V,+ - Stefano Pasotti

Terminiamo gli ultimi due esercizi della lezione 4
…
SPAZI E SOTTOSPAZI VETTORIALI
Dato un campo K e (V,+) gruppo abeliano, se è
definita la legge di composizione tra gli scalari λ di
K e gli elementi v di V tale che λv appartenga a V e
per ogni λ, µ∈K e per ogni v, w ∈V valgono:
1) (λ
λ+µ)·v=λ
λ·v+ µ·v ;
2) λ·(v+w)= λ·v+λ
λ·w ;
3) (λ
λ µ)·v=λ
λ (µ·v);
4) 1·v=v .
allora V è detto spazio vettoriale e i suoi elementi
detti vettori.
Lezione 5
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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1
Esempi
1) Lo spazio vettoriale delle potenze di R: (Rn,+, .):
(x1, …, xn)+(y1, …, yn)=( x1+y1, …, xn+yn)
λ(x1, …, xn)=( λx1, …, λxn)
2) lo spazio vettoriale geometrico (V2 , +,.) sul
piano in R:
v+w
v
w
-3v
v
3) lo spazio vettoriale delle matrici (R m,n, +, . ):
A+B=(ai,j)i∈I, j∈J + (bi,j) i∈I , j∈J = (ai,j+bi,j) i∈I, j∈J
λA=λ(ai,j) i∈I, j∈J=(λai,j) i∈I, j∈J , I={1,…,m}, J={1,…,n}
Lezione 5
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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2
Sottospazi di uno spazio vettoriale
Per la definizione si veda la IV lezione di teoria di giovedì 1 ottobre 2009.
1) Condizione necessaria e sufficiente affinché un
insieme U ≠ ∅, sottoinsieme di uno spazio vettoriale
(V(K), + , . ), sia sottospazio vettoriale di V(K):
a) ∀ u1 , u2 ∈ U
⇒
b) ∀ λ ∈ K, ∀ u ∈ U
u1 + u2 ∈ U
⇒
λu ∈ U
2) Condizione necessaria e sufficiente affinché un
insieme U ≠ ∅, sottoinsieme di uno spazio vettoriale
(V(K), + , . ), sia sottospazio vettoriale di V(K):
∀ α, β∈ K, ∀u1 ,u2 ∈ U
Lezione 5
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
⇒ αu1 + βu2 ∈ U
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3
Esercizio 1
Nello spazio vettoriale R3 su R individuare quali
dei seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali:
U1 = {(x,y,z) ∈ R3 | y + 5z = 0};
U2 = {(x,y,z) ∈ R3 | x2+y2+z2= -1};
U3 = {(x,y,z) ∈ R3 | x2+y2+z2= 0};
U4 = {(x,y,z) ∈ R3 | x = -3};
U5 = {(1,2,1), (2,3,-1), (0,0,0)}.
Verifica:
1) U1 è diverso dall’insieme vuoto perché
contiene il vettore (0,0,0). Utilizzando il
criterio 2 verifichiamo che:
Lezione 5
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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4
∀ α, β∈ R, ∀u1=(x1,y1, z1),u2=(x2,y2,z2)∈ U1
αu1 + βu2 ∈ U1
Osserviamo che un vettore (x,y,z) di R3 appartiene
a U1 se e solo se le sue componenti soddisfano la
proprietà caratteristica y + 5z = 0, dunque
sicuramente per le ipotesi fatte y1 + 5 z1 = 0 (1)
e y2 + 5 z2 = 0 (2).
αu1+βu2 = α(x1,y1,z1)+β(x2,y2,z2)=def. di prodotto per uno scalare
= (αx1, αy1, αz1)+ (βx2, βy2, βz2)= def. di somma in R3
=(αx1+βx2 , αy1+βy2 , αz1+ βz1)=(x,y,z)
αu1+βu2 appartiene a U1 se e solo se y+5z=0, cioè
(αy1+βy2) +5(αz1+βz2)=0
Lezione 5
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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5
infatti in R:
(αy1+βy2) +5(αz1+βz2)=
= αy1+βy2 + 5αz1+5βz2= α( y1 + 5 z1) +β (y2 + 5 z2)=
= α0 + β0=0 per le uguaglianze (1) e (2). U1 è un
sottospazio vettoriale.
2) U2 non è sottospazio vettoriale: (0,0,0)∉ U2.
3) U3= {(x,y,z) ∈ R3 | x2+y2 = - z2}={(0,0,0)}
< 0 ⇒x=y=z=0
>0
è sottospazio vettoriale banalmente.
4) U4 non è sottospazio vettoriale perché il vettore
nullo
(0,0,0)
di
R3
non
appartiene
a
U4={(x,y,z)∈R3| x=-3};
Lezione 5
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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6
5) U5 non è sottospazio vettoriale perché, pur
contenendo il vettore nullo, non è chiuso rispetto
alla somma:
(1,2,1) + (2,3,-1)=(3,5,0)∉ U5.
Esercizio 2
Nello spazio vettoriale M2(R) verificare quali dei
seguenti sottoinsiemi sono sottospazi vettoriali:
 0 0  1 0
 , 

