CAPITOLO II
Il trasporto dei portatori elettronici
Dispositivi Elettronici – Capitolo II: Il trasporto dei portatori elettronici
II-1
II.1 Il moto degli elettroni
A livello “macroscopico” il moto della corrente elettrica in un circuito elettronico dovuto
all’applicazione di un campo elettrico è descritto dalla legge di Ohm:
V = RI
(II.1)
V è la caduta di potenziale ai capi del dispositivo, R la sua resistenza ed I la corrente elettrica che lo
attraversa.
La descrizione precisa del moto dei portatori per effetto del campo elettrico e quindi della legge di
Ohm è però molto complicata ed occorre fare alcune approssimazioni. Si distinguono tre regimi di
funzionamento:
•
Portatori liberi o assenza di campo elettrico
•
Campi elettrici deboli
•
Campi elettrici intensi
In tutti i casi, la presenza di imperfezioni nel reticolo e la vibrazione termica degli atomi disturbano la
periodicità e favoriscono il trasferimento di energia tra portatori e reticolo attraverso collisioni.
Quando si verificano questi urti, gli elettroni sono diffusi in tutte le direzioni.
Le interazioni con le vibrazioni del cristallo possono essere considerate come collisioni con particelle
dotate di energia chiamate fononi.
I fononi come i fotoni (particelle elementari di luce) hanno energia quantizzata, cioè possono
assumere ben definiti e discreti valori di energia il cui valore è esprimibile:
E = hν
(II.2)
dove ν è la frequenza dell’onda.
I fononi quindi assumono energia pari ai modi vibrazionali del reticolo, che sono diversi materiale per
materiale. Nel silicio, a T ambiente e per campi elettrici piccoli, il modo vibrazionale più basso del
cristallo corrisponde a fononi di energia E = 0.063eV , che è quindi la quantità di energia di cui varia
l’elettrone per interazione con il modo vibrazionale.
Anche i droganti, come ogni impurezza e difetto del cristallo, disturbano la periodicità del reticolo e
costituiscono centri di diffusione dei portatori liberi. A T grandi questo effetto di diffusione dovuto a
impurezze ionizzate diviene meno importante perché come già detto tutti i portatori estrinseci (dovuti
al drogante) sono ionizzati e aumenta la concentrazione e l’effetto dei portatori intrinseci.
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II-2
II.2 La velocità di deriva
Vediamo adesso quale è il flusso di corrente in funzione del campo elettrico applicato per diverse
intensità di campo.
II.2.1 Assenza di campo elettrico
In questo caso gli elettroni nel cristallo sono “quasi” particelle libere. Il loro moto è dovuto non a
campi elettrici esterni ma a quelli interni dovuti alla presenza periodica di atomi del cristallo o
all’energia termica. L’influenza del cristallo è contenuta nella massa efficace dei portatori. Sia
l’elettrone che la lacuna hanno energia termica pari a
1
kT per grado di libertà. Quindi l’energia
2
cinetica dell’elettrone risulta essere dal teorema di equiripartizione dell’energia
1 * 2 3
mn vth = kT
2
2
(II.3)
dove mn* è la massa efficace dell’elettrone (pari nel silicio a 0.26 m0, cioè 0.26 volte la massa a riposo
m0), mentre vth è la velocità termica dell’elettrone (nel silicio a T ambiente è vth = 10 7
cm
).
s
Il moto degli elettroni è però casuale, determinato dall’energia termica e dagli urti con reticolo ed altri
elettroni, per cui all’equilibrio la corrente risultante è pari a zero.
L’intervallo di tempo tra gli urti è τ cn ed è determinato dal libero cammino medio che un elettrone
riesce a percorrere prima di una collisione.
II.2.2 Debole campo elettrico: deriva (drift) dei portatori
Se applico un debole campo elettrico, gli elettroni tra un urto ed il successivo sono accelerati dal
campo elettrico in direzione parallela al campo.
Il movimento dovuto al campo è una piccola perturbazione impressa alla velocità termica casuale.
τ cn non risulta modificato.
Se il campo elettrico è debole, il reticolo non è riscaldato dagli urti.
La velocità risultante è chiamata vd, velocità di trascinamento o deriva (in inglese velocità di drift).
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II-3
La vd può essere determinata uguagliando l’impulso (forza×tempo) applicato all’elettrone nel Δt tra
due collisioni alla quantità di moto acquisita nello stesso intervallo.
