con
codifica multilivello
Se vogliamo utilizzare meno banda, possiamo
raggruppare i bit a gruppi di l
(l)
La banda minima diventa: BMIN
=
( bin )
BMIN
l
(bin )
dove BMIN è la banda minima con segnalazione binaria
R 2 segnalazione NRZ
( bin )
BMIN
=
segnalazione RZ e Manchester
R
Calcolo di l : l è il minimo intero tale che
( bin )
BMIN
≤ BC
l
B ( bin )
l = MIN
BC
20
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Progettazione del filtro di Nyquist con
codifica multilivello
Una volta scelto l possiamo calcolare il coefficiente di
roll-off massimo del filtro caratterizzato da:
BΣ = BC
r=
BΣ =
2 BΣ
−1
D
1+ r
D
2
R
l
dove D =
R (2l ) segnalazione NRZ
(l)
=
f 0 = BMIN
R l
segnalazione RZ e Manchester
Efficienza spettrale di un codice multilivello a impulso
formattato a coseno rialzato:
R
R
2l
R
B = 1+ r = 1+ r R = 1+ r
D
Σ
2
2 l
η r(l ) =
R
R
R
l
=
=
=
2 BΣ 2 1 + r D (1 + r ) R 1 + r
2
l
segnalazioni NRZ
segnalazioni RZ e Manchester
Ricordiamo la condizione:
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η r(l ) ≤ η 21
MAX
5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Riassumendo …
Efficienza spettrale di alcuni codici di linea
Impulso formattato a COSENO RIALZATO
Banda
assoluta
Per il binario:
f0
BΣ
f0 = D 2
BΣ
f0 = D 2
2 BΣ
f0 = D 2
2 BΣ
f0 = D
2 BΣ
f0 = D
D=R
Per il multilivello: D = R l
1+ r
D
2
2B
r = Σ −1
D
BΣ =
Efficienza spettrale
R/B [(bits/sec)/Hz]
2l
R
B = 1+ r
η r(l ) = Σ
R = l
2 BΣ 1 + r
segnalazioni NRZ
segnalazioni RZ e Manchester
Per formattazione a sinc: r = 0
22
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Filtro di Nyquist a coseno rialzato: velocità
di segnalazione: esempio
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Filtro di Nyquist a coseno rialzato: velocità
di segnalazione: esempio
(3-74)
D=
D
2B
1+ r
24
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Filtro di Nyquist a coseno rialzato: velocità
di segnalazione: esempio
In altre parole:
Se noi utilizziamo un canale con banda Bs= 40 kHz, con
risposta in frequenza opportunamente progettata (a
forma di coseno rialzato), riusciamo a far passare un
segnale con R=64 kbit/s senza introdurre ISI.
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Filtri di Nyquist
Teorema:
Un filtro si dice di Nyquist se la sua risposta in frequenza è:
f
+ Y ( f ) se f < 2 f 0
Π
H e ( f ) = 2 f0
0
altrimenti
dove:
Y(f) è una funzione reale pari intorno a f=0
Y (− f ) = Y ( f )
f < 2 f0
Y(f) è una funzione reale dispari intorno a f= f 0
Y (− f + f 0 ) = −Y ( f + f 0 )
f < f0
allora:
non vi sarà interferenza intersimbolica all’uscita del sistema se la
velocità di segnalazione è pari a:
D = f s = 2 f0
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Filtri di Nyquist
Numero infinito di filtri di Nyquist
f
+ Y ( f ) se f < 2 f 0
Π
H e ( f ) = 2 f0
0
altrimenti
Esempio:
f < f1
1
π f − f1
1
H e ( f ) = 1 + cos
f1 < f < B
2 f∆
2
f >B
0
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Secondo e terzo criterio di Nyquist
per il controllo dell’ISI
Secondo criterio di Nyquist:
Tale tecnica permette:
introducendo in modo controllato una quantità prefissata di ISI, il
ricevitore può cancellarlo e recuperare i dati senza alcun errore
di raddoppiare la velocità di bit, o alternativamente
di dimezzare la banda occupata
Terzo criterio di Nyquist:
l’effetto dell’ISI è eliminato scegliendo la risposta impulsiva
complessiva del sistema he(t) in maniera tale che:
l’integrale dell’impulso su di un certo intervallo di segnalazione di
durata Ts sia non nullo
l’integrale dell’impulso esteso agli intervalli di segnalazione adiacenti sia
