Prontuario di matematica: formule, schemi operativi

MATeXp
Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
Contenuti delle sezioni
;001 caratteristiche del prontuario p.2 ;005 logica p 3 ;010 costanti p.6 ;020 insiemi, relazioni,
funzioni p.7 ;030 algebra p.10 ;040 funzioni basilari sugli interi p.14 ;050 sequenze finite specifiche
p.16 ;070 polinomi ed equazioni polinomiali p.17 ;080 quozienti di polinomi e loro decomposizioni
p.22 ;090 numeri interi p.23 ;100 esponenziali e logaritmi p.25 ;110 numeri complessi p.26 ;120
funzioni trigonometriche e collegate p.28 ;150 matrici e algebra lineare p.32 ;200 geometria piana
1 p.41 ;210 geometria dei solidi 1 p.45 ;220 geometria analitica 1 p.50 ;250 spazi vettoriali ed
euclidei p.55 ;260 rotazioni p. 61 ;270 trigonometria razionale p.62 ;280 quaternioni e altri
numeri ipercomplessi p.63 ;300 limiti p.65 ;320 derivate p.66 ;350 serie numeriche p.68 ;360
successioni e serie di funzioni p.69 ;370 sviluppi in serie di potenze p.70 ;380 prodotti infiniti p.73
;400 integrali p.74 ;420 antiderivate di integrandi algebrici p.75 ;440 antiderivate di integrandi
trascendenti p.87 ;460 integrali definiti p.96 ;500 spazio reale finitodimensionale p. 100 ;510
derivate parziali p.102 ;520 curve piane e calcolo infinitesimale p.103 ;530 integrali doppi p.104
;540 integrali tripli p.105 ;550 solidi di rivoluzione p.106 ;560 centroidi e momenti di inerzia p.107
;570 analisi dei campi vettoriali p.109 ;600 equazioni diﬀerenziali ordinarie, ossia ODE p.110 ;630
equazioni integrali p.112 ;650 trasformata di Fourier p.113 ;660 trasformata di Laplace p.114 ;670
trasformata -z p.115 ;700 equazioni alle derivate parziali, ossia PDE p.117 ;720 funzioni olomorfe
e funzioni analitiche p.118 ;730 spazi di Hilbert p.119 ;740 serie e funzioni ipergeometriche p.120
;750 sistemi di funzioni ortogonali p. 121 ;760 polinomi ortogonali p.122 ;770 funzioni speciali
p.128 ;990 indice KWIC dei termini rilevanti nel prontuario p.136 161
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
1
Alberto Marini
;001 caratteristiche del prontuario
Come ogni prontuario, il presente contiene una raccolta di definizioni, enunciati, formule, schemi
operativi e quadri sinottici che si suppongono di uso frequente. Il materiale è ripartito in sezioni
e sottosezioni; collettivamente questi brani qui sono chiamate “ripartizioni”. All’interno di molte
sottosezioni inoltre compaiono, scritti in neretto, termini enfasizzati i quali hanno lo scopo di portare
l’attenzione sopra definizioni e risultati che si ritiene utile porre in evidenza.
Ciascuna ripartizione è caratterizzata da un titolo e contrassegnata da una sigla. I titoli cercano di
essere autoesplicativi; alcuni titoli contengono espressioni matematiche ed alcuni si servono di abbreviazioni.
Le sigle delle sezioni hanno la forma “;nnn” e quelle delle sottosezioni la forma “;nnnX” , ove ogni
n rappresenta una cifra decimale ed X sta per una lettera maiuscola . Le ripartizioni sono presentate
secondo sigle crescenti; la scelta del loro ordinamento, come la selezione dei contenuti, è in parte
arbitraria.
Molti contenuti possono essere reperiti consultando l’indice KWIC (KeyWords In Context) dei titoli
delle ripartizioni e dei termini enfasizzati; questo indice lessicografico è comparso come prima sezione,
la ;000. Per l’ordinamento lessicografico si è scelto che le formule precedano le parole leggibili.
Nel prontuario sono presenti non poche ripetizioni e ridondanze: molti fatti sono enunciati in più punti
e secondo diversi punti di vista. In eﬀetti anche qui si è favorita la facilità del reperimento dei fatti
enunciati, rinunciando al risparmio degli spazi, grazie alla adozione di dispositivi digitali.
I volumi con titolo come “Mathematical tables” e “Handbook of Mathematics” tradizionalmente contengono numerose tabelle di numeri specifici (tipicamente valori interi e reali assunti da funzioni in
corrispondenza di progressioni aritmetiche di valori degli argomenti) e numerose espressioni che forniscono trasformate di funzioni. In seguito allo sviluppo di strumenti per il calcolo numerico (in
particolare di un mecanismo con funzioni di “Calculator” che si può collocare sullo schermo di ogni
computer) ed in conseguenza dello sviluppo dei poderosi sistemi per il calcolo simbolico, numerico e
grafico (meno a portata di mano del precedente) tutti i suddetti valori possono essere ottenuti con i
suddetti prodotti software.
Inoltre molte definizioni di grandezze matematiche sono disponibili in pagine Web, in particolare negli
articoli di enciclopedie in linea come MathWorld o Wikipedia.
Un prontuario di matematica, quindi, oggi può essere presentato solo come fonte di primo approccio
ad alcune informazioni specifiche, idealmente alle più comunemente richieste. Il presente prontuario,
quindi, si propone di presentare le informazioni corredate da citazioni di discorsi più completi e mirati
nel testo MATeXp (e per questi collegamenti si dovrà curare l’uso di definizioni e di notazioni coerenti)
e in altre fonti.
Per l’eﬃcacia di questo prontuario, anch’esso in evoluzione, andranno attentamente curate la coerenza
di termini e notazioni e le informazioni di orientamento costituite dai rinvii al suo interno precedute da
rinvii a sezioni e sottosezioni delle forme “v. ;nnn” e da “v. ;nnnX” , dall’indice iniziale delle sezioni
e dall’indice KWIC dei termini rilevanti collocato alla fine del fascicolo.
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070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
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MATeXp
;005 logica
;005A calcolo degli enunciati
Si chiama enunciato una aﬀermazione che individuiamo con una lettera, la Q, della quale si suppone
possa essere accertata la validità o la non validità; nel primo caso si scrive P = T , nel secondo P = F .
Siano P e Q due enunciati; essi possono essere composti con i connettivi che seguono.
disgiunzione
congiunzione
condizionale
bicondizionale
negazione
or esclusivo o xor
not and o nand
not or o nor
tavole di verità
P
Q
T
T
F
F
T
F
T
F
P ∨Q
P ∧Q
P →Q
P ↔Q
¬P
P ⊖Q
P ↑Q
P ↓Q
vale P
o
vale Q
vale P
e
vale Q
se vale P , allora vale Q
P sse Q
non vale P
vale P o vale Q ma non P e Q
negazione di P e Q
negazione di P o Q
(T per vero, F per falso)
P ∨Q
T
T
T
F
P ∧Q
P ⇒Q
P ⇔Q
¬P
P ⊖Q
P ↑Q
P ↓Q
T
F
F
F
T
F
T
T
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
T
F
F
T
T
T
F
F
F
T
Diciamo formule enunciative le espressioni ben formate costituite con simboli di enunciati, connettivi
e parentesi in grado di delimitare sottoespressioni.
Si dice tautologia (o verità logica o formula universalmente valida) ogni formula che vale T per ogni
assegnazione di valori degli enunciati costituenti.
Si dice contraddizione ogni formula che vale F per ogni assegnazione di valori degli enunciati costituenti.
Useremo la notazione T per denotare una qualsiasi tautologia e la notazione F per denotare una
qualsiasi contraddizione.
Caratterizziamo con l’infisso ⇔ le equivalenze tautologiche.
¬¬P ⇔ P , P ∧Q ⇔ Q∧P , P ∨Q ⇔ Q∨P , (P ∧Q)∧R ⇔ P ∧(Q∧R) ,
, (P ∨Q)∨R ⇔ P ∨(Q∨R)
P ∨ P ⇔ P , P ∧ P ⇔ P , P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) , P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) ,
¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q , ¬(P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q , P ∨ (Q ∧ ¬Q) ⇔ P , P ∧ (Q ∨ ¬Q) ⇔ P
P → Q ⇔ ¬P ∧ Q , ¬(P → Q) ⇔ P ∧ ¬Q , P → Q ⇔ (¬Q → ¬P )
P → (Q → R) ⇔ ((P ∧ Q) → R) , ¬(P ↔ Q) ⇔ (P ↔ ¬Q)
(P ↔ Q) ⇔ (P → Q) ∧ (Q → P ) , (P ↔ Q) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (¬P ∧ ¬Q)
P ⊖ Q ⇔ Q ⊖ P , P ⊖ (Q ⊖ R) ⇔ (P ⊖ Q) ⊖ R , P ∧ (Q ⊖ R) ⇔ (P ∧ Q) ⊖ (P ∧ R)
P ⊖ Q ⇔ ((P ∧ ¬Q) ∨ (¬P ∧ Q)) , P ⊖ Q ⇔ ¬(P ↔ Q) ,
P ↑ Q ⇔ Q ↑ P , P ↓ Q ⇔ Q ↓ P , P ↑ (Q ↑ R) ⇔ ¬P ∨ (Q ∧ R) , P ↓ (Q ↓ R) ⇔ ¬P ∧ (Q ∨ R) .
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Alberto Marini
Caratterizziamo con l’infisso ⇒ le implicazioni tautologiche.
P ∧ Q ⇒ P , P ∧ Q ⇒ Q , P ⇒ P ∨ Q , Q ⇒ P ∨ Q , ¬P ⇒ (P → Q) , Q ⇒ (P → Q)
¬(P → Q) ⇒ P , ¬(P → Q) ⇒ ¬Q , ¬P ∧(P ∨Q) ⇒ Q , P ∧(P → Q) ⇒ Q , ¬Q∧(P → Q) ⇒ ¬P
(P → Q) ∧ (Q → R) ⇒ (P → R) , (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) ∧ (Q → R) ⇒ R
I vari connettivi presentati non sono indipendenti, come mostrano anche talune equivalenze tautologiche. Inoltre mediante ↑ oppure mediante ↓ possono essere espressi tutti gli altri connettivi.
¬P ⇔ P ↑ P , P ∧ Q ⇔ ¬(P ↑ Q) , P ∨ Q ⇔ ¬(P ↑ ¬Q) , . . . . .
¬P ⇔ P ↓ P , P ∧ Q ⇔ ¬P ↑ ¬Q , P ∨ Q ⇔ ¬(P ↓ ¬Q) , . . . . .
Due formule enunciative F e G contenenti i connettivi ∨, ∧ e ¬ si dicono duali sse l’una si ottiene dall’altra
mediante lo scambio di ∨ e ∧; si scrive allora G = F ∗ ; evidentemente tale dualità è una involuzione.
Ad esempio consideriamo una formula enunciativa fornita dalla espressione E(A1 , A2 , ..., An ) nella quale
le Ai sono variabili atomiche, cioè argomenti non forniti da sottoespressioni composite. Vale la seguente
generalizzazione delle leggi di De Morgan:
E ∗ (A1 , A2 , ..., An ) ⇔ ¬E(¬A1 , ¬A2 , ..., ¬An ) .
Nell’ambito delle formule enunciative sulle n variabili A1 , A2 ,..., An si dicono minterms enunciativi le 2n
formule avento una forma ∼1 A1 ∧ ∼2 A2 ∧ · · · ∧ ∼n An dove per ogni i = 1, 2, ..., n ∼i rappresenta
la stringa muta oppure ¬. Si dicono invece maxterms enunciativi le 2n formule avento una forma ∼1
A1 ∨ ∼2 A2 ∨ · · · ∨ ∼n An dove gli ∼i sono deefiniti come sopra.
Ad ogni formula enunciativa si possono dare due forme normali tautologicamente equivalenti: la forma
normale disgiuntiva principale data dalla disgiunzione di minterms e la forma normale congiuntiva principale
data dalla congiunzione di minterms.
;005B calcolo dei predicati
Studia le espressioni formali che riguardano formule predicative, cioè espressioni che contengono, oltre
a variabili enunciative che possono assumere i valori determinari T ed F , a connettivi e parentesi,
variabili predicative dipendenti da variabili x, y, ... che assumono i valori T ed F in dipendenza delle
variabili ed i due seguenti quantificatori:
quantificatore universale ∀x
quantificatore esistenziale ∃x
da leggere “per ogni x” ... ;
da leggere “esiste x tale che” ... .
Valgono le seguenti equivalenze e implicazioni tautologiche riguardanti quantificatori.
(∃x)(P (x) ∨ Q(x)) ⇔ (∃x)P (x) ∨ (∃x)Q(x) , (∃x)(P (x) ∧ Q(x)) ⇔ (∃x)P (x) ∧ (∃x)Q(x)
¬((∃x)P (x) ⇔ (∀x)¬P (x) , ¬((∀x)P (x) ⇔ (∃x)¬P (x)
(∀x)P (x) ∨ (∀x)Q(x) ⇒ (∀x)(P (x) ∨ Q(x)) , (∃x)(P (x) ∧ Q(x)) ⇒ (∃x)P (x) ∧ (∃x)Q(x)
(∀x)(P ∨ Q(x)) ⇔ P ∨ (∀x)Q(x) , (∃x)(P ∧ Q(x)) ⇔ P ∧ (∃x)Q(x)
(∀x)P (x) → Q ⇔ (∃x)(P (x) → Q) , (∀x)P (x) → Q ⇔ (∃x)(P (x) → Q)
P → (∀x)Q(x) ⇔ (∀x)(P → Q(x)) , P → (∃x)Q(x) ⇔ (∃x)(P → Q(x))
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MATeXp
(∀x)(∀y)P (x, y) ⇔ (∀y)(∀x)P (x, y) , (∀x)(∀y)P (x, y) ⇒ (∃y)(∀x)P (x, y)
(∀y)(∀x)P (x, y) ⇒ (∃x)(∀y)P (x, y) , (∃y)(∀x)P (x, y) ⇒ (∀x)(∃y)P (x, y)
(∃x)(∀y)P (x, y) ⇒ (∀y)(∃x)P (x, y) , (∀x)(∃y)P (x, y) ⇒ (∃y)(∃x)P (x, y)
(∀y)(∃x)P (x, y) ⇒ (∃x)(∃y)P (x, y) , (∃x)(∃y)P (x, y) ⇔ (∃y)(∃x)P (x, y)
;005C metodi dimostrativi
modus ponens
enunciato obiettivo Q
modus tollens
enunciato obiettivo ¬P
sillogismo disgiuntivo
procedimento:
procedimento:
enunciato obiettivo Q
P
P →Q
Q
¬Q
P →Q
¬P
procedimento:
P ∨Q
istanziazione universale
enunciato obiettivo P (x)
dimostrazione indiretta
procedimento:
enunciato obiettivo P ⇒ Q
dimostrare che se Q è vera, allora P è vera
dimostrazione indiretta
enunciato obiettivo P ⇒ Q
¬P
Q
(∀x)P (x)
P (x)
procedimento:
procedimento:
dimostrare che ¬Q ⇒ ¬P
dimostrazione mediante implicazione
enunciato obiettivo P ⇔ Q
procedimento: dimostrare che P ⇒ Q e che Q ⇒ P
contraddizione
enunciato obiettivo P
procedimento: assumere (∃x)P (x) e derivare una contraddizione
contraddizione
enunciato obiettivo ¬(∃x)P (x)
procedimento: assumere che P sia falso e derivare una contraddizione
dimostrazione costruttiva
procedimento:
enunciato obiettivo (∃x)P (x)
individuare x tale che P (x) sia vero
dimostrazione non costruttiva
enunciato obiettivo (∃x)P (x)
procedimento:
dimostrare che ¬(∃x)(P (x) conduce ad una contraddizione
controesempio
enunciato obiettivo ¬(∀x)P (x)
generalizzazione universale
un arbitrario x P (x) è vera
procedimento:
enunciato obiettivo (∀x)P (x)
dimostrare (∃x)¬P (x)
procedimento:
dimostrare che per
Un importante genere di dimostrazione è la dimostrazione per induzione. Si tratta di dimostrare una
proprietà P (n) caratterizzata da un parametro intero positivo n. Essa eﬀetua due passi:
— dimostrare che vale P (1);
— dimostrare la implicazione (∀n)P (n) =⇒ P (n + 1) .
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;010 costanti
;010A potenze di 10 e di 2
Potenze di 10
1 000 000 000 000 000 000 000 000 = 1024
1 000 000 000 000 000 000 000 = 1021
1 000 000 000 000 000 000 = 1018
1 000 000 000 000 000 = 1015
1 000 000 000 000 = 1012
1 000 000 000 = 109
1 000 000 = 106
10 000 = 104
1 000 = 103
100 = 102
10 = 101
0.1 = 10−1
0.01 = 10−2
0.001 = 10−3
0.001 = 10−6
0.000 001 = 10−9
0.000 000 001 = 10−12
0.000 000 000 001 = 10−15
0.000 000 000 000 001 = 10−18
0.000 000 000 000 000 001 = 10−21
0.000 000 000 000 000 000 001 = 10−24
prefisso
sigla
yotta
zetta
exa
peta
tera
giga
mega
miria
kilo
hecto
deca
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
Y
Z
E
P
T
M
M
G
h
da o D
d
c
m
µ
n
p
f
a
y
z
;010A potenze di 2
1 = 20
2 = 21
4 = 22
8 = 23
16 = 24
32 = 25
64 = 26
128 = 27
256 = 28
512 = 29
1 024 = 210
2 048 = 211
4 096 = 212
8 192 = 213
16 384 = 214
32 768 = 215
65 536 = 216
131 072 = 217
261 144 = 218
524 288 = 219
1 048 576 = 220
2 097 152 = 221
4 194 304 = 222
8 388 608 = 223
16 777 216 = 224
33 554 432 = 225
67 108 864 = 226
134 217 728 = 227
268 435 456 = 228
536 870 912 = 229
1 073 741 824 = 230
2 147 483 648 = 231
4 294 967 296 = 232
8 589 934 592 = 233
17 179 869 184 = 234
34 359 738 768 = 235
68 719 476 736 = 236
68 719 476 736 = 237
274 877 976 944 = 238
549 755 813 888 = 239
1 099 511 627 776 = 240
1 024 = 210
1 048 576 = 220 = 1 0242
1 073 741 824 = 230 = 1 0243
1 099 511 627 776 = 240 = 1 0244
6
kibibyte
mibibyte
gibibyte
tebibyte
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1 125 899 906 842 624 = 250
1 152 921 504 606 846 976 = 260
9 223 372 036 854 875 808 = 263
18 446 744 073 709 551 616 = 264
1 180 591 620 717 411 303 424 = 270
208 925 819 614 629 174 706 176 = 280
340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456 = 2128
= 1 0245
= 1 0246
pebibyte
exbibyte
= 1 0247
= 1 0248
zebibyte
yobibyte
;010B radici e logaritmi di numeri
n =
2
3
4
√
n ≈
√
3
n ≈
ln n ≈
log10 n ≈
1.41421 35623 73095
1.25992 10498 94873
0.69315 71805 59945
0.30102 99956 63981
1.73205 08075 68877
1.44224 95703 07408
1.09861 22886 68110
0.47712 12547 19662
2
1.58740 10519 68199
1.38629 43611 19891
0.60205 99913 27962
n =
5
6
7
√
n ≈
√
3
n ≈
ln n ≈
log10 n ≈
2.23606 79774 99789
1.70997 59466 76697
1, 60943 79124 34100
0.69897 00043 36019
2.44948 97427 83178
1.81712 05928 32140
1.79175 94692 28055
0.77815 12503 83643
2.64575 13110 64591
1.91293 11827 72389
1.94591 01490 553133
0.84509 80400 14256
8
9
10
2.82842 71247 46190
2
2.07944 15416 79835
0.90308 99869 91944
3
2.08008 38239 51904
2.19722 45773 36219
0.95424 25094 39324
3.16227 76601 68379
2.15443 46900 31884
2.30258 50929 94046
1
n =
√
n ≈
√
3
n ≈
ln n ≈
log10 n ≈
√
12
2 ≈ 1.05946 30343 59296
√
numero di Fidia = sezione aurea = ϕ :=
5+1
≈ 1.61803 39887 49894 84820
2
√
1
5−1
= ϕ − 1 ≈ 0.61803 39887 59894
Φ := =
ϕ
2
√
√
√
ϕ
1
5+ 5
5− 5
5
√ = √ =
= 0.72360 67977 49979 ,
=
= 1.38196 60112 50105
10
ϕ
2
5
Φ 5
(
)n
+∞
∑
1
1
e := lim
1+
=
≈ 2.71828 18284 59045 23536
n→+∞
n
j!
j=0
approssimazioni razionali di e:
193
≈ 2.71830 98592
61
1
= 0.56418 36787 94411 71442
e
2016-04-11
,
1264
≈ 2.71827 95699
465
e2 = 7.38905 60989 30650
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
7
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log10 e = 0.43429 44819 03251
,
loge 10 = ln 10 = 2.30258 50929 94045
π
π = 3.14159 26535 89793 , 2 π = 6.28318 53071 79586 ,
= 1.57079 63267 94897
2
22
355
approssimazioni razionali di π:
≈ 3.14285 714293
≈ 3.14159 29204
7
113
1
= 0.31830 98861 83790 , π 2 = 9.86960 44010 89358
π
√
1
π = 1.77245 38509 05516 , √ = 0.56418 95835 47756
π
log10 π = 0.49714 98726 94133 , loge π = ln π = 1.14472 98858 49400
γem = 0.57721 56649 01532(v.; 300)
1 rad = 57◦ 17′ 8′′ = 57.29577 95130 82321◦
1◦ = 0.01745 rad
,
1′ = 0.00029 rad
,
1′′ = 0.00000 48481 rad
;020 insiemi, relazioni, funzioni
;020A insiemi
Siano A, B e C degli insiemi e denotiamo con U l’insieme che contiene entrambi e che chiamiamo
universo.
appartenenza
x appartiene ad A: x ∈ A
x non appartiene ad A: x ̸∈ A
A contiene x: A ∋ x
A
A
B
B
è sottoinsieme in senso lato di B: A ⊆ B sse x ∈ A =⇒ x ∈ B
è sottoinsieme proprio di B: A ⊂ B sse A ⊆ B e A ̸= B
è sovrainsieme in senso lato di A: B ⊇ A sse x ∈ A =⇒ x ∈ B
è sovrainsieme proprio di A: B ⊃ A sse B ⊇ A e B ̸= A
operazioni sugli insiemi
unione degli insiemi A e B
intersezione degli insiemi A e B
A ∪ B := {x ∈ U ST x ∈ A ∨ x ∈ B}
A ∩ B := {x ∈ U ST x ∈ A ∧ x ∈ B}
eliminazione dell’insieme B dall’insieme A ossia A senza B
A \ B := {x ∈ A ∧ x ̸∈ B}
;020B relazioni binarie
consideriamo due insiemi A e B e e A × B; ogni R ⊆ A × B si dice relazione fra A e B; denotiamo con
RelA,B l’insieme delle relazioni fra A e B e con RelFA,B l’insieme delle relazioni finite fra A e B
equivalentemente a ⟨a, b⟩ ∈ R si scrive a R b e la sua negazione ⟨a, b⟩ ̸∈ R si scrive anche a ̸ R b
dominio della R: dom(R) := {x ∈ A ST B ∋ y ST x R y};
codominio della R: cod(R) := {y ∈ B ST A ∋ x ST x R y};
A × B si dice relazione ovvia fra A e B; ∅ si chiama relazione assurda fra A e B;
R, se non assurda, si dice relazione da dom(R) su cod(R)
si dice relazione trasposta della R ∈ A × B la R−1 = R := {⟨a, b⟩ ∈ R :| ⟨b, a⟩;
alle relazioni si applicano le operazioni insiemistiche
8
(R1 ∪R2 ) = R1 ∪R2
(R ) = R
, (R1 ∩R2 ) = R1 ∩R2
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
relativamente ad A × B si dice relazione complementare della R ∈ RelA,B la R A,B := RelA,B \ R
(
) A,B
R A,B
= R (R1 ∪ R2 ) = (R1 ) ∩ (R2 ) (R1 ∩ R2 ) = (R1 ) ∪ (R2 )
se A = B, RelA := RelA,A si dice insieme delle relazioni entro A
RelA,B ⊆ Rel(A∪B),(A∪B)
IdA := {a ∈ A :| ⟨a, a⟩} ∈ RelA,A
prodotto di composizione o prodotto di Peirce delle relazioni R1 RelA,B ed R2 ∈ RelB,C
R1 ◦ R2 := {⟨a, c⟩ ∈ A × C ST B ∋ b ST aR1 b ∧ bR2 c}
(R1 ◦ R) 2) ◦ R3 = R1 ◦ (R2 ◦ R3 ) (R1 ◦ R2 )−1 = R2 −1 ◦ R1 −1
per una R ∈ RelA scriviamo R◦0 := IdA , R◦1 := R , R◦k := R ◦ (R◦(k−1 , R◦−k := (R−1 )◦k ;
diciamo
chiusura riflessiva: R ∪ IdA
chiusura transitiva: R
+
◦2
chiusura simmetrica: R ∪ R
◦3
chiusura riflessivo transitiva: R∗ := IdA ∪R∪R◦2 ∪R◦3 ∪· · ·
∪
:= (R ) ∪ Ida ∪ R+ = k∈Z R◦k
:= R∪R ∪R ∪· · ·
chiusura di equivalenza: R
eqv
+
R ∈ RelA si dice: riflessiva sse ∀a ∈ A
simmetrica sse ∀a, b ∈ A
a R a , antiriflessiva sse ∀a, b ∈ A
a R b =⇒ b R a , antisimmetrica sse ∀a, b ∉= A
transitiva sse ∀a, b, c ∈ A
a R b ∧ b R c =⇒ a R c , ossia sse R = R
a R b =⇒ b ̸ R a
a R b =⇒ b ̸ R a ,
+
relazioni binarie e digrafi
ogni relazione finita equivale ad un digrafo e si può rappresentare con una raﬃgurazione di tale digrafo
e con la matrice di incidenza che gli corrisponde; qui di seguito abbreviamo matrice di incidenza con
matrice e scriviamo im(R) la matrice della R
alla trasposta di una relazione corrisponde il digrafo con gli archi capovolti e la matrice trasposta
al prodotto di composizione di due relazioni corrisponde la matrice prodotto booleano delle matrici
dei fattori im(R1 ◦ R2 ) = im(R1 ) ⊙ im(R2 )
una relazione è riflessiva sse la sua matrice ha tutte le entrate diagonali uguali ad 1
una relazione è antiriflessiva sse la sua matrice ha tutte le entrate diagonali uguali a 0
una relazione è simmetrica sse la sua matrice è simmetrica
una relazione R è antisimmetrica sse ∀a, b ∉= A
im(R)a,b + im(R)b,a ≤ 1
la matrice di una relazione unione è la somma booleana delle corrispondenti matrici
la matrice di una relazione intersezione è il prodotto entrata per entrata l delle corrispondenti matrici
la matrice della chiusura transitiva di una relazione R è la somma booleana delle potenze booleane:
∑⊕ +∞
◦k
im(R+ ) =
i=1 im(R)
;020C funzioni
;020D insiemi numerici
insieme dei naturali
N = {0, 1, 2, 3, ...}
P = {1, 2, 3, ...}
insieme degli interi positivi
insieme dei numeri interi
Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}
insieme degli interi negativi
insieme degli interi diversi da 0
2016-04-11
Z− = {−1, −2, −3, ...}
ZR2 c := Z \ {0} = Z− ∪˙ P = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3, ...}
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
9
Alberto Marini
{
}
h
h ∈ Z , k ∈ Znz :|
k
insieme dei numeri algebrici RA insieme dei reali soluzioni di equazioni polinomiali
con coeﬃcienti interi
Q :=
insieme dei numeri razionali
R insieme introdotto assiomaticamente
insieme dei numeri reali
(v.B42)
insieme dei reali positivi, negativi, non negativi, non positivi, diversi da zero
R+ , R− , R0,+ , R−,0 , Rnz
i.nsieme dei reali costruibili
insieme dei numeri complessi
RC := insieme dei reali approssimabili illimitatamente da procedure
C := {a, b ∈ R :| a + i b} con
i2 = −1 (v.B50)
insieme dei complessi diversi da zero e costruibili
Cnz := C \ {⟨0, 0⟩} , CC := RC × RC
{
∅
sse k < h
intervalli di interi
[h : k] :=
(h : k] := [h + 1, k]
{h, h + 1, ..., k} sse h ≤ k
[h : k) := [h, k − 1]
(h : k) := lJh + 1, k − 1]
intervalli di reali
(r, s) := {x ∈ R ST r < α < s}
(r, s] := {x ∈ R ST r < x ≤ s}
(r, +∞] := {x ∈ R ST r < x}
[r, s) := {x ∈ R ST r ≤ x < s}
[r, s] := {x ∈ R ST r ≤ x ≤ s}
[ − ∞, s] := {x ∈ R ST x ≤ s}
;020E funzioni basilari sui reali
valore assoluto
funzione segno
scalino di Heavyside
{
x
se x ≥ 0
−x se x ≤ 0
{
−1 sse x < 0
sign(x) :=
0
sse x = 0
1
se x > 0
|x| :=
funzione caratteristica dei reali non negativi
funzione pavimento
funzione soﬃtto
mantissa
⌊x⌋ := ∪˙ {n ∈ Z :|
⌈x⌉ := ∪˙ {n ∈ Z :|
10
0
1
2
x ST n − 1 < x ≤ n
mant(x) := x − ⌊x⌋
arrotondamento del valore
{
sse x < 0
sse x = 0
1 sse x > 0
{
0 sse x < 0
χR0,+ :=
1 sse x ≥ 0
x ST n ≤ x < n + 1 n }
sign(x) + 1
=
Hvsd(x) :=
2
round(x) :=
n }
⌊
⌋
1
1
x−
+
2
2
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
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;030 algebra
;030A operazioni algebriche
L’algebra odierna fa riferimento alle strutture, sistemi costituiti da uno o più insiemi detti terreni e da
una o più operazioni soprattutto binarie e da un sistema di assiomi che li riguardano.
Data due strutture S e T, si dice che T è pù ricca di S sse possiede più terreni e/o più operazioni
ed un sistema di assiomi più esteso; si dice che T è pù stringente di S sse hanno analoghi terreni ed
operazioni e gli assiomi della T implicano quelli della S.
Siano a, b, c e d elementi di una struttura munita delle operazioni somma e prodotto S = ⟨S, ⊕, ⊙, ...⟩
potrebbe trattarsi di un semianello o di un suo arricchimento (v. ;030D).
proprietà commutative
proprietà associative
a⊕b=b⊕a
,
a⊙b=b⊙a
(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c) ,
(a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ (b ⊙ c)
proprietà distributiva
a ⊙ (b ⊕ c) = a ⊙ b ⊕ a · c , (a ⊕ b) ⊙ c = a ⊙ c ⊕ b ⊙ c
quindi (a ⊕ b) ⊙ (c ⊕ d) = a ⊙ c ⊕ a ⊙ d ⊕ b ⊙ c ⊕ b ⊙ d
La struttura S abbia la somma commutativa e sia munita anche di un elemento neutro per la somma
x ⊕ 0 = 0 ⊕ x = x ; la presenza di 0 induce
denotato da 0, cioè di un elemento 0 tale che ∀x ∈ S
a chiedersi se si ha l’operazione univoca passaggio da un elemento x al suo opposto ⊖x, elemento tale
che x ⊕ (⊖x) = 0; essa è una involuzione, cioè ∀x ∈ S ⊖ (⊖x) = x .
Si può allora definire la diﬀerenza fra due elementi della struttura ponendo a ⊖ b := a ⊕ (⊖b); la
diﬀerenza si dice operazione inversa della somma
Per il passaggio all’opposto si ha (a ⊖ b) ⊕ b = b ⊕ (a ⊖ b) = a
,
a ⊖ (⊖b) = a ⊕ (⊕b) = a ⊕ b
Per la relazione fra prodotto e zero si ha
a·0=0·a=0 ,
(⊕a) ⊙ (+b) = a ⊙ b = (ominusa) ⊙ (⊖b)
,
(⊕a) ⊙ (⊖b) = ⊖a ⊙ b = ⊖(a ⊙ b)
La S sia dotata anche di un elemento neutro bilatero per il prodotto che scriviamo 1, cioè sia ∀x x ⊙
1 = x = 1 ⊙ x;
nelle strutture costituite da trasformazioni per l’elemento neutro spesso si usa il termine identità
La S privata dello 0 sia munita anche dell’inversione rispetto al prodotto, operazione che trasforma x
nell’elemento x−1 tale che x ⊙ (x−1 ) = (x−1 ) ⊙ x = 1; anche questa operazione è una involuzione, cioè
x ⊙ (x−1 ) = (x−1 ) ⊙ x = 1 .
Su questa struttura si può definire la divisione, operazione binaria definibile solo se il secondo operando
