Trasmissione numerica in banda passante (1)

TRASMISSIONE NUMERICA
IN BANDA PASSANTE
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Fondamenti di segnali
Fondamenti
e trasmissione
TLC
Trasmissione numerica in banda passante (1)
Per ottenere una forma d’onda numerica da trasmettere in banda passante è
sufficiente modulare (in fase e in quadratura, per un completo uso della banda
disponibile). Dati due segnali numerici in banda base
Σ ak g(t-kT) e Σ bk g(t-kT)
si genera e si trasmette il segnale in banda passante
Σ ak g(t-kT) cos(2πf0t) + Σ bk g(t-kT) sin(2πf0t)
In ricezione si demodula in fase e quadratura: si riottengono i segnali in banda
base (senza interferenza reciproca) e poi si procede come già visto.
Si potrebbero eseguire le correlazioni direttamente in banda passante, ma è più
semplice procedere in due passi: demodulazione e correlazioni in banda base.
In pratica, data una sorgente binaria che emette ad un ritmo prefissato di R bit al
secondo, i dati vengono suddivisi in due flussi di R/2 b/s su ciascun asse. Si
generano poi i segnali numerici in banda base e si modula on fase e quadratura.
Si osservi che la modulazione comporta un raddoppio della banda occupata, ma
in banda base la banda richiesta è dimezzata perché R è dimezzato. Dunque la
trasmissione in banda passante richiede esattamente la stessa banda della
trasmissione in banda base. Se non si utilizzassero entrambe le componenti in
fase e quadratura la banda necessaria raddoppierebbe.
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Trasmissione numerica in banda passante (2)
Per quanto riguarda le prestazioni basta osservare che in presenza di rumore
gaussiano bianco la probabilità di errore non dipende dalla forma d’onda (né in
particolare dalla banda occupata) ma solo dall’energia. A parità di energia e
densità spettrale del rumore si ha esattamente la stessa probabilità di errore della
trasmissione in banda base (N.B.: non si dimentichi che g(t) cos(2πf0t) ha metà
dell’energia di g(t); per trasmettere la stessa energia per bit d’informazione
occorre moltiplicare l’ampiezza per la radice di 2).
Per essere del tutto convinti che nella trasmissione in banda passante non cambi
veramente nulla (a parte la banda) occorre mostrare che i campioni del rumore
ottenuti dalle due correlazioni (in fase e in quadratura) sono statisticamente
indipendenti. Per semplicità qui ci si limita ad affermarlo.
La trasmissione di dati sulle due componenti in fase e quadratura è quindi del
tutto indipendente (è come avere due mezzi trasmissivi separati!).
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Trasmissione numerica in banda passante (3)
Se la trasmissione è binaria su entrambe le componenti (si dice anche “su
entrambi gli assi”) il “simbolo” ak g(t-kT) cos(2πf0t) + bk g(t-kT) sin(2πf0t) si può
presentare in quattro configurazioni. Analogamente se la trasmissione è a quattro
livelli su ciascun asse si hanno sedici possibili segnali corrispondenti a un
simbolo. Si usa rappresentare le possibili coppie (ak,bk) come “costellazioni” di
punti su un piano, ovvero di numeri complessi: infatti basta ricordare che
ak g(t-kT) cos(2πf0t) + bk g(t-kT) sin(2πf0t)=Re{(ak-jbk)exp(j2 πf0t)}
Costellazioni QAM (Quadrature Amplitude Modulation):
4-QAM (o anche 4-PSK)
Im
Im
16-QAM
3A
A
A
Re
Re
A
3A
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Uso delle costellazioni di segnali complessi
Utilizzando la modulazione in fase e quadratura, possiamo sovrapporre nella stessa
banda di frequenze M segnali che, una volta demodulati e campionati producono M
numeri complessi che formano la costellazione.
Possiamo associare agli M punti della costellazione una qualsiasi configurazione di
N=log2M bit che possono essere trasmessi contemporaneamente sullo stesso canale.
......1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 …..
simboli di 4 bit
Im
3A
A
Re
A
Ad esempio, se usiamo una costellazione QAM
con M=16 punti, possiamo trasmettere “simboli”
di N=log216=4 bit contemporaneamente sullo
stesso canale.
3A
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Schema del sistema di trasmissione
......1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 …..
Im
ak = −3 A
simbolo da 4 bit da trasmettere
bk = 3 A
3A
A
Re
A
ak bk
g (t )
cos(2π f ot )
3A
N.B.: viene ignorato il rumore
ak g (t )
y(t )
g (t )
bk g (t )
sin(2π f ot )
filtro
p. basso
canale
2exp( j 2πf ot )
ak + jbk = −3 A + j3 A
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ak g (t ) + jbk g (t )
filtro adattato;
campionatore
ak f (kT ) + jbk f (kT )
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Effetto del rumore sulla costellazione ricevuta
Il rumore introdotto dal canale ha valor medio nullo e densità di probabilità gaussiana
(sia la parte reale sia quella immaginaria). I valori misurati in prove ripetute si
distribuiscono circolarmente attorno ai valori nominali.
I valori nominali della costellazione
16-QAM sono indicati con
Nota: la simmetria circolare della
densità di probabilità congiunta
delle due componenti di rumore
potrebbe far credere che ci sia
dipendenza statistica. Invece è
effetto del fatto che, dette x e y le
due componenti di rumore, il
prodotto delle due densità è
proporzionale a
exp(− x 2 / 2σ 2 ) exp(− y 2 / 2σ 2 ) =
= exp(− R 2 / 2σ 2 )
dove R2= x2 + y2 ed è quindi
funzione della distanza.
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Costellazioni PSK
In banda passante si possono utilizzare anche costellazioni ottenute combinando livelli
non indipendenti sui due assi. Ad esempio la costellazione 8-PSK (Phase Shift Keying)
ha nel piano complesso otto punti con ugual modulo e con fasi equispaziate:
M=8
∆θ =
2π π
=
M 4
θ1 =
π
8
La costellazione 4-PSK coincide con la 4-QAM già vista (ed anzi è più nota con questa
denominazione).
La costellazione 8-PSK può dare buone prestazioni solo in sistemi di trasmissione che
utilizzino anche dei “codici” (ma questo argomento è tutt’altro che elementare).
Costellazioni PSK con più di otto punti sono rarissime.
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Confronto tra costellazioni M-QAM, M-PSK e limiti teorici
Per un dato valore di probabilità di errore, è interessante riportare su un grafico
la massima efficienza di canale R/B (bit al secondo per unità di banda) ottenibile
con diverse costellazioni e il valore di Eb/No richiesto.
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M-QAM
nn
on
R/B
(b/s/Hz)
ite
di
Sh
a
6
8
0
P(E ) = 10−5
4
2
0
M-PSK
32
16
16
Lim
4
64
10
20
Eb /N 0 (dB)
I valori riportati su questo grafico sono decisamente peggiori di quelli ottenibili, anche
in pratica, utilizzando sistemi più efficienti per “codificare” i segnali da trasmettere.
Nei moderni sistemi di trasmissione numerica le prestazioni si avvicinano molto al
limite teorico individuato da Shannon già a metà del secolo scorso.
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