W1 = 
;
 0 0  0 1

 x y
 x, y,z,t ∈R ∧ x = z = t = 0
W2 = 
;
 z t 
 x y

 x, y,z, t ∈ R ∧ x = −1
W3 = 
 z t 

Lezione 5
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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7
Verifica:
1) W1 , pur contenendo la matrice nulla di M2(R),
non è chiuso rispetto alla somma (non è s.s.v.):
1 0 1 0  2 0

 + 
 = 
 ∉ W1
.
 0 1  0 1  0 2
2) Gli elementi di W2 sono tutti e soli del tipo:
0 y

 con y ∈ R .
0 0 
W2 è ovviamente diverso dall’insieme vuoto perché
ponendo y=0 verifichiamo che la matrice nulla
appartiene a W2. Utilizzando il secondo criterio
verifichiamo che sia sottospazio vettoriale:
Lezione 5
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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8
∀ α, β ∈ R
 0 y  0 u 

 , 
 ∈ W2 con y,u ∈ R
0 0 0 0
e
dimostriamo che
 0 y  0 u 
 + β 
 ∈ W2
α
0 0 0 0
infatti
 0 y  0 u   0 αy  0 βu  0 αy + βu
 + β
 = 
 + 
 = 
 ∈ W2
α
0 
0 0 0 0 0 0  0 0  0
W2 è sottospazio vettoriale.
3) W3 non può contenere la matrice nulla (x = -1):
non è un sottospazio vettoriale.
Lezione 5
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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Copertura lineare di A in V(K
K)
Sia A⊆ V(K), A ≠ ∅, si definisce copertura lineare
L(A) il seguente insieme
L(A)= {v∈V
v= α1v1 +...+ αnvn
∀ αi ∈K, vi ∈A}
I vettori v1,…,vn si dicono generatori di L(A).
Il vettore v si dice combinazione lineare di v1,…vn.
Esercizio 3
Verificare che l’elemento v appartenga alla
copertura lineare di A in V:
a) V= R4 A= {(0,1,0,-3), (0,2,2,-1), (0,0,-1,0)}
v=(0,3,1,-4) ;
Lezione 5
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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10
b) V = R
2 ,3
 1 0
A = 
 1 0
0 0
, 
0 2
− 1 0 
 
0 0 
 3 1 0

v = 
0 0 0
Verifica:
a) v=(0,3,1,-4) appartiene alla L(A) se e solo se
esistono tre scalari α,β,γ∈ R opportuni tali che:
v=(0,3,1,-4)= α(0,1,0,-3)+β(0,2,2,-1)+ γ(0,0,-1,0).
Risolvendo i calcoli …
α=1, β=1, γ=1.
Dunque v∈L(A).
 3 1 0

v = 
b)
 0 0 0  appartiene a L(A) se e solo se
esistono due scalari α, β∈ R opportuni tali che:
Lezione 5
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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0
0
 + β 
0
2
1 0
α 
1 0
−1 0  3 1 0 

