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Sul campo elettrico
(una carica in equilibrio in un campo elettrico uniforme)
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Problema - La pallina di un pendolino, avente massa m, è appesa ad un filo di massa
trascurabile e si trova immersa nel campo elettrico uniforme presente tra le armature di un
condensatore piano sulle cui facce è presente la densità di carica σ=5,0⋅10-6C/m2. Sulla
pallina è presente la carica positiva q=2,0nC e la posizione di equilibrio della pallina è tale
che la direzione del filo forma un angolo di 30° con la verticale del luogo (vedi figura). Le
armature del condensatore sono su due piani verticali.
Risolvere i quesiti seguenti.
Precisare quale delle due armature del condensatore porta
la carica positiva.
Rappresentare alcune linee di forza del campo elettrico
presente tra le armature del condensatore.
Rappresentare i vettori delle forze che agiscono sulla
pallina carica.
Determinare l’intensità della tensione T del filo che regge
la pallina.
Determinare la massa m della pallina.
Una superficie piana Σ di forma quadrata il cui lato
misura 8cm si trova tra le armature del condensatore ed è
disposta in modo tale che le linee di forza del campo
elettrico presente formano un angolo di 20° con il piano di Σ. Dopo aver orientato la
superficie Σ calcolare il flusso del campo elettrico attraverso la superficie.
Soluzione
1. L’armatura caricata positivamente è quella a sinistra rispetto a chi osserva il foglio. Infatti si
nota che la pallina è respinta dall’armatura di sinistra e siccome la carica presente sulla
pallina è positiva, dalla repulsione, si deduce che è positiva anche la carica presente
sull’armatura di sinistra.
2. Il campo elettrico tra le armature del condensatore è uniforme, dunque le sue linee di forza
sono dei segmenti paralleli, uniformemente distribuiti ed orientati dall’armatura positiva a
quella negativa. Alcune linee di forza sono visibili in Fig.2
3. In Fig.2 sono rappresentate le forze che agiscono sulla
pallina del pendolino. Esse sono: la forza elettrica Fe
esercitata dal campo elettrico, la forza peso mg , giacché
la pallina è dotata di massa e non essendosi precisato
nulla di particolare nel testo si deve ritenere che il
fenomeno fisico stia avvenendo nel campo gravitazionale
terrestre (g=9,81ms-2), la tensione T esercitata dal filo. Le
tre forze realizzano l’equilibrio della pallina.
4. Nella Fig.2 è indicato un sistema di riferimento cartesiano
Oxy; in relazione ad esso, si evince che la componente
cartesiana scalare Tx lungo l’asse x della tensione è in
modulo uguale a quella della forza elettrica. Si ha:
Fe = qE ,
con
E=
σ
5, 0 ⋅10−6 Cm −2
N
=
= 5, 6 ⋅105 ;
−12 2
−1 −2
ε 0 8,85 ⋅10 C N m
C
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it
1
N
⋅ 2nC = 1,12 ⋅10−3 N
C
Tx = Tsen30° = Eq → T = 2 Fe = 2, 24 ⋅10−3 N
5. Possiamo ricavare la massa della pallina uguagliando l’intensità del peso della stessa
all’intensità della componente verticale della tensione T .
T cos 30°
Ty = T cos 30° = mg → m =
= 0,197 g
g
6. Per il calcolo del flusso del campo elettrico attraverso la superficie quadrata è necessario
orientare la superficie definendo il verso della normale. Supponiamo di definire la normale
in modo che il vettore campo elettrico E formi un angolo acuto con la normale, quindi si
tratta di un flusso uscente. In Fig.3 la superficie è vista di lato ed è rappresentato un lato, è
indicata altresì la misura l della lunghezza del lato. Le linee di forza del campo elettrico
formano con il piano della superficie l’angolo α=20° e dunque l’angolo formato dalla
normale alla stessa superficie con il vettore E è 70°. Poiché il campo elettrico è costante
nella regione di spazio compresa tra le armature del condensatore, per definizione il flusso
del campo elettrico attraverso la superficie Σ è uguale al prodotto scalare del vettore campo
elettrico con il vettore area ∆S orientato concordemente alla
normale alla superficie ed avente come modulo il valore
dell’area della superficie. In simboli
Φ Σ E = E ⋅ ∆S
Fe = Eq = 5, 6 ⋅105
( )
In virtù delle informazioni disponibili il valore del flusso (che
è uno scalare) è
Φ Σ E = E ⋅ ∆S ⋅ cos 70°
( )
Sostituendo i valori alle grandezze si ha
2
N
N
Φ Σ E = 5, 6 ⋅105 ⋅ 8 ⋅10 −2 m ⋅ cos 70° = 1, 23 ⋅103 ⋅ m 2
C
C
( )
(
)
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