a
è diverso da 0:
:= a · (b−1 )
b
a
Si usano anche le notazioni a/b := a : b :=
; la divisione si dice operazione inversa del prodotto.
b
a
a
Proprietà
·b = b·
= a
b
b
a
a
c
ad ± bc
a
c
ac
a d
ad
−a
a
−a
a
a
±
=
,
⊙
=
, cb =
⊙
=
,
=
,
=
= −
b
d
bd
b
d
bd
b
c
bc
−b
b
b
−b
b
d
;030C potenze e radici
potenze
Siano h, m ed n numeri interi e sia k un intero positivo.
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070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
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Alberto Marini
a0 := 1 ,
am+n = am · an
(a · b)n = an · bn
,
a1 := a , an := an−1 · a
1
, a−n := n , (a · b)n = an · bn
a
am
= am−n , (am )n = am n
an
( a )n
an
= n , (−a)2 h = a2 h ,
b
b
(−a)2 h+1 = −a2 h+1
radici
Consideriamo n e k interi positivi, m intero, a ed r reali non negativi.
√
√
n
a = r ⇐⇒ rn = a
si usa anche la scrittura a1/n := n a
a
m
n
:=
√
n
m
a
( √ )m
= na
,
√
√
n
n
an b = a b ,
√
√ √
n
n
ab = n a · b
√
√
n
a· ka =
√
nk
√
,
n
√
n
a
a
= √
n
b
b
an+k
;030D specie di strutture algebriche
magma o gruppoide struttura costituita da un insieme terreno e da un’operazione binaria che in genere
si chiama prodotto e che scriviamo ⊙; presentata formalmente con una notazione della forma ⟨M, ⊙⟩
quasigruppo magma ⟨Q, ⊙⟩ nel quale per ogni a, b ∈ Q sono univocamente definiti gli elementi c e d
tali che a ⊙ c = b e d ⊙ a = b; in parole povere magma nel quale sono sempre definite una divisione a
sinistra ed una a destra. Un magma è un quasigruppo sse la sua tavola di composizione è un quadrato
latino (v. D63).
loop
quasigruppo unitale, cioè semigruppo che possiede un elemento neutro bilatero, una identità.
semigruppo magma con ⊙ associativo
Esempi: ⟨P, +⟩, ⟨P, ·⟩, razionali positivi muniti di somma o di prodotto, reali positivi muniti di somma
o di prodotto
monoide semigruppo unitale; formalmente presentato con una notazione come ⟨M, ⊙, e⟩.
esempi: numeri naturali, razionali non negativi, reali non negativi muniti di somma; numeri positivi,
razionali positivi, reali positivi muniti di prodotto; booleano di un insieme munito di unione; insieme
delle relazioni entro un insieme munito del prodotto di composizione; classi di resti
gruppo monoide con tutti gli elementi dotati di inverso; forma tipica ⟨G, ⊙, e, −1 ⟩
Esempi: Z, Q, R, C munito di somma; Q+ , Qnz , R+ , Rnz muniti di prodotto; insieme delle permutazioni di un insieme munito del prodotto di composizione; simmetrie di un poligono regolare o di altro
tipo di figura dotata di qualche regolarità; insieme delle classi di resti modulo p con p numero primo
munito del prodotto modulo p
semianello struttura munita di due operazioni presentabile con una notazione come ⟨S, ⊕, ⊙⟩, con
⟨S, ⊕⟩ semigruppo abeliano, ⟨S, ⊙⟩ semigruppo con ⊙ distributivo su ⊕
Esempi: insieme delle matrici quadrate di dato profilo e classi di resti per un generico intero positivo
pseudoanello
semianello con ⊕ operazione di gruppo abeliano
anello semianello con ⊕ operazione di gruppo abeliano e ⊙ dotato di unità, quindi pseudoanello
unitale
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070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
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Esempi: insieme degli interi, dei pari, dei razionali, dei reali, dei complessi muniti di somma e prodotto
usuali
campo anello tale che tolto lo 0 ha il prodotto come operazione di gruppo abeliano
Esempi: insieme dei razionali, dei reali, dei complessi, delle classi di resti per un numero intero primo
semireticolo inferiore struttura munita di una operazione binaria chiamata incontro (meet) o massimo
dei minoranti che denotiamo con ∧ la quale è associativa, commutativa e idempotente
Esempi: controarborescenza
semireticolo superiore struttura munita di una operazione binaria chiamata giunzione (join) o minimo
dei maggioranti e denotata con ∨ la quale è associativa, commutativa e idempotente
reticolo struttura presentabile come ⟨L, ∧, ∨⟩ ove ∧ e ∨ sono due operazioni binarie che chiamiamo,
risp., giunzione e incontro tali che L, ∧⟩ è un semireticolo inferiore e ⟨L, ∨⟩ è un semireticolo superiore;
inoltre si chiede che valgano le due leggi di assorbimento:
∀a, b ∈ L
a ∨ (a ∧ b = a , a ∧ (a ∨ b = a .
Esempi: collezione dei sottoinsiemi di un dato insieme munito delle operazioni di intersezione ed unione;
insieme delle partizioni di un insieme ordinato per raﬃnamento; N × N ordinato parzialmemte sulle
due componenti
reticolo di Boole reticolo sul cui terreno è definita una involuzione ∼ (a ∨ b) = (∼ a) ∧ (∼ b)
Esempi: reticolo dei sottoinsiemi di un dato insieme munito della complementazione
⟨
⟩
modulo sinistro su anello se R = ⟨R, +, 0, −, ·, 1⟩ è un anello, è una struttura della forma R, ⊕, ⊖, 0, ,
tale che r (v + wSd) = r v + r w , (r + s) v = r v + s v r · s) v = rM (sM v) e 1 v = v
Esempi: trasformazioni lineari
modulo destro su anello struttura simile al modulo sinistro nella quale la moltiplicazione vede gli
elementi dell’anello posti a destra
spazio vettoriale o spazio lineare modulo su un anello arricchibile a campo F = ⟨F, +, 0, −, ·, −1 ⟩ e tale
che r v = v r
Esempi: insieme delle funzioni da un dato dominio a valori su un campo munito di tale campo e
delle estensioni funzionali della somma di vettori e della moltiplicazione per elementi del campo; in
particolare per ogni d intero positivo, l’insieme delle d-uple di elementi del campo; più in particolare
gli insiemi delle d-uple di numeri razionali, reali o complessi
algebra su campo spazio vettoriale munito di un prodotto distributivo sulla somma
Esempi: insieme delle matrici ad entrate su un campo; insieme delle trasformazioni lineari tra due
spazi vettoriali; insieme dei polinomi in una o più variabii su un dato campo; insieme dei polinomi di
grado inferiore a d su un dato campo; insieme dlle serie formali su un dato campo
morfismi
Consideriamo due strutture algebriche che si possono considerare magmi ⟨S1 , ⊙1 , ...⟩ ed ⟨S2 , ⊙2 , ...⟩.
Una funzione m ∈ {S1 −→ S2 } si dice: Questa si dice:
omomorfismo
sse mantiene la struttura algebrica, cioè sse ∀x1 , x2 ∈ dom(m)
endomorfismo
sse cod(m) ⊆ S1
epimorfismo
monomorfismo
isomorfismo
automorfismo
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x1 ⊙2 x2 = m(x1 ⊙1 x2 );
sse è suriettiva, cioè sse cod(m) = S2 ;
sse è iniettiva, cioè sse m ∈ {dom(m) ▹−−◃cod(m)};
sse è biiettiva, cioè sse m ∈ {S1 ▹−−◃S2 };
sse è una permutazione e S1 = S2 , cioè sse m è endomorfismo ed isomorfismo.
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
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Alberto Marini
Nei casi precedenti le due strutture si dicono, risp., omomorfe, endomorfe, epimorfe, momomorfe,
isomorfe ed automorfe.
;030E medie
⟩
⟨
Consideriamo n ∈ [2, 3, 4, ...) e la sequenza di numeri reali x = x1 , x2 , ..., xn .
x1 + x2 + · · · + xx
media aritmetica di x:
Mx :=
n
√
media geometrica di x con ∀i = 1, 2, ..., n xi > 0: Gx := n x1 · x2 · · · · · xn
( (
))−1
1
1
1
1
media armonica di x con ∀i = 1, 2, ..., n xi > 0: Hx :=
+
··· +
n x1
x2
xn
n
∑
⟨
⟩
consideriamo anche w = w1 , w2 , ..., wn con ∀i = 1, 2, ..., n xi > 0, wi > 0 e
wi = 1
media aritmetica pesata di x e w:
media geometrica pesata di x e w:
relazioni: Hx ≤ Gx ≤ Mx
con
Mx,wSd := w1 x1 + w2 x2 + · · · wn xn
i=1
w2
wn
1
Gx,w := xw
1 x2 · · · xn
Hx = Gx = Mx ⇐⇒ x1 = x2 = · · · = xn
;
Gx,w ≤ Mx,w
;030F progressioni
progressione aritmetica con inizio a, passo p e lunghezza s :
⟨
⟩
a, a + p, a + 2 p, ..., a + (s − 1) p
s(s − 1)
a+b
=
· s con b := a + (s − 1) p
2
2
⟨
⟩
progressione geometrica con inizio a, ragione q e lunghezza s :
a , a · q , a · q 2 , ... , a · q s−1
14
somma:
a·s+p
somma:
a·
q s−1
bq − a
=
q−1
q−1
con
b := a · q s−1
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MATeXp
;040 funzioni basilari sugli interi
{
0 sse h ̸= k
1 sse h = k
successore del naturale n succ(n) := n + 1
delta di Kronecker
δh,k =
;040A fattoriale e dintorni
fattoriale di n ∈ N
0! := 1 , 1! := 1 , n! := (n − 1)! · n
n! = 1 2 3 · · · n
nn √
formule di approssimazione alla Stirling
n! ≈
2πn
e
1
ln(n!) ≈ (n + 1/2) ln n − n + 2 ln(2 π) , ln(2 π) ≈ 1.83787 70664 09345
(2h)!! := 2 · 4 · 6 · · · · 2h
semifattoriale
(2h)! = h! 2h (2h − 1)!! ,
, (2h + 1)!! := 1 · 3 · 5 · · · · 2h
(2h + 1)! = (2h + 1)!! (2h)!!
Consideriamo s ∈ P , x ∈ R .
x0 := 1
fattoriale crescente
fattoriale decrescente
xs := x · (x + 1) · ... · (x + s − 1)
,
x0 := 1
,
xs := x · (x − 1) · ... · (x − s + 1)
funzione Gamma (vedi anche ;770A)
∫ +∞
∀x ∈ R+
Γ(x) :=
dt e−t tx−1
,
∀x ∈ R \ Z0,−
0
( )
√
1
= π
Γ(x + 1) = x Γ(x) , Γ
2
(
)
1
(2n − 1)!! √
∀n ∈ P
Γ(n) = (n − 1)! , Γ n +
π ,
=
2
2n
1
Risulta utile convenire che ∀ − n ∈ Z−
:= 0
(−n)!
Γ(x) :=
n! nx−1
n→+∞
xn
lim
(
)
1
(−1)n 2n √
Γ −n +
π
=
2
(2n − 1)!!
;040B coeﬃcienti binomiali e sviluppo del binomio
Consideriamo n, k ∈ N e a ∈ R .
( )
{
( )
{ k
n!
a
n
a
sse 0 ≤ k ≤ n
sse k ∈ P
:= k! (n−k)!
∀k ∈ N , a ∈ R
:=
k!
k
k
0
sse 0 ≤ n < k
1
sse k = 0
( ) (
)
( ) (
) (
)
n
n
a
a
a+1
=
,
+
=
k
n−k
k
k+1
k+1
(
( )
(
)
n
∑ n)
n n−1
n
n
n
sviluppo del binomio
(a + b) =
= a +
a
b + ··· +
a bn−1 + bn
j
1
n
−
1
j=0
casi particolari
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
fattorizzazioni nel campo reale
a −b
n
(a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3
a2 − b2 = (a + b)(a − b) ,
a4 − b4 = (a − b)(a + b)(a2 + b2 )
n
,
,
a3 ± b3 = (a ± b)(a2 − mpab + b2 )
√
√
a4 + b4 = (a2 + 2ab + b2 )(a2 − 2ab + b2 )
= (a − b)(an−1 + an−2 b + · · · + a bn−2 + bn )
;040C coeﬃcienti multinomiali e sviluppo del multinomio
⟨
⟩
Consideriamo s ∈ P, la s-upla di reali a1 , a2 , ..., as l’intero n ∈ N e l’insieme Kn delle s-uple di
⟨
⟩
interi naturali k1 , k2 , ..., ks la cui somma vale n.
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
15
Alberto Marini
⟨
⟩
Si dice coeﬃciente multinomiale relativo ad una k1 , k2 , ..., ks ∈ Ks,n il quoziente
(
)
n!
n
:=
k1 , k2 , · · · , ks
k1 ! k2 ! · · · ks !
⟨
⟩
Si dice sviluppo del multinomio relativo ad n, Ks,n e a1 , a2 , ..., as l’espressione
∑
n!
(a1 + a2 + · · · + as )n :=
a1 k1 a2 k2 · · · as ks
k
!
k
!
⟨
⟩
1
2 · · · ks !
k1 ,k2 ,...,ks ∈Ks,n
casi particolari
(a ± b + c)2 = a2 + b2 + c2 ± 2ab ± 2bc + 2ac
I coeﬃcienti multonomiali si possono introdurre senza fare riferimento a Ks,n per ogni sequenza di
⟨
⟩
n!
−
interi n, k1 , ..., ks−1 con n > 0 ponendo
k1 , k2 , ..., n − (k1 + k2 + · · · + kns−1 )
(
)
( )
n
n
Se s = 2 si ha
=
k1 , k 2
k1
16
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
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MATeXp
;050 sequenze finite specifiche
;050A sequenze combinatorie basilari
Denotiamo con s un intero positivo, con A un insieme finito e sia n := |A|; ad A può rendersi opportuno
assegnare un ordinamento totale. Qui esaminiamo sequenze di lunghezza s di elementi di A.
disposizioni con ripetizione di lunghezza s dell’insieme A: sono le s-uple di elementi di A, senza restrizioni
⟨
⟩
sulle componenti. Queste sequenze corrispondono alle funzioni dalla sequenza di interi 1, 2, ..., s
nell’insieme A ed il loro insieme è
Se denotiamo con DispR(F, s) il loro insieme, lo possiamo far coincidere con A×s , con la potenza
cartesiana s-esima di A. La sua cardinalità è quindi
|DispR(A, s)| = |A|s = ns
Entro tale insieme di sequenze si collocano tutte le altre sequenze che seguono.
disposizioni senza ripetizione di elementi di un insieme finito A: si tratta delle sequenze di A×s che
non presentano componenti ripetute; denotiamo con DispI(F, s) il loro insieme. Queste sequenze
corrispondono alle funzioni iniettive, ossia invertibili, cioè alle funzioni costituenti {(s] 7−→ A}. Per
il loro numero si ha
|DispI(A, s)| = n (n − 1) (n − 2) · · · (n − s + 1) = ns
Per avere |DispI(A, s)| > 0 deve essere N ≥ s.
permutazioni di A: sequenze costituite da n = |A| componenti costituite da elementi di A che non
presentano ripetizioni. In queste sequenze compaiono tutti gli elementi di A, ciascuno in una sola
posizione e quindi
P erm(A) = DispI(A, n)
,
|P erm(A)| = |A|! = n!
combinazioni senza ripetizione di lunghezza s di elementi di A ordinato totalmente da una relazione come
≺: sequenze crescenti di s componenti di A. Denotiamo il loro insieme con Comb(A, s) e osserviamo
che permutando le loro s componenti si ottengono tutte le sequenza di DispI(A, n).
( )
ns
n
|DispI(A, s)|
=
=
|Comb(A, s)| =
|P erm((s])|
s!
s
combinazioni con ripetizione di lunghezza s di elementi di A ordinato totalmente: sequenze non decrescenti
di s componenti di A.
Denotiamo il loro insieme con CombR(A, s) e osserviamo che quando A = {1, 2, ..., n} , si possono
porre in biiezione con le sequenze di Comb({1, 2, ..., n, ..., n + s − 1}, s) . Quindi
(
)
(n + s − 1)s
n+s−1
|CombR((n], s)| = |Comb((n + s − 1], s)| =
=
s!
s
;050D somme di potenze di interi
1 + 2 + 3 + ··· + s =
s
∑
s(s + 1)
j=
2
j=1
s
∑
s(s + 1)(2s + 1)(3s2 + 3s − 1)
j4 =
30
j=1
,
s
∑
s(s + 1)(2s + 1
j2 =
6
j=1
,
s
∑
s2 (s + 1)2
j3 =
4
j=1
, denotando con Bj il numero di Bernoulli di deponente j
p+1
( )
( )
(
)
s
2
∑
∑
sp
B2 p p−1 B4 p p−3
sp+1
sp
p
sp+1
B2m
p
+
+
s
+
s
··· =
+
+
sp−2m+1
j =
p
+
1
2
2
1
4
3
p
+
1
2
2m
2m
−
1
m=1
j=1
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070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
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Alberto Marini
;070 polinomi ed equazioni polinomiali
;070A polinomi
Sia n un intero non negativo e consideriamo una sequenza a = ⟨an , an−1 , ..., a2 , a1 , a0 ⟩ elementi di un
semianello K con an ̸= 0; in particolare interessano i casi K = R, K = C e K = Fp per p numero primo.
Si dice polinomio nella z variabile in K l’espressione
P (z) = bn z n + bn−1 z n−1 + · · · + b2 z 2 + b1 z + b0 =
n
∑
bj z j
j=0
La sequenza a si dice sequenza dei coeﬃcienti ddi P (z) ed n grado di tale polinomio; tale intero naturale
si denota con deg(P ). Aﬀermare che deg(P ) = n equivale ad enunciare an ̸= 0.
Un polinomio si può interpretare come funzione polinomiale del genere {K 7−→ K}.
I polinomi di grado 0 corrispondono alle funzioni costanti entro K; i polinomi di grado 1, della forma
a1 z + a0 corrispondono alle funzioni lineari entro K; quelli di grado 2, a2 z 2 + a1 z + a0 , alle cosiddette
funzioni quadratiche; quelli di grado 3 alle funzioni cubiche; quelli di grado 4 alle cosiddette funzioni
quartiche; quelli di grado 5 alle cosiddette quintiche e cosı̀ via.
Particolarmente utili sono le funzioni polinomiali su reali.
Conviene includere tra i polinomi su K anche il polinomio nullo P (z) ≡ 0 ed assegnargli il grado −1.
Spesso le considerazioni sui polinomi e sulle funzioni polinomiali si semplificano identificando le due
nozioni.
Sui polinomi si definiscono varie operazioni algebriche. Per questo consideriamo i generici poli0
∑
nomi P (z) e Q(z) =
qk z k e, quando serve, identifichiamo il polinomio di quest’ultima forma con
j=r
l’espressione
0
∑
qk z k con R > r, intendendo sia qk = 0 per k = r + 1, ..., R .
j=R
Somma P (z) + Q(z) :=
0
∑
(ak + qk ) z k .
k=M
Chiaramente la soma di polinomi è commutativa ed associativa.
Inoltre deg(P ) ̸= deg(Q) =⇒ deg(P ol + Q) = max(deg(P ), deg(Q) , mentre deg(P ) =
deg(Q) =⇒ deg(P ol + Q) ≤ max(deg(P ), deg(Q) .
Moltiplicazione per un elemento f di K f P (z) :=
0
∑
(f aj ) z j .
j=n
Per il grado f ̸= 0 =⇒ deg(f P (z)) = deg(P ), mentre deg(f P (z)) = −1 .
La moltiplicazione per −1 porta al polinomio opposto: (−1) P (z) = − P (z) =
0
∑
(−aj ) z j avente lo
j=n
stesso grado di P (z).
Prodotto: se i due polinomi fattori non sono nulli P (z) · Q(z) :=
0 ∑
0
∑
(aj qh ) z j+h e deg(P (z) ·
jn h=q
Q(z) = deg(P ) + deg(Q) .
Invece il prodotto con un fattore nullo porta al polinomio nullo.
Il prodotto di polinomi è commutativo ed associativo.
18
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
La divisione conduce ad entità più generali, le cosiddette funzioni razionali della forma
P (z)
.
Q(z)
;070B equazioni polinomiali
Una equazione polinomiale di grado n ∈ N ha la forma
(1)
P (z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a2 z 2 + a1 z + a0 = 0 .
Qui supponiamo che ∀i = 0, 1, 2, ..., n
z ∈ C e che l’incognita z appartenga a C.
L’insieme delle soluzioni della (1) coincide con l’insieme delle soluzioni della corrispondente equazione
monica, equazione caratterizzata dal polinomio monico
(2)
P (z) :=
P (z)
= xn + bn−1 xn−1 + · · · + b2 b2 + b1 z + bn = 0 .
an
La (2) si ricava subito dalla (1) e in genere si tratta un po’ più facilmente.
Un numero complesso s si dice zero o radice di P (z) di molteplicità m ∈ P sse si può scrivere
P (z) = (z − s)m Q(z) con Q(z) polinomio (non nullo) tale che Q(s) ̸= 0. Il polinomio Q(z) si ottiene
P (z)
come
mediante l’algoritmo euclideo.
(z − s)m
Se s è radice di molteplicità m di P (z), allora s è radice di molteplicità m − 1 della P ′ (z) = 0.
P (z) presenta il fattore (z − s)m sse P (s) = P ′ (s) = · · · = P (m−1) (s) = 0 .
In particolare P (z) presenta il fattore z − s sse P (s) = 0 .
Teorema fondamentale dell’algebra L’equazione algebrica P (x) = 0 di grado n presenta esattamente n
radici nel campo complesso, quando ciascuna radice di molteplicità m si conta m volte. Se le radici
sono s1 , s2 , ..., sn si ha P (z) = an (z − s1 ) (z − s2 ) · · · (z − sn ) .
a0
Ovviamente l’equazione di primo grado a1 z + a0 = 0 ha l’unica soluzione z = −
.
a1
Si trova che le equazioni dei gradi 2, 3 e 4 posseggono soluzioni date da espressioni generali nelle quali
intervengono dei radicali nei coeﬃcienti. Per gradi superiori, come dimostra il teorema di Ruﬃni-Abel,
risulta impossibile trovare espressioni generali contenenti radicali per le soluzioni; si trovano soluzioni
mediante radicali solo per equazioni particolari; di una generica equazione si possono ottenere solo
soluzioni approssimate.
Con le notazioni precedenti si hanno i seguenti collegamenti polinomiali tra coeﬃcienti e radici
(uguaglianze di Viéte).
an−1
s1 + s2 + · · · + sn = −
∑an
an−2
s1 s2 + s1 s3 + · · · + sn−1 sn =
si sj =
an
1≤i<j≤n
∑
an−3
s1 s2 s3 + s1 s2 s4 + · · · + sn−2 sn−1 sn =
si sj sk = −
an
1≤i<j<k≤n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a0
s1 s2 · · · sn = (−1)n
an
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070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
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Alberto Marini
;070C equazioni polinomiali con coeﬃcienti reali
Consideriamo un polinomio reale P (x). Se s è una sua radice non reale, allora è radice anche il suo
complesso coniugato s∗ , ossia
P (s) = 0 =⇒ P (s∗ ) = 0 .
Quindi un polinomio reale possiede un numero pari di radici non reali e se s è una di queste presenta
come fattore reale il binomio della forma z 2 − 2 ℜ(s) z + (ℜ(s)2 + ℑ(s)2 ) .
Quindi ogni polinomio reale si può fattorizzare mediante polinomi reali che possono essere solo di grado
1 e di grado 2; ossia ad ogni polinomio reale monico si può dare la forma
P (z) = (x − s1 )α1 · · · (x − sv )αv (x2 + t1 x + u1 )β1 · · · (x2 + tw x + uw )βw ,
dove α1 + · · · + αv + 2(β1 + · · · + βw ) = n .
Dato che i fattori quadratici assumono solo valori positivi, un polinomio P (x) privo di radici reali (di
grado pari) assume solo valori con il segno di an .
a0
Dunque un polinomio reale di grado pari e con
< 0 possiede almeno due radici reali di segno
an
opposto.
sn
Se tutti gli aj sono interi e se una radice è s =
con sn ed sd coprimi, allora sn divide b0 e sd
sd
divide bn .
Vale la regola dei segni di Cartesio: il numero delle radici reali positive, tenuto conto delle molteplicità,
è uguale al numero k dei cambiamenti di segno nella sequenza ⟨a0 , a1 , ..., an ⟩ oppure è uguale a k
diminuito di un intero positivo pari. Se tutte le radici sono reali il numero delle positive è k.
;070D equazioni quadratiche
Consideriamo sia l’equazione generale che l’equazione monica:
P (x) = a x2 + b x + c = 0
P (x) = x2 + β x + γ = 0 .
(
)2 ( )2
Attraverso il cosiddetto “completamento del quadrato”, cioè scrivendo P (x) = x + β2 − β2 +γ ,
per le soluzioni si ottengono, risp., le espressioni
√( )
√
2
−b ± b2 − 4ac
β
β
x =
x = − ±
−γ
2a
2
2
L’espressione b2 − 4 a c si dice discriminante dell’equazione P (x) = 0 .
– se b2 − 4 a c > 0 si hanno due radici reali diverse;
– se b2 − 4 a c = 0 si ha una radice reale di molteplicità 2;
– se b2 − 4 a c < 0 si hanno due radici complesse non reali coniugate diverse.
Denotiamo con x1 e x2 le due soluzioni della P (x) = 0 ossia della P (x) = 0; abbiamo P (x) =
(x − x1 )(x − x2 ) = 0 e quindi x1 + x2 = β e x1 x2 = γ .
;070E equazioni cubiche
Consideriamo l’equazione monica P (x) = x3 + r x2 + s x + t = 0 ; essa con la sostituzione
r
r2
2 r3
rs
y := x +
conduce alla equazione ridotta y 3 + p y + q = 0 , ove p := s −
e q :=
−
+t .
3
3
27
3
20
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
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MATeXp
Le soluzioni dell’equazione ridotta sono date dalle formule di Cardano:
√
q √
u := 3 − + D
2
√
q √
u := 3 − − D
2
y1 = u + v
y2 = ϵ u + η v
ove
y3 = η u + ϵ v
D :=
( p )3
+
( q )2
3
√2
1
3
ϵ := − + i
2
2
√
1
3
η := − − i
2
2
,
La loro collocazione nel piano complesso dipende dal discriminante D:
D > 0 si ha una soluzione reale x1 = u + v + 3r e due soluzioni complesse coniugate
√
r
u+v
3
+ ±i
(u − v)
x2,3 = −
2
3
2
– se D = 0 si ha una soluzione reale x1 e una soluzione reale di molteplicità 2 x2 = x3 , eccetto il caso
p = q = 0 per il quale si ha una sola radice reale molteplicità 3;
– se
se D < 0 si hanno tre radici reali.
Nell’ultimo caso le formula di Cardano forniscono due soluzioni reali mediante espressioni contenenti
immaginari. Si può rimanere nel campo reale servendosi di funzioni trigonometriche ed iperboliche.
√
Introdotto R := (sign(q) |p|
3 , si giunge alla seguente casistica
y1 =
p < 0∧D ≤ 0
q
cos ϕ =
2 R3
ϕ
−2 R cos
3
y2 =
−2 R cos(ϕ/3 + 4 π/3)
y3 =
−2 R cos(ϕ/3 + 4 π/3)
< 0 ∧ D > 0
q
cosh ϕ =
2 R3
ϕ
−2 R cosh
3
( )
( )
√
ϕ
ϕ
R cosh
− i 3 R sinh
(3)
(3)
√
ϕ
ϕ
R cosh
− i 3 R sinh
3
3
p
p
>
sinh, ϕ =
0
q
2 R3
ϕ
−2 R sinh
3
( )
( )
√
ϕ
ϕ
R sinh
− i 3 R cosh
(3)
(3)
√
ϕ
ϕ
R sinh
− i 3 R cosh
3
3
;070F equazioni quartiche
Consideriamo l’equazione P (x) = a x4 + b x3 + c x2 + d x + e = 0 ; essa con la sostituzione
b
y := x +
conduce alla equazione ridotta y 4 + p y 2 + q y + 0 + r = 0 , ove p, q ed r sono dati da
4
espressioni algebriche nei coeﬃcienti.
Le soluzioni di questa dipendono dalle soluzioni z1 , z2 e z3 della cosiddetta risolvente cubica:
z 3 + 2 p z 2 + (p2 − 4 r) z − q 2 = 0
Se tutte le zi sono reali positive la quartica possiede quattro soluzioni reali.
Se tutte le zi sono reali, ma una è positiva e due negative, allora la quartica possiede di due coppie di
soluzioni complesse coniugate.
Se una delle zi è reale e due sono complesse coniugate, allora la quartica possiede due soluzioni reali
ed una coppia di soluzioni complesse coniugate.
Conosciute le zi , le soluzioni della equazione quartica ridotta sono date da
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070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
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Alberto Marini
√
√
1 √
( z1 + z2 + z3 )
2
√
√
1 √
y2 = ( z1 − z2 − z3 )
2
√
√
√
1
y3 = (− z1 + z2 − z3 )
2
√
√
√
1
y4 = (− z1 − z2 + z3 )
2
Quando in particolare b = D = 0 si ha la cosiddetta equazione biquadratica la quale non è che una
equazione quadratica nella incognita v := x2 , a v 2 + c v + e = 0 ; le soluzioni della biquadratica si
ottengono come radici quadrate delle soluzioni di quest’ultima.
y1 =
Si giunge a soluzioni ricavabili da due equazioni quadratiche anche per le particolari equazioni quartiche
i che nella forma monica x4 + r x3 + s x4 + t x + u = 0 hanno coeﬃcienti che soddisfano la relazione
r2 + 8 t = 4 r s . in tal caso si giunge all’equazione biquadratica
(
)
r2
rx
2
w + s−
.
w+u = 0
ove
w := x2 +
4
2
r
Ciascuna delle soluzioni w1 e w2 di questa porta ad un’equazione quadratica x2 + x − wi = 0 e le
2
loro soluzioni forniscono le radici della quartica ora in esame.
;070G equazioni binomiche
Hanno la forma z n = c con c numero complesso.
In generale si ha una soluzione che si serve dell’espressione di c in coordinate polari, c = r eiθ : per
h = 0, 1, ..., n − 1 si può scrivere z n = c = r ei(θ+2 π h) e quindi
(
)
√
√
θ + 2πh
θ + 2πh
z = n r ei(θ+2 π h)/n = n r cos
+ i sin
n
n
Nel piano complesso le n radici zh per h = 0, 1, 2, ..., n − 1 sono i vertici del poligono regolare di n lati
√
θ
.
con centro nell’origine, vertici sul circumcerchio di raggio n r e anomalia di z0 pari a
n
√
In particolare l’equazione z 2 = c definiti x := ℜ(z 2 ) , y := ℑ(z 2 ) e ρ := |z 2 | = x2 + y 2 , si trovano
le radici
)
 (√
√