L’impulso è pari al prodotto della forza applicata dal campo elettrico f = −qΕ moltiplicata per il Δt
ovvero τ cn .
− qEτ cn = mn*vd ⇒ vd = −
qEτ cn
mn*
(II.4)
quindi la velocità di deriva è proporzionale al campo elettrico attraverso la costante di proporzionalità
µn = −
qτ cn
mn*
(II.5)
dunque vale
vd = µn E
(II.6)
Tale quantità è chiamata mobilità elettronica ed indica quanto fortemente il moto dell’elettrone è
influenzato dal campo elettrico.
Per calcolare la densità di corrente che scorre in direzione del campo applicato, sommo i prodotti della
carica elettronica per la velocità di trascinamento di tutti gli elettroni n nell’unità di volume:
n
J n = ∑ − qvi = −nqvd = nqµn E
(II.7)
i =0
Allo stesso modo per le lacune
µp =
qτ cp
m*p
(II.8)
Quindi la densità di corrente totale è
J = J n + J p = (nqµn + pqµ p ) E
(II.9)
e
σ = nqµ n + pqµ p
(II.10)
è la conducibilità del materiale mentre il suo inverso è pari alla resistività.
ρ=
1
σ
=
1
nqµn + pqµ p
(II.11)
La mobilità dei portatori è fortemente influenzata dal reticolo e dai centri di diffusione.
Quando i portatori sono interessati da due o più processi di diffusione, il tempo medio tra collisioni
risultante è dominato dal tempo di diffusione più piccolo. La mobilità di un portatore in questo caso si
deduce dalla somma dei reciproci delle mobilità dovute ai singoli processi di diffusione.
1
µ
=∑
1
µi
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(II.12)
II-4
Quindi, quando la mobilità è limitata da più meccanismi di diffusione è sempre inferiore alla mobilità
di uno qualsiasi di essi.
Una forma empirica per la mobilità è:
µ = µmin +
µmax − µmin
⎛ N
1+ ⎜
⎜N
⎝ rif
α
⎞
⎟
⎟
⎠
(II.13)
µ min , µ max , N , N rif , α sono coefficienti che dipendono dal drogante.
Nella fig. a destra la mobilità decresce al crescere del drogaggio perché aumenta la diffusine
dovuta alle impurezze (cioè ci sono più punti di diffusione). Nella figura a sinistra si nota
inoltre un calo della resistività al crescere del drogaggio: questo è dovuto alla maggiore
concentrazione di portatori.
All’aumentare della temperatura, la diffusione da impurezze ionizzate diminuisce, mentre aumenta
quella dovuta alle interazioni con il reticolo (che vibra di più all’aumentare della T).
II.2.3Campi elettrici intensi
Per campi elettrici deboli, il tempo medio tra gli urti è indipendente dal campo elettrico e la velocità di
deriva è molto minore di quella termica ( vd << vth , che è pari a 10 7 cm / s a T=300K).
Per campi intensi vd ≈ vth quindi non può essere considerata un piccolo contributo al moto termico.
Quando i portatori raggiungono energie superiori all’energia termica vengono detti portatori caldi o
hot carriers e sono caratterizzati da una temperatura efficace Teff che cresce col campo elettrico e che
corrisponde all’energia cinetica dei portatori. A queste energie le collisioni con il reticolo avvengono
mediante assorbimento o emissione di fononi ad alta energia detti fononi ottici. Esiste comunque un
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II-5
valore limite alla velocità di deriva vl oltre il quale, anche all’aumentare del campo elettrico oltre il
suo valore critico (Ec) la velocità di deriva non cresce.
Nel silicio vale l’espressione empirica:
vd =
vl ( E / Ec )
1
!1+ ( E / E )β #β
c
"
$
(II.14)
vl , Ec , β sono coefficienti che variano con la temperatura.
Sino ad ora abbiamo visto la corrente di deriva, cioè la corrente generata mediante l’applicazione di
un campo elettrico, ovvero la legge di Ohm. Esiste anche un altro tipo di corrente chiamato corrente di
diffusione.
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II-6
II.3 La corrente di diffusione
E’ una corrente dovuta a due principali meccanismi:
•
Non-uniformità della densità di carica
•
Non-uniformità delle energie dei portatori.