 = 
0 0 0 0 0 …
Non esistono α, β con tali caratteristiche. Quindi
v∉L(A).
Esercizio 4
Verificare che A sia un insieme di generatori di V
nei seguenti casi:
a) V= {(α,α,β) | α,β∈ R}
A= {(1,-1,0), (0,0,-1), (1,1,3)};
  x y

b) V =  
 0 x
Lezione 5
-

  2 0   0 - 3 
, 
 
x, y ∈ R  A =  
;

 0 2 0 0  
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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12
c) V = R 3 , 2
 0 0   2
 

A =  0 0  ,  0
 0 1   0
 

0   0 − 1  0 0   0
 
 
 
0 ,  0 0 ,  − 1 0 ,  0
0   0 1   0 0   3
0   0 0 

 
0 ,  0 2  
0   0 1  
d) V del punto a) e D={(1,1,0),(0,0,-1), (1,1,3)}.
Verifica:
a) Ogni vettore di V può essere scritto con (α,α,β)
dove α, β∈R opportuni.
Dimostro che V è contenuto in L(A).
Ogni vettore di V può essere scritto come
combinazione lineare di (1,-1,0), (0,0,-1), (1,1,3);
Dimostriamo che esistono tre scalari x,y,z∈R tali
che
x(1,-1,0)+y(0,0,-1)+z(1,1,3)=(α,α,β).
Lezione 5
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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13
….
x=0, y=3α-β , z=α.
D’altra parte L(A) non è contenuto in V perché
(1,-1,0) non appartiene a V.
A non è un insieme di generatori per V.
d) Diverso è il caso di V= {(α,α,β) | α, β∈ R}
D={(1,1,0),(0,0,-1),(1,1,3)}:
Primo
V ⊆ L(D):
(α,α,β)=0(1,1,0)+(3α-β)(0,0,-1)+ α(1,1,3) …
Secondo
L(D)
⊆
V
perché D ⊆ V
L(D)=V .
b) Ogni
Lezione 5
x

0
-
y

x  x,y∈ R è combinazione lineare di
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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14
 2 0   0 - 3

 

, infatti esistono α, β reali tali che
0
2
0
0

 

 0 - 3  x
 2 0
 = 
 + β 
0 0  0
 0 2
α 
y

x  ⇒α=x/2,
β= -y/3.
V ⊆ L(A).
L(A)
⊆V
perché A ⊆ V.
A fornisce un insieme di generatori per V.
b) Ogni matrice di R3,2 di entrate x, y, z, t, u, v∈R
è combinazione di
2
0 0



α 0 0 + β 0
0
 0 1



0
0 0



+ ε 0 0 +ϕ0
0
3 0



Lezione 5
-
0
 0 0 
 0 − 1





0 + γ  0 0  + δ  −1 0 +
 0 0 
 0 1 
0 




0  x y

 
2 =  z t 
1   u v 
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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15
α=v-t/2, β=x/2, γ=-y, δ=-z, ε=u/3, ϕ=t/2….
A fornisce un insieme di generatori per V.
Esercizio 5
Trovare un insieme di generatori per i seguenti spazi
vettoriali su R:
a) R4;
b) V={(α,α,0,β) | α,β∈R};
c) V ={(α,β,γ,γ) | α,β,γ ∈R};
d) R2,4.
Ricerca:
a) {(0,1,0,0),(1,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)} infatti…
b)
{(1,1,0,0),(0,0,0,1)} infatti…
Lezione 5
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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16
c) {(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1)} infatti…
d)
 1

 0

 0
 2

0 0 0  0
, 
0 0 0  0
0 0 0  0
, 
0 0 0  0
2 0 0 0
, 
0 0 0  0
0 0 0  0
, 
1 0 0  0
0 −1 0  0 0 0 −1  1 1 0 0 
, 
, 