ρ+x
ρ−x

±
+
i
se y ≥ 0

2
2
√
(√
)
z = ± x + iy =
√

ρ+x
ρ−x

se y ≤ 0
±
2 −i
2
;070H decomposizioni dei polinomi
Ogni polinomio con coeﬃcienti reali D(x) si può decomporre in fattori di primo o secondo grado con
coeﬃcienti reali.
D(x) = d (x − r1 )m1 · · · (x − rh )mh (x2 + 2 a1 x + b1 )n1 · · · (x2 + 2 ak x + bk )nk
ove h, k ≥ 0 ,
22
∀j = 1, ..., k
aj 2 < b j
e
h
∑
k
∑
i=1
j=1
mi + 2
,
nj = deg(D) .
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
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MATeXp
;080 quozienti di polinomi e loro decomposizioni
Siano N (x) e D(x) due polinomi con deg(D(x)) > 0; la loro divisione si dice funzione razionale e per
essa si ha univocamente
R(x)
N (x)
= P (x) +
con deg(R) < deg(D) , deg(P ) = deg(N ) − deg(D) .
D(x)
D(x)
Q(x) si dice polinomio quoziente e R(x) polinomio resto di N (x) e D(x). vja
Consideriamo i polinomi reali R(x) e D(x) con deg(R(x)) < deg(D(x)) e si abbia la decomposizione
di D(x) in polinomi real dei gradi 1 e 2 data in ;070H. Allora si trova univocamente la seguente
decomposizione
I coeﬃcienti ρ1,1 , ρ1,2 ,..., σk,nk , τk,nk che, in numero di δ := deg(D), compaiono nei numeratori del
secondo membro si ottengono risolvendo l’equazione della forma R(x) = R(x), ove R(x) denota il
polinomio lineare nei suddetti coeﬃcienti ottenuto riducendo ad un unico denominatore la somma a
secondo membro della decomposizione richiesta. Si osserva che dalla uguaglianza dei coeﬃcienti delle
δ potenze xi per i=0,1,...,δ − 1 nella R(x) = R(x) si ottiene un sistema di δ equazioni negli altrettanti
coeﬃcienti incogniti.
Q(x) :=
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
23
Alberto Marini
;090 numeri interi
Insieme degli interi positivi P := {1, 2, 3, ...}
Insieme degli interi naturali N := {0, 1, 2, 3, ...} = {0} ∪˙ P
Insieme dei numeri interi negativi Z− := {..., −3, −2, −1} = {n ∈ P :| − n}
Insieme dei numeri interi Z := {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} = Z− ∪˙ N = Z− ∪˙ {0} ∪˙ P
Insieme degli interi diversi da 0 Znz := Z \ {0}
Insieme dei numeri pari Even := {n ∈ Z :| 2 n}
Insieme dei numeri dispari Odd := {n ∈ Z :| 2 n + 1}
;090A divisibilità fra interi
Insieme dei multipli di k ∈ Znz ,
k Z := {n ∈ Z :| k n}
Relazione di divisibilità,
h :| n sse n ∈ h P
È una relazione riflessiva, h :| h e transitiva, j :| h ∧ h :| k =⇒ j :| k
Insieme dei divisori di n ∈ Znz , Dvsr(n) := {h ∈ P ST h :| n}
(
)
massimo comun divisore MCD(h, k) = gcd(h, k) := max Dvsr(h) ∩ Dvsr(k)
Questa funzione si può estendere a funzione di 3 o più interi. Essa si ottiene eﬀettivamente mediante
l’algoritmo di Euclide per i numeri interi.
hk
minimo comune multiplo mcm(h, k) = lcm(h, k) :=
MCD(h, k)
;090B numeri primi
Un intero positivo si dice primo sse è divisibile solo per se stesso e per l’unità.
I numeri primi costituiscono una successione crescente illimitata (superiormente).
Consideriamo una m-pla di primi ⟨p1 , p2 , ..., pm ⟩; ogni fattore primo di p1 · p2 · · · pm + 1 è diverso dai
pj .
È utile considerare come successione dei numeri primi
⟨
⟩
PRMseq = j ∈ P :| p[j]
:= ⟨2, 3, 5, 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, ...⟩
ed estenderla definendo p[0] := 1 . Per l’insieme dei numeri primi scriviamo PRM := cod(PRMseq) .
A questa successione si riferisce la fattorizzazione mediante primi di un intero positivo m
ftrprm(m) =: 2e1 3e2 5e3 ...p[k] ek con eh ≥ 0 e ek > 0
Questa fattorizzazione consente di valutare il prodotto di due interi positivi mediante la sequenza delle
somme dei rispettivi esponenti dei successivi primi. Essa si estende naturalmente ai numeri razionali
e può servire per il loro prodotto, per la loro divisione e per le loro potenze; inoltre può servire per
valutare le loro radici.
Due interi positivi m ed n si dicono coprimi sse non hanno divisori comuni; questa relazione si denota
scrivendo m ⊥ n.
funzione totient di Eulero ϕeu := n ∈ N |{h ∈ {0, 1, 2, ..., n − 1} ST h ⊥ n}|

 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
ϕeu = 
y 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4 10 4 12 6
8
8 16 6
24
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici

19 20 ... 

18 8 ... y
2016-04-11
MATeXp
Denotiamo con πpr (x) la funzione che ad ogni x ∈ R+ associa il numero di primi minori o uguali ad
x; si tratta di funzione a scalini che cresce illimitatamente che non si sa esprimere in termini analitici,
x
ma si può valutare asintoticamente e per i singoli x. Si ha πpr (x) ∼x→∞
ed in particolare
ln x


 100 1000 10000 105
106
107
108
109 

πpr (x) ⊃ 
y 25 168
1229 9592 78498 664579 5761455 50847534 y
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
25
Alberto Marini
;100 esponenziali e logaritmi
a0 := 1
,
√
√
k
an := an−1 a , a1/k = k a , ah/k = ah
1
ax1 +x2 = ax1 ax2 , a−x = x , (a b)x = ax bx
a
sia b ∈ R , y = logb x ⇐⇒ x = by
(
)n
1
e := lim
1+
≈ 2.71828 18285 59045
n→+∞
n
a1 := a
,
y = ln x ⇐⇒ x = ey , x = by = ey ln b
1
x1
logb x1 x2 = logb x1 + logb x2 , logb
= − logb x , logb
= logb x1 − logb x2
x
x2
√
1
logb xp = p logb x , logb p x = =
logb x
p
1
x1
lnb x1 x2 = ln x1 + ln x2 , ln
= − ln x , ln
= ln x1 − ln x2 , logb xp = p logb x
x
x2
1
logc x
ln x
logb x =
=
,
y = logb x =⇒ b = x y
logc b
ln b
ln x := loge x ,
26
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;110 numeri complessi
i numero tale che i2 = −1
[
]
0 −1
è rappresentabile con la matrice mat(i) :=
che sui vettori 2 in R × R eﬀettua una rotazione
1 0
[
]
−1 0
intorno all’origine 02 di 90◦ nel verso antiorario; il suo quadrato mat(i2 ) :=
eﬀettua il
0 −1
mezzogiro
unità immaginaria
numero complesso
numero rappresentabile nella sua forma rettangolare
[ come] z = x + i y o equivalentemente come
x −y
coppia ⟨x, y⟩; oppure con la matrice mat(z) :=
y x
insieme dei numeri complessi C := R + i · R
a partire da z = x + i y ∈ C si ottengono la sua parte reale ℜ(z) := x e la sua parte immaginaria
ℑ(z) := y
ogni z ∈ C si può esprimere come z = ℜ(z) + i ℑ(z); l’unità immaginaria corrisponde alla coppia a
⟨0, 1⟩
numeri immaginari puri sono i[numeri
complessi = i · y con y reale, ossia[i numeri] dati dalle coppie ⟨0, y⟩,
]
0
0 −y
oppure dai vettori colonna
, oppure dalle matrici mat(i · y) :=
y
y 0
∗
ogni numero reale [x si] identifica con il particolare complesso
[ con]ℑ(x) = 0 ossia con x = x , ossia con
x
x 0
il vettore colonna
, ossia con la matrici mat(x) :=
0
0 x
per ogni x ∈ R la matrice mat(x) agisce su R × R come omotetia di fattore x;
per ogni immaginario puro i · y la matrice mat(i y) agisce su R × R come l’omotetia di fattore y seguita
(o preceduta) dalla rotazione oraria di 90◦ intorno all’origine
per ogni z = x + i y ∈ C la matrice mat(z) trasforma un vettore di R × R nella somma del vettore
ottenuto con l’omotetia mat(x) con il vettore ottenuto con l’omotetia mat(y) composta con la rotazione
oraria di 90◦ intorno all’origine
[
]
x −y
i numeri complessi z = x + i y sono in biiezione con le matrici 2 × 2 della forma
,
y x
operazioni sui numeri complessi
coniugato di un numero complesso z è z ∗ := x − i y = ℜ(z) + i ℑ(z) ; talora lo si denota con z; si tratta
di una involuzione
√
modulo di un numero complesso è il modulo del corrispondente vettore:
|z| :=
x2 + y 2 =
√
2
2
ℜ(z) + ℑ(z)
somma di due numeri complessi
z1 + z2 := (x1 + i y1 ) + (x2 + i y2 ) = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ) ; si tratta
di somma vettoriale commutativa ed associativa
mat(z1 + z2 ) = mat(z1 ) + mat(z2 )
opposto di un complesso
diﬀerenza di due complessi
−z := −x + (−y) = −ℜ(z) − ℑ(z)
z1 −z2 := z1 +(−z2 ) = (x1 +i y1 )+(−x2 −i y2 ) = (x1 −x2 )+i(y1 +y2 )
prodotto di due numeri complessi z1 ·z2 := (x1 +i y1 )·(−x2 −i y2 ) = (x1 ·x2 −y1 ·y2 )+i(x1 ·y2 +x2 ·y1 )
;
mat(z1 · z2 ) = mat(z1 ) · mat(z2 )
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
27
Alberto Marini
z · z ∗ = x2 + y 2 = |Z|2 = (x + i y) · (x − i y)
x2 − i y2
x2 − i y2
passaggio al reciproco di un complesso non nullo
z −1 =
=
(x2 + i y2 ) (x2 − i y2 )
x2 2 + y2 2
divisione tra due numeri complessi
z1
x1 + i y1
(x1 + i y1 )(x2 − i y2 )
(x1 · x2 + y1 · y2 ) + i (x2 · y1 − x1 · y2 )
:=
=
=
z2
x2 + i y2
(x2 + i y2 )(x2 − i y2 )
x2 2 + y2 2
( )∗
z1
z1 ∗
(z1 ± z2 )∗ = z1 ∗ ± z2 ∗
z1 · z2 ∗ = z1 ∗ · z2 ∗
=
z2
z2 ∗
z1 = |z1 |
||z1 | − |z2 || ≤ |Z1 ± z2 | ≤ |z1 | + |z2 |
|z1 · z2 | = |Z1 | · |z2 |
z2 |z2 |
⟨
⟩
−1
campo dei numeri complessi
C , + , − , ⟨0, 0⟩ , · , ⟨1, 0⟩ ,
modulo come prodotto
forma polare o trigonometrica dei numeri complessi
√
y
z = x + i y = r (cos θ + i sin θ) ove r = x2 + y 2 = |z| , θ = arg z = arctan
x
formula di De Moivre
∀n ∈ Z
(cos, θ + i sin θ)n = cos n θ + i sin n θ
ei θ + e−i θ
ei θ − e−i θ
formule di Eulero
cos θ =
sin θ =
2
2
forma esponenziale dei numeri complessi
z = x + i y = r (cos θ + i sin θ) = r ei θ
Consideriamo z1 = r1 eiθ1
e z2 = r2 eiθ2
z1 · z2 = r1 r2 ei(θ1 +θ2 )
arg(z1 · z2 ) = arg z1 + argz2
z1
r1 i(θ− θ2 )
z1
=
e
arg
= arg z1 − argz2
z2
r2
z2
n
n
n inθ
z = (r ei θ ) = r e
arg(z n ) = n arg(z)
∀n ∈ Z
28
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;120 funzioni trigonometriche e collegate
1◦ =
π
rad ≈ 0.017543 rad
180
,
1 rad =
180◦
≈ 57.295 780
π
;120A funzioni trigonometriche
nel piano cartesiano Oxy consideriamo la circonferenza circle(A, r) con centro in A = 02 = ⟨0, 0⟩, il
suo punto C = ⟨c, a⟩ con c > 0 ed −r ≤ a, c ≤ r , la proiezione di C su Ox B = ⟨b, 0⟩ ed il triangolo
∆(A, B, C) avente gli angoli α in A, β in B e γ in C
a
b
a
seno
sin α :=
coseno
cos α :=
tangente
tan α :=
c
c
b
b
1
c
c
cotangente
cot α :=
=
secante
sec α :=
cosecante
csc α :=
a
tan α
a
b
sin x
cos x
1
sin2 x + cos2 x = 1 , tan x =
, cot x =
=
cos x
sin x
tan x
1
1
1
1
sec x =
, csc x =
,
= 1 + tan2 x ,
= 1 + cot2 x
2
sin x
cos x
cos x
sin2 x
sin(−x) = − sin x , cos(−x) = cos x , tan(−x) = − tan x , cot(−x) = − cot x
(π
)
(π
)
sin
− x = cos x = − cos(π − x) , cos
− x = sin x = sin(π − x)
( π2 )
( π2 )
tan
− x = cot x = − cot(π − x) , cot
− x = tan x = − tan(π − x)
2
2
= 15◦
x
0
π
12
sin x
0
1
4 (√6
1
4( 6
cos x
1
tan x
0
cot x
±∞
√
π
10
√
2)
√
+ 2)
√
2− 3
√
2+ 3
= 18◦
√
−
1
4
5−1
4
√
√
10 + 2 5
√
√
√
5−2 5
5
√
5+2 5
π
6
= 30◦
1
√2
3
2
√
3
3
√
3
π
5
1
4
= 36◦
√
√
10 − 2 5
√
5−1
4
√
√
5−2 5
√
√
5+2 5
5
π
4
= 45◦
√
2
√2
2
2
1
1
√
± sec2 x − 1
1
√
√
sin x = ± 1 −
x =
=
=
=
2
2
secx
csc
x
± 1 + tan x
± 1 + cot x
√
√
1
cot x
1
± csc 2 x − 1
√
√
cos x = ± 1 − sin2 x =
=
=
=
2
2
csc x
secx
± 1 + tan x
± 1 + cot x
√
√
2
sin x
1
1
± 1 − cos x
√
√
tan x =
=
= ± sec2 − 1 =
=
2
cos
x
cot
x
± csc 2 x − 1
± 1 − sin x
√
√
± 1 − sin2 x
cos x
1
1
√
√
cot x =
=
=
=
= ± csc 2 x − 1
sin x
tan x
± 1 − cos2 x
± sec2 x − 1
√
√
csc x
1
± 1 + cot2 x
1
2
√
√
= ± 1 + tan x =
=
sec x =
=
2x−1
2
cos
x
cot
x
±
csc
± 1 − sin x
√
√
1
1
± 1 + tan2 x
sec x
√
√
csc x =
=
=
= ± 1 + cot2 x =
sin x
tan x
± 1 − cos2 x
± csc 2 x − 1
1 + cos 2 x
1 − cos 2 x
1 − cos 2 x
, cos2 x =
, tan2 x =
sin2 x =
2
2
1 + cos 2 x
√
2016-04-11
cos2
tan x
1
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
29
Alberto Marini
(
(
(
(
π)
π)
π)
π)
sin x ±
= ± cos x , cos x ±
= ∓ sin x , tan x ±
= − cot x , cot x ±
= − tan x
2
2
2
2
sin(x ± π) = − sin x , cos(x ± π) = − cos x , tan(x ± π) = tan x , cot(x ± π) = cot x
sin(x ± 2π) = sin x ,
sin(π − x) = sin x ,
sin(2π − x) = − sin x
cos(x ± 2π) = cos x
cos(π − x) = − cos x ,
,
cos(2π − x) = cos x
tan(x ± 2π) = tan x
,
,
,
tan(π − x) = − tan x ,
tan(2π − x) = − tan x ,
cot(x ± 2π) = cot x
cot(π − x) = − cot x
cot(2π − x) = − cot x
sin(x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y ,
tan x ± tan y
,
tan(x ± y) =
1 ∓ tan x tan y
√
√
x
1 − cos x
x
1 + cos x
sin = ±
, cos = ±
,
2
2
2
2
cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sin x sin y
cot x cot y ∓ 1
cot(x ± y) = ±
cot x ± cot y
√
x
1 − cos x
sin x
1 − cos x
tan =
=
=±
2
sin x
1 + cos x
1 + cos x
2 tan x
sin 2x = 2 sin x cos x , cos 2x = cos2 x − sin2 x = 1 − 2 sin2 x = 2 cos2 x , tan 2x =
1 − tan2 x
3 tan x − tan3 x
sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x , cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x , tan 3x =
1 − 3 tan2 x
4 tan x − 4 tan3 x
sin 4x = 4 sin x cos x − 8 sin3 x cos x , cos 4x = 8 cos4 x − 8 cos2 x + 1 , tan 4x =
1 − 6 tan2 x + tan4 x
( )
( )
n
n
sin nx = n sin x cosn−1 x −
sin3 x cosn−3 x +
sin5 x cosn−5 x − · · ·
3
5
( )
( )
n
n
cos nx = cosn x −
sin2 x cosn−2 x +
sin4 x cosn−4 x − · · ·
2
4
( )
(
)
m
∑
2m
1
2m
1
2m
j
sin x =
(−1)
cos 2jx
+ 2m−1
m 22m
m−j
2
j=1
(
)
m
∑
1
2m − 1
sin2m−1 x = 2m−2
(−1)j−1
sin(2j − 1)x
m−j
2
j=1
( )
)
m (
∑
2m
1
1
2m
cos2m x =
+
cos 2jx
m 22m
22m−1 j=1 m − j
)
m (
1 ∑ 2m − 1
2m−1
cos
x = 2m−2
cos(2j − 1)x
2
m−j
j=1
formule di prostaferesi
(
)
(
)
(
)
(
)
x±y
x∓y
cos x + y
cos x − y
sin x ± sin y = 2 sin
· cos
, cos x ± cos y = ±2
·
2
2
sin
2
sin
2
sin(x ± y)
sin(y ± x)
tan x ± tan y =
, cot x ± cot y =
cos x cos y
sin x sin y
;120B funzioni trigonometriche inverse
π
π
≤y≤
2
2
arcocoseno
y = arccos x ⇐⇒ x = cos y dove − 1 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ π
π
π
arcotangente
y = arctan x ⇐⇒ x = tan y dove − ∞ ≤ x ≤ +∞ , − ≤ y ≤
2
2
arcocotangente
y = arccot x ⇐⇒ x = cot y dove − ∞ ≤ x ≤ +∞ , 0 ≤ y ≤ π
√
√
x
1 − x2
arcosecante
arcsin x = arccos 1 − x2 = arctan √
= arccot
x
1 − x2
arcoseno
30
y = arcsin x ⇐⇒ x = sin y
dove
−1≤x≤1 , −
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
√
x
x
1 − x2 = arccos √
= arccot √
2
1−x
1 − x2
x
1
1
arctan x = arcsin √
= arccos √
= arccot
x
1 − x2
1 − x2
1
x
1
arccot x = arcsin √
= arccos √
= arctan
2
2
x
1−x
1−x
arcocosecante
arccos x = arcsin
;120C funzioni iperboliche
seno iperbolico
ex − e−x
2
ex + e−x
cosh x :=
2
ex − e−x
tanh x := x
e + e−x
ex + e−x
coth x := x
e − e−x
sinh x :=
coseno iperbolico
tangente iperbolica
tangente iperbolica
sinh(−x) = − sinh x x
cosh(−x) = cosh x x , tanh(−x) = − tanh x x , coth(−x) = coth x x
√
tanh
1
sinh x = ± cosh2 x − 1 = √
= ±√
2
1 − tanh x
coth2 x − 1
sinh
1
| coth x|
cosh x = √
= √
=√
2
2
1 + sinh x
1 − tanh x
coth2 x − 1
√
sinh x
cosh2 x − 1
1
= ±
tanh x = √
=
2
cosh x
coth x
1 + sinh x
√
1 + sinh2 x
cosh x
1
coth x =
= ±√
=
2
sinh x
tanh
x
cosh x − 1
,
sinh x
cosh x
1
,
tanh x =
=
cosh x
sinh x
tanh x
sinh(x ± y) = sinh x cosh y ± cosh x sinh y , cosh(x ± y) = cosh x cosh y ± sinh x sinh y
tanh x ± tanh y
1 ± coth x coth y
tanh(x ± y) =
, coth(x ± y) =
1 ± tanh x tanh y
coth x ± coth y
cosh2 x − sinh2 x = 1
,
= tanh x =
sinh 2x = 2 sinh x cosh x
2 tanh x
1 + tanh2 x
√
cosh x − 1
x
= ±
sinh
2
2
√
x
cosh x − 1
sinh x
tanh
= ±
=
2
cosh x + 1
cosh x + 1
x−y
x+y
cosh
sinh x + sinh y = 2 sinh
2
2
x+y
x−y
cosh x + cosh y = 2 cosh
cosh
2
2
sinh x + y
tanh x ± tanh y =
cosh x cosh y
1
[cosh(x + y) − cosh (x − y)]
sinh x sinh y =
2
tanh 2x =
2016-04-11
cosh 2x = sinh2 x + cosh2 x
,
coth2 x + 1
2 coth2 x
√
x
cosh x + 1
, cosh
=
2
2
√
x
cosh x + 1
sinh x
, coth
= ±
=
2
cosh x − 1
cosh x − 1
x+y
x−y
, sinh x − sinh y = 2 cosh
sinh
2
2
x+y
x−y
, cosh x − cosh y = 2 sinh
sinh
2
2
sinh x ± y
, coth x ± coth y =
sinh x sinh y
1
, sinh x cosh y =
[sinh(x + y) + sinh (x − y)]
2
,
coth 2x =
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
31
Alberto Marini
cosh x cosh y =
1
[cosh(x + y) + cosh (x − y)]
2
;120D funzioni iperboliche inverse
argomento del seno iperbolico
argomento del coseno iperbolico
(
)
√
y = sinh x ⇐⇒ x = arsinh y = ln y + y 2 + 1
(
)
√
y = cosh x ⇐⇒ x = arcosh y = ln y + y 2 − 1
argomento della tangente iperbolica
argomento della cotangente iperbolica
sinh i x = i sin x ,
per y ≥ 1
1
1+y
ln
per |y| < 1
2
1−y
1
y+1
y = coth x ⇐⇒ x = arcoth y = ln
per |y| > 1
2
y−1
y = tanh x ⇐⇒ x = artanh y =
cosh i x = i cos x tanh i x = i tan x ,
coth i x = i cot x
sinh(x + i y) = sinh x cos y + i cosh x sin y , cosh(x + i y) = cosh x cos y + i sinh x sin y
tanh x + i tan y
1 − i coth x cot y
tanh(x + i y) =
, coth(x + i y) =
1 + i tanh x tan y
coth x − i cot y
32
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;150 matrici e algebra lineare
In questa sezione m ed n denotano due interi positivi (di solito maggiori di 1) e K un semianello;
questo nei casi di maggiore interesse è il campo dei reali o il campo dei complessi. Per gli elementi di
K useremo notazioni come α, β, ai , ai,j e bk .
;150A vettori colonna e riga
Per le sequenze di elementi di K, che qui chiamiamo anche vettori, e per e le loro composizioni che
diciamo matrici adottiamo una rappresentazione piana canonica che denotiamo con VMPR (vector and
matrix canonical plane representation); secondo VMPR, innanzitutto, la sequenza a = ⟨a1 , a2 , ..., am ⟩
viene rappresentata da un vettore colonna e con esso di solito viene identificata:


a1
 a2 

a = 
 ... 
am
Diciamo vettore trasposto di a la rappresentazione mediante vettore riga della sequenza:
a := [a1 , a2 , ..., am ]
Si definisce moltiplicazione di α ∈ K per a la sequenza rappresentata secondo VRPR dal vettore
colonna


α a1
 α a2 

α · a := 
 ... 
α am
Come prodotto scalare delle sequenze a e b con lo stesso numero m di componenti si pone
m
∑
a · b := a1 b1 + a2 b2 + · · · + am bm =
ai bi .
i=1
Il prodotto scalare va considerato una funzione bilineare simmetrica, in quanto si hanno
a · (β b + γ c) = β a · b + γ a · c
b ·a = a ·b .
e
Si dice norma o lunghezza di a |a| :=
√
√
a · a = a1 2 + a2 2 + · · · + am 2 .
Due vettori a e b si dicono ortogonali, e si scrive a ⊥ b , sse a · b = 0.
;150B matrici 1


a1,j


Consideriamo n vettori colonna aj =  a2,j  per j = 1, 2, ..., n e l’operazione di aﬃancamento, non
..
.a
m,j
a2 fornisce una funzione del genere {(m] × (2] 7−→ K} che secondo VMPR
a
a1,2 
1,1
 a2,1 a2,2 
viene presentata sulla pagina con il quadro 
.. 
 ..
 Si chiede anche che l’aﬃancamento sia
.
.
am,1 am,2
commutativa, che per a1
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
33
Alberto Marini
associativo e quindi si definisce matrice ottenuta aﬃancando a1 , a2 , ..., an , la funzione {(m]×(n] 7−→ K}
che secondo VMPR viene presentata dal quadro
a

a
··· a
1,1
1,2
 a2,1
 .
 .
.
am,1
a2,2
..
.
am,2
···
..
.
···
1,n
a2,n 
.. 

.
e concisamente da
[ai,j |: i ∈ (m], j ∈ (n]]
am,n
Denotiamo con Matm,n (K) l’insieme delle matrici m×n con entrate in K; a queste matrici si attribuisce
il profilo m × n.
Si dice matrice quadrata una matrice con le righe etichettate come le colonne e in particolare
numeri delle righe e delle colonne coincidenti. Matm,m (K) si abbrevia spesso con Matm (K) .
a
0
···
1,1
 a2,1 a2,2 · · ·
Particolari matrici quadrate sono le matrici triangolari inferiori aventi la forma 
..
..
 ..
.
.
.
am,1
cioè le matrici [ai,j |: i, j ∈ (m]] tali che i < j =⇒ ai,j = 0 .
am,2
···
con i
0
0
..
.




am,m
Si dicono invece matrici triangolari superiori le matrici [ai,j |: i, j ∈ (m]] tali che i > j =⇒ ai,j = 0
a
0
···
0 
1,1
a2,2 · · ·
0 
 0
Si dicono matrici diagonali le matrici quadrate aventi la forma 
..
.. 
..
 ..
 ¡ cioè tali che
.
.
.
.
0
0
· · · am,m
i ̸= j =⇒ ai,j = 0 . La precedente matrice si denota anche con diag(a1,1 , a2,2 , · · · , am,m ).
L’insieme delle matrici diagonali è l’intersezione dell’insieme delle triangolari inferiori con quello delle
triangolari superiori.
Particolari matrici diagonali sono la matrice identità 1n
h · 1n = diag(h, h, · · · , h) .
:=
diag(1, 1, · · · , 1) ed i suoi multipli
Si dice matrice permutativa corrispondente ad una permutazione π = ⟨π1 , π2 , ..., πm ⟩ la matrice
M prm(π) = [Mi,j |: i, j ∈ (m]] dove Mi,j = δπi ,j .
Altre matrici particolari sono le matrici nulle aventi tutte le entrate uguali a 0; la matrice nulla di
profilo m × n la scriviamo 0m,n .
;150C operazioni su matrici
Consideriamo m, n, µ, ν, p, q ∈ P e le matrici A = [ai,j |: i ∈ (m], j ∈ (n]] , B = [bi,j |: i ∈ (µ], j ∈ (ν]] e
C = [ci,j |: i ∈ (p], j ∈ (q]] .
Si definisce somma di matrici (per µ = m e ν = n)
A + B := [ai,j + bi,j |: i ∈ (m], j ∈ (n]] ∈ Matm,n
La somma di matrici è associativa e commutativa; inoltre α · (A + B) = α · A + α · B e la matrice
0m,n è l’elemento neutro per la somma di matrici m × n.
Si dice moltiplicazione di matrice per un α ∈ K
α · A := [α · ai,j |: i ∈ (m], j ∈ (n]]
Si possono quindo considerare le combinazioni lineari di matrici α A + β B con α, β ∈ K; le matrici di
un dato profilo quindi costituiscono uno spazio vettoriale.
Si dice passaggio alla matrice opposta
−A := [ai,j |: i ∈ (m], j ∈ (n]]
si dice diﬀerenza fra matrici (per µ = m e ν = n) A−B := A+(−B) = [ai,j −bi,j |: i ∈ (m], j ∈ (n]]
Le matrici A ∈ Mat + m, n e B ∈ Matµ,ν si dicono conformabili o moltiplicabili sse n = µ.
34
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp


n
∑
prodotto di matrici conformabili A · B :=  ai,j bj, h |: i ∈ (m], h ∈ (ν] ∈ Matm,ν .
j=1
Il prodotto si può applicare ad ogni coppia di matrici m × m e fornisce una matrice dello stesso profilo.
La matrice identità m × m è l’unità per il prodotto tra matrici di tale profilo.
Il prodotto è un’operazione associativa e in genere non commutativa, anche limitatamente alle matrici
quadrate; ad esempio:
[
] [
]
[
]
[
]
[
] [
]
1 1
1 0
2 1
2 1
1 0
1 1
·
=
̸=
=
·
.
0 1
1 1
1 1
1 1
1 1
0 1
Inoltre, se π e ϕ denotano due permutazioni, per il prodotto delle corrispondenti matrici permutative
si ha M prm(π) · M prm(ϕ) = M prm(π ◦ ϕ); il prodotto di tali matrici rispetta il prodotto di Peirce
delle corrispondenti permutazioni e tale prodotto in generale non è commutativo.
Moltiplicando la matrice A ∈ Matm,n a sinistra per la matrice M perm(π) con π ⊂ Symm si ottiene la
matrice ottenuta dalla A sottoponendo le sue righe alla permutazione π. Dualmente moltiplicando la
A ∈ Matm,n a destrasinistra per la matrice M perm(ϕ) con ϕ ⊂ Symn si ottiene la matrice ottenuta
dalla A sottoponendo le sue colonne alla permutazione ϕ.
Commutano invece le matrici diagonali:

 



a1,1 · · ·
0
b1,1 · · ·
0
a1,1 b1,1 · · ·
0
 ..

..  ·  ..
..  = 
..
..
..
..
..
 .