Supponiamo di avere un semiconduttore drogato n in cui la densità degli elettroni vari lungo la
direzione x e supponiamo che i portatori abbiano energia costante e che non ci sia campo elettrico
applicato.
n(l)
n
n(0)
n(-l)
-l
0
X
l
Il moto è casuale (termico) e il libero cammino medio dei portatori è
l = vth ⋅τ cn
(II.15)
Il numero medio di elettroni per unità di area che attraversa il piano perpendicolare a x=0 da sinistra è
1
n(−l )vth . Il fattore ½ tiene conto che con gli urti gli elettroni vanno mediamente metà a destra e
2
metà a sinistra.
Allo stesso modo il numero medio di elettroni per unità di area che attraversa il piano perpendicolare a
x=0 da destra è
1
n(l )vth .
2
Il flusso netto di particelle è allora
F=
1
vth [n(−l ) − n(l )]
2
(II.16)
attraverso approssimazioni della densità dei portatori in x = ±l con i primi due termini dello sviluppo
in serie di Taylor si trova:
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II-7
1 ⎧
dn
dn ⎫
dn
F = vth ⎨[n(0) − l ] − [n(0) + l ]⎬ = −vthl
2 ⎩
dx
dx ⎭
dx
(II.17)
Poiché ogni elettrone possiede una carica –q la densità di corrente risulta
J n = −qF = qlvth
dn
dx
Essendo un flusso di elettroni, che vanno dalla regione a più alta concentrazione a quella più bassa, la
corrente sarà diretta in senso opposto.
Nel caso 1D (un solo grado di libertà) il teorema di equiripartizione dell’energia dà
1 * 2 1
mn vth = kT
2
2
che insieme alla espressione del libero cammino medio l = vth ⋅τ cn ed all’espressione per la mobilità
µn = −
qτ cn
porta a
mn*
⎛ kT ⎞ dn
J n = q⎜⎜
µn ⎟⎟
⎝ q
⎠ dx
(II.18)
il termine tra parentesi è la costante di diffusione ovvero la relazione di Einstein
Dn =
kT
µn
q
(II.19)
allo stesso modo per le lacune
Dp =
kT
µp
q
(II.20)
Se ho anche un campo elettrico allora l’espressione completa della corrente lungo la direzione x per
elettroni e lacune:
dn
dx
dp
J p = qµ p pε x − qDp
dx
J n = qµ n nε x + qDn
(II.21)
Il segno meno nella equazione della corrente di diffusione delle lacune è dovuto al diverso segno del
portatore (cioè si ha coincidenza tra flusso del portatore e direzione della corrente).
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II-8
II.4 I quasi-livelli di Fermi
E’ possibile esprimere la densità di corrente in funzione dei quasi-livelli di Fermi che servono a
conservare le relazioni tra la concentrazione dei portatori intrinseci e le concentrazioni di elettroni e
lacune espresse da:
n = ni e
E F − Ei
KT
p = ni e
(II.22)
Ei − E F
KT
I quasi-livelli di Fermi si esprimono
E fn = Ei + kT ln(n / ni )
ψ fn = ψ f i − kT / q ln(n / ni )
(II.23)
e per le lacune
E f p = Ei − kT ln( p / ni )
(II.24)
ψ f p = ψ f i + kT / q ln( p / ni )
In condizioni di non-equilibrio la legge di azione di massa non è più valida ma viene modificata:
E fn −E f p
2
i
n⋅ p = n e
kT
(II.25)
Il caso tipico di non-equilibrio è l’applicazione di un campo elettrico e un flusso di corrente. Quando
applico un campo elettrico le bande si piegano. Il campo elettrico è pari alla derivata del potenziale ed
anche dell’energia a meno del fattore di proporzionalità q-1.
ε = 1 dE
i
q dx
=−
Ei
dψ if
dove ψ f i = −
q
dx
dalle equazioni (II.23) e (II.24) ricavo n e p in funzione dei quasi livelli di Fermi.
q (ψ fi −ψ
E f n − Ei
n = ni e
KT
= ni e
q (ψ
Ei − E f p
p = ni e
KT
fn
)
kT
= ni e
fp
−ψ fi )
(II.26)
kT
Da tutte queste equazioni:
J n = µn n
dE fn
J p = µp p
dx
dE f p
dx
= −qµ n n
dψ fn
= −qµ p p
dx
dψ f p
(II.27)
dx
Cioè la densità di corrente di deriva dipende dal gradiente del quasi-livello di Fermi
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II-9
II.4 Equazione di continuità
L’equazione di continuità dà il bilancio del flusso di portatori liberi entranti ed uscenti in un volume
infinitesimo. Essa è valida tanto per portatori maggioritari che per quelli minoritari.