0 0 0   0 0 0 0   0 0 0 0

0 0 0  0 0 0 0

, 


0 2 0  0 0 0 1

Esercizio 6
I vettori (1,2,0), (1,-2,0),(1,0,1) sono generatori di R3?
Sì, perché ogni vettore di R3 (x,y,z) può essere
espresso come loro combinazione lineare:
dobbiamo dimostrare che esistono α, β, γ ∈R
opportuni tali che (x,y,z)=α(1,2,0)+β(1,-2,0)+γ(1,0,1)
⇒ α=1/2x+1/4y-1/2z , β=1/2x-1/4y-1/2z , γ=z.
…
L{{(1,2,0), (1,-2,0),(1,0,1)}}= R3
Lezione 5
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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17
Una sequenza di vettori (v1,…,vn) di V(K) si dice
libera e i vettori v1,…,vn si dicono linearmente
indipendenti se la loro generica combinazione lineare
posta
uguale
al
vettore
nullo
∀α1…αn∈K
α1v1+…+αnvn=0 implica α1=…=αn=0
Esercizio 7
Quali delle seguenti sequenze sono libere in V?
a) V=R5 A=( (0,1,2,0,0), (0,1,-2,0,0), (0,1,0,1,0) );
b) V = R 3,2
0 0 2


B =   0 0 ,  0
 0 1 0


0   0 − 1  0 0   0



0 ,  0 0 ,  − 1 0 ,  0
0   0 1   0 0   3
0 0 0


0 ,  0 2  
0   0 1  
c) V=R3 C=((1,1,0), (0,0,-3), (0,0,1));
Prova:
Lezione 5
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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18
a) α(0,1,2,0,0)+β(0,1,-2,0,0)+γ(0,1,0,1,0)=
=(0,α+β+γ,2α-2β,γ,0)=(0,0,0,0,0) ⇒
α=β=γ=0.
La sequenza è libera.
b) La sequenza è libera:
0 0
2



α 0 0 + β 0
 0 1
0



0
 0 − 1
 0 0 
0






0 + γ  0 0  + δ −1 0 + ε 0
 0 1 
 0 0 
3
0 





 2β − γ   0

 
δ
ϕ
−
2

 = 0
 3ε α + ϕ   0

 
0
0 0 0


 
0 + ϕ0 2 = 0
 0 1 0
0 

 
0

0
0 
0

0
0 
implica tutti gli scalari nulli α=β=γ=δ=ε=ϕ=0.
c) α(1,1,0)+β(0,0,-3)+γ(0,0,1)=(0,0,0) …⇒
α=0,
γ=3β non necessariamente nulli. La sequenza è
legata.
Lezione 5
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Esercitazioni di Algebra e Geometria
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19
Esercizi da svolgere
1. Da algebra lineare 1 es. ….
2.
Quali tra i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di V (motivare
nel caso la risposta con opportuna dimostrazione):
a) V= R4 W={(x1,x2,x3,x4) ∈V| x1-3x3=0, x4-x2=0}
b) V=M3(R) W={(ai,j)∈V| i < j , ai,j=0}.
3. Mostrare che la copertura in V dell’insieme A è W:
a) V= R4
A={(1,0,-1,0),(0,2,3,0),(1,1,0,0)}
W={(x1,x2,x3,x4) ∈V| x4=0}
b) V= R4
A={(1,0,-1,0),(3,0,-3,0),(0,1,0,0)}
W={(x1,x2,x3,x4) ∈V| x1 +x3=0, x4=0}
c) V = M 2 ( R )
 1
A = 
 0
0 0
, 
0   0
W = M 2 (R)
1 0
, 
0   1
0 0
, 
0   0
0 

1  
4. Nell’esercizio 3 trovare altri due insiemi di generatori oltre ad A per il
s.s.v. W.
5. Quali tra gli insiemi A dell’esercizio 3 sono liberi?
Lezione 5
-
Esercitazioni di Algebra e Geometria
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20