.
.
.
.   .
. 
.
.
0
· · · an,n
0
· · · bn,n
0
· · · an,n bn,n

 

b1,1 · · ·
0
a1,1 · · ·
0

..  ·  ..
..  .
..
..
=  ...
.
.
.   .
. 
0
· · · bn,n
0
· · · an,n
Il prodotto mantiene la caratteristica di essere matrici triangolari inferiori e la caratteristica di essere
matrici triangolari superiori.
Una matrice A = [ai,j |: i ∈ (m] , j ∈ (n]], si può considerare ottenuta, non solo con l’aﬃancamento
di n vettori colonna, ma anche come come sovrapposizione di m vettori riga a∗,i per i ∈ (m].
Il prodotto di matrici si può considerare un assemblaggio di prodotti scalari; considerando il primo
fattore A come sovrapposizione di vettori riga ai,∗ ed il secondo B come aﬃancamento di n vettori
colonna b∗,h , le entrate del prodotto A · B risultano esprimibili da prodotti scalari:
A · B = [ai,∗ · b∗,h |: i ∈ (m], h ∈ (ν]] .
Si dice trasposta della matrice A ∈ Matm,n e si scrive A la matrice in Matn,m ottenuta dalla A
scambiando di ruolo le righe e le colonne:
a
a
a1,2 · · · a1,n 
a1,2 · · · am,1 
1,1
1,1
 a2,1 a2,2 · · · a2,n 
 a1,2 a2,2 · · · am,2 
 :=  .
A = 
.
.
.
..
.. 
.
..
 .
 .

..
..
.. 
.
.
.
.
.
am,1 am,2 · · · am,n
a1,n a2,n · · · am,n
La trasposizione delle matrici generalizza la trasposizione di vettori riga e vettori colonna. La trasposizione sull’insieme delle matrici quadrate di dato profilo è una involuzione.
Si dice matrice simmetrica una matrice quadrata che coincide con la sua trasposta. Le matrici simmetriche sono i punti fissi per l’involuzione trasposizione delle matrici quadrate.
Si dice matrice antisimmetrica una matrice quadrata che coincide con l’opposta della sua trasposta.
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
35
Alberto Marini
1
Ad ogni matrice quadrata A risultano associate la matrice simmetrica (A + A ) e la matrice anti2
1
simmetrica (A − A ); inoltre A è ottenibile come somma delle due.
2
Per ogni matrice A ∈ Matm,n sono simmetriche le matrici A · A ∈ Matm,m e A · A ∈ Matn,n .
La trasposizione rispetta la combinazione lineare delle matrici: in formula:
∀A, B ∈ Matm,n , α, β ∈ K
(α A + β B) = α A + β B .
La trasposizione di un prodotto comporta invece lo scambio dei fattori trasposti; infatti
(A · B) = (B ) · (A ) .
Diciamo complessa coniugata di una matrice avente come entrate dei numeri complessi A = [ai,j |: i ∈
(m], j ∈ (n]] ∈ MatC,m,n la matrice le cui entrate sono i complessi coniugati degli ai,j , *A∗ :=
[ai,j ∗ |: i ∈ (m], j ∈ (n]] ; coniugazione complessa è una involuzione di MatC,m,n , rispetta la combinazione lineare delle matrici in tale insieme e rispetta anche il prodotto di matrici conformabili, ossia
(A · B)∗ = A∗ · B ∗ .
Si dice coniugata hermitiana di A ∈ MatC,m,n e si scrive Adag , la matrice complessa coniugata della
∗
sua trasposta; si ha Adag = A = A∗ .
Una A ∈ MatC,n,n si dice matrice hermitiana sse A = Adag , cioà sse A = A∗ ; si dice invece matrice
antihermitiana sse Adag = −A, cioè sse A = −A∗ .
La coniugazione hermitiana è una involuzione avente come punti fissi le matrici hermitiane; per l’azione
della coniugazione hermitiana sul prodotto, come per la trasposizione, si ha (A · B)dag = B dag · Adag
.
L’insieme delle matrici hermitiane e l’insieme delle matrici antihermitiane sono chiusi rispetto alla
combinazione lineare con coeﬃcienti reali.
Per ogni matrice quadrata A ed ogni α ∈ R, α(A + Adag ) è una matrice heermitiana ed i α (A − Adag )
è una matrice antihermitiana. Inoltre A si può ottenere come somma di una matrice hermitiana con
una matrice antihermitiana:
1
i
A = (A + Adag ) + (A − Adag ) .
2
2
Si definisce traccia di una matrice quadrata la somma delle sue entrate diagonali: Tr(A) :=
n
∑
ai,i .
i=1
La traccia può considerarsi un funzionale lineare:
β B) = α Tr(A) + β Tr(B)
∀A ∈ Matm,n , B ∈ Matn,m
36
∀A, B ∈ Matn , α, β ∈ K
T r(α A +
Tr(A · B) = Tr(B · A).
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;150D determinanti
Consideriamo una permutazione π di {1, 2, ..., n}; denotiamo con ncdecr(π) il numero delle coppie
⟨πi , πj ⟩ con i < j tali che πi > πj ; si dice segno della π l’intero sign(π) := (−1)n cdecr(π); le permutazioni con segno +1 si dicono pari (come ncdecr(π)), quelle con segno −1 si dicono dispari.
Se n ≥ 2 tra le n! permutazioni di Permn n!/2 sono pari ed altrettante dispari. La funzione segno di
permutazione è
Definiamo determinante di una matrice quadrata n × n A l’elemento di K dato dall’espressione
a1,1 a1,2 · · · a1,n ∑
a2,1 a2,2 · · · a2,n :=
sign(π) a1,π1 a2,π2 · · · an,πn .
det A = .
.
.
.
..
..
.. ..
π∈Permn
am,1 am,2 · · · am,n
a1,1 a1,2 In particolare per n = 1, 2, 3:
|a1,1 | = a1,1
a2,1 a2,2 = a1,1 a2,2 − a1,2 a2,1
a1,1
a2,1
a3,1
a1,2 a1,3 a2,2 , a2,3 = a1,1 a2,2 a3,3 +a1,2 a2,3 a3,1 +a1,3 a2,1 a3,2 −a1,1 a2,3 a3,2 −a1,3 a2,2 a3,1 −a1,2 a2,1 a3,3
a3,2 , a3,3 Il determinante di una matrice triangolare inferiore, e di una matrice triangolare superiore è dato dal
prodotto delle entrate diagonali.
Proprietà:
det(A ) = det(A) det(A · B) = det(A) · det(B) det(1n ) = 1 det(k A) = k n det(A)
. Inoltre il determinante di una matrice permutativa è il segno della corrispondente permutazione.
Se la matrice A presenta una riga o una colonna con tutte le entrate nulle, allora det(A) = 0 .
Se nella matrice A si scambiano due righe o due colonne il determinante cambia di segno; se le righe
o le colonne della matrice sono sottoposte ad una permutazione π, il determinante viene moltiplicato
per sign(π).
Se la matrice A presenta due righe uguali o due colonne uguali, allora det(A) = 0 .
Il determinante di una matrice ottenuta dalla A moltiplicando per una costante k una sua riga o una
sua colonna è uguale a k det(A).
Il determinante di una matrice ottenuta dalla A aggiungendo ad una sua riga (o risp. una sua colonna)
un’altra sua riga (risp. un’altra sua colonna) moltiplicata per una costante è uguale a det(A).
Sia n un intero maggiore o uguale a 2, A una matrice quadrata di Matn ed i, j ∈ (n]; denotiamo con
A\⟨i,j⟩ la matrice ottenuta dalla A la i-esima riga e la j-esima colonna e consideriamo det(A\⟨i,j⟩ ).
Si definisce come cofattore di A relativo a ⟨i, j⟩ il valore cftri,j (A) := (−1)i+j det(A\⟨i,j⟩ ).
Si hanno le seguenti espressioni per il determinante di A:
n
∑
∀i ∈ (n]
det(A) =
a( i, j) cftri,j (A)
sviluppo secondo la riga i.
j=1
∀j ∈ (n]
det(A) =
n
∑
a( i, j) cftri,j (A)
sviluppo secondo la colonna j.
i=1
Una matrice quadrata ha determinante diverso da 0 sse tutte le sue righe sono linearmente indipendenti
sse tutte le sue colonne sono linearmente indipendenti.
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070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
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Alberto Marini
;150E inversione di matrici
Sia A una matrice quadrata n × n.
Si dice matrice inversa della A, la matrice di Matn , se esiste, che si denota con A−1 che soddisfa le
relazioni A · A−1 = A−1 · A = 1n .
Se A possiede matrice inversa si dice matrice invertibile.
Se A è dotata di inversa A−1 , allora A−1 è invertibile e (A−1 )−1 = A .
Se A e B sono matrici quadrate invertibili, è tale anche A · B e si ha (A · B)−1 = B −1 · A−1 .
La trasposizione di matrici e il passaggio alla inversa come azioni sulle matrici quadrate commutano:
(A )−1 = (A−1 ) .
La matrice quadrata A è invertibile sse det(A) ̸= 0 sse le righe di A sono linearmente indipendenti
sse le colonne di A sono linearmente indipendenti.
Ogni matrice permutativa M prm(π), avendo il determinante uguale a sign(π), è invertibile e la sua
inversa è M prm(π −1 ) .
;150F matrici: rango e riduzione a scaglioni
Definiamo rango di una matrice A ∈ Matm,n il massimo ordine delle sue sottomatrici quadrate con
determinante diverso da 0. Tale intero lo denotiamo con rnk(A).
Il rango di una matrice si può anche definire come massimo numero di sue righe linearmente indipendenti, oppure come massimo numero di sue colonne linearmente indipendenti.
Diciamo trasformazioni elementari -rnkconsrow le seguenti trasformazioni di matrici:
scambio di due righe;
moltiplicazione di una riga per uno scalare diverso da 0;
addizione ad una riga di un’altra riga.
Tutte queste trasformazioni conservano il rango, sono biiezioni e possono ottenersi moltiplicando la
matrice da trasformare per una opportuna matrice.
Anche la trasposizione non modifica il rango. Quindi il rango di una matrice non cambia se le si
eﬀettuano le corrispondenti delle trasformazioni precedenti riguardanti le colonne, trasformazioni che
chiamiamo trasformazioni elementari -rnkconscol.
Quindi non cambia il rango anche se si applicano le cosiddette trasformazioni -rnkcons, cioè sequenze
di trasformazioni elementari -rnkconsrow e -rnkconscol; tra queste trasformazioni si trovano le permutazioni di righe e di colonne e la somma ad una riga (risp. colonna) di una qualsiasi combinazione
lineare di altre righe (risp. colonne).
Due matrici A e B si dicono equivalenti -rnkcons sse l’una si può trasformare nell’altra applicando
trasformazioni -rnkcons.
Una matrice si dice a scaglioni o a gradini (echelon) sse ha le seguenti proprietà: (1) nella prima riga ha
la prima entrata diversa da 0; (2) per j = 2, ..., r presenta la riga j-esima con zj zeri iniziali seguiti da
una entrata diversa da 0, dove j < k ≤ r =⇒ 1 ≤ zj < zk ; (3) se r < m presenta m − r righe con
entrate nulle.
L’entrata nella posizioni ⟨j, zj + 1 si dice pivot della riga j della matrice.
Mediante permutazioni delle colonne una matrice a scaglioni si può ridurre ad avere tutti i pivots sulla
diagonale principale.
38
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
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MATeXp
Infine mediante ricombinazioni lineari delle righe o delle colonne una matrice a scaglioni può essere
trasformata in una matrice con la sottomatrice delle prime r righe e delle prime r colonne uguale a 1r .
Ovvio quindi che il rango della matrice a scaglioni suddescritta sia r.
Una qualsiasi matrice mediante trasformazioni -rnkcons si può trasformare in una matrice a scaglioni.
Il rango di una matrice si può anche definire come rango di ogni matrice a scaglioni ad essa equivalente
-rnkcons.
Valgono le seguenti proprietà del rango:
rnk(A · B) = min(rnk(A), rnk(B))
rnk(A · A ) = rnk(A · A) = rnk(A) .
;150G sistemi di equazioni lineari, ossia SLE
Consideriamo m, n ∈ P, la matrice A = a1,∗ a2,∗ · · · am,∗
a
1,1
 a2,1
= 
 ..
.
a
 m,1


x1
b1
il vettore colonna b =  b2  ed il vettore colonna x =  x2 .
..
..
.x
.b

m
a1,2
a2,2
..
.
···
···
..
.
am,2
· · · am,n
a1,n
a2,n
..
.


,

n
Si dice sistema di m equazioni lineari nelle n incognite x1 , x2 ...
forma

a x + a1,2 x2 + · · · + a1,n xn

 1,1 1
a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · · + a2,n xn
......


am,1 x1 + am,2 x2 + · · · + am,n xn
ed xn il sistema di equazioni della
= b1
= b2
= bn
Nel seguito abbrevieremo “sistema di equazioni lineari” ed il suo plurale con la sigla SLE. Il sistema
caratterizzato da A e b lo denotiamo costruttivamente con S = SLE(A, b); di questo sistema S A si
dice matrice dei coeﬃcienti e b vettore di termini noti; ogni x che soddisfa le sue equazioni, si dice soluzione
di Scl, mentre il vettore formale x si dice vettore delle incognite. Ad uno SLE attribuiamo come profilo
il profilo della sua matrice dei coeﬃcienti.
S si dice omogeneo sse b = 0m , disomogeneo in caso contrario; di ogni S = SLE(A, b) disomogeneo il
sistema So := SLE(A, 0n si dice corrispondente omogeneo.
Inoltre si dice matrice dei coeﬃcienti allargata di S la matrice B := A b .
Un sistema SLE(A, b) che possiede una sola soluzione si dice SLE determinato, uno privo di soluzioni si
chiama SLE impossibile ed uno con più soluzioni si dice SLE indeterminato. In un sistema indeterminato
le soluzioni sono caratterizzate da un numero f di incognite che possono assumere valori arbitrari e
sono dette indeterminate libere; in tal caso si dice che il sistema possiede ∞f soluzioni.
Sia m = n, caso di SLE con tante equazioni quante le incognite.
Se rnk(A) = n, cioè det(A) ̸= 0 S0 ) ha una sola soluzione data da 0n ; in tal caso anche rnk(B) = n ed
S possiede una sola soluzione.
Se rnk(A) < n, e quindi det(A) = 0, S0 possiede ∞n−rnk(A) soluzioni; per lo SLE disomogeneo si danno
due casi: quando rnk(A) < rnk(B) non si ha alcuna soluzione; quando rnk(A) = rnk(B) < n si hanno
∞n−rnk(A) soluzioni.
Sia n < m, caso di sistema con meno incognite che equazioni.
Se rnk(A) = n, S0 ) ha una sola soluzione, mentre rnk(A) < rnk(B) ed S non possiede alcuna soluzione.
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
39
Alberto Marini
Se rnk(A) < n, S0 possiede ∞n−rnk(A) soluzioni; per il sistema disomogeneo si danno due casi: quando
rnk(A) < rnk(B) = n si ha una sola soluzione; quando rnk(A) = rnk(B) < n si hanno ∞n−rnk(A)
soluzioni.
Sia n < m, caso di SLE con più incognite che equazioni.
Se rnk(A) = n, S0 ) ha infinite soluzioni; per il sistema disomogeneo si danno due casi:
quando rnk(A) < rnk(B), S non possiede alcuna soluzione; quando rnk(A) = rnk(B) < n si hanno
∞n−rnk(A) soluzioni.
;150H soluzione degli SLE mediante eliminazione di Gauss
Si può ricercare la soluzione di un sistema SLE(A, b) procedendo ad eﬀettuare modifiche delle equazioni
che lo compongono seguendo da vicino il procedimento di trasformazione di un matrice ad una equivalente a scaglioni. Alle equazioni del sistema si possono applicare le operazioni elementari (1) scambio
delle equazioni, (2) moltiplicazione di tutti gli addendi di una equazione per uno scalare diverso da 0 4
(3) aggiunta ad una equazione di un’altra. Queste sono in stretta corrispondenza con le trasformazioni
elementari -rnkconsrow (1), (2) e (3) viste in ;150? per una generica matrice; ora questa matrice svolge
il ruolo di matrice dei coeﬃcienti del sistema.
Con queste trasformazioni e attribuendo opportuni nuovi indici alle incognite con una permutazione
che corrisponde alla stessa permutazione delle colonne della matrice dei coeﬃcienti modificata si giunge
ad un sistema che, posto r := rnk(A), ha la forma

∑n

 c1,1 ξ1 + c1,2 ξ2 + · · · + c1,r ξr + ∑nj=r+1 c1,j ξj

c2,2 ξ2 + · · · + c2,r ξr + j=r+1 c2,j ξj

. . . . . . . . . . .∑
...


n
cr,r ξr + j=r+1 cr,j ξj
= β1
= β2
= βr
In questo sistema si distinguono chiaramente le incognite basiche ξ1 , ξ2 ,...,ξr che corrispondono ai
pivots e le incognite libere che possono assumere valori qualsiasi ed in particolare il valore 0. La
determinazione dei valori delle incognite basiche si eﬀettua con facilit‘a procedendo a ritroso da ξr a
ξ1 . È questo il metodo della eliminazione delle variabili di Gauss.
;150I soluzione degli SLE quadratici
Vediamo come calcolare la soluzione, esistente ed unica, di un sistema SLE(A, b) con det(A) ̸= 0.
Chiaramente la soluzione si può ottenere mediante la matrice inversa con l’espressione x = A−1 · b .
Più operativamente si possono prendere in considerazione le espressioni costitunti la regola di Cramer.
Scriviamo ∆ := det(A) e per j = 1, 2, ..., n denotiamo con Dj il determinante della matrice ottenuta
dalla A sostituendo la sua colonna j con il vettore colonna dei termini noti B.
Allora per j = 1, 2, ..., n si ottengono le componenti delle incognite xj mediante le espressioni
Dj
xj =
.
∆
40
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;150J approssimazione dei minimi quadrati
Consideriamo uno SLE(A, b) di profilo m × n privo di soluzioni esatte; può essere utile trovare una sua
soluzione approssimata.
Introduciamo il corrispondente
errore
 vettoriale E = ⟨E1 , E2 , ..., Em ⟩ := A · x − b ̸= 0m le cui