Si consideri una fetta di materiale di spessore infinitesimo dx.
Il numero di elettroni nel volume infinitesimo aumenta per due motivi:
•
Flusso netto di portatori entranti
•
Generazione di portatori all’interno
! J ( x) J n ( x + dx) "
∂n
Adx = % n
−
& A + (Gn − Rn ) Adx
∂t
−q
' −q
(
(II.28)
dove A è l’area della sezione,
elettroni entranti mentre
J ( x)
∂n
è il tasso di crescita del numero di elettroni, n
è il numero di
−q
∂t
J n (x + dx)
è il numero di elettroni uscenti, Gn è il tasso di generazione e
−q
Rn il tasso di ricombinazione. Per cui Gn Adx è il numero di elettroni generati e Rn Adx è il numero di
elettroni ricombinati.
Posso sviluppare in serie di Taylor il termine J n (x + dx) = J n (x) +
∂J n (x)
dx + .... ed ottengo
∂x
l’equazione di continuità per gli elettroni:
∂n 1 ∂J n (x)
=
+ (Gn − Rn )
∂t q ∂x
(II.29)
allo stesso modo per le lacune:
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II-10
∂p
1 ∂J p ( x)
=−
+ (G p − R p )
∂t
q ∂x
(II.30)
Per ottenere equazioni risolubili devo esprimere i termini del membro di destra in funzione di n e p.
Poiché so che le densità di corrente Jn e Jp sono la somma di correnti di diffusione e deriva
dn
dx
dp
J p = qµ p pε x − qDp
dx
J n = qµ n nε x + qDn
e supponendo la mobilità costante in x posso scrivere:
∂n
∂ε (x)
∂n(x)
∂2 n(x)
= µ n n(x)
+ µ nε (x)
+ Dn
+ (Gn − Rn )
∂t
∂x
∂x
∂x 2
∂p
∂ε (x)
∂p(x)
∂2 p(x)
= −µ p p(x)
− µ pε (x)
+ Dp
+ (G p − Rp )
∂t
∂x
∂x
∂x 2
(II.31)
Nonostante l’approssimazione di mobilità costante, tali formulazioni vanno bene nella maggior parte
dei casi.
Se
ε = 0 o è trascurabile posso semplificare
∂n
∂ 2 n( x )
= Dn
+ (Gn − Rn )
∂t
∂x 2
∂p
∂ 2 p( x)
= Dp
+ (G p − R p )
∂t
∂x 2
(II.32)
queste sono equazioni differenziali alle derivate parziali (funzione del tempo e della posizione) di
difficile soluzione.
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II-11
III.4 Correnti di Generazione e Ricombinazione
Il fenomeno della generazione (G) consiste nel passaggio per eccitazione termica di un portatore dalla
banda di valenza alla banda di conduzione. Viceversa il fenomeno della ricombinazione vede un
elettrone dalla banda di conduzione passare alla banda di valenza.
All’equilibrio termodinamico i due processi hanno uguale velocità.
Nel caso del silicio (Si) e del germanio (Ge) che hanno band gap indiretta gli elettroni in fondo alla
banda di conduzione hanno momento (o quantità di moto) diverso da zero mentre le lacune nel
massimo della banda di valenza hanno k=0. Non vi può dunque essere una transizione diretta con
conservazione del momento e l’interazione richiede una terza particella che è il fonone.
Tali transizioni a 3 particelle sono meno probabili di quelli a due particelle ed hanno luogo se vi sono
stati localizzati all’interno della banda di energia proibita.
Se esistono questi stati localizzati, che possono essere dovuti a imperfezioni reticolari o impurezze, ho
4 possibili meccanismi:
•
r1: cattura di elettroni
•
r2: emissione di elettroni
•
r3: cattura di lacune
•
r4: emissione di lacune
Tasso di cattura di elettroni
La densità di stati vuoti localizzati è data da:
N svl = N t (1 − f ( Et ))
(II.33)
dove N t è la densità di stati localizzati mentre il termine ((1 − f ( Et )) è la probabilità che non siano
occupati. All’equilibrio f ( Et ) coincide con la funzione di Fermi.
La probabilità per unità di tempo che un elettrone sia catturato è pari a vth ⋅ σ n , dove σ n è la sezione di
cattura trasversale e descrive l’efficacia di cattura di un portatore da parte degli stati localizzati.
