Linearizzazione della caratteristica di un sensore Calcolo della resistenza di linearizzazione Analizziamo il seguente schema elettrico in cui è presente un sensore di temperatura con variazione di resistenza. In nostro obiettivo è quello di calcolare il valore della resistenza R L affinché la variazione di tensione ai capi del sensore sia lineare, o almeno entro un certo limite di errore. Osserviamo i due grafici che sono riportati di seguito. Nel primo grafico è mostra la variazione di resistenza del sensore in funzione della temperatura, cioè come varia R(T). Nel grafico a destra, in corrispondenza dei punti di temperatura di Minimo, Medio e Massimo, è riportata la variazione di tensione ai capi del sensore. Si osservi lo schema elettrico in cui il sensore e la resistenza di linearizzazione RL costituiscono un partitore di tensione, alimentato dalla tensione E. Linearizzare la curva di risposta del sensore significa che i due tratti di curva individuati dalle variazioni di temperatura [Tmin,Tmed] e [Tmed,Tmax] devono essere dei segmenti che devono stare su una stessa retta. In altre parole, la retta passante per i punti A e B deve avere lo stesso coefficiente angolare della retta passante per i punti B e C. Seguiamo i calcoli. 1) La variazione di tensione relativa al primo tratto [Tmin,Tmed] è: V1 V A VB VMed VMin 2) La variazione di tensione relativa al secondo tratto [Tmed,Tmax] è: V2 VC VB VMax VMed V1 V2 3) Imponiamo che i coefficienti angolare nei due tratti siano uguali: TMed TMin TMax Tmed 4) Poiché le quantità [Tmin,Tmed] e [Tmed,Tmax] sono uguali, dobbiamo imporre V1 V2 5) VMed VMin VMax VMed 6) E RMed RMin RMax RMed E E E RL RMed RL RMin RL RMax RL RMed Appunti del corso di Sistemi – Febbraio 2007 – Pag. 1 Linearizzazione della caratteristica di un sensore 7) Mettendo in evidenza Rmed al denominatore della prima frazione e semplificando, Rmin nella seconda frazione, e così via per le altre frazioni, si ottiene: 1 1 1 1 R R R R 1 L 1 L 1 L 1 L RMed RMin RMax RMed Per facilitare lo sviluppo dei calcoli, poniamo: X Min RL R R ; X Med L ; X Max L RMin RMed RMax 8) Dalla 7) se ottiene: ( X Min X Med )(1 X Max ) ( X Med X Max )(1 X Min ) 9) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 2 ) ( )2 RL RMin RMed RMax RMed RMin RMax RMin RMax 10) Dopo qualche semplice calcolo e qualche semplificazione si ottiene la resistenza di linearizzazione, ossia: RL RMax * ( RMed RMin ) RMin * ( RMax RMed ) ( RMax RMed ) ( RMed RMin ) A titolo di esempio consideriamo il sensore di temperatura a variazione di resistenza della Philips KTY. Dalla figura che segue si vede l’andamento non lineare del sensore, la curva di R(T) tra –55 °C e 150 °C non è una retta. A lato del grafico è riportato una tabella dei valori di R(T) nel range di temperatura tra –55 °C e 150 °C. All’interno di questo range di variazione si ha: RMin R(50C ) 515 RMed R(50C ) 1209 RMax R(150C ) 2211 Calcoliamo la pendenza della curva nel primo tratto, cioè: m1 R1 RMed RMin 6.94 T TMed TMin m2 R2 RMax RMed 9.21 T TMax TMed Appunti del corso di Sistemi – Febbraio 2007 – Pag. 2 Linearizzazione della caratteristica di un sensore Si vede che il secondo tratto si discosta dal primo per il 32%, volendo indicare una non linearità della curva. Considerando il circuito elettrico riportato all’inizio, calcoliamo i valori di tensione ai capi del sensore nell’ipotesi che il generatore sia E=10 Volt. Si ha: VMin E RMin 1.34 RL RMin VMed E RMed 2.68 RL RMed VMax E RMax 4.00 RL RMax Calcoliamo i coefficienti angolari dei tratti VMin-VMed e del tratto VMed-VMax. Si ha: m1 V1 VMed VMin 1.33 T TMed TMin m2 V2 VMax VMed 1.33 T TMax TMed Da cui si vede che i tre punti Vmin , Vmed e VMax si trovano sulla stessa retta. Ciò sta a significare che la curva del sensore è stata linearizzata e fornisce una risposta lineare. Allo stesso modo si può pensare di mettere la resistenza RL in parallelo al sensore, come nello schema che segue. Anche in questo caso avremo una linearizzazione della caratteristica del sensore. Si provi a calcolare il parallelo di R(T) e di RL per le temperature Tmin , Tmed , Tmax e si verifichi che i tre valori sono proporzionali, ossia stanno sulla stessa retta. Appunti del corso di Sistemi – Febbraio 2007 – Pag. 3