n
∑
componenti sono Ei =  ai,j xj  − bi per i = 1, 2, ..., m . Si tratta di individuare un vettore x che
j=1
rende minimo il cosiddetto errore quadratico medio
1
1
σ := √ |A · x − b| = √ |E| =
m
m
√
)
1 ( 2
E1 + E2 2 + · · · En 2 .
m
Un tale x si può considerare una soluzione mediamente migliore di SLE(A, b) e si dice soluzione in
media del sistema in esame.
Ogni soluzione dello SLE di profilo n × n della forma A · A · x = A · b rende minimo σ ; Di
questo sistema, chiamato sistema delle equazioni normali di Gauss, esiste sempre almeno una soluzione,
soluzione in media.
;150J disuguaglianze
Consideriamo a e b numeri reali.
)
1 ( 2
|a b| ≤
a + b2
2
2016-04-11
,
∀ρ ∈ R+
1
|a b| ≤
2
(
1
ρ a + b2
ρ
)
2
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
41
Alberto Marini
;200 geometria piana 1
;200A triangoli
Denotiamo con ∆(A, B, C, α, β, γ, a, b, c) il triangolo i cui vertici, procedendo nel verso antiorario,
sono A, B e C, i cui angoli interni relativi ai suddetti vertici sono Â = α, B̂ = β e Ĉ = γ ed i cui lati
sono, risp., a (opposto ad A), b opposto a B e c opposto a C). Denotiamo inoltre con A la sua area,
con R il suo circumraggio e con r il suo inraggio. Preferenzialmente presenteremo a ≤ b ≤ c.
Prime proprietà:
α + β + γ = 180◦
, α < β < γ =⇒ a < b < c
Membri notevoli di un triangolo
– altezze ha , hb e hc ; inoltre poniamo Ha := ha ∩ BC ecc.
– bisettrici degli angoli interni bα , bβ e bγ
– punti medi dei lati Ma , Mb ed Mc
– assi dei lati, perpendicolari dei lati nei loro punti medi
– mediane ma , mb e mc
Concorrono in un punto
– le altezze (nell’ortocentro)
– le bisettrici (nell’incentro)
– le perpendicolari ai punti medi dei lati (nel circocentro)
– le mediane (nel centroide
Due triangoli sono uguali sse vale una delle seguenti uguaglianze di membri corrispondenti
- tre lati (condizione SSS)
- un angolo e i due lati che lo includono (condizione SAS)
- un lato e i due angoli che lo includono (condizione ASA)
Due triangoli ∆(A, B, C, α, β, γ, a, b, c) e ∆(A′ , B ′ , C ′ , α′ , β ′ , γ ′ , a′ , b′ , c′ ) sono congruenti, cioè
a
b
c
= ′ = ′ e α = α′ , β = β ′ γ = γ ′ ,
′
a
b
c
a
b
c
sse hanno i lati proporzionali, ′ = ′ = ′
a
b
c
b′
b
- sse α = α′ e = ′
c
c
- sse (α = α′ e β = β ′
Se due triangoli ∆ e Dlt′ sono simili, allora
)2
(
( a )2
A
ha
=
= ······
=
a′
h′ a′
A′
triangoli rettangoli
teorema di Pitagora a2 + c2 = c2
c hc
b
a
a+b−c
ab
c
√
=
,
=
, hc = cA cB , R =
, r =
A =
2
2
cA
cB
2
2
√
a
Se il triangolo rettangolo è isoscele, a = b , allora α = β , c = a 2 e h c = √
2
√
Se α = 60◦ , allora c = 2 b ed ‘a = b 3
triangoli equilateri
42
a = b = c e α = β = γ = 60◦
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
√
√
3
a2 3
h2
1
a
a
2
h =
a , A =
= √ , r =
h = √
, R = 2r = √ =
h
2
4
3
3
3
2 3
3
triangoli isosceli che caratterizziamo con a = b , equivalente a α = β (pons asinorum)
√
c2
c
◦
◦
γ = 180 − 2 α e quindi γ < 90 ⇐⇒ c < a = b , hc =
b2 −
, hb = hc
4
b
√
5
−
1
1
se γ = 36◦ , allora , α = β = 72◦ , a = b = c
=
≈ 0.61803 c
2
ϕ
(v. ;010 numero di Fidia)
1
se γ = 72◦ , allora , α = β = 54◦ , a = b = c √
√
2 10 − 2 5
√
1+ 5
se γ = 108◦ , allora , α = β = 36◦ , a = b = c
= ϕ ≈ 1.61803 c
2
triangoli in generale
√
a ha
b c sin α
A =
=
e permutate ; A =
p(p − a)(p − b)(p − c) formula di Erone
2
2√
2 p(p − a)(p − b)(p − c)
ha = c sin β =
e simili
a
v (
u
√
(
)2 )
u
2 b2 + 2 c2 − a2
a
t
ha =
bc 1 −
e permutate
;
sa =
e permutate
2
b+c
R =
sin α
a
2
a =
a+b
a−b
abc
2A
A
;
r =
=
4A
a+b+c
p
sin β
sin γ
1
=
=
=
legge dei seni
b
c
2R
b2 + c2 − 2 b c cos α e permutate legge dei coseni
(
)
tan α+β
2
(
) e permutate legge delle tangenti
=
α−β
tan
2
e permutate formula SAS dell’area
soluzioni dei triangoli
dati i tre lati (SSS), si utilizzano due leggi dei coseni e la α + β + γ = 180◦
dati due lati e l’angolo compreso (SAS), ad es. b, α e c, si ottiene a dalla legge dei coseni;
quindi se b < c β dalla legge dei seni e γ = 180◦ − α − β
dati due lati e un angolo non compreso (SSA), ad es. b, c e β, si ottiene γ dalla legge dei seni,
α come 180◦ − β − γ ed a dalla legge dei coseni; sono possibili due soluzioni
dati un lato e due angoli adiacenti (ASA), ad es. a, β e γ, si ottiene γ = 180◦ − α − β ;
quindi e b e c dalla legge dei seni.
;200B circonferenze
centro Z , raggio r, diametro d, circonferenza c vjq c = 2 π r = π d , A = π r2 =
settore circolare
lunetta
2016-04-11
relativo all’angolo al centro θ
corrispondente al suddetto settore
arco s = θ r , area
π d2
4
sr
α r2
=
2
2
corda k e sagitta h
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
43
Alberto Marini
θ
k = 2 r sin
, h = r
2
(
)
( )2
θ
k
1
r2
1
cos
=
, area
(θ − sin θ) =
(r k − (r − h)k)
2
2
2r − h
2
2
;200C quadrilateri
seguendo il verso antiorario denotiamo i suoi successivi lati con a, b, c e d , i suoi vertici con A = d ∩ a,
B, C e D e i suoi angoli α := Â, B, C e D; le sue diagonali siano e := AC ed f := BD; denotiamo
con θ un angolo formato dalle diagonali.
quadrato quadrilatero regolare
lati a e angoli a 90◦
2
√
e
a
a
A = a2 =
, r=
, e=a 2 , R= √
2
2
2
rettangolo
quadrilatero caratterizzato da 4 angoli retti, da due lati a e b
√
e
Acl = a b , e = a2 + b2 , R =
2
parallelogramma quadrilatero con latti paralleli a coppie
caratterizzato dai lati a e b, dagli angoli angoli α e β = 180◦ − α, dalle altezze ha e hb , diagonali
e ed f
√
ha = b sin α , A = a ha = a b sin α , e2 + f 2 = 2(a2 + b2 ) , e = a2 + b2 + 2 a b cos α ,
√
f = a2 + b2 − 2 a b cos α
rombo
parallelogramma con i 4 lati uguali
ef
α
α
A = a ha = a2 sin α =
, e2 + f 2 = 4 a2 , e = 2 a cos
, f = 2 a sin
2
2
2
aquilone quadrilatero simmetrico rispetto ad una diagonale
angoli bisecati dall’asse di simmetria α adiacente a due lati a e β adiacente a due lati b; angoli
simmetrici γ
γ = 180◦ −
α+β
2
trapezio quadrilatero con due lati paralleli (basi)
i lati siano a, b, c e d com a//c; gli angoli α = da, β = ab, γ = bc e δ = cd;
√
(a + c)ha
A =
, ha = d sin α = b sin β , e =
a2 + b2 − 2 a b cos β
2√
f = a2 + b2 − 2 a d cos α
se α = β si parla di trapezio isoscele il quale è un quadrilatero secante
potrebbe essere α > 90◦ oppure β > 90◦ ;
se invece 0 < α < 90◦ ma 90◦ < β < 180◦ si ha un trapezio intrecciato
quadrilatero in generale
α + β + γ + δ = 360◦ , θ = 90◦ ⇐⇒ a2 + c2 = b2 + d2
1 2
1√ 2 2
1
e f sin θ =
(b + d2 − a2 − c2 ) tan θ =
A =
4 e f − (b2 + d2 − a2 − c2 )
2
4
4
quadrilatero tangente
√
1
a + c = b + d , A = p r dove p = (a + b + c + d) , se α + γ = β + δ, allora A = a b c d
2
quadrilatero secante
√
α + γ = β + δ = 180◦ ,
(p − a)(p − b)(p − c)(p − d)
√
√
1 (ac + bd)(ad + bc)(ab + cd)
(ad + bc)((ac + bd)
R =
, e =
, ef = ac + bd
4
A
ab + cd
44
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
pentagono regolare e pentagramma
lunghezza lati a , ampiezza angoli interni 108◦ centro Z , inraggio o apotema r , circumraggio R
,
lunghezza delle 5 diagonali g ; esse costituiscono il pentagramma
si può decomporre in 5 triangoli isosceli come ABZ aventi base a, altri due lati R, altezza r, un angolo
di 72◦ e due angoli di 54◦
a
r = , R = √
√ , A = , g==
2 10 − 5
;200D poligoni regolari
numero dei lati n ciascuno di lunghezza a
n−2
n(n − 3)
angoli interni di ampiezza α =
180◦ ; numero delle diagonali
n
2
◦
◦
1
180
a
180
a
A =
n a2 cot
, r =
cot
, R =
4
n
2
n
2 sin(pi/n)
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
45
Alberto Marini
;210 geometria dei solidi 1
;210A poliedri convessi
definiamo poliedro convesso ogni solido convesso, cioè tale che ogni segmento delimitato da due suoi
punti interni o di confine appartiene completamente al solido
per ogni poliedro denotiamo con V il suo volume e con S la sua superficie totale ; spesso sono caratterizzati da tre lati in direzioni diverse a, b e c, diagonale maggiore d, area di base B e da una distanza
fra un vertice privilegiato e la base hB
ogni poliedro P è caratterizzato dal numero dei vertici v(P), dal numero delle facce f (P) e dal numero
degli spigoli e(P) ; vale la
v(P) + f (P) = e(P) − 2
relazione di Eulero
parallelepipedo
solido definito da 3 vettori (spigoli) applicati nello stesso punto (vertice) non complanari le cui lunghezze denotiamo con ⃗a, ⃗b e ⃗c ; i tre parallelogrammi P rlgrm(⃗a, ⃗b), P rlgrm(⃗b, ⃗c) e
P rlgrm(⃗c, ⃗a) definiti dai duetti di vettori spigoli {a, b}, {b, c} e {c, a} sono 3 delle sei facce del solido
; le altre 3 si ottengono, risp., traslando P rlgrm(⃗a, ⃗b) di ⃗c, P rlgrm(⃗b, ⃗c) di ⃗a e P rlgrm(⃗c, ⃗a) di ⃗b ;
c
c
servono gli angoli α := ⃗b, ⃗c, β := ⃗cc
, ⃗a e γ := ⃗a, ⃗b
V = a b sin γ c sin α sin β , S = 2 (a b sin γ + b c sin α + c a sin β)
parallelepipedo rettangolo o cuboide
parallelepipedo con le facce rettangolari
√
d = a2 + b2 + c2 , S − 2(ab + bc + ca) , V = a b c
prisma
solido definito da un poligono non intrecciato B (una delle due basi) e da un vettore ⃗v
applicato ad un punto della base ; costituito dai punti dei vettori applicati ai vari punti della base e
paralleli a ⃗v
d⃗v )
V = B hB , hB = v sin(B,
piramide
caratterizzata da base B e vertice V
denotiamo questo solido con P yr(B, V ), con hB la distanza tra V e B scriviamo
1
V =
B hB
3
tronco di piramide caratterizzato dalle basi B e B′ su piani paralleli ed aventi distanza del vertice V ,
risp., hB e hB′ ; può ottenersi eliminando da P yr(B, V ) la piramide P yr(B′ , V ) ; denotiamo co hB la
distanza dal V di B e con hB′ la distanza da V di B ′ e supponiamo hB′ < hB
( ′ )3/2
(
)3
)
√
V(B ′ , V )
B
hB′
hB′ (
′
′
B+ BB +B
,
=
=
V =
3
V
B
hB
poliedri regolari o solidi platonici
caratterizzati solo dalla lunghezza a di ciascuno degli spigoli
tetraedro regolare
√
√
√
√
2
6
6
3
3
, S = a 3, R = a
, r = a
V = a
12
4
12
esaedro regolare o cubo
√
a
3
, r =
V = a3 , S = 6 a2 , R = a
2
2
ottaedro regolare
46
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MATeXp
√
√
2
a
a
V = a
, S = a2 3 , R = √ , r = √
3
2
6
3
dodecaedro regolare
√
√
√
√
√
√
√
15 + 7 5
(1 + 5) + 3
a 50 + 22 5
V = a3
, S = 3 a2 5(5 + 2 5) , R = a
, r =
4
4
4
5
icosaedro regolare
√
√
√
√
√
√
1
5
(3
+
5
2(5
+
5)
7+3 5
2
3
, S = a 5 3, R = a
, r = a
V = a
12
4
2
6
relazione di Eulero per i poliedri regolari
poliedro P
v(P)
e(P)
f(P)
tetraedro
cubo
ottaedro
dodecaedro
icosaedro
4
8
6
20
12
6
12
12
30
30
4
6
8
12
20
Il tetraedro, meglio sarebbe la classe di similitudine del tetraedro regolare, è autoduale; il cubo e
l’ottaedro sono mutuamente duali; il dodecaedro e l’icosaedro sono duali.
;210B cilindri, coni
cilindro generale
definito da figura piana di base B, avente il contorno K := ∂B semplice e
dB
rettificabile e da retta generatrice, retta orientata G passante per un punto di K ; sia inoltre ϕ := R,
;
definito vettore v(P ) := v · vers(R) applicato in P := R ∩ B di lunghezza |v| e direzione vers(R), si
introduce la seconda base B ′ ottenuta traslando B di v e si ottiene il cilindro finito delimitato dalle basi
e dalla superficie laterale L := {P ∈ K :| v(P )} ; la sua altezza scriviamo h := |v| sin ϕ ;
V = B h , L = 2 B + |v| KSs
cilindro circolare retto
le basi sono cerchi di raggio ρ e ϕ = 90◦
B = π r2 , L = 2 π r h , S = 2 π (r + h) , V = π r2 h
cono illimitato
figura solida definita da una base B e da un vertice V che individuiamo come
Kone±∞ (V, B); B è una figura piana avente semplice il contorno K := ∂B ; V è un punto che non
giace sul piano di B ;
la superficie laterale di questa figura è costituita dalle sue generatrici, rette passanti per V e per P
punto variabile su K; l’insieme dei suoi punti è costituito dai punti delle rette V Q con Q punto
variabile in B
se ci si limita alle semirette V, Q si ha il cono illimitato unilatero che scriviamo Kone∞ (V, B)
si dice cono finito la figura delimitata da B e dalla superficie laterale L := {P ∈ K :| P V } ; la sua
altezza sia h := dist(V, B) ; tale figura si denota con Kone(V, B)
1
Bh
V =
3
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
47
Alberto Marini
tronco di cono
si ottiene delimitando il suddetto cono finito con una seconda base B ′ ottenuta
intersecando il cono con un piano parallelo al piano di B e distante dal vertice h′ con h′ < h ; siano
V′ := V(Kone(V, B ′ ) e Vtr := V \ V′
( ′ )3/2
( ′ )3
(
)
√
′
B
h
V′
′
′
Vtr := h−h
B
+
B
B
+
B
,
=
=
3
V
B
h
cono circolare retto
la base è un cerchio di raggio ρ e centro Z ed il vertice si trova sulla normale
alla base per Z; quindi h = ZV
√
π 2
ρ h
distanza fra vertice e circonferenza s =
ρ2 + h2 , A = π ρ s , L = π ρ (s + ρ) , V =
3
′
tronco di cono circolare retto
delimitato da una seconda base circolare B tagliata su Kone(V, B da
′
piano parallelo a quello di B con centro Z ′ con V Z ′ = h′ ove h′ < h e raggio ρ′ = ρ hh
√
distanza su una generatrice delle due circonferenze s =
(ρ − ρ′ )2 + (h − h′ ) , L = π
;210C sfera
caratterizzata solo dal raggio r e dal centro Z; in eﬀetti tutte le sfere sono simili
4
π r3
S = 4 π r2 , V =
3
angolo solido o sterangolo
si prenda un punto Z nello spazio, un piano che non lo tocca e su questo una curva chiusa semplice γ e
la superficie conica K formata dalle semirette che escono dal vertice Z e toccano i punti di γ; ciascuno
dei due coni solidi delimitati da K può considerarsi un angolo solido; scelto uno dei due angoli solidi,
lo si misura con la superficie della sfera di raggio 1 e centro Z che è sezione dell’angolo; si misura in
steradianti ed assume valori compresi tra 0 e 4 π; preferenzialmente lo denotiamo con ω
calotta sferica
figura delimitata da parte della superficie sferica e da una base ottenuta sezionando
la sfera con un piano che dista dal centro r cos ϕ
raggio del cerchio di base ρ = r sin ϕ , altezza del solido h = r (1 − cos ϕ) , h (2 r − h) = ρ2
π 2
π
ϕ
S = 2πrh , V =
h (3 r − h) =
h (3ρ2 + h2 ) , ω = 4 π sin2
3
6
2
segmento sferico
figura delimitata da due cerchi ottenuti sezionando la sfera con due piani paralleli
che distano dal centro, risp., r cos ϕ ed r cos psi, ove si chiede −90◦ ≤ ϕleqψ ≤ 90◦ ; le due basi
presentano, risp., i raggi ρ = r sin ϕ e σ = r sin ψ e sono distanti h = r (cos ψ − cos ϕ) vjq
π
ϕ
ψ
S = 2πrh , V =
h (3 ρ2 + 3 σ 2 + h2 , ω = 4 π (sin2 − sin2
6
2
2
settore sferico
figura ottenuta considerando la circonferenza γ sezione della superficie sferica con un
piano che dista r cos ϕ da Z e delimitandola con il cono avente il vertice in Z e come base il cerchio
delimitato da γ e con la parte della superficie sferica delimitata da γ ; si ammette sia −90◦ ≤ ϕ ≤ 90◦
2 π r2 h
V =
3
toro circolare
si considerino ρc e ρs con 0 < ρs < ρc , circonferenza γ di centro Z e raggio ρc in un
piano Π e circonferenza σ con centro in un P ∈ γ e raggio ρs nel piano ortogonale a Π; toro circolare
è la superficie tracciata da σ quando P percorre γ
S = 4 π 2 ρc ρs , V = 2 π 2 ρc ρs 2
sfera in n dimensioni con n = 3, 4, 5, ...
48
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
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MATeXp
V = rn
πk
se
k!
n = 2 k , V = rn
2k π k−1
se
(2 k − 1)!!
n = 2k − 1 ,
S =
nV
r
;210D trigonometria sferica
triangoli sferici
lati archi di circonferenze massimali a, b e c, misurati da angoli al centro, angoli α,
β e γ ; tutte le misure angolari siano minori di 180◦
1
1
(a + b + c) e τ :=
(α + β + γ)
introduciamo i semiperimetri σ :=
2
2
0◦ < a + b + c < 360◦ , 180◦ < α + β + γ < 540◦ , α < β < γ ⇐⇒ a < b < c e form.cicl.
a + b > c e form.cicl. , α + β > γ + 180◦ e form.cicl. ,
sin α
sin β
sin γ
=
=
legge dei seni
sin a
sin b
sin c
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos α , cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a
legge dei coseni
e form.cicl.
α
b+c
a
β−γ
α
b+c
α
β+γ
sin
= sin sin
,
sin
cos
= cos
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
α
b−c
a
β−γ
α
b−c
a
β+γ
cos
sin
= sin sin
,
cos
cos
= cos sin
2
2
2
2
2
2
2
2
e form.cicl. equazioni di Delambre
sin
b+c
β+γ
cos
= tan
2
2
β+γ
b+c
tan
cos
= cot
2
2
e form.cicl.
tan
a
β−γ
cos
,
2
2
α
b−c
cos
,
2
2
equazioni di Napier
sin (σ − b) sin (σ − c)
α
=
2
sin b sin, c
α
cos
τ
cos (τ − α)
sin2
=
,
2
sin β sin γ
e form.cicl.
sin2
,
b−c
β+γ
a
β−γ
sin
= tan sin
2
2
2
2
β−γ
b+c
α
b−c
tan
sin
= cot
sin
2
2
2
2
tan
α
sin σ sin (σ − a)
=
2
sin b sin, c
α
cos
(τ
−
β) cos (τ − γ)
cos2
=
2
sin β sin γ
cos2
eccesso di un triangolo sferico
E
=
E := α + β + γ − 180◦ (≥ 0) , tan
4
π R2 E
area di un triangolo sferico
A =
180
√
tan
σ−a
σ−b
σ−c
σ
tan
tan
tan
2
2
2
2
soluzioni dei triangoli sferici
dati tre lati (SSS)
si ricavano gli angoli da (7) o (11)
dati tre angoli (AAA)
si ricavano i tre lati da (8) o (11)
dati due lati e l’angolo incluso (SAS), ad es. b, c, α
si ricavano
a da (8) o (11)
dati due angoli e il lato incluso (ASA), ad es. β, γ e a
si ricavano
α da (7) o (11)
dati due lati e un angolo non incluso (SSA), ad es. b, c e β
due possibili soluzioni
2016-04-11
β±γ
da (10) e quindi β e γ; poi
2
b±c
da (10) e quindi b e c; poi
2
si ricavano γ da (6) ed α ed a da (10);
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
49
Alberto Marini
dati due angoli e un lato non incluso (AAS), ad es. β, γ e b
due possibili soluzioni
si ricavano c da (6) ed α ed a da (10);
regole di Napier per triangoli sferici con angolo retto
sia γ = 90◦ e si consideri il ciclo C ⟨cy a, b, 90◦ − α, 90◦ − c, (90◦ − β⟩ ;
il seno di ogni angolo è dato:
dal prodotto delle tangenti dei due angoli che gli sono adiacenti in C;
dal prodotto dei coseni dei due angoli che non gli sono adiacenti in C;
50
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;220 geometria analitica 1
;220A geometria piana lineare
nel piano cartesiano consideriamo punti Pi = ⟨xi , yi ⟩ per i = µu, 1, 2, ... ed i vettori vj = ⟨vj,x , vj,y ⟩ per
j = µu, 1, 2, ...
⟨
⟩
√
x1 + x2 y1 + y2
2
2
distanza fra P1 e P2
(x1 − x2 ) + (y1 − y2 )
, punto medio di P1 P2
,
2
2
⟨
⟩
P1 Pρ,σ
ρ
ρ x 1 + σ x2 ρ y 1 + σ y 2
punto Pρ,σ ∈ P1 P2 tale che
=
,
Pρ,σ P2
σ
ρ+σ
ρ+σ
⟨
⟩
x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3
centroide del triangolo con vertici Pi per i = 1, 2, 3
,
3
3
area del triangolo
orientato ∆(P1 , P2 , P3 )
1
1 (P2 − P1 )x (P2 − P1 )y =
(x1 y2 + x3 y3 + x3 y1 − x2 y2 − x3 y2 − x1 y3 )
2 (P1 − P3 )x (P1 − P3 )y 2
area del poligono orientato non necessariamente semplice delimitato dalla poligonale ⟨cy P1 , P2 , ..., Pn ⟩
1
(x1 y2 + x2 y3 + · · · + xn−1 yn + xn y1 − x2 y1 − x3 y2 − · · · − xn yn−1 − x1 yn )
2
sia θ l’angolo compreso tra i vettori v e w applicati nello stesso punto
v·w
vx wx + vy wy
√
cos θ =
= √
2
|v| · |w|
vx + vy 2 · wx 2 + wy 2
rette del piano
equazione generale a x + b y + c = 0
se a = 0 la retta è verticale ; se b = 0 la retta è orizzontale ;
se c = 0 la retta passa per l’origine
vettore orientazione della retta v = ⟨b, −a⟩ , normale alla retta in un suo punto n = ⟨a, b⟩
( a)
angolo di inclinazione θ = arctan −
b
equazione della retta non verticale passante per P1 = ⟨x1 , x2 ⟩ e per P2 = ⟨x2 , y2
y2 − y1
a
= −
x2 − x1
b
equazione della retta non verticale passante per P = ⟨x, y⟩ ed avente inclinazione m ∈ R
a
y − y = m (x − x)
m = −
b
ax + by + c
√
equazione in forma normale
= 0
a2 + b2
x y
c
c
equazione delle intercette
+
= 0 dove p =
e q=
p
q
a
b
{
x = x + bt
equazione in forma parametrica r = r + t v ossia
y = y − at
(
)
m1 − m2
angoli tra due rette aventi inclinazioni m1 ed m2
arctan ±
1 + m1 m2
consideriamo due rette aventi inclinazioni m1 ed m2 le rette sono ortogonali sse m1 m2 = −1
a x′ + b y ′ + c
distanza tra P ′ = ⟨x′ , y ′ ⟩ e la retta a x + b y + c = 0
± √
a2 + b2
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
51
Alberto Marini
;220B curve di secondo grado
forma generale
a1,1 x2 + 2a1,2 xy + a2,2 y 2 + 2a1,3 x + 2a2,3 y + f = 0 con |a1,1 | + |a1,2 | + |a2,2 | > 0
casistica dipendente dal discriminante
∆ := a1,1 a2,2 − a1,2 2
∆ > 0 =⇒ la curva è una ellisse; in particolare può essere una circonferenza, può ridursi ad un punto
o può non rappresentare alcun punto del piano
∆ = 0 =⇒ la curva è una parabola; in particolare può ridursi a due rette parallele e anche ad una
sola retta di molteplicità 2
∆ < 0 =⇒ la curva è una iperbole; in particolare può ridursi a due rette che si intersecano
Se b = 0 eﬀettuando il completamento dei quadrati l’equazione assume la forma
(
)2
(
)2
a1,3
a2,3
a1,3 2
a2,3 2
a1,1 x +
+ a2,2 y +
=
+
− a3,3
a1,1
a2,2
a1,1
a2,2
⟨
⟩
a1,3
a2,3
equazione di una curva con centro in
−
, −
a1,1
a2,2
circonferenza con centro nell’origine 02 e raggio s
equazione cartesiana
Γ = Circle(02 , r)
{
x = r cos t
equazioni parametriche
y = r sin t
x2 + y 2 = r2
circonferena con centro C = ⟨xC , yC ⟩ e raggio r
(x − xC )2 + (y − yC )2 = r2
{
x = xC + r cos t
per
equazioni parametriche
y = yC + r sin t
per 0 ≤ t ≤ 2 π
Circle(C, r)
equazione cartesiana
0 ≤ t ≤ 2π
area del cerchio A = π r2
2
x + y2
2
x1 + y1 2
circonferenza passante per i punti Pi = ⟨xi , yi ⟩ per i = 1, 2, 3
2
x2 + y2 2
2
x3 + y3 2
lunghezza della circonferenza
2πr
,
x
x1
x2
x3
y
y1
y2
y3
1
1
= 0
1
1
ellisse
consideriamo a e b reali con 0 < b < a ; si dice ellissi con asse maggiore 2 a lungo Ox, con asse minore
x2
y2
2 b e con centro nell’origine la curva avente equazione cartesiana
+
= 1
a2
b2
{
x = a cos t
per 0 ≤ t ≤ 2 π
equazioni parametriche
y = b sin t
equazioni in forma polare
r2 =
fuochi nei punti ⟨±c, 0⟩ ove c :=
a2
a2 b2
sin θ + b2 cos2 θ
2
√
a2 − b2
,
eccentricità e :=
c
tale che 0 ≤ c < 1
a
a
a2
= ±√
e
a2 − b2
quando b tende ad a, e tende a 0 e l’ellisse tende alla circonferenza di raggio a
√
area della regione interna alla curva π a b = π a2 1 − e2
√
c
b2
=
lunghezza della curva 4 a E(k), con k :=
1 − 2 e con E(k) integrale ellittico di seconda
a
a
specie completo
rette direttrici
52
x = ±
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
20
approssimazione di [[Ramanujan]] con errore relativo pari circa a 32e36
(
)
3 λ2
a−b
√
π (a + b) 1 +
, ove λ :=
a+b
10 + 4 − 3 λ2
l’ellisse con centro in C = ⟨xC , yC ⟩ soddisfa le equazioni
{
x − xC )2
y − yC )2
x = xC + a cos t
+
= 1
e
per 0 ≤ t ≤ 2 π
2
2
y = yC + b sin t
a
b
parabola
sia p reale positivo; si dice parabola con vertice nell’origine O, asse orizzontale e fuoco in F = ⟨p, 0⟩ la
curva di equazione cartesiana y 2 = 4 p x
x = −p
retta direttrice
è il luogo dei punti aveti uguale distanza dal fuoco e dalla direttrice
4 p cos θ
π
π
equazione in forma polare r =
per − ≤ θ < 0 e 0 < θ ≤
2
2
sin2 θ
b
quando l’eccentricità di una ellisse tende ad 1, cioà quando tende a 0, quasta curva tende a diventare
a
una parabola
√
consideriamo la tangente t alla parabola nel suo punto P = ⟨x, y⟩ con y = 4 p x⟩ ; sono uguali gli
P F e ⟨+∞, y⟩ P t
angoli t Pd
area
segmento di parabola regione piana determinato dai suoi due punti P = ⟨x, y⟩ e Q = ⟨x, −y⟩
⌢
e delimitata a sinistra dall’arco di parabola P Q ed a destra dal segmento P Q
(
)
√
√ 2
2
y 2 + 16 x2
y2
y + 16 x2
xy
,
lunghezza dell’arco
+
ln 4 x +
3
2
8x
y
si consideri il solido ottenuto ruotando di 2 π il segmento intorno ad Ox
π 2
π (y 2 + 16 x2 )3/2
volume
y x
,
area della superficie
8
96
x2
iperbole
consideriamo a e b reali positivi; si dice iperbole con asse trasverso 2 a lungo Ox, con asse coniugato
x2
y2
2 b e con centro nell’origine la curva avente equazione cartesiana
−
= 1
a2
b2
{
x = a cosh t
per 0 − ∞ < t < +∞
equazioni parametriche del ramo per x > 0
y = b sinh t
a2 b2
b2 cos2 θ − a2 sin2 θ
√
fuochi nei punti ⟨±, 0⟩ ove c := a2 + b2
equazione polare
asintoti
,
eccentricità
e =
c
, valore superiore ad 1
a
b
y = ± x
a
rette direttrici
2016-04-11
r2 =
x = ±
a
a2
= √
e
a2 + b2
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
53
Alberto Marini
;220C geometria analitica tridimensionale lineare
nello spazio R×3 consideriamo punti Pi = ⟨xi , yi , zi ⟩ per i = µu, 1, 2, ... ed i vettori vj = ⟨vj,x , vj,y ⟩ per
j = µu, 1, 2, ...
√
distanza fra P1 e P2
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 + (z1 − z2 )2
⟨
⟩
x1 + x2 y1 + y2 z1 + z2
punto medio di P1 P2
,
,
2
2
2
⟨
⟩
ρ
P1 Pρ,σ
ρ x 1 + σ x2 ρ y 1 + σ y 2 ρ z 1 + σ z 2
=
,
,
punto Pρ,σ ∈ P1 P2 tale che
Pρ,σ P2
σ
ρ+σ
ρ+σ
ρ+σ
1
(P1⃗P2 ∧ P1⃗P3 )
area orientata del triangolo ∆(P1 , P2 , P3 )
2
centroide⟨del tetraedro con vertici Pi per i = 1, 2, 3, 4
⟩
x1 + x2 + x3 + x4 y1 + y2 + y3 + y4 z1 + z2 + z3 + z4
,
,
4
4
4
(P2 − P1 )x (P2 − P1 )y (P2 − P1 )z 1 volume orientato del suddetto tetraedro
(P3 − P1 )x (P3 − P1 )y (P3 − P1 )z 6 (P4 − P1 )x (P4 − P1 )y (P4 − P1 )z sia θ l’angolo compreso tra i vettori v e w applicati nello stesso punto
vx wx + vy wy + vz wz
v·w
√
= √
cos θ =
2
|v| · |w|
vx + vy 2 + vz 2 · wx 2 + wy 2 + wz 2
rette e piani in 3D
retta passante per P0 = ⟨x0 , y0 , z0 ⟩ con la direzione data dal vettore d = ⟨dx , dy , dz ⟩

x = x0 + dx t


x − x0
y − y0
z − z0
y = y0 + dy t
equivalenti alle
equazioni parametriche
=
=

dx
dy
dx

z = z0 + dz t

x = x1 + (x2 − x1 ) t


retta passante per Pi = ⟨xi , yi , zi ⟩ con i = 1, 2
y = y1 + (y2 − y1 ) t


z = z1 + (z2 − z1 ) t
equazione generale
ax + by + cz + d = 0
ove ⟨a, b, c⟩ è un vettore ortogonale al piano
piano passante per P0 = ⟨x0 , y0 , z0 ⟩ e con vettore normale n = ⟨nx , ny , nz ⟩
nx (x − x0 ) + ny (y − y0 ) + nz (z − z0 ) = 0
piano passante per P0 = ⟨x0 , y0 , z0 ⟩ e sotteso dai vettori v e w applicati in P0

x − x0 y − y0 z − z0  x = x0 + vx t + wx u
vx
v
v
y = y0 + vy t + wy u
=
0
o
dal
sistema
equivalente
y
z

wx
wy
wz z = z0 + vz t + wz u
piano passante per i tre punti Pi per i = 1, 2, 3
piano che interseca Ox in sx ex , Oy in sy ey e Oz in sz ez (forma delle intercette)
x
y
z
+
+
= 1
sx
sy
sz
angolo θ fra una retta avente d come vettore direzione ed il piano avente n come vettore normale
|d · n|
sin θ =
|d| · |n|
|n1 · n2 |
angolo θ tra due piani relativi ai vettori normali n1 ed n2
cos θ =
|n1 | · |n2 |
54
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
distanza fra
P ed una retta passante per il punto Q ed avente d come vettore direzione
un punto
−−→
∧
P
Q
d
|d|
distanza fra
un
punto
P ed un piano passante per Q ed avente n come vettore normale
−−→
n ∧ P Q
|n|
distanza fra due rette non parallele, la prima passante per P1 ed avente d1 come vettore direzione, la
seconda passante
per P2 ed
avente d2 come vettore direzione
−−−→
(d1 ∧ d2 ) · P1 P2 |d1 ∧ d2 |
;220D superfici di secondo grado
forma generale
supposto sia |a1,1 | + |a2,2 | + |a3,3 | > 0
2
2
a1,1 x + a2,2 x + a3,3 x2 + 2 a1,2 x y + 2 a2,3 y z + 2 a3,1 z x + 2 a1,4 x + 2 a2,4 y + 2 a3,4 z + a4,4 = 0
se a1,2 = a2,3 = a3,1 = 0 si può eﬀettuare il completamento dei quadrati e giungere ad una
equazione in forma standard come per i casi che seguono
se |a1,2 | + |a2,3 | + |a3,1 | > 0 si deve ricorrere a metodi spettrali
sfera di raggio r
x2 + y 2 + z 2 = r 2
V =
4
π r3
3
x2
y2
z2
4
+
+
= 1
V =
πabc
a2
b2
c2
3
se vale la a = b o una permutata si ha un elissoide di rotazione; se inoltre vale la c < a o una
permutata si ha un elissoide oblato; se vale c > a o una permutata si ha un elissoide prolato
elissoide con assi 2 a, 2 b e 2 c
x2
y2
+
= 1
a2
b2
x2
y2
cilindro iperbolico con asse di simmetria traslazionale Oz ed assi delle sezioni 2 a e 2 b
−
= 1
a2
b2
cilindro parabolico con asse di simmetria traslazionale Oz, con piano di simmetria di riflessione Oxz,
y2
passante per O e con parametro p
x =
2p
cilindro ellittico con asse di simmetria traslazionale Oz ed assi 2 a e 2 b
x2
y2
+
a2
b2
se a = b, allora Oz è asse di simmetria cilindrica e quindi si ha un solido di rotazione
paraboloide ellittico con piani di simmetria di riflessione Oxz e Oyz
paraboloide iperbolico con sezioni z = k iperboli (o copia di rette
z =
z =
y2
x2
− 2
2
a
b
è una superficie rigata
x2
y2
z2
+
−
= 0
a2
b2
c2
iperboloide ellittico ad una falda le cui sezioni orizzontali sono ellissi con assi k 2 a e k 2 b
x2
y2
z2
+ 2 − 2 = 1
2
a
b
c
se a = b, allora Oz è asse di simmetria cilindrica; è una superficie rigata
cono ellittico le cui sezioni orizzontali sono ellissi con assi k 2 a e k 2 b
iperboloide ellittico a due falde le cui sezioni orizzontali sono ellissi con assi k 2 a e k 2 b
y2
z2
x2
+ 2 − 2 = −1
2
a
b
c
se a = b allora Oz è asse di simmetria cilindrica;
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
55
Alberto Marini
;250 spazi vettoriali ed euclidei
;250A spazi vettoriali
Ricordiamo che si dice spazio vettoriale V sopra un campo F (i cui elementi sono detti scalari) un insieme
(detto terreno dello spazio ed i cui elementi chiamiamo vettori) munito di un’operazione binaria di
somma che rende il terreno un gruppo abeliano e una moltiplicazione per uno scalare che trasforma
ogni vettore in un vettore. Formalmente spazio vetoriale è una struttura ⟨V, F, +, 0, −, ·⟩ ove:
F ∈ Fld , ∃+ ∈ {V × V 7−→ V , ∃· ∈ {F × V 7−→ V}
ST
∀x, y, z ∈ V , α, β ∈ F
x + y = y + x , (x + y) + z = x + (y + z) , V ∋ 0V ST x + 0 = x , −x ∈ V ST x + (−x) = 0
α · (β · x) = (α β) · x , (α + β) · x = α · x + β · x , α · (x + y) = α · x + β · y , 1 x = x , 0 x = 0 , α · 0 = 0
questa struttura di spazio vettoriale la denotiamo con VV sp
un S ⊆ V si dice sottospazio di V sse
uno spazio vettoriale
∀x, y ∈ S , α ∈ F
x + y ∈ S , α · x ∈ S , cioè sse è terreno di
un w ∈ V è combinazione lineare dei vettori v1 , ... vh sse F ∋ α1 , ..., αh tali che sia w = α1 v1 + · · · + αh vh ;
in tal caso si dice che w dipende linearmente dai vi per i = 1, ..., h
l’insieme di tutte le combinazioni lineari di un insieme di vettori di V costituisce un sottospazio di
questo spazio; l’insieme delle combinazioni lineari di un insieme finito E = {v1 , ..., vh } si denota con
span(v1 , ..., vh ); ale sottospazio si dice anche chiusura lineare di E (linear hull)
I vettori di un insieme, finito o meno, si dice insieme di vettori linearmente indipendenti sse nessuno di
essi dipende linearmente dai restanti;
i vettori di un insieme finito {v1 , ..., vh } sono linearmente indipendenti sse α1 v1 + · · · + αh vh =
0V =⇒ α1 = · · · = αh = 0
una famiglia di vettori linearmente indipendenti si dice base dello spazio sse ogni altro vettore dipende
lnearmente dai suoi elementi
se uno spazio vettoriale che possiede una base finita si dice finito-dimensionale
due basi di uno spazio finitodimensionale V hanno la stessa cardinalità; essa si dice dimensione dello
spazio e si denota con dim(V)
consideriamo un intero positivo d e l’insieme F×d delle d-uple di elementi del campo; la somma componente per componente di tutte le componenti per un elemento del campo rendono F×d uno spazio
⟨
⟩
vettoriale V; la sequenza dei vettori ui = j = 1, ..., d :| δi,j costituisce una la base ordinata dello
spazio che quindi è d-dimensionale.
Dato uno spazio d-dimensionale V ed una sua base ordinata ⟨e1 , e2 , ..., ed ⟩, dato che ogni suo vettore
v si può esprimere come v = v1 e1 + v2 e2 + · · · + vd ed , si ha una biiezione fra V e lo spazio vettoriale
delle d-uple di elementi del campo F; questi due spazi risultano isomorfi.
Cambiando la base cambia l’isomorfismo; comunque tutti gli spazi d-dimensionali su F sono isomorfi e
lo studio degli spazi finitodimensionsali equivale allo studio degli spazi di sequenze su F.
56
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;250B spazi euclidei
Sullo spazio R×d vsp si definisce prodotto scalare o prodotto interno la funzione del genere {F×d ×F×d
∑d
∑d
che ai vettori v = j=1 vj ej e w = j=1 wj ej ssocia il valore
◃F}
d
∑
v · w :=
vj w j .
j=1
Il prodotto scalare è una funzione
simmetrica :
bilineare
∀v, w ∈ R×d
v·w=w·v
×d
∀v1 , v2 , w ∈ R
e quindi ∀v, w1 , w2 ∈ R
e definita positiva
(α1 v1 + α2 v2 ) · w = α1 v1 · w + α2 v2 · w
×d
v · (α1 w1 + α2 w2 ) = α1 v · w1 + α2 v · w2
v · v = 0 ⇐⇒ v = 0 .
⟨ ⟩
⟨ ⟩
Per il prodotto scalare si usano anche notazioni come v|w , (v, w), (v|w), v|w e ⟨v, w⟩; inoltre identificando i vettori argomento con matrici di profilo d × 1, cioè con vettori colonna, si può esprimere
anche come v · w.
Ogni spazio vettoriale finitodimensionale V munito di una base privilegiata B costituisce uno spazio
con prodotto interno che si può denotare con Vvsp,B , con Vvsp, · o con Vvsp, ⟨⟩. Un tale spazio con
prodotto interno, ovvero con prodotto scalare, viene detto spazio euclideo.
Lo spazio R×d vsp,· risulta essere uno spazio normato definendo
√∑
d
2
norma (o lunghezza) di v
|v| :=
j=1 vj
e risulta essere uno spazio metrico definendo
dist(v, w) := |v − w| =
distanza pitagorica fra v e w
√∑
d
j=1 (vj
− wj )2
In uno spazio euclideo V valgono le seguenti disuguaglianze
disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
disuguaglianza triangolare
|v · w| ≤ |v| · |w|
||v| − |w|| ≤ |v + w| ≤ ||v| + |w||
In uno spazio euclideo R×d vsp si possono collocare tutte le nozioni geometriche classiche. Dopo aver
identificato i vettori con i punti ed aver definito la lunghezza di un vettore e la distanza tra due punti,
si hanno i passi che seguono.
Angolo θ compreso tra i vettori v e w:
θ := v,d
w)
,
v · w = |v| |w| cos θ
(
,
θ = arccos
v·w
|v| |w|
)
Due elementi di uno spazio euclideo v e w si dicono vettori ortogonali e si scrive v ⊥ w sse v · w = 0, ossia
sse i due vettori comprendono un angolo di 90◦ .
Vale il teorema di Pitagora
v ⊥ w = 0 ⇐⇒ |v + w|2 = |V|2 + |w|2
Si dice base ortonormale di uno spazio euclideo d-dimensionale un insieme di d vettori {e1 , e2 , ..., ed } tale
che
∀i, j ∈ (d]
ei · ej = δi,j .
Il complemento ortogonale di un sottospazio T di V è l’insieme T⊥ := {w ∈ V ST ∀v ∈ T
v·w = 0}.
Esso è un sottospazio ed il passaggio al complemento ortogonale è una involuzione fra i sottospazi dello
spazio ambiente.
Sia Prj T la proiezione ortogonale di v sul sottospazio T del quale {u1 , ..., ut } è base ortogonale
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
57
Alberto Marini
Prj T (v) =
t
∑
⟨
⟩
v|ui u
v−
con
i=1
t
∑
⟨
⟩
v|ui u ∈ T⊥ .
i=1
Le basi ortonormali presentano notevoli vantaggi e si costruisce in V una base ortonormale ⟨e1 , ..., ed ⟩
a partire da una base generica ⟨b1 , ..., vd ⟩ con la procedura di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt.
e1 :=
b1
|b1 |
⟨
⟩
d2 := b2 − b2 |e1 e1
d2
|d2 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
⟨
⟩
⟨
⟩
di
di := bi − bi |e1 − · · · − bi |ei−1 ei , ei :=
per i = 2, 3, ..., d .
|di |
,
e2 :=
;250C trasformazioni lineari
Consideriamo due spazi vettoriali V e W sul campo F e la funzione L ∈ {V −→ W}; L si dice
omomorfismo lineare o trasformazione lineare sse
∀v, w ∈ V , α, β ∈ F
L(α v + β w) = α L(v) + β L(w)
Una L ∈ {V
◃ W}, se d := dim(V) ed e := dim(W), relativamente ad una B = ⟨e1 , ..., ed ⟩ base
ordinata di V, e ad una C = ⟨f1 , ..., fe ⟩ base ordinata di W viene rappresentata da una matrice e × d.
a
a
... a 
C LB
:= L(e1 )
Infatti se v =:
···
1,1
1,2
 a2,1
L(ed ) = 
 ..
.
ae,1
a2,2
..
.
ae,2
1,d
. . . a2,d 
.. 
..

.
.
. . . ae,d
ove
∀i ∈ (d]
L(ei ) =
e
∑
fj aj,i
j=1
d
e
∑
∑
xi ei e w := L(v) =:
wj fj , la trasformazione di v in L(v) viene rappresentata
i=1
j=1
da


e
e1,2 . . . e1,a   v1 
w1
1,1
 w2 
 e2,1 e2,2 . . . e2,a   v2 
 .  =  .
 
w = A·v
ossia
..
.. 
..
 .. 
 .
 ·  ... 
.
.
.
.
we
vd
ed,1 ed,2 . . . ed,a
Si osservi che le notazioni scelte inducono a visualizzare la trasformazione come modifica di un vettore
sulla destra in uno sulla sinistra.
Per una trasformazione L invertibile la inversa L−1 viene rappresentata dalla matrice A−1 , ovvero
−1
)C
B (L
= (C LB )−1 .
Per quanto riguarda la composizione delle trasformazioni lineari, se L ∈ {V ◃W} ed M ∈ {W
la loro composizione M ◦rl L viene rappresentata dal prodotto delle corrispondenti matrici:
D (M
◃X}
◦rl L)B = (D MC ) (C LB ) .
Servono in particolare gli endomorfismi lineari, ossia le trasformazioni di {V −→lin V; questi sono
rappresentati da matrici quadrate corrispondenti ad una unica base; il loro insieme lo denotiamo con
LintrV e una matrice rappresentativa con LB .
⟨
⟩
⟨
⟩
Una S ∈ LintrV si dice trasformazione simmetrica sse ∀v, w ∈ V
S v|w = v|S w . Una trasformazioni lineare è simmetrica sse in una base ortonormale è rappresentata da una matrrice simmetrica.
58
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
Consideriamo una matrice quadrata reale di ordine d
d
d1,2 . . . d1,p 
1,1
 d2,1 d2,2 . . . d2,p 
P =
..
.. 
..
 ..
 = ⟨P1,∗ · · · Pd,∗ ⟩ .
.
.
.
.
dd,1 dd,2 . . . dd,p
Essa si dice matrice ortogonale sse P
P = 1p . Denotiamo con MatOrtd l’insieme delle matrici reali
ortogonali di ordine d.
P ∈ MatOrt ⇐⇒ ∀i, j = 1, 2, ..., d
P ∈ MatOrt =⇒ P ∈ MatOrt
∀v, w ∈ V
,
(Pi,∗ ) · P∗,j = δi,j
det(P ) = ±1
⇐⇒ P −1 = P
,
(P v) · (P w) = v · w ,
|P v| = |v| ,
v ⊥ w ⇐⇒ P v ⊥ P w
P, Q ∈ MatOrtd =⇒ P Q ∈ MatOrt
;250D sistemi di equazioni lineari e spazi vettoriali
;250E autovettori, autovalori, diagonalizzazione
Consideriamo la matrice quadrata di ordine d sui reali A = [ai,j |: i, j = 1, ..., d] .
Il vettore a ∈ R×d nz si dice autovettore relativo all’autovalore λ per la matrice A sse A a = λ a . Se
a e b sono autovettori della A con autovalore λ, è tale anche ogni loro combinazione lineare. Si dice
autospazio della A relativo all’autovalore λ il sottospazio di R×d costituito da tutti gli autovettori della
A relativi all’autovalore λ ampliato con 0d .
Il polinomio det(A − λ 1d ) si dice polinomio caratteristico della A.
Si dice equazione caratteristica della matrice A l’equazione polinomiale
a − λ
a
···
a
1,1

det(A − λ 1d ) = det 

a2,1
..
.
ad,1
1,2
a2,2 − λ · · ·
..
..
.
.
ad,2
···
1,d
a2,d
..
.


 = 0 .

ad,d − λ
Le definizioni di autovettore, autovalore, polinomio caratteristico ed equazione caratteristica si adottano anche per le trasformazioni lineari attraverso una matrice che le rappresenta, grazie alla loro
invarianza rispetto ai cambiamenti delle basi che modificano le rappresentazioni matriciali delle trasformazioni.
Se il polinomio caratteristico della matrice A possiede d radici reali λ1 , λ2 , ..., λd , allora
det A = λ1 λ2 · · · λd e Tr A = λ1 + λ2 + · · · + λd .
Se A è una matrice simmetrica, allora tutti i suoi autovalori sono reali , gli autovettori (gli autospazi)
relativi ad autovalori diversi sono ortogonali e ∀v, w ∈ V
v · (a w) = (A v) · w .
teorema spettrale
Sia A è una matrice simmetrica e scriviamo ⟨λ1 , λ2 , ..., λd ⟩ la sequenza non decrescente dei suoi autovalori con ripetizioni che rispettano le molteplicità, ⟨u1 , u2 , ..., ud ⟩ la sequenza dei corrispondenti
autovettori e P := u1 u2 · · · ud . Si hanno le seguenti proprietà:
(a) ∀i, j ∈ (d]
ui · uj = δi,j ;
(b) questa matrice è ortogonale, P
(c) P
P = 1d ;
A P = D := diag(λ1 , λ2 , ..., λd ) e A = P D P ;
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
59
Alberto Marini
(d) ∀h = 1, 2, 3, ...
(
)
= diag λ1 h , λ2 h , ..., λd h ;
Ah = P Dh P
v Av
≤ λd ,
|v|2
con le uguaglianze valendo sse v è autovettore relativo all’autovalore λ1 = λd .
(e) ∀v ∈ R×d nz
λ1 ≤
Se A non è simmetrica ma presenta d autovalori distinti, allora i corrisondenti autovettori sono linearmente indipendenti.
Se A non simmetrica presenta d autovettori u1 , ..., ud linearmente indipendenti, con possibili autovalori
molteplici, allora, posto P := u1 u2 · · · ud , si ha P −1 A P = diag(λ1 , ..., λd ) .
problema agli autovalori generalizzato
Sia B una matrice di ordine d invertibile:
trovare l’autovettore u ∈ R×d nz e il corrispondente autovalore λ ∈ R tali che sia A u = λ B u .
Il problema si riduce a quello all’inizio della sezione quando B = 1d .
Ogni autovalore λ deve risolvere l’equazione polinomiale det(A − λ B) = 0 .
Teorema spettrale generalizzato
Le matrici A e B siano simmetriche, la B sia definita positiva e denotiamo la sequenza non decrescente
degli autovalori dell’equazione polinomiale con ⟨λ1 , ..., λd ⟩. Allora
(a) tutti i λi sono reali;
(b) esiste una base {u1 , ..., ud } di R×d costituita da autovettori corrispondenti ai suddetti autovalori
∀i, j ∈ (d]
tale che
ui B uj = δi,j
e ui A uj = λi δi,j ;
u2 · · · ud , si ha P B P = 1d e P A P = diag(λ1 , ..., λd )
v Av
λ1 ≤
≤ λd .
v Bv
(c) posto P := u1
(d) ∀v ∈ V
;250F forme quadratiche
Una forma quadratica in una d-upla x = ⟨x1 , ..., xd ⟩ di variabili in un campo F è un polinomio omogeneo
di secondo grado in queste variabili della forma
Q(x) = Q(x1 , ..., xd ) =
d ∑
d
∑
ai,j xi xj
i=1 j=1
a
1,1
= [ x1
x2
···
xd ]
 a2,1
 .
 .
.
ad,1
a1,2
a2,2
..
.
ad,2
a1,d 
a2,d 
.. 

.
. . . ad,d
...
...
..
.


x1
 x2 
 .  = x Ax ,
 .. 
xd
ove A è una matrice simmetrica di ordine d.
Una quadrica in 2D nelle variabili x e y ha la forma
ax,x x2 + ay,y y 2 + 2 ax,y x y
Una quadrica in 3D nelle variabili x, y e z ha la forma
ax,x x2 + ay,y y 2 + az,z z 2 + 2 ax,y x y + 2 ay,z y z + 2 az,x z x
a
a
...
1,1
1,2
 a2,1
Consideriamo la matrice simmetrica sui reali A = 
 ..
.
ad,1
a2,2
..
.
60
ad,2
...
..
.
...
a1,d 
a2,d 
.. 
 avente come autovalori
.
ad,d
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp

λ1 , λ2 , ...λd e per h = 1, 2, ..., d le sottomatrici associate Ah
a1,1
 ..
:= A (h],(h] =  .
ah,1
...
..
.
...

a1,h
..  .
. 
ah,h
La matrice A e la corrispondente forma quadratica Q(x) = x A x sono dette
positive definite sse ∀x ∈ Vnz
positive semidefinite sse ∀x ∈ Vnz
Q(x) > 0 sse λ1 , λ2 , ..., λd > 0 ssa ∀h = 1, 2, ..., d
det(Ah ) > 0 ;
Q(x) ≥ 0 sse λ1 , λ2 , ..., λd ≥ 0
indefinite sse al variare di x la Q(x) assume valori sia positivi che negativi;
negative definite sse −A e −Q(x) sono definite positive.
Consideriamo inoltre la sequenza degli autovettori ⟨u1 , u2 , ..., ud ⟩ corrispondente alla sequenza non
decrescente degli autovalori ⟨λ1 , λ2 , ..., λd ⟩ e la matrice P := u1 u2 · · · ud .
Se gli autovettori sono mutuamente ortogonali e di norma 1, ovvero se P ∈ MatOrt, allora :
(a) la trasformazione che porta x in x := P x fa assumere alla forma quadratica Q la forma canonica
Q = λ1 x1 2 + λ2 x2 2 + · · · + λd xd 2 = x diag(λ1 , λ2 , ..., λd ) x;
(b) λ1 ≤
Q(x)
≤ λd , valendo le due uguaglianze sse x è il corrispondente autovettore .
|x|2
L’uguaglianza a zero della forma quadratica Q
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
61
Alberto Marini
;260 rotazioni
Isometrie (entro uno spazio metrico) con almeno un punto fisso, chiamato centro della rotazione.
Nell’ambito di uno spazio vettoriale R×d sono rapresentate da matrici ortogonali di ordine d e con
determinante 1.
;260A rotazioni in 2D
[
Rotazione di R × R con centro nell’origine per l’angolo θ
R02 (θ) =
cos θ
sin θ
− sin θ
cos θ
]
;260B rotazioni in 3D
Ogni rotazione in R×3 lascia invariata una retta che si chiama asse di rotazione. e fa ruotare secondo lo
stesso angolo, detto angolo di rotazione ogni piano ortogonale all’asse. Una qualsiasi rotazione R viene
individuata dal suo asse, che scriviamo L, e dall’angolo di rotazione α; la R si può quindi denotare
genericamente con R(L, α). Più operativamente una R si può individuare in modi diversi, in quanto
anche la L può essere individuata da diversi gruppi di parametri.
La R può essere individuata da un punto C dell’asse L e dal versore n = ⟨nx , ny , nz ⟩ che precisa una
orientazione della L e da α inteso come angolo con segno collegato ad n dalla regola della mano destra:
un osservatore con i piedi sul punto di intersezione della L con un piano ortogonale Π ed orientato
come n vede i punti di Π ruotati di un angolo α nel verso antiorario sse la ampiezza è positiva.
Per questa rotazione R(L, α) usiamo la più concreta notazione R(C; n, α) o le equivalenti R(C; n α) e
R(C; a, b, c), dove ⟨a, b, c⟩ := n α = ⟨nx α, ny α, nz α⟩.
Le rotazioni più importanti sono quelle con C = 03 , ovvero quelle con l’asse L passante per l’origine;
infatti composizioni di queste con traslazioni sono in grado di fornire qualsiasi rotazione. Per le rotazioni con asse passante per l’origine le notazioni sopra introdotte si possono semplificare trascurando
l’indicazione del centro per il quale si sottintende l’origine stessa: si usano quindi espressioni come
R(n, α), R(n α) e R(a, b, c).
√
Per le rotazioni con centro nell’origine possono servire anche i parametri r := a2 + b2 + c2 , ρ :=
√
c
ρ
a2 + b2 , l’ampiezza angolare θ tale che sia cos θ = e sin θ = e l’angolo ϕ per il quale si hanno
r
r
a
b
cos ϕ = e sin ϕ = .
ρ
ρ
In eﬀetti l’asse di simmetria si può esprimere come
L = {t ∈ R :| ⟨a t, b t, c t⟩} = {t ∈ R :| ⟨t sin θ cos ϕ, t sin θ sin ϕ, t cos θ⟩} .
Le rotazioni R(L, α) con centro nell’origine in una data base destrorsa B sono rappresentate da matrici
di ordine 3 ortogonali e con determinante 1; per esse potremmo usare la notazione RB = RB (L, α); se
la base si può lasciare implicita confondiamo la rotazione con la matrice rappresentativa.
Tutte le rotazioni con centro nell’origine si possono esprimere come prodotti di rotazioni intorno agli
assi coordinati secondo un angolo α per le cui matrici abbiamo:






1
0
0
cos θ 0 sin θ
cos θ − sin θ 0
ROx (θ) =  0 cos θ − sin θ  ROy (θ) =  0
1
0  ROz (θ) =  sin θ cos θ 0 
0 sin θ
cos θ
− sin θ 0 cos θ
0
0
1
Per il prodotto di due rotazioni con lo stesso asse abbiamo
mentre per la rotazione inversa
62
R(L, α)
−1
R(L, α1 ) ◦ R(L, α2 ) = R(L, α1 + α2 ) ,
= R(L, −α) .
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
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MATeXp
La rotazione di un angolo α intorno alla retta generica per l’origine L caratterizzabile con i precedenti
parametri n, a, b, c, θ e ϕ, è data dal seguente prodotto di rotazioni intorno ad assi coordinati:
R(L, α) = R(Oz)(ϕ) ◦ R(Oy)(θ) ◦ R(Oz)(α) ◦ R(Oy)(−θ) ◦ R(Oz)(−ϕ) .
La matrice che rappresenta la rotazione R(a, b, c) nella base B = ⟨ex , ey , ez ⟩ si può ottenere anche con
il cambiamento di coordinate che porta a riferirsi alla base B = ⟨ex , ey , ez ⟩ con il versore ez coincidente
1
con n = ⟨a, b, c⟩
r


p1,1 p1,2 p1,3
La matrice di questo cambiamento di cordinate è P = ex ey ez =  p2,1 p2,2 p2,3  , ove
p3,1 p3,2 p3,3

 







p1,3
a
p1,2
−b
p1,1
n
1
1
 b  , ey =  p2,2  =
 a  , ex =  p2,1  = = ey ∧ ez
ez =
=  p2,3  =
|n|
r
ρ
p3,3
c
p3,2
0
p3,1


cos α − sin α 0
Quindi si ha la matrice RB (L, α) = P ROz (α) P = P  sin α cos α 0  P .
0
0
1
Si può ricavare la matrice R = RB (α n) anche dalla uguaglianza
 
x
n · x sin α
R x = (cos α) x + (1 − cos α) 2 +
n∧x
ove
x = y .
|v|
|v|
z
Tr(R) − 1
e il vettore
2
della orientazione dell’asse di rotazione dal sistema di equazioni lineari omogenee (R − 13 )n = 03 .
Dalla matrice R = RB (α n) si ottengono l’angolo di rotazione dalla
cos α =
;260CA rotazioni in n dimensioni
Le rotazioni sono individuate dalle matrici ortogonali che rappresentano il collegamento fra due basi
ortonormali.
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
63
Alberto Marini
;270 trigonometria razionale
270A trigonometria razionale nel piano
Consideriamo punti nel piano riferito ad un sistema cartesiano Pi = ⟨xi , yi ⟩ per i = µu, 1, 2, 3, ...
quadranza di A1 ed A2
Q(A1 , A2 ) := (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
la quadranza quindi à una funzione bivariata simmetrica definita positiva, Q(A1 , A2 ) = 0 sse A1 = A2
consideriamo tre punti del piano Pi con gli indici da trattare ciclicamente (identificando i coni + 3 Z )
e le corrispondenti tre varianze Qi := Q(Ai+1 , Ai+2 )
i punti A1 , A2 ed A3 sono collineari sse vale la uguaglianza delle tre quadranze
(Q1 + Q2 + Q3 )2 = 2(Q1 2 + Q2 2 + Q3 2 ) .
una espressione equivalente ha la seguente forma
(Q1 + Q2 − Q3 )2 = 4 Q1 Q2 e cycl.
consideriamo quattro punti Ai per i = 1, 2, 3, 4 con gli indici da trattare ciclicamente (identificando
i = 5 con i = 1 ecc.) e definiamo le corrispondenti quattro quadranze Qi,i+1 := Q(Ai , Ai+1
i quattro punti Pi sono collineari sse vale la seguente uguaglianza delle quattro quadranze:
(
)2
(Q1,2 + Q2,3 + Q3,4 + Q4,1 )2 − 2 (Q1,2 2 + Q2,3 2 + Q3,4 2 + Q4,1 2
= 64 Q1,2 Q2,3 Q3,4 Q4,1
consideriamo due rette R1 ed R2 caratterizzate, risp., dalle equazioni ai x + bi y + ci = 0 ; ricordiamo
che esse sono parallele sse a1 a2 − b1 b2 = 0 e sono perpendicolari sse a1 a2 + b1 b2 = 0 ;
(a1 a2 − b1 b2 )2
si dice spread delle due rette sprd(R1 , R2 ) :=
(a1 2 + b1 2 ) (a2 2 + b2 2 )
detto A l’intersezione delle due rette, θ uno dei due angoli tra le due rette, preso un punto C sulla R1
Q(B, C)
e detto B la proiezione di C sulla R2 , per lo spread si ha sprd(R1 , R2 ) =
= sin2 θ
Qcl(A, C)
questa misura, evidentemente, è simmetrica nelle due rette, non dipende dalla scelta di C e non cambia
scambiando θ con 180◦ − θ, cioè non dipende da una orientazione delle rette.
64
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;280 Quaternioni ed altri numeri ipercomplessi
;280A quaternioni
algebra unitale dei quaternioni
scrivere
spazio vettoriale quadridimensionale sui reali i cui elementi si possono
q = a 1 + b i + c j + d k :=
⟨
q
a, b, c, d
⟩
per a, b, c, d ∈ R ,
spazio munito del prodotto bilineare “·” (di Hamilton) che soddisfa le seguenti uguaglianze
(1)
∀q ∈ Qtrn
1 q := q 1 = q
,
i2 = j2 = k2 = i j k = −1 .
qui con Qtrn denotiamo l’insieme dei quaternioni;
il prodotto dei quaternioni viene individuato equivalentemente dalla seguente tavola di moltiplicazione,
nella quale si evidenzia che 1 ha il ruolo di unità :


1
i
j
k




1
i
j
k 
 1
(3)

 .
i −1 k
−j 
 i


j
j −k −1
i
k
k
j
−i −1
⟨ ×4
⟩
l’algebra dei quaternioni si denota con H = R V sp, ·
nel quaternione q = a 1+b i+c j+d k si individuano la componente scalare o temporale sclr(q) := a 1 e
la componente vettoriale o spaziale o pura vect(Q) := b i + c j + d k
i quaternioni scalari si identificano con i numeri reali e nella scrittura del generici quqternione si
trascura 1; i quaternioni vettoriali si identificano spesso con i vettori di R×3 e su di essi si possono
calcolare i prodotti scalare e vettoriale; i quaternioni scalari costituscono il centro di H, i quaternioni
vettoriali una sottoalgebra anticommutativa di H
quaternione coniugato di q si definisce q∗ := a 1 − b i − c j − d k
1
1
(q∗ )∗ = q , sclr(q) =
(q + q∗ ) , vect(q) =
(q − q∗ )
2
2
q∗ = 12 (q + i · q · i + j · q · j + k · q · k)
ogni quaternione si può rappresentare nella forma
Z[2] := c + d i
inoltre si può rappresentare nella forma matriciale
norma al quadrato di q
q = Z[1] + Z[2] · j con Z[1] := a + b i e
[
q =
z
−w∗
w
z∗
]
[
:=
a + ib
−c + i d
c + id
a − ib
]
||q||2 := q · (q∗ ) = a2 + b2 + c2 + d2 = (q∗ ) · q
per essa valgono le proprietà delle norme al quadrato; quindi si può definire come distanza fra due
quaternioni q1 e q2 distH (q1 e q2 ) := ||q1 − q2 ||
si dice quaternione unitario ogni quaternione di norma 1; denotiamo con QtnU il loro insieme
1
q∗
si dice inverso del quaternione q q−1 =
:=
q
||q||2
)
1
1 (
se q = Z[1] + j · j , si ha:
=
(Z[1] )∗ − Z[2] · j
2
q
||q||
[ ∗
[
]
]
1
1
z
−w
z
w
=
se q =
, si ha
z
−w∗ z ∗
q
||q||2 −w∗
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
65
Alberto Marini
radice quadrata, esponenziale e logaritmo
rotazioni in R×3 espresse mediante quaternioni
;280B octonioni
spazio vettoriale R×8 la cui base canonica denotiamo con
per il quale 1 è unità bilatera e viemne completato dalla
per algebra degli octonioni si intende lo
⟨1, i, j, k, l, m, n, o⟩ munito del prodotto
seguente tavola di moltiplicazione

i


−1
 i

−k
 j

j
k

−m
 l

l
m

n
o
o
−n
j
k
k
−j
−1
i
−i −1
−n −o
−o n
l
−n
m
l
l
m
n
m
n
o
−1
−i
−j
−k
−l
o
−n
i
−1
k
−j
−o
−l
m
j
−k
−1
i
o



n 

−m 

−l  .

k 

j 

−i
−1
queto prodotto non è associativo, ad es.
;280C esadecanioni
66
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;300 limiti
tan x
1 − cos x
1 − cos x
1
= 1 , lim
= 0 , lim
=
2
x→0
x→0
x
x
x
2
)n
(
)x
1
1
e = lim
1+
≈= 2.71828 18284 59045 , lim 1 +
=e
n→+∞
x→∞
n
x
)x
(
(
(
1
α )m x
α )x
1
∀α ∈ R, m ∈ N
lim 1 +
= eα m In partic. lim 1 +
= eα , lim 1 −
=
x→∞
x→∞
x→∞
x
x
x
e
1
1
1
1
lim (1 + α x) x = eα In partic. lim (1 + x) x = e , lim (1 − x) x =
x→0
x→0
x→0
e
ln(1 + x)
ax − 1
ex − 1
(1 + x)α − 1
lim
= 1 , ∀a ∈ R+ lim
= ln a , lim
= 1 , lim
=α
x→0
x→0
x→0
x→0
x
x
x
x
ln x
∀p ∈ R+
lim
=0 ,
lim xp ln x = 0 ,
lim (x − α ln x) = +∞
x→+∞ xp
x→+∞
x→0+
x
e
= +∞ ,
lim xM e−x = 0
∀M ∈ R
lim
x→+∞
x→+∞ xM


n
∑
1
costante di Eulero-Mascheroni
γem := lim 
− ln n ≈ = 0.57721 56649 01532
n→+∞
j
j=1
lim
x→0
2016-04-11
sin x
=1
x
,
(
lim
x→0
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
67
Alberto Marini
;320 derivate
Sia f (x) funzione definita in un intervallo reale I a valori reali; si dice derivabile in I
sse
df
f (x + ∆x) − f (x)
∆f
′
∀x ∈ I
Dx (f (x)) :=
(x) := f (x) := lim
=i∃ lim
∆x→0
∆x→0 ∆x
dx
∆x
d α
d
d √
1
d 1
1
∀α ∈ R
(x ) = αxα−1 . In partic. ∀C ∈ R
C=0 ,
x= √
,
=− 2
dx
dx
dx
dx x
x
2 x
d √
d 1
1√
βxβ−1
n
n
∀n = 0, 1, 2, ...
x=
xn−1 , ∀β ∈ R+
=
−
= −βx−β−1
dx
n
dx xβ
x2β
d x
d x
d −x
d ax
(b ) = bx ln b . In partic.
(e ) = ex ,
(e ) = −e−x ,
(e ) = aeax
∀b ∈ R+ \ {1}
dx
dx
dx
dx
d
1
1
d
1
(loga x) =
loga e =
,
(ln x) = Dx (loge x) =
dx
x
ln a x
dx
x
d
d
(sin x) = cos x ,
(cos x) = − sin x
dx
[
] dx
[
]
d
d
1
sin x
tan x
d
d
1
cos x
cot x
secx =
=
=
,
csc x =
=− 2 =
2
dx
dx cos x
cos x
cos x
dx
dx sin x
sin x
sin x
[
]
d
d sin x
cos2 x + sin2 x
1
2
tan x =
=
= 1 + tan x =
dx
dx cos x
cos2 x
cos2 x
[
]
2
2
d
d cos x
− sin x − cos x
1
cot x =
=
= −1 − cot2 x = − 2
2
dx
dx sin x
sin x
sin x
1
1
1
1
d
arcsin x =
=
=√
=√
y = arcsin x :
2
dx
Dy sin y
cos y
1 − x2
1 − sin y
1
1
1
1
d
arccos x =
=−
= −√
= −√
y = arccosx :
2
dx
Dy cos y
sin y
1 − cos x
1 − x2
d
1
1
1
y = arctan x :
arctan x =
=
=
dx
Dy tan y
1 + x2
1 + tan2 y
d
1
1
1
y = arccotx :
arccotx =
=
=−
2
dx
Dy cot y
1 + x2
1 + cot y
d
d
(sinh x) = cosh x ,
(cosh x) = − sinh x
dx
dx
[
]
d
d sinh x
cos2 x + sin2 x
1
tanh x =
=
= 1 − tanh2 x =
2
2 x
dx
dx cosh x [
cos
cosh
x
]
d
d cosh x
1
2
coth x =
= 1 − coth x = − 2
dx
dx sinh x
sin x
d
1
1
1
arsinh x =
=
=√
dx
Dy sinh y
cosh y
1 + x2
1
1
1
1
d
arcosh x =
=−
= −√
= −√
y = arcoshx :
2−1
2
dx
Dy cosh y
sinh y
x
1 − cosh x
1
1
d
1
artanh x =
=
y = artanh x :
=
2
dx
Dy tanh y
1
+
x2
1 + tanh y
d
1
1
y = arcothx :
arcothx =
=
dx
Dy coth y
1 − x2
y = arsinhx :
;320B regole di derivazione
Dx [αf (x) + βg(x)] = αDx f (x) + βDx g ′ (x)
[
]
f (x)
f ′ (x)g(x) − f (x(g ′ (x)
Dx [f (x)g(x)] = Dx f (x) · g(x) + f (x) · Dx g(x) , Dx
=
g(x)
g(x)
f (x) e g(x) derivabili in x
68
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
Dx f (g(x)) = Dg(x (g(x)) · Dx g(x)
2016-04-11
Dx f (g(h(x))) = Dg [f ((h(x)))] · Dh [g(h(x))] · Dx h(x)
Dx f (x)
f (x)
[
]
g(x)
f ′ (x)
g(x)
′
g (x) · ln f (x) +
= [f (x)]
f (x)
Dx ef (x) = ef (x) · Dx f (x)
Dx [f (x)]g(x)
,
,
Dx ln |f (x)| =
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
69
Alberto Marini
;350 serie numeriche
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ + + ··· +
+ · · · = e , 1 − + − + · · · + (−1)n
± ··· =
1! 2! 3!
n!
1! 2! 3!
n!
e
1 1 1
1
1
1
1
1
1 − + − + · · · + (−1)n−1 + · · · = ln 2 , 1 + + + + · · · + n + · · · = 2
2 3 4
n
2 4 8
2
1 1 1
(−1)n
2
1 1 1 1
1
1
π
, 1− + − + −···−
+
−··· =
1− + − +···+
+··· =
n
2 4 8
2
3
3 5 7 9
4n − 1 4n + 1
4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+· · ·+
+· · · = 1 , 1+
+
+
+· · ·+
+· · · =
1·2 2·3 3·4
n(n + 1)
1·3 3·5 5·7
(2n − 1)(2n + 1)
2
1
1
1
1
3
+
+
+ ··· +
+ ··· =
1·3 2·4 3·5
(n − 1)(n + 1)
4
1
1
1
1 π
1
+
+
+ ··· +
+ ··· = −
3 · 5 7 · 9 11 · 13
(4n − 1)(4n + 1)
2
8
1
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
+ ··· =
1·2·3 2·3·4 3·4·5
n(n + 1)(n + 2)
4
1
1
1
1
1
+
+
+···+
+··· =
1 · 2 · · · h 2 · 3 · · · (h + 1) 3 · 4 · · · (h + 2)
n(n + 1) · · · (n + h − 1)
(h − 1) · (h − 1)!
1+
1
1
1
1
π2
+ 2 + 2 + ··· + 2 + ··· =
2
2
3
4
n
6
1
1
1
1
π4
1 + 4 + 4 + 4 + ··· + 4 + ··· =
2
3
4
n
90
1
1
1
1
π4
1 + 4 + 4 + 4 + ··· + 4 + ··· =
2
3
4
n
90
1
1
1
1
1+ 2 + 2 +− 2 +···+
+··· =
3
5
7
(2n + 1)2
1+
1
1
1
1
π2
+ 2 − 2 + · · · + (−1)n−1 2 + · · · =
2
2
3
4
n
12
1
1
1
1
7
π4
, 1 − 4 + 4 − 4 + · · · + (−1)n+1 4 + · · · =
2
3
4
n
720
1
1
1
1
7
π4
, 1 − 4 + 4 − 4 + · · · + (−1)n+1 4 + · · · =
2
3
4
n
720
2
π
1
1
1
1
π4
, 1+ 4 + 4 +− 4 +···+
+··· =
4
8
3
5
7
(2n + 1)
96
,
1−
;350A serie per numeri di Bernoulli e di Eulero
1+
1−
1+
1−
70
1
1
1
1
π 2k 22k−1
+ 2k + 2k + · · · + 2k + · · · =
Brnlk
2k
2
3
4
n
(2k)!
1
1
1
π 2k (22k−1 − 1)
n−1 1
+
−
+
·
·
·
+
(−1)
+
·
·
·
=
Brnlk
22k
32k
42k
n2k
(2k)!
1
1
1
1
π 2k (22k−1 − 1)
+ 2k + 2k + · · · + (−1)n−1
+ ··· =
Brnlk
2k
2k
3
5
7
(2n − 1)
2 (2k)!
1
32k+1
+
1
52k+1
−
1
72k+1
+ · · · + (−1)n−1
1
π 2k (22k−1 − 1)
+
·
·
·
=
Eulk
(2n − 1)2k+1
2 (2k)!
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;360 successioni e serie di funzioni
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
71
Alberto Marini
;370 sviluppi in serie di potenze
In questa sezione assumiamo che sia α ∈ R e a, b ∈ Rnz
;370A sviluppi in serie di potenze di espressioni algebriche
α
(1 + x)
( )
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
a
= 1 + αx +
x +
x ··· +
xn + · · ·
2
6
n
per
−1<x<1
1
= 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + · · · per − 1 < x < 1
1−x
1
= 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)n xn + · · · per − 1 < x < 1
1+x
(
)
( )2
( )n
1
1
bx
bx
bx
|a|
=
1+
+
+ ··· +
+ ···
per |x| <
a − bx
a
a
a
a
|b|
(
)
(
)
(
)
2
n
1
a
a
a
|a|
= −
1+
+
+ ··· +
+ ···
per |x| >
bx
bx
bx
bx
|b|
1
= 1 + 2 x + 3 x2 + · · · + (n + 1) xn + · · · per − 1 < x <≤ 1
(1 − x)2
(
)
√
x x2
x3
5 x4
1/2 n
1+x = 1+ −
+
−
+ ··· + +
x
per − 1 < x < 1
2
8
16
128
n
(
)
x 3 x2
5, x3
35 x4
−1/2 n
1
√
= 1− +
−
+
− ··· +
x + · · · per − 1 < x ≤ 1
2
8
16
128
n
1+x
;370B sviluppi in serie di potenze per esponenziali
ex = 1 + x +
ax = 1 + x ln a +
x2
x3
xn
+
+ ··· +
+ · · · ‘ per
2
3!
n!
(x ln a)3
(x ln a)n
(x ln a)2
+
+ ··· +
+ ···
2
3!
n!
1 1
x
x3
Brnl2n x2 n−1 n
1
=
−
+
−
+
·
·
·
+
+ ···
ex − 1
x 2 12 30 4!
(2 n)!
sinh x = x +
x3
x5
x2 n+1
+
+ ··· +
+ ···
3!
5!
(2 n + 1)!
cosh x = 1 +
tanh x = x −
coth x =
72
− ∞ < x < +∞
x2
x4
x2 n
+
+ ··· +
+ ···
2!
4!
(2 n)!
per
− ∞ < x < +∞
per − 2 π < x < 0 e 0 < x < 2 π
per
per
− ∞ < x < +∞
− ∞ < x < +∞
x3
2 x5
17 x7
22n (22n − 1)
+
−
+ ··· +
Brnl2n x2 n−1 + · · ·
3!
15
315
(2n)!
1 x x3
2 x5
22n
+ −
+
+ ··· +
Brnl2n x2 n−1 + · · ·
x 3
45
945
(2n)!
per
per
π
π
<x<
2
2
π<x<0 e 0<x<π
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
1
1 x 7 x3
22n − 2
=
− +
+ ··· +
Brnl2n x2 n−1 + · · ·
sinh x
x 6
360
(2n)!
csch x =
per
π<x<0 e 0<x<π
1
x2
5 x4
Eul2n 2 n
= 1−
+
+ ··· +
x + ···
cosh x
2
24
(2 n)!
ln(1 + x) = x −
ln(a + x) = ln a +
−1<x≤1
per
x 1 ( x )2 1 ( x )3
1 ( x )n
−
+
− · · · + (−1)n−1
+ ···
a 2 a
3 a
n a
ln(1 + x) =
arsinh x = x −
x2
x3
x4
xn
+
−
+ · · · + (−1)n−1
+ ···
2
3
4
n
π
π
<x<
2
2
per
x
1
+
1+x 2
(
x
1+x
)2
+ ··· +
1
n
(
x
1+x
)n
+ ···
per
x3
3 x5
(2n − 1)!!
+
− · · · + (−1)n
x2 n+1 + · · ·
6
40
(2 n)!! (2 n + 1)
per
1
3
(2 n − 1)!!
−
− ··· −
− ···
4 x2
32 x4
(2 n)!! 2 n x2 n
per
arcosh x = ln |2 x| −
artanhx = x +
arcothx =
x3
x5
x2 n+1
+
+ ··· +
+ ···
3
5
2n + 1
−a<x≤a
per
−
1
<x
2
−1<x<1
|x| > 1
−1<x<1
per
1
1
1
1
+
+
+ ··· +
x 3 x3
5 x5
(2 n + 1) 5 x2 n+1
per
|x| > 1
;370C sviluppi in serie di potenze per espressioni trigonometriche
sin x = x −
x3
x5
x7
x2 n+1
+
−
+ · · · + (−1)n
+ ···
3!
5!
7!
(2 n + 1)!
cos x = 1 −
tan x = x +
cot x =
− ∞ < x < +∞
x3
2 x5
17 x7
22n (22n − 1)
+
+
+ · · · + (−1)n−1
Brnl2n x2 n−1 + · · ·
3
15
315
(2n)!
per
1
x2
5 x4
61 x6
Eul2n 2 n
= 1−
+
+
+ · · · + (−1)n
x + ···
cos x
2
24
6!
(2 n)!
1 x 7 x3 31 x5
22n − 2
+ +
+
+ · · · + (−1)n−1
Brnl2n x2 n−1 + · · ·
x 6
360
3 7!
(2n)!
arcsin x = x +
2016-04-11
per
1 x x3
2 x5
22n
− +
+
− · · · + (−1)n
Brnl2n x2 n−1 + · · ·
x 3
45
945
(2n)!
secx =
csc x =
x2
x4
x6
x2 n
+
−
+ · · · + (−1)n
+ ···
2!
4!
6!
(2 n)!
− ∞ < x < +∞
per
3, x5
(2 n1)!!
x3
+
−+
x2 n+1 + · · ·
6
40
(2 n)!! (2 n + 1)
per
per
π
π
<x<
2
2
π<x<0 e 0<x<π
per
π
π
<x<
2
2
per π < x < π , x ̸= 0
−1<x<1
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
73
Alberto Marini
arctan x = x −
74
x3
x5
x7
x2 n+1
+
−
+ · · · + +(−1)n
+ ···
3
5
7
2n + 1
per
arccosx =
π
− arcsin x per
2
−1<x<1
arccotx =
π
− arctan x per
2
−1<x≤1
−1<x<1
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;380 prodotti infiniti
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
75
Alberto Marini
;400 integrali
;400A schemi di integrazione
∫
∫
∫
dx [g(x)]b g ′ (x) =
1
[g(x)]b+1 + C
b+1
dx sin[g(x)] g ′ (x) = − cos[g(x)]
g ′ (x)
= ln |g(x)| + C
g(x)
dx cos[g(x)] g ′ (x) = sin[g(x)]
;400B regole di integrazione
∫
dx [αf (x) + βg(x)] = α
∫
∫
c
dx f (x) =
76
∫
,
dx
∫
1
1
′
g (x) = tan[g(x)] + C
,
dx
g ′ (x) = cot[g(x)] + C
dx
2
cos2 [g(x)]
sin [g(x)]
∫
ag(x)
dx ag(x) · g ′ (x) =
+C
ln a
∫
,
∫
,
a
∫
dx f (x) + β
∫
b
c
dx f (x) +
a
dx g(x)
dx f (x)
b
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;420 antiderivate di integrandi algebrici
;420A antiderivate di integrandi con ax + b
∫
dx a = ax + C
con
a∈R
∫
xα+1
+ C con α ∈ R \ {−1}
α+1
∫
∫
1
1
1
dx = ln |x| + C ,
dx n = −
+C
x
x
(n − 1) xn−1
∫
∫
1 x
b + C con b ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞)
in partic.
dx ex = ex + C
dx bx =
ln b
∫
(a x + b)n+1
con n ̸= 1
dx (a x + b)n =
a (n + 1)
∫
∫
dx
1
dx
1
= ln |a x + b| ,
=
con n ̸= 1
ax + b
a
(a x + b)n
n (n − 1) (a x + b)n−1
(
)
∫
1
(a x + b)n+2
b(a x + b)n+1
dx x (a x + b)n = 2
−
con n ̸= −1, −2
a
n+2
n+1
∫
x
x
b
dx
= + 2 ln |a x + b|
ax + b
a a
(
)
∫
x
1
b
1
dx
=
−
con n ̸= 1
(a x + b)n
a2 (n − 1) (a x + b)n−1
(n − 2) (a x + b)n−2
∫
x
bx
b2
x2
=
+ 2 + 3 ln |a x + b|
dx
ax + b
2a a
a
∫
n
n
n−1
2 n−2
x
x
bx
b x
dx
=
−
+
− ···
ax + b
na (n − 1)a2
(n − 2)a3
bn−1 x
bn−1 x
+(−1)n−1
+ (−1)n−1
ln |a x + b| per n = 3, 4, 5, ...
n
an
∫ a
x
b
1
dx
= 2
+
ln |a x + b|
(a x + b)2
a (a x + b) a2
(
)
∫
1
(a x + b)n+3
2b(a x + b)n+2
b2 (a x + b)n+1
2
n
dx x (a x + b) = 3
−
+
con n ̸= −1, −2, −3
a
n+3
n+2
n+1
(
)
∫
x2
1
b2
2b
1
dx
= 3
−
+
con n ̸= 1, 2, 3
(a x + b)n
a
(n − 1)(a x + b)n−1
(n − 2)(a x + b)n−2
(n − 3)(a x + b)n−3
(
)
∫
1
(a x + b)2
x2
= 3
− 2 b (a x + b) + b2 ln |a x + b|
dx
ax + b
a
2
(
)
∫
x2
1
b2
dx
= 3 a x + b − 2 b ln |a x + b| −
(a x + b)2
a
ax + b
(
)
∫
x2
1
2b
b2
dx
= 3 ln |a x + b| +
−
(a x + b)3
a
a x + b 2(a x + b)2
∫
1 a x + b dx
=
ln
x(a x + b)
b x ∫
a x + b
1
a
dx
=
+
ln x2 (a x + b)
b x b2
x ∫
a x + b
2ax − b a2
dx
=
− 3 ln x3 (a x + b)
2b2 x2
b
x dx xα =
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
77
Alberto Marini
∫
dx
a
a2
1
=
−
+
−
+ ···
xn (a x + b)
(n − 1) b xn−1
(n − 2) b2 xn−2
(n − 3) b3 xn−3
a x + b
an−2
an−1
per n = 4, 5, 6, ...
+ (−1)n−1 n−1 + (−1)n n ln b
x
b
x ∫
a x + b
dx
1
1
−
=
ln x (a x + b)2
b (a x + b) b2
x ∫
∫
1
1
dx
dx
=
+
per n ̸= 1
n
n−1
x (a x + b)
b (n − 1) (a x + b)
b
x (a x + b)n−1
∫
dx
2 a a x + b 2ax + b
+ 3 ln = − 2
x2 (a x + b)2
b x (a x + b)
b
x ;420B antiderivate di integrandi con
√
ax + b
∫
√
2(a x + b)3/2
ax + b =
3a
∫
√
2(a x + b)3/2
dx x a x + b =
(3ax − 2b)
15a2
∫
√
2(a x + b)3/2
dx x2 a x + b =
(15 a2 x2 − 12abx + 8b2 )
105a2
)
(
∫
∫
√
√
2
dx xn a x + b =
xn (a x + b)3/2 − b n
dx xn−1 a x + b
a(2n + 3)
√
∫
∫
√
ax + b
dx
√
dx
= 2 ax + b + b
V.(1)
x
x ax + b
(
)
√
√
∫
∫
ax + b
1
(a x + b)3/2
2n − 5)a
ax + b
dx
=
+
dx
xn
b(n − 1)
xn−1
2
xn−1
√
∫
dx
2 ax + b
√
=
a
ax + b
√
∫
x
2 b a x + b 2(a x + b)3/2
dx √
=
+
a2
3 a2
ax + b
√
∫
2
2
3/2
x
2 b a x + b 4b(a x + b)
2(a x + b)5/2
dx √
=
−
+
a3
3a3
5 a3
ax + b
(
)
∫
∫
n
√
xn−1
x
2
n
ax + b − bn
dx √
dx √
=
x
a(2n + 1)
ax + b
ax + b
√

√
a
x+b−
b
1
∫
 √ ln √
√ sse b > 0
dx
b
a x+b+ b
√
√
(1)
=
 √2 arctan a x+b sse b < 0
x ax + b
−b
−b
√
√
∫
∫
a x + b − b (2n − 3)a
dx
dx
√
√
√ −
= −√
per n ̸= −1
n−1
(2n
−
2)b
xn a x + b
x
ax + b
ax + b + b
∫
)
√
dx
2 (√
√
=
a x + b − c ln c + a x + b
a
c + ax + b
√
∫
)
(
√
√
ax + b
2
√
a x + b − 2 c a x + b + 2 c2 ln c + a x + b
dx
=
a
c + ax + b
(
∫
)
√
√
x
1
2
√
dx
= 2 2(c2 − b) a x + b − c (a x + b) + (a x + b)3/2 − 2 c (c2 − b) ln c + a x + b
a
3
c + ax + b
dx
78
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
∫
√
dx
2 √
(
√
) =
ln c + a x + b
a
ax + b c + ax + b
√
∫
dx
2
a x + b √
√
(
) =
ln ac
(a x + b) c + a x + b
c + a x + b
∫
√
dx
2 2c
√
) + ln c + a x + b
√
(
)2 = (
a
a c + ax + b
c + ax + b
√
√
∫
√
ax + b
2 ax + b
2 c2
4 c √
)−
dx (
− (
ln c + a x + b
√
)2 =
a
a
a c + ax + b
c + ax + b
(
∫
)
√
√
x
1
2 c(c2 − b)
√
dx (
+ 2(3 c2 − b) ln c + a x + b
√
)2 = 2 −4 c a x + b + a x +
a
c + ax + b
c + ax + b
∫
dx
2
√
)
√
(
√
)2 = − (
a c + ax + b
ax + b c + ax + b
√
)
(
∫
dx
1
2c
a x + b √
√
=
+
2
ln
√
(
)2
c + a x + b
a c2 c + a x + b
(a x + b) c + a x + b
;420C antiderivate di integrandi con ax + b e cx + d
Consideriamo i reali a, b, c e d, poniamo k := ad − bc e supponiamo che tale numero sia diverso da 0;
consideriamo inoltre m = 2, 3, ... ed n = 1, 2, 3, ... .
∫
dx
=
(ax +
(cx + d)m
[
]
∫
1
1
dx
+ a(m + n − 2)
k(m − 1) (ax + b)n−1 (cx + d)m−1
(ax + b)n (cx + d)m−1
∫
dx
1 ax + b =
ln
(ax + b) (cx + d)
k cx + d (
)
∫
x
1 b
d
dx
= −
ln |ax + b| − ln |cx + d|
(ax + b) (cx + d)
k a
c
)
(
∫
ax + b dx
1
1
c
=
+ ln
(ax + b)2 (cx + d)
k a x + b k cx + d ∫
ax + b b
d
x
=
+
ln
dx
cx + d (ax + b)2 (cx + d)
ak(ax + b) k 2
(
)
∫
b2
1
b(k + ad)
d2
x2
= − 2
+
−
ln |ax + b| +
ln |cx + d|
dx
(ax + b)2 (cx + d)
a k(ax + b) k 2
a2
c
∫
1
a
c
dx
=
ln |x| −
ln |ax + b| +
ln |cx + d|
x (ax + b) (cx + d)
bd
bk
dk
b)n
∫
dx
2016-04-11
dx
a2 d2 + b2 c2
1
a2
c2
=
−
ln
|x|
−
+
ln
|ax
+
b|
+
ln |cx + d|
x2 (ax + b)2 (cx + d)
b2 d2 k
bdx b2 k
d2 k
∫
ax + b
ax
k
dx
=
− 2 ln |cx + d|
cx + d
c
c
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
79
Alberto Marini
∫
(
)
∫
(ax + b)n
1
(ax + b)n+1
(ax + b)n
=
+
(m
−
n
−
2)
a
dx
(cx + d)m
k(m − 1) (cx + d)m−1
(cx + d)m−1
(
)
∫
1
(ax + b)n
(ax + b)n−1
= −
−
k
n
dx
(m − n − 1) c (cx + d)m−1
(cx + d)m
√
∫
(√
)
√
√
√
x+b
dx
= x + b x + d + (b − d) ln
x+d+ x+d
x+d
√
√
∫
√
√
b−x
d+x
dx
= b − x x + d + (b + d) arcsin
d+x
b+d
√

√
 √ 1 ln √c(ax+b)−√−k se c > 0 , k < 0
∫

dx
c(ax+b)+ −k −k c
√
=
√

(cx + d) ax + b
 √2 arctan c(ax+b)
se c, k > 0
k
kc
dx
;420D antiderivate di integrandi con a2 x2 ± c2
Consideriamo a e c i reali positivi.
∫
dx
1
ax
=
arctan
=: A1
a2 x2 + c2
ac
c
∫
ax − c dx
1
=
ln
ax + c =: B1
a2 x2 − c2
2ac
∫
x
1
ax
dx
=
+
arctan
=: A2
(a2 x2 + c2 )2
2c2 (a2 x2 + c2
2ac3
c
∫
ax − c dx
x
1
=
−
−
ln
ax + c =: B2
(a2 x2 − c2 )2
2c2 (a2 x2 − c2
4ac3
∫
x
2n − 3
dx
=
+
An−1
An :=
2
2
2
n
2
2
2
n−1
(a x + c )
2(n − 1)c (a x )
2(n − 1)c2
∫
x
2n − 3
dx
=
−
Bn−1
Bn :=
(a2 x2 − c2 )n
2(n − 1)c2 (a2 x2 )n−1
2(n − 1)c2
∫
(a2 x2 ± c2 )n+1
per n ̸= −1
2(n + 1)a2
∫
2 2
x
1
a x ± c2 dx 2 2
=
ln
a x ± c2
2a2
dx x (a2 x2 ± c2 )n =
∫
dx
(a2 x2
∫
x
1
=
per
2
n
2
±c )
2 a (n − 1) (a2 x2 ± c2 )n−1
∫
dx
1
x2
=
±
ln
x (a2 x2 ± c2 )
2c2
a2 x2 ± c2 n ̸= 1
1
a
ax
− 3 arctan
+
x c
c
∫
ax − c dx
1
a
= 2 + 3 ln x2 (a2 x2 − c2 )
c x 2c
ax + c ∫
x
c
ax
x2
= 2 − 3 arctan
dx 2 2
a x + c2
a
a
c
dx
x2
80
(a2 x2
c2 )
= −
c2
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
ax − c x
c
x2
dx 2 2
= 2+
ln a x − c2
a
2 a3
ax + c ∫
∫
xn
xn−1
c2
xn−2
=
∓
dx 2 2
per
dx 2 2
2
2
2
a x ±c
a (n − 1) a
a x ± c2
∫
∫
dx
∫
n ̸= 1
x2
x
1
= −
+
An−1
(a2 x2 + c2 )n
2(n − 1)a2 (a2 x2 + c2 )n−1
2(n − 1)a2
per
n ̸= 1
x2
x
1
= −
+
Bn−1 per n ̸= 1
− c2 )n
2(n − 1)a2 (a2 x2 − c2 )n−1
2(n − 1)a2
∫
∫
∫
xm
1
xm−2
c2
xm−2
dx 2 2
=
dx
∓
dx
(a x ± c2 )n
a2
(a2 x2 ± c2 )n−1
a2
(a2 x2 ± c2 )n
∫
∫
dx
1
1
dx
= ± 2
± 2
per n ̸= 1
2
2
2
n
2
2
2
n−1
2
2
x (a x ± c )
2c (n − 1)(a x ± c )
c
(a x ± c2 )n−1
∫
∫
∫
dx
1
dx
a2
dx
=
±
∓
x2 (a2 x2 ± c2 )n
c2
x2 (a2 x2 ± c2 )n−1
c2
(a2 x2 ± c2 )n
∫
∫
∫
dx
1
dx
a2
dx
=
±
∓
m
2
2
2
n
2
m
2
2
2
n−1
2
m−2
2
x (a x ± c )
c
x (a x ± c )
c
x
(a x2 ± c2 )n
(
)
∫
dx
1
p
(p x + q)2
aq
ax
=
ln
+
arctan
(p x + q) (a2 x2 + c2 )
a2 q 2 + c2 p2 2
a2 x2 + c2
2c
c
)
(
∫
2
a x − c
dx
1
p
(p x + q)
aq
= 2 2
ln 2 2
+
ln (p x + q) (a2 x2 − c2 )
a q − c2 p2 2
|a x − c2 |
2c
a x + c
(
)
∫
1
q
(p x + q)2
cp
ax
x
= 2 2
− ln 2 2
+
arctan
dx
(p x + q) (a2 x2 + c2 )
a q + c2 p2
2
a x + c2
a
c
)
(
∫
2
a x − c
x
1
q
(p x + q)
cp
dx
= 2 2
− ln 2 2
−
ln (p x + q) (a2 x2 − c2 )
a q − c2 p2
2
|a x − c2 | 2 a
a x + c
( 2
)
∫
1
q
c2 p
cq
ax
x2
2 2
2
= 2 2
ln |p x + q| +
ln (a x + c ) −
arctan
dx
(p x + q) (a2 x2 + c2 )
a q + c2 p2
p
2 a2
a
c
)
(
∫
2 2
x2
1
q2
c2 p
a x − c2 + c q ln a x − c dx
=
ln
|p
x
+
q|
−
ln
2
2
2
2
2
2
2
2
(p x + q) (a x − c )
a q −c p
p
2a
2a
a x + c
dx
(a2 x2
;420E antiderivate di integrandi con
∫
dx
∫
2016-04-11
√
a2 x2 ± c2
√
√
1 √ 2 2
c2
x a x ± c2 ±
ln ax + a2 x2 ± c2 a2 x2 ± c2 =
2
2a
∫
√
1 dx
√
=
ln ax + a2 x2 ± c2 a
a2 x2 ± c2
∫
x
1 √
dx √
= 2 a2 x 2 ± c 2
2
2
2
a
a x ±c
√
∫
1 a2 x2 + c2 + c dx
√
= − ln c x
x a2 x2 + c2
dx
1
√
arctan
=
2
2
2
c
x a x −c
√
a2 x2 + c2
c
[
1
c
=
arccos
se
c
ax
]
x>0
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
81
Alberto Marini
∫
dx x
∫
√
a2 x2 ± c2 =
1
(a2 x2 ± c2 )3/2
3 a2
√
x
c2 x √ 2 2
c4
2 2
2 3/2
2−
2 x2 ± c2 (a
x
±
c
)
∓
a
x
±
c
ln
+
a
ax
4 a2
8 a2
8 a3
√
2 2
∫
√
a x + c2 a2 x2 + c2
=
dx
a2 x2 + c2 − c ln x
x
√
√
∫
√
a2 x2 − c2
a2 x2 − c2
=
dx
a2 x2 − c2 − c arctan
x
c
√
∫
a2 x2 ± c2
dx
√
= ∓
2
2
2
2
c2 x
x a x ±c
√
∫
∫
xn
xn−1 a2 x2 ± c2
(n − 1) c2
xn−2
dx √
=
∓
dx √
per n = 1, 2, 3, ...
2
2
2
2
2
2
na
na
a x ±c
a x2 ± c2
∫
∫
√
√
xn−1 (a2 x2 ± c2 )3/2 (n − 1) c2
dx xn a2 x2 ± c2 =
∓
dx xn−2 a2 x2 ± c2 per n = 1, 2, 3, ...
2
2
(n + 2) a
(n + 2) a
√
√
∫
∫
2 2
2 3/2
2
2
2
a x ±c
a2 x2 ± c2
(a x ± c )
(n − 4) a2
dx
=
∓
∓
dx
per n = 1, 2, 3, ...
xn
(n − 1) c2 xn−1
(n − 1) c2
xn−2
√
∫
∫
(a2 x2 ± c2 )
dx
(n − 2) a2
dx
√
√
= ∓
per n = 1, 2, 3, ...
∓
2
n−1
2
n
2
2
2
n−2
(n − 1) c x
(n − 1) c
x
a x ±c
x
a2 x2 ± c2
√
∫
dx
1 x+b
√
= −
per b < 0 ∧ b > 0
b x−b
(x − b) x2 − b2
[[
]]
∫
∫
dx
1
dt
√
√
=
t :=
= −sign(b)
per b ∈ R
2
2
x
−
b
(p b + q)t2 + 2 p b t + p
(x − b) p x + q
[[
]]
∫
∫
1
dx
tn−1
√
=
t :=
= −sign(b)
dt √
per b ∈ R
x−b
(p b2 + q)t2 + 2 p b t + p
(x − b)n p x2 + q
∫
√
x 2 2
3 c2 x √ 2 2
3 c4
dx (a2 x2 ± c2 )3/2 =
(a x ± c2 )3/2 ±
a x ± c2 +
ln a x + a2 x2 ± c2 4
8
8a
∫
1
dx x (a2 x2 ± c2 )3/2 =
(a2 x2 ± c2 )5/2
5 a2
∫
∫
√
x3 2 2
c2
2
2 2
2 3/2
2 3/2
dx x (a x ± c )
=
(a x ± c ) ±
dx x2 a2 x2 ± c2 (v.1)
6
2
∫
1
c2
dx x3 (a2 x2 ± c2 )3/2 =
(a2 x2 ± c2 )7/2 ∓
(a2 x2 ± c2 )5/2
4
7a
5 a4
∫
c + √a2 x2 + c2 √
(a2 x2 + c2 )3/2
1 2 2
2 3/2
2
3
dx
=
(a x + c ) + c
a2 x2 + c2 − c ln x
3
x
√
∫
√
1 2 2
a2 x2 − c2
(a2 x2 − c2 )3/2
=
(a x − c2 )3/2 − c2 a2 x2 − c2 + c3 arctan
dx
x
3
c
∫
dx
x
= ± √
(a2 x2 ± c2 )3/2
c2 a2 x2 ± c2
∫
x
1
dx 2 2
= − √
(a x ± c2 )3/2
a2 a2 x2 ± c2
(1)
82
dx x2
√
a2 x2 ± c2 =
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
∫
√
x
1
x2
2 x2 ± c2 √
=
−
+
ln
x
+
a
a
a3
(a2 x2 ± c2 )3/2
a2 a2 x2 ± c2
∫
x3
c2
1 √
dx 2 2
= ± √
+ 4 a2 x 2 ± c 2
2
3/2
a
(a x ± c )
a4 a2 x2 ± c2
∫
c + √a2 x2 + c2 dx
1
1
√
=
− 3 ln 2
2
2
3/2
2
2
2
2
c
x
x (a x + c )
c a x +c
√
∫
1
a2 x2 − c2
dx
1
√
−
=
−
arctan
3
c
c
x (a2 x2 − c2 )3/2
c2 a2 x2 + c2
(√
)
∫
a2 x
dx
1
a2 x2 ± c2
= − 4
+√
c
x
x2 (a2 x2 ± c2 )3/2
a2 x2 ± c2
√
)
(
∫
a2 x2 ± c2 − c dx
1
1
3 a2
3 a2
√
= − 2
+ √
+ 3 ln 2c
c
x
x3 (a2 x2 + c2 )3/2
x2 a2 x2 + c2
c2 a2 x2 + c2
(
)
√
∫
dx
1
a2 x2 − c2
1
3 a2
3 a2
√
√
arctan
=
−
−
2
3
3
2
2
2
3/2
2
2
2
2
2
2
2
2
2c
c
c
x (a x − c )
x a x −c
c a x −c
dx
;420F antiderivate di integrandi con c2 − a2 x2 per a, c > 0
c + a x
dx
1
=
ln
c − a x =: C1
c2 − a2 x2
2ac
∫
c + a x
x
1
dx
=: C2
=
+
ln (c2 − a2 x2 )2
2 c2 (c2 − a2 x2 ) 4 a c3
c − a x
∫
∫
(1)
(c2
∫
x
2n − 3
dx
=
+
Cn−1 =: Cn
2
2
n
2
2
2
2
n−1
−a x )
2(n − 1) c (c − a x )
2(n − 1)c2
∫
(c2 − a2 x2 )n+1
dx x (c2 − a2 x2 )n = −
per n ̸= −1
2(n + 1)a2
∫
x
1
dx 2
= − 2 ln c2 − a2 x2 2
2
c −a x
2a
dx
x
1
= − 2
per
(c2 − a2 x2 )n
2a (n − 1) (c2 − a2 x2 )n−1
∫
1
x2
dx
=
−
ln
2
2
2
2
2
2
2
x(c − a x )
2c
c −a x n ̸= −1
c + ax 1
a
dx
=
−
+
ln
c − ax x2 (c2 − a2 x2 )
c2 x 2 c3
∫
c + ax x2
x
c
dx 2
= − 2+
ln c − a2 x2
a
2 a3
c − ax ∫
∫
xn−1
c2
xn−2
xn
=
−
+
dx 2
dx 2
2
2
2
2
c −a x
a (n − 1) a
c − a2 x2
∫
(2)
∫
dx
2016-04-11
x2
x
1
=
−
Cn−1
2
2
2
n
2
2
2
2
n−1
(c − a x )
2(n − 1) a (c − a x )
2(n − 1) a2
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
83
Alberto Marini
∫
xm−2
c2
xm−2
+
dx 2
2
2
2
n−1
2
(c − a x )
a
(c − a2 x2 )n
∫
∫
dx
dx
1
1
=
+ 2
per n ̸= 1
x (c2 − a2 x2 )n
2(n − 1) c2 (c2 − a2 x2 )n−1
c
x2 (c2 − a2 x2 )n−1
∫
∫
∫
dx
dx
dx
1
a2
=
+
v.(1), (2)
2
2
2
2
n
2
2
2
2
2
n−1
2
2
x (c − a x )
c
x (c − a x )
c
(c − a2 x2 )n
∫
∫
∫
dx
1
dx
a2
dx
=
+
xm (c2 − a2 x2 )n
c2
xm (c2 − a2 x2 )n−1
c2
xm−2 (c2 − a2 x2 )n
)
(
∫
c − a x
1
(p x + q)2
aq
dx
p
= 2 2
ln 2
+
ln (p x + q) (c2 − a2 x2 )
c p − a2 q 2 2
|c − a2 x2 |
2c
c + a x
)
(
∫
c − a x
x
1
q
(p x + q)2
cp
dx
=
−
ln
−
ln
c + a x
(p x + q) (c2 − a2 x2 )
c2 p2 − a2 q 2
2
|c2 − a2 x2 | 2 a
)
( 2
∫
2
cq
c − a x
1
c2 p
x2
q
2 2
= 2 2
ln |p x + q| −
ln dx
ln c − a x +
(p x + q) (c2 − a2 x2 )
c p − a2 q 2 p
2 a2
2a
c + a x
∫
√
x √ 2
c2
ax
dx c2 − a2 x2 =
c − a2 x2 +
arcsin
2
2a
c
∫
dx
1
ax
√
=
arcsin
a
c
c2 − a2 x2
∫
√
x
1
dx √
= − 2 c2 − a2 x2
a
c2 − a2 x2
√
∫
c2 − a2 x2 + c dx
1
√
= − ln 2
2
2
c
x
x c −a x
∫
√
1
dx x c2 − a2 x2 = − 2 (c2 − a2 x2 )3/2
3a
∫
√
x
c2 x √ 2
c4
ax
2 x2 +
c
−
a
arcsin
dx x2 c2 − a2 x2 = − 2 (c2 − a2 x2 )3/2 +
4a
8 a2
8 a3
c
√
√
∫
c2 − a2 x2 + c √
c2 − a2 x2
dx
=
c2 − a2 x2 − c ln x
x
√
∫
c2 − a2 x2
dx
√
= −
2
2
2
2
c2 x
x c −a x
∫
∫
√
√
(n − 1) c2
xn−1 (c2 − a2 x2 )3/2
n
n−2
2
2
2
dx x
+
dx
x
c −a x = −
c2 − a2 x2 per n > 0
(n + 2) a2
(n + 2) a2
√
√
∫
∫
(c2 − a2 x2 )3/2
(n − 4) a2
c2 − a2 x2
c2 − a2 x2
=
−
+
dx
per n > 1
dx
n
2
n−1
2
x
(n − 1) c x
(n − 1) c
xn−2
√
∫
∫
dx
c2 − a2 x2
(n − 2) a2
dx
√
√
= −
per n > 1
+
(n − 1) c2 xn−1
(n − 1) c2
xn c2 − a2 x2
xn−2 c2 − a2 x2
[[
]]
∫
∫
dx
1
dt
√
√
=
t :=
= −sign(x − b)
2
2
x
−
b
(p b + q) t2 + 2 p b t + p
(x − b) p x + q
[[
]]
∫
∫
tn−1
1
dx
√
dt √
=
t :=
= −sign(x − b)n
x−b
(p b2 + q) t2 + 2 p b t + p
(x − b)n p x2 + q
∫
x 2
3 c2 x √ 2
3 c4
ax
dx (c2 − a2 x2 )3/2 =
(c − a2 x2 )3/2 +
c − a2 x2 +
arcsin
4
8
8a
c
∫
dx
84
xm
1
= − 2
2
(c − a2 x2 )n
a
∫
dx
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
∫
dx x (c2 − a2 x2 )3/2 =
∫
1
(c2 − a2 x2 )5/2
5 a2
1
(c2 − a2 x2 )5/2
5 a2
∫
√
x3 2
c2
(c − a2 x2 )3/2 +
dx x2 c2 − a2 x2
=
6
2
dx x (c2 − a2 x2 )3/2 =
∫
dx x2 (c2 − a2 x2 )3/2
∫
1
c2
2
2 2 7/2
(c
(c2 − a2 x2 )5/2
−
a
x
)
−
7 a4
5 a4
c + √c2 − a2 x2 √
1 2
2 2 3/2
2
3
2
2
2
=
(c − a x ) + c
c − a x − c ln 3
x
∫
dx
x
√
=
(c2 − a2 x2 )3/2
c2 c2 − a2 x2
∫
x
1
√
dx 2
=
2
2
3/2
2
2
(c − a x )
a c − a2 x2
dx x3 (c2 − a2 x2 )3/2 =
∫
dx
(c2 − a2 x2 )3/2
x
∫
x2
x
1
ax
√
=
− 3 arcsin
2
2
2
2
a
c
(c2 − a2 x2 )3/2
a c −a x
∫
x3
c2
1 √
√
dx 2
=
+ 4 c2 − a2 x2
2
2
3/2
a
(c − a x )
a4 c2 − a2 x2
√
∫
c2 − a2 x2 − c 1
dx
1
√
+ 3 ln =
2
2
2
3/2
2
2
2
2
c
x
x (c − a x )
c c −a x
(√
)
∫
1
c2 − a2 x2
a2 x
dx
= 4
−√
c
x
x2 (c2 − a2 x2 )3/2
c2 − a2 x2
√
)
(
∫
c2 − a2 x2 − c dx
1
3 a2
3 a2
1
√
= − 2
− √
− 3 ln 2c
c
x
x3 (c2 − a2 x2 )3/2
x2 c2 − a2 x2
c2 c2 − a2 x2
dx
;420G antiderivate di integrandi con a x2 + b x + c
(
)2
b
b2
Poniamo k := 4ac − b2 ; osserviamo anche che si può scrivere a x2 + b x + c = a x +
+c−
2a
4a
b
e che questa espressione, posto t := x + 2a
, assume la forma a t2 + b esaminata in ;420D.
∫