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II-12
Il tasso di cattura di elettroni è allora:
{
}
r1 = N t ⎡⎣1− f (Et ) ⎤⎦ ⋅ n ⋅ ( vth ⋅ s n )
(II.34)
Tasso di emissione di elettroni
Il processo di emissione di elettroni avviene ad un tasso pari al prodotto di densità degli stati occupati
N t per la probabilità che siano occupati f (Et ) , cioè N t f (Et ) per la probabilità en che un elettrone
effettui la transizione:
r2 = ⎡⎣ N t f ( Et ) ⎤⎦ ⋅ en
Nel caso di equilibrio termodinamico ( f (Et ) ≡ f F (Et ) ) e vale
{
}
r1 = r2 = N t ⎡⎣1− f F (Et ) ⎤⎦ ⋅ n ⋅ ( vth ⋅ s n ) = ⎡⎣ N t f F (Et ) ⎤⎦ ⋅ en
⇒
en = vth ⋅ s n ⋅ ni ⋅ e
Et − Ei
kT
(II.35)
Cioè l’emissione di elettroni dallo stato localizzato è tanto più probabile quanto più (Et − Ei ) è grande,
ovvero quanto più Et è vicino a Ec (bordo della banda di conduzione).
Tasso di cattura di lacune
Allo stesso modo per le lacune vale
(
r3 = { N t f (Et )} ⋅ p ⋅ vth ⋅ s
p
)
(II.36)
dove s p è la sezione di cattura per le lacune, ovvero la probabilità per unità di tempo che una lacuna
sia catturata.
Tasso di emissione di lacune
Per il tasso di emissione di lacune vale
{
}
r4 = N t ⎡⎣1− f (Et ) ⎤⎦ ⋅ e p
(II.37)
dove e p è la probabilità di emissione di una lacuna.
Come per gli elettroni nel caso di equilibrio termodinamico ( f (Et ) ≡ f F (Et ) ) e vale
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II-13
(
r3 = r4 = { N t f (Et )} ⋅ p ⋅ vth ⋅ s
⇒
e p = vth ⋅ s p ⋅ ni ⋅ e
p
) = { N ⎡⎣1− f (E ) ⎤⎦} ⋅ e
t
t
p
Ei − Et
kT
(II.38)
Cioè l’emissione di lacune dallo stato localizzato è tanto più probabile quanto più (Ei − Et ) è grande,
ovvero quanto più Et è vicino a Ev (bordo della banda di valenza).
Queste equazioni furono trovate nel 1952 da Schokley, Hall e Read (SHR).
Gli stati localizzati si chiamano centri di ricombinazione per gli elettroni se domina r1 o trappole per
lacune se domina r4.
Sia in condizioni di equilibrio che di non-equilibrio la popolazione dei centri di ricombinazione non
varia molto: sono sempre pieni di maggioritari ma devono attendere i minoritari.
Se disturbo l’equilibrio si ha un aumento di uno dei processi, gli altri processi uguali ed opposti
aumentano subito per compensare la variazione.
La velocità di ricombinazione si definisce come
U ≡ r1 − r2 = r3 − r4 = Rsp − Gsp
(II.39)
(r1 − r2 ) è la velocità netta di cattura degli elettroni, mentre (r3 − r4 ) è la velocità netta di cattura delle
lacune, Rsp ,Gsp sono i tassi ricombinazione e generazione spontanea.
Se sostituisco r1 ,r2 ,r3 ,r4 ottengo
U≡
N t vths ns p (np − ni 2 )
Ei − Et
Et − Ei
⎡
⎤
⎡
⎤
s p ⎢ p + ni e kT ⎥ + s n ⎢ n + ni e kT ⎥
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
=
( pn − ni 2 )
Ei − Et
Et − Ei
⎡
⎤
⎡
⎤
t n ⎢ p + ni e kT ⎥ + t p ⎢ n + ni e kT ⎥
0
0
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
(II.40)
dove t n = (N t vths n )−1 e t p = (N t vths p )−1
0
0
Se U > 0 ovvero se pn > ni 2 allora il processo è di RICOMBINAZIONE
Se U < 0 ovvero se pn < ni 2 allora il processo è di GENERAZIONE
Se s n = s p = s 0 e definisco t 0 = (N t vths 0 )−1 allora si semplifica l’espressione nel seguente modo
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II-14
U≡
(np − ni 2 )
(II.41)
⎡
⎛ E − Et ⎞ ⎤
t 0 ⎢ p + n + 2ni cosh ⎜ i
⎥
⎝ kT ⎟⎠ ⎦
⎣
U è massimizzato per Ei = Et , quando cioè il livello localizzato Et cade al centro dell’intervallo di
energia proibito.