nullo
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Diagramma a occhio
Scopo del diagramma a occhio:
In condizioni di buon funzionamento:
VISUALIZZAZIONE A DESTINAZIONE con un oscilloscopio degli effetti
di filtraggio di canale e/o di disturbi
visualizzazione all’oscilloscopio in passate multiple comandate da
impulsi di clock; l’ampiezza dell’asse dei tempi è leggermente
maggiore di un intervallo di simbolo
i vari spezzoni del segnale sono ben distanziati
l’occhio è aperto
In presenza di molta ISI o di rumore:
i vari spezzoni del segnale si avvicinano
l’occhio tende a chiudersi
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Diagramma a occhio
Ampiezza
verticale interna
dell’occhio
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Diagramma a occhio
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Diagramma a occhio
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banda base [parte 4]
Diagramma a occhio
In condizioni di buon funzionamento:
i vari spezzoni del segnale sono ben distanziati
l’occhio è aperto
In presenza di molta ISI o di rumore:
i vari spezzoni del segnale si avvicinano
l’occhio tende a chiudersi
Informazioni fornite dal diagramma a occhio:
Ampiezza orizzontale all’interno dell’occhio,
chiamata apertura orizzontale
[l’ISI determina una chiusura dell’occhio]
Apertura verticale dell’occhio
[Il rumore determina chiusura verticale dell’occhio]
MARGINE DI TEMPO:
(Intervallo in cui
si può campionare)
Errore di sincronismo tollerabile
in ricezione
Margine di rumore del sistema
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banda base [parte 4]
Diagramma a occhio
È presente ISI se l'occhio non è ben definito, ma viene
attraversato da archi di curve
Margine di tempo: apertura orizzontale dell’occhio
Poichè al ricevitore non sarà mai possibile avere una sincronizzazione
perfetta con il trasmettitore, il campionamento avverrà in istanti di
tempo non coincidenti con quelli degli impulsi di Nyquist. Se tale
sfasamento temporale è minore del margine di tempo, il
campionamento non introdurrà errore; è quindi opportuno limitare
questo sfasamento entro il limite imposto dal margine di tempo.
Si può dimostrare che, quando il roll-off è nullo, l’occhio è più chiuso. È
per questo che generalmente si utilizzano filtri con roll-off di valore
intermedio, per non occupare una banda eccessiva, ma al tempo
stesso non richiedere una sincronizzazione troppo accurata.
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Diagramma a occhio
Margine di ampiezza: apertura verticale dell’occhio
questo parametro indica quanto è robusto il sistema rispetto ad un
canale rumoroso
Infatti, in presenza di rumore le curve che compongono il
diagramma ad occhio non passeranno perfettamente per i valori di
tensione trasmessi, ma per valori a questi tanto meno prossimi
quanto maggiore è la potenza di rumore.
Questo fa sì che il margine di ampiezza diminuisce e l’occhio si
chiude verticalmente.
Quando la potenza di rumore è tale che l’occhio è completamente
chiuso, non sarà più possibile recuperare l’informazione trasmessa
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Diagramma a occhio
Esempio:
rumore bianco e membro di un processo gaussiano stazionario
ergodico con valore atteso nullo e varianza 0.2
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5 - Segnali digitali e a impulsi in
banda base [parte 4]
Diagramma a occhio
Esempio:
rumore bianco e membro di un processo gaussiano stazionario
ergodico con valore atteso nullo e varianza 0.5
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