√
2ax+b−√
−k 
√1

ln
sse 4ac < b2
 −k
2ax+b+ −k
dx
=
√2 arctan 2ax+b
√

k
k
a x2 + b x + c

− 2
sse 4ac > b2
sse 4ac = b2
2ax+b
∫
∫
x
1
dx
2 a x2 + b x + c − b
dx
=
ln
a x2 + b x + c
2a
2a
a x2 + b x + c
∫
∫
2ax + b
2a
dx
dx
=
+
(a x2 + b x + c)2
k(a x2 + b x + c)
k
a x2 + b x + c
∫
dx
2016-04-11
x
bx + 2c
b
= −
−
2
2
2
(a x + b x + c)
k(a x + b x + c) k
∫
a x2
dx
+ bx + c
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
85
Alberto Marini
∫
dx
1
x2
dx
− b
=
ln
x (a x2 + b x + c)
2 c a x2 + b x + c 2 c
a x2 + b x + c
2
( 2
)∫
∫
a x + b x + c
dx
b
dx
− 1 + b − a
=
ln
2
2
2
2
2
2
x (a x + b x + c)
2c
x
cx
2c
c
ax + bx + c
{ 1
√
∫
√ ln 2 a x + b + 2 a x2 + b x + c sse a > 0
dx
a
√
=
x−b
√1
sse a < 0
arcsin −2√a−k
a x2 + b x + c
−a
√
∫
∫
x
b
dx
a x2 + b x + c
√
√
dx
=
−
2
2
a
2
a
ax + bx + c
ax + bx + c
√
∫
∫
∫
2
2
x
x ax + bx + c
3b
x
c
dx
√
dx √
=
−
dx √
−
2
2
2
2
a
4
a
2
a
ax + bx + c
ax + bx + c
ax + bx + c
√ 2

√
b 
− √1c ln a x +bxx+c+ c + 2 √
sse c > 0

∫

c
dx
1
b
x+2
c
√
=
√
arcsin x √−k
sse c < 0
−c

x a x2 + b x + c

 2 √a x2 +b x+c
−
sse c = 0
bx
√
∫
∫
dx
a x2 + b x + c
b
dx
√
√
= −
−
2
2
2
cx
2c
x ax + bx + c
ax + bx + c
[[
]]
∫
dx
1
√
=
t :=
n
2
x−d
(x − d)
ax + bx + c
∫
tn−1
= −sign(x − d)
dt √
(a d2 + b d + c)2 + (2 a d + b) t + a
∫
∫
√
2ax √ 2
k
dx
√
dx a x2 + b x + c =
ax + bx + c +
4a
8a
a x2 + b x + c
∫
∫
∫
√
√
(a x2 + b x + c)3/2
b
a x2 + b x + c =
−
dx a x2 + b x + c
3a
2a
(
)
∫
∫
√
√
5 b (a x2 + b x + c)3/2
5 b2 − 4 a c
dx x2 a x2 + b x + c = x −
+
dx a x2 + b x + c
2
6a
4a
16 a
dx x
∫
∫
(a x2
∫
dx
∫
dx
xm
86
dx
+ b x + c)n+1
x
(a x2 + b x + c)n+1
xm
(a x2 + b x + c)n
∫
dx
2(2 a x + b)
= √
3/2
+ b x + c)
k a x2 + b x + c
∫
2 a x + b)
2(2n − 1) a
dx
=
+
2
n
2
k n (a x + b x + c)
kn
(a x + b x + c)n
∫
bx + 2c
2(2n − 1) b
dx
= −
−
k n (a x2 + b x + c)n
kn
(a x2 + b x + c)n
(a x2

∫
m−1
n−m) b
xm−1

dx (a x2x+b x+c)n

a
 − a (2 n−m−1) (a x2 +b x+c)∫n−1 − (2 n−m−1)
m−2
m−1) c
=
dx (a x2x+b x+c)n
sse m ̸= 2n − 1
+ (2 n−m−1)
a

∫
∫

m−2
 1 ∫ dx
xm−2
b
xm−1
dx (a x2 +b x+c)n − ac dx (a x2x+b x+c)n
a
(a x2 +b x+c)n−1 − a
1
dx
= −
n
m−1
+ b x + c)
(m − 1) c x
(a x2 + b x + c)n−1
∫
∫
(2 n + m − 3) a
(n + m − 2) b
dx
dx
−
−
m−1
2
n
m−2
2
(m − 1) c
x
(a x + b x + c)
(m − 1) c
x
(a x + b x + c)n
(a x2
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
∫
∫
dx
1
b
dx
=
−
x (a x2 + b x + c)n
2 c (n − 1)(a x2 + b x + c)n−1
2c
(a x2 + b x + c)n
∫
1
dx
+
c
(a x2 + b x + c)n−1
∫
dx (a x2 + b x + c)n =
(2 a x + b) (a x2 + b x + c)n
nk
−
2 (2n + 1) a
2(2n + 1) a
∫
2
dx x (a x + b x + c)
n
(a x2 + b x + c)n+1
b
=
−
2 (n + 1) a
2a
∫
dx (a x2 + b x + c)n−1
∫
dx (a x2 + b x + c)n
;420H antiderivate di integrandi con x3 ± a3
Presentiamo solo formule riguardanti x3 + a3 , ma osserviamo che le corrispondenti formule riguardanti
x3 − a3 si ottengono dalle seguenti cambiando a in −a.
(
)
∫
√
2x − a
dx
1
1
(x + a)2
=
ln 2
+ 3 arctan √
=: I1
x3 + a3
3a2 2
x − ax + a2
a 3
∫
∫
dx
x
2
dx
=
+
= ... I1
(x3 + a3 )2
3a3 (x3 + a3 ) 3a3
x3 + a3
(
)
∫
√
1
1
(x + a)2
2x − a
dx
=
ln 2
+ 3 arctan √
=: I3
x 3 + a3
3a 2
x − ax + a2
a 3
∫
x2
1
dx 3
=
ln |x3 + a3 |
3
x +a
3
∫
x3 1
dx
=
ln 3
x(x3 + a3 )
3a3
x + a3 ∫
∫
1
1
x
dx
= 3 − 3
dx 3
= ... I3
x2 (x3 + a3 )
a x a
x + a3
∫
∫
1
1
x
dx
= 3 − 3
dx 3
= ... I3
x2 (x3 + a3 )
a x a
x + a3
;420I antiderivate di integrandi con x4 ± a4
)
(
√
√
1
x2 + 2ax + a2
dx
1
2ax
√
= √
ln
+π
+ arctan 2
x4 + a4
2
a − x2
2 2a3
x2 − 2ax + a2
(
)
∫
dx
1
1 x − a x
=
ln
−
arctan
x4 − a4
2a3 2 x + a a
∫
2
x
1
x
dx 4
=
arctan 2
x + a4
2a2
a
2
∫
2
1
x
x − a =
ln
dx 4
x 2 + a2 x − a4
4a2
(
)
√
√ √
∫
1
1
x2 − 2ax + a2
x2
2 2ax
√
= √
ln
+π
dx 4
+ arctan 2
x + a4
a − x2
2 2a 2
x2 + 2ax + a2
(
)
∫
x2
1
1 x − a x
dx 4
=
ln
+ arctan
x − a4
2a 2 x + a a
∫
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
87
Alberto Marini
∫
dx
x4
x3
1 4
=
ln x ± a4 4
±a
4
;420J antiderivate di integrandi con a xn + b
n
x dx
1
=
ln x(a xn + b)
bn u √ √ 
1
∫

√ ln √u−√b sse b > 0
dx
n b
u+ b
√
√
=
u
 √2 arctan
x a xn + b
sse b < 0
−b
n, −b
∫
Introduciamo u := a xn + b e consideriamo i parametri m, n, p ∈ R .
)
(
∫
∫
1
dx xm (a xn + b)p =
xm+1 up + n p b dx xm up−1
m + np + 1
(
)
∫
1
=
−xm+1 up+1 + (m + n p + n + 1)
dx xm up+1
b n(p + 1)
(
)
∫
1
=
xm−n+1 up+1 − (m − n + 1) b dx xm−n up
a(m + n p + 1
(
)
∫
1
=
xm+1 up+1 − (m − n p + n + 1) b dx xm+n up
b(m + 1
88
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;440 antiderivate di integrandi trascendenti
Le formule che seguono possono essere utilizzate anche per integrandi contenenti richiami a tangenti,
cotangenti, secanti e cosecanti, pur di tenere conto che
tan x =
sin x
cos x
,
cot x =
cos x
sin x
,
sec x =
1
cos x
,
csc x =
1
sin x
Nelle espressioni delle antiderivate le costanti additive arbitrerie come C e C1 sono indicate solo in
presenza di risultati formalmente diversi.
;440A antiderivate di integrandi con seno e/o coseno
∫
∫
∫
∫
1
1
dx sin x = − cos x ,
dx sin a x = − cos a x ,
dx cos x = sin x ,
dx cos a x = sin a x
a
a
∫
∫
x sin 2 a x
x sin 2 a x
dx sin2 a x =
−
,
dx cos2 a x =
+
2
4a
2
4a
∫
∫
1
1
1
1
3
3
dx sin a x = − cos a x +
cos 3 a x ,
dx cos a x =
sin a x −
sin 3 a x
a
3a
a
3a
∫
∫
3 x sin 2 a x sin 4 a x
3 x sin 2 a x sin 4 a x
dx sin4 a x =
−
+
,
dx cos4 a x =
+
+
8
4a
32 a
8
4a
32 a
∫
∫
1
n
−
1
dx sinn a x = −
sinn−1 a x cos a x +
dx sinn−2 a x
na
n
∫
∫
1
n−1
dx cosn a x =
sin a x cosn−1 a x +
dx cosn−2 a x
na
n
{
∫
n+1
sse n ̸= −1
− cosa(n+1)a x
n
dx sin a x cos a x =
1
− a ln | cos, a x| sse n=-1
{
∫
n+1
sse n ̸= −1
− sina(n+1)a x
dx sinn a x cos a x =
1
− a ln | sin a x| sse n=-1
∫
∫
m+1
sin
x cosn−1 x
n−1
dx sinm x cosn x =
+
dx sinm x cosn−2 x
m+n
m+n
∫
sinm−1 x cosn+1 x
m−1
= −
+
dx sinm−2 x cosn x
m+n
m+n
∫
)
1 (
dx x sin a x = 2 sin a x − a x cos a x
a
∫
)
1 (
dx x cos a x = 2 cos a x + a x sin a x
a
∫
)
1 (
dx x2 sin a x = 3 2 cos a x + 2 a x sin a x − a2 x2 cos a x
a
∫
(
)
1
dx x2 cos a x = 3 − 2 sin a x + 2 a x cos a x + a2 x2 sin a x
a
∫
∫
1
n
dx xn sin a x = − xn cos a x +
dx xn−1 cos a x
a
a
∫
∫
1
n
dx xn cos a x = − xn sin a x −
dx xn−1 sin a x
a
a
∫
x2
x sin 2 a x cos 2 a x
dx x sin2 a x =
−
−
4
4a
8 a2
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
89
Alberto Marini
∫
x2
x sin 2 a x cos 2 a x
+
+
4
4a
8 a2
∫
sin(m − n)x sin(m + n)x
dx sin m x sin n x =
−
per m2 ̸= n2
2(m
−
n)
2(m
+
n)
∫
cos(m − n)x cos(m + n)x
dx sin m x cos n x = −
−
per m2 ̸= n2
2(m
−
n)
2(m
+
n)
∫
sin(m − n)x sin(m + n)x
dx cos m x cos n x =
+
per m2 =
̸ n2
2(m − n)
2(m + n)
dx x cos2 a x =
;440B antiderivate di integrandi con (co)tangente e (co)secante
∫
1
1
dx tan a x =
ln | cos a x| + C =
ln |sec a x| + C1
a
a
∫
∫
1
1
dx
=
ln | sin a x|x + C =
ln |csc a x| + C1
dx cot a x =
tan a x
a
a
∫
1
dx tan2 a x =
tan a x − x
a
∫
1
1
dx tan3 a x =
tan2 a x + ln |cos a x|
2a
a
∫
∫
1
n
n−1
dx tan a x =
tan
a x − dx tann−2 a x
(n − 1) a
∫
∫
tann a x
1
n
2
dx tan a x sec a x =
dx
=
tann+1 a x per n ̸= −1
cos2 a x
(n + 1) a
∫
1
dx cot2 a x = − cot a x − x
a
∫
1
1
dx cot3 a x =
cot2 a x − ln |sin a x|
2a
a
∫
∫
1
n
n−1
dx cot a x = −
cot
a x − dx cotn−2 a x
(n − 1) a
∫
∫
cotn a x
1
n
2
cotn+1 a x per n ̸= −1
dx cot a x csc a x =
dx
=
2
(n
+
1) a
sin a x
∫
∫
sec2 a x
dx
1
dx
=
=
ln | tan a x|
2
tan a x
cos a x tan a x
a
∫
∫
csc 2 a x
dx
1
dx
=
= − ln | cot a x|
cot a x
a
sin2 a x cot a x
∫
x
1
x2
dx x tan2 a x =
tan a x + 2 ln | cos a x| −
a
a
2
∫
x
1
x2
dx x cot2 a x = − cot a x + 2 ln | sin a x| −
a
a
2
∫
(
)
1
dx
= 2
b
x
+
c
ln
|b
cos
x
+
c
sin
x|
b + c tan x
b + c2
(√
)
∫
b−c
dx
1
√
arcsin
sin x
per b > 0 , b2 > c2
= √
b
b−c
b + c tan2 x
∫
∫
dx
1
=
dx csc 2 a x = − cot a x
a
sin2 a x
90
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
∫
∫
sinm
2016-04-11
∫
dx
1
=
dx sec2 a x =
tan a x
cos2 a x
a
∫
∫
( a x π )
dx
1 dx sec a x =
=
ln tan
+
cos a x
a
2
4
∫
∫
dx
1 a x dx csc a x =
=
ln tan
sin a x
a
2
∫
∫
dx sec x = ln |sec x + tan x| ,
dx csc x = ln |csc x| − cot x|
∫
∫
sin a x
1
1
dx sec a x tan a x = dx
= sec a x =
cos2 a x
a
a cos a x
∫
∫
1
1
cos a x
= − csc x = −
dx csc a x cot a x = dx
2
a
a
sin
ax
sin a x
∫
∫
dx
cos a x
n−2
dx
= −
+
n−1
n−2
sinn a x
n
−
1
a (n − 1) sin
ax
sin
ax
∫
∫
dx
sin a x
n−2
dx
= −
+
cosn a x
a (n − 1) cosn−1 a x n − 1
cosn−2 a x
∫
dx
1
=
ln | tan a x|
sin a x cos a x
a
(
)
∫
dx
1
1
a x =
+ ln tan
sin a x cos2 a x
a cos a x
2
(
∫
( a x π ))
1
dx
1
−
+
ln
+
=
tan
a
sin a x
2
4
sin2 a x cos a x
∫
dx
1
m+n−2
dx
=
−
+
x cosn x
m−1
(m − 1) sinm−1 x cosm−1 x
sinm−2 x cosn x
∫
1
m+n−2
dx
= −
−
n−1
sinm x cosn−2 x
(m − 1) sinm−1 x cosm−1 x
∫
∫
sinm x
sinm+1 x
m+n−2
sinm x
dx
=
+
dx
cosn x
(n − 1) cosn−1 x
n−1
cosn−2 x
∫
sinm−1 x
m−1
sinm−2 x
= −
+
dx
n−1
(m − n) cos
x m−n
cosn x
∫
∫
cosm x
m+n−2
cosn+1 x
cosn x
dx
−
= −
dx
n
sin x
m−1
(m − 1) sinm−1 x
sinm−2 x
∫
n−2
m−1
n−1
cos
x
cos
x
+
dx
=
n
m−1
sin x
(m − n) sin
x n−m
∫
x
x
1
dx
= − cot a x + 2 ln |sin a x|
a
a
sin2 a x
∫
x
x
1
dx
=
tan a x + 2 ln |cos a x|
cos2 a x
a
a
∫
(π a x)
1
dx
= − tan
−
1 + sin a x
a
4
2
∫
(π a x)
1
dx
=
tan
+
1 − sin a x
a
4
2
∫
1
ax
dx
=
tan
1 + cos a x
a
2
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
91
Alberto Marini
∫
dx
1
ax
= − cot
1 − cos a x
a
2
{
x/2)+c
√2
√
arctan b tan(a
sse b2 > c2
2
dx
a b2 −c2 b2 −c
√
=
x/2)+c− c2 −b2 b + c sin a x
√1
√
ln bb tan(a
sse b2 < c2
a c2 −b2
tan(a x/2)+c+ c2 −b2
∫
∫
dx
dx
1 x c
=
ln tan −
sin x (b + c sin x)
b
2
b
b + c sin a x
∫
(
x
x π)
dx
= ln tan − tan
−
sin x (1 + sin x)
2
2
4
∫
(
dx
x
x π)
= ln tan + tan
+
sin x (1 − sin x)
2
2
4
∫
(
dx
x
x π)
= ln tan + tan
+
sin x (1 − sin x)
2
2
4
∫
∫
dx
c cos x
b
dx
=
+
(b + c sin x)2
(b2 − c2 ) (b + c sin x) b2 − c2
b + c sin x
∫
∫
sin x
b cos x
c
dx
dx
=
+
(b + c sin x)2
(b2 − c2 ) (b + c sin x) c2 − b2
b + c sin x
∫
cos x
1
dx
= −
2
(b + c sin x)
c (b + c sin x)
∫
{
x/2)
√2
arctan (b−c)√btan(a
sse b2 > c2
2 −c2
dx
a b2 −c2 √
=
(c−b) tan(a x/2)+√c2 −b2 b + c cos a x
√1
ln (c−b)
sse b2 < c2
a c2 −b2
tan(a x/2)− c2 −b2
∫
( x π ) c ∫
1 dx
dx
=
ln tan
+
−
cos x (b + c cos x)
b
2
4
b
b + c sin a x
∫
( x π )
dx
x
= ln tan
+
− tan
cos x (1 + cos x)
2
4
2
∫
)
(
dx
x π x
= ln tan
+
− cot
cos x (1 − cos x)
2
4
2
∫
∫
dx
c sin x
b
dx
=
−
(b + c cos x)2
(c2 − b2 ) (b + c cos x) c2 − b2
b + c cos x
∫
∫
cos x
b sin x
c
dx
dx
=
−
(b + c cos x)2
(b2 − c2 ) (b + c cos x) b2 − c2
b + c sin x
∫
1
sin x
=
dx
2
(b + c cos x)
c (b + c cos x)
√
2
2
Dati b e c reali non nulli, introduciamo r := b + c e ϕ := arctan cb
∫
1 x + ϕ dx
=
ln tan
per c > 0
b cos x + c sin x
r
2 ∫
∫
dx
dt
t := x + ϕ
=
=
a + b cos x + c sin x
a + r sin t
∫
1
sin a x
= −
ln |b + c cos a x|
dx
b + c cos x
ac
∫
cos a x
1
dx
= −
ln |b + c sin a x|
b + c sin x
ac
∫
92
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
∫
∫
dx
dx
=
a sin2 a + b
(a + b) sin2 x + b cos2 x
∫
∫
dx
dx
=
2
a cos2 a + b
(a + b) cos x + b sin2 x
(
)
∫
dx
1
b
=
arctan
tan
x
ab
a
a2 cos2 x + b2 sin2
∫
1
dx
b tan x + a =
ln 2ab
b tan x − a a2 cos2 x − b2 sin2
∫
∫
sin x
dt
dx
t := cos x
= −
=
a cos2 x + b
a t2 + b
∫
∫
dt
cos x
=
t := sin x
=
dx
a t2 + b
a sin2 x + b
Da alcune delle presenti formule che riguardano sin2 x si possono ricavare corrispondenti formule
utilizzando la cos2 x = 1 − sin2 x .
Consideriamo il parametro a ∈ R+
√
cos x √
a+b
a cos x
2
a sin x + b + b − √ arcsin √
dx sin x a sin x + b = −
2
2 a
a+b
∫
√
√
cos x √
a − b √
dx sin x b − a sin2 x = −
b − a sin2 x − √ ln a cos x + b − a sin2 x
2
2 a
√
∫
1
sin x
a cos x
√
√
= −
dx
arcsin √
2
a
a+b
a sin x + b
∫
√
sin x
1
√
dx √
= − √ ln a cos x + b − a sin2 x
2
a
b − a sin x
∫
√
√
√
sin x √
b
dx cos x a sin2 x + b =
a sin2 x + b + √ ln a sin x + a sin2 x + b
2
2 a
(√
)
∫
√
sin x √
b
a
dx cos x b − a sin2 x =
b − a sin2 x + √ arcsin
sin x
2
b
2 a
∫
√
cos x
1
√
dx √
= √ ln a sin x + a sin2 x + b
2
a
a sin x + b
(√
)
∫
cos x
1
a
dx √
= √ arcsin
sin x
b
a
b − a sin2 x
∫
√
2
;440C antiderivate di integrandi con trigonometriche inverse
∫
∫
1
1
Ricordiamo che:
dx
= arcsin x
=
arctan
x
,
dx √
2
1+x
1 − x2
∫
1√
dx arcsin a x = x arcsin a x +
1 − a2 x2
a
∫
2√
dx (arcsin a x)2 = x (arcsin a x)2 − 2x +
1 − a2 x2 arcsin a x
a
∫
)
√
1 ( 2 2
2 x2
dx x arcsin a x =
2
a
x
arcsin
a
x
−
arcsin
a
x
+
a
x
1
−
a
4 a2
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
93
Alberto Marini
∫
)
√
1 ( 3 3
2 2
2 x2
1
−
a
3
a
x
arcsin
a
x
+
(a
x
+
2)
9 a3
∫
1 + √1 − a2 x2 arcsin a x
1
dx
= − arcsin a x − a ln x2
x
ax
∫
√
1
dx arccos a x = x arccos a x −
1 − a2 x2
a
∫
2√
dx (arccos a x)2 = x (arccos a x)2 − 2x −
1 − a2 x2 arccos a x
a
∫
)
√
1 ( 2 2
2 x2
dx x arccos a x =
2
a
x
arccos
a
x
−
arccos
a
x
−
a
x
1
−
a
4 a2
∫
)
√
1 ( 3 3
dx x2 arccos a x =
3 a x arccos a x − (a2 x2 + 2) 1 − a2 x2
3
9a
∫
1 + √1 − a2 x2 arccos a x
1
dx
= − arccos a x + a ln 2
x
x
ax
∫
)
1 (
dx arctan a x =
2 a x arctan a x − ln(1 + a2 x2 )
2a
∫
)
1 (
2 a x arccot a x + ln(1 + a2 x2 )
dx arccot a x =
2a
∫
)
1 (
dx x arctan a x =
(1 + a2 x2 ) arctan a x − a x
2
2a
∫
(
)
1
2 a3 x3 arctan a x − a2 x2 + ln(1 + a2 x2 )
dx x2 arctan a x =
6 a3
∫
arctan a x
1
a
1 + a2 x2
dx
=
−
arctan
a
x
−
ln
x2
x
2
a2 x2
∫
√
1 dx arcsec a x = x arcsec a x − ln a, x + a2 x2 − 1
a
∫
√
1 dx arccsc a x = x arccsc a x + ln a, x + a2 x2 − 1
a
∫
1 √ 2 2
x2
a x −1
arcsec a x −
dx x arcsec a x =
2
2 a2
∫
x2
1 √ 2 2
dx x arccsc a x =
arccsc a x +
a x −1
2
2 a2
dx x2 arcsin a x =
;440D antiderivate di integrandi con esponenziali
∫
∫
dx x e
ax
∫
1 ax
e
a
,
eax
= 2 (ax − 1)
a
,
dx ea x =
∫
dx bx =
dx ex ln b =
∫
dx x2 ea x =
bx
ln b
eax 2 2
(a x − 2 a x + 2)
a3
∫
(1)
dx xn ea x =
)
eax (
n
n−1
n−2
n
(ax)
−
n
(ax)
+
n(n
−
1)(ax)
−
·
·
·
+
(−1)
n!
con
an+1
∫
(
)
dx
1
=
a x − ln |b + c eax |
a
x
b + ce
ab
∫
eax
1
dx
=
ln |b + c eax |
b + c ea x
ab
94
n∈P
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
∫
∫
∫
dx ea x sinn b x =
∫
dx ea x cosn b x =
∫
dx x ea x sin b x =
∫
dx x ea x cos b x =
dx
x
1
1
= 2+
−
ln |b + c eax |
(b + c ea x )2
b
a b(b + c ea x ) a b2
∫
ea x
1
dx
= −
(b + c ea x )2
a c(b + c ea x )
∫
1 ax
dx x ea x =
e
2a
∫
1
2n+1 a x
2
dt tn ea t [v.(1)]
dx x
e
=
t := x
=
2
∫
x ea x
ea x
dx
= 2
2
(1 + a x)
a (1 + a x)
∫
ea x
dx ea x sin b x = 2
(a sin b x − b cos b x)
a + b2
∫
ea x
dx ea x cos b x = 2
(a cos b x + b sin b x)
a + b2
∫
n(n − 1) b2
ea x sinn−1 b x
(a
sin
b
x
−
n
b
cos
b
x)
+
dx ea x sinn−2 b x
a 2 + n2 b 2
a2 + n2 b2
∫
ea x cosn−1 b x
n(n − 1) b2
(a
cos
b
x
+
n
b
sin
b
x)
+
dx ea x cosn−2 b x
a 2 + n2 b 2
a 2 + n2 b 2
( 2
)
x ea x
ea x
(a
sin
b
x
−
b
cos
b
x)
−
(a − b2 ) sin b x − 2 a b cos b x
a2 + b2
(a2 + b2 )2
( 2
)
x ea x
ea x
(a
cos
b
x
+
b
sin
b
x)
−
(a − b2 ) cos b x + 2 a b sin b x
2
2
2
2
2
a +b
(a + b )
;440E antiderivate di integrandi con logaritmi
∫
∫
dx ln a x = x ln a x − x
,
dx (ln a x)2 = x (ln a x)2 − 2 x ln a x + 2 x
∫
∫
n
n
dx (ln a x) = x (ln a x) − n dx (ln a x)n−1
(
)
∫
ln a x
1
n
n
n+1
dx x (ln a x) = x
−
per n ̸= −1
n+1
(n + 1)2
∫
∫
ln a x
1
dx
dx
=
(ln a x)2
,
= ln (ln a x)
x
2
x ln a x
∫
(ln a x)n
(ln a x)n+1
=
per n ̸= −1
x
n+1
(
)
∫
ln a x
1
ln a x
1
dx
= n−1
+
per n ̸= −1
xn
x
n−1
(n − 1)2
∫
∫
xn+1
m
n
m
m
dx x (ln a x) =
(ln a x) −
dx xn (ln a x)m−1 per
n+1
n+1
∫
ax + b
dx ln(a x + b) =
ln( a x + b) − x
a
∫
x
dx ln(x2 + a2 ) = x ln(x2 + a2 ) − 2 x + 2 a arctan
a
dx
2016-04-11
n ̸= −1
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
95
Alberto Marini
∫
dx ln(x2 − a2 ) = x ln(x2 − a2 ) − 2 x + a ln
∫
x+a
x−a
1 2
x2
(x ± a2 ) ln(x2 ± a2 ) −
2
2
∫
√
√
√
dx ln(x + x2 + a = x ln(x + x2 + a − x2 + a
)
( 2
∫
x √x2 + a
√
√
a
x
dx x ln(x + x2 + a =
+
ln(x + x2 + a −
2
4
4
∫
)
x(
dx sin (ln a x) =
sin(ln a x) − cos(ln a x)
2
∫
)
x(
sin(ln a x) + cos(ln a x)
dx cos (ln a x) =
2
dx x ln(x2 ± a2 ) =
;440F antiderivate di integrandi iperbolici e loro inverse
∫
∫
1
1
dx sinh a x = cosh a x ,
dx cosh a x = sinh a x
a
a
∫
∫
1
1
dx tanh a x = ln(cosh a x) ,
dx coth a x = ln | cosh a x|
a
a
∫
)
1 (
dx sinh2 a x =
sinh 2 a x − 2 a x
4a
∫
∫
1
n−1
dx sinhn a x =
sinhn−1 a x cosh a x −
dx sinhn−2 a x
na
n
∫
∫
dx
1 a x dx csch a x =
=
ln tanh
sinh a x
a
2
∫
∫
1
dx
=
tanh a x
dx sech2 