Le equazioni precedenti indicano che la velocità netta di ricombinazione attraverso un centro di
ricombinazione è funzione della densità dei portatori liberi.
Tempo di vita dei portatori in eccesso
Supponiamo di avere un iniezione di corrente di basso livello, cioè di avere, nonostante l’iniezione di
corrente, una densità di portatori liberi non molto diversa che all’equilibrio termodinamico.
Se chiamo n' e p' la concentrazione di elettroni e lacune iniettate avrò n' ≡ n − n0 e p' ≡ p − p0 dove
n' e p' sono molto più piccoli di (n0 + p0 ) .
Poiché le concentrazioni di elettroni e lacune aumentano allo stesso modo , n' e p' saranno uguali tra
loro. Suppongo s n = s p = s 0 , per l’equazione di continuità
dn'
= G − R = −U ≅
dt
−(n0 + p0 )n'
⎡
⎛ E − Ei ⎞ ⎤
t 0 ⎢ p0 + n0 + 2ni cosh ⎜ t
⎥
⎝ kT ⎟⎠ ⎦
⎣
(II.42)
risolvendo rispetto a n’
n'(t) = n'(0)e
−
t
tn
(II.43)
⎡
⎛ E − Ei ⎞ ⎤
t 0 ⎢ p0 + n0 + 2ni cosh ⎜ t
⎥
⎝ kT ⎟⎠ ⎦
⎣
dove t n =
è il tempo di vita dei portatori in eccesso
(n0 + p0 )
Abbiamo visto che U è massimo quando Ei = Et . In questa condizione t n diventa
tn = t0 =
1
n'
e U=
N t vths 0
tn
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(II.44)
II-15
Cioè se la ricombinazione avviene attraverso un livello localizzato al centro della banda proibita di
energia ed a bassi livelli di iniezione il tempo di vita dei portatori in eccesso è indipendente dalla
concentrazione dei maggioritari.
Ricombinazione Auger
Nella ricombinazione Auger la ricombinazione avviene interbanda ed in regioni ad alta
concentrazione di drogaggio ed intervengono tre portatori liberi: 2 elettroni e una lacuna oppure due
lacune e un elettrone. Due delle particelle ricombinano e l’altra accumula l’energia o la quantità di
moto in eccesso venendo promossa ad un livello superiore di energia.
La velocità di ricombinazione del processo è:
U A = RA − G A = Γ n n( pn − ni 2 ) + Γ p p( pn − ni 2 )
(II.45)
dove Γ n e Γ p sono coefficienti che rappresentano l’interazione quando la particella rimasta è
rispettivamente l’elettrone o la lacuna.
Ricombinazione Superficiale
La presenza di superfici nel semiconduttore implica la presenza di stati elettronici superficiali dove gli
atomi di confine non hanno legami compiuti. La densità di questi stati superficiali è dell’ordine di
1011÷1015 che costituiscono centri di ricombinazione-generazione.
Anche se passivanti attraverso la deposizione di materiali che saturano i legami incompleti, questi stati
sono almeno 1011.
Per questo tipo di stati elettronici invece di considerare la densità in volume ( cm-3 ) devo considerare
la densità superficiale N st (cm-2).
Posso scrivere analogamente a quanto già trovato
Us ≡
N st vths ns p (ns ps − ni 2 )
Ei − Est
Est − Ei
⎡
⎤
⎡
⎤
s p ⎢ ps + ni e kT ⎥ + s n ⎢ ns + ni e kT ⎥
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
(II.46)
ns e ps sono le concentrazioni di portatori in prossimità della superficie.
Come in precedenza i centri più efficienti sono al centro dell’intervallo di energia proibita e
se s n = s p = s allora si semplifica l’espressione nel seguente modo
U s ≡ N st vths
(ns ps − ni 2 )
⎡
⎛ Ei − Est ⎞ ⎤
⎢ ps + ns + 2ni cosh ⎜
⎥
⎝ kT ⎟⎠ ⎦
⎣
Dispositivi Elettronici – Capitolo II: Il trasporto dei portatori elettronici
(II.47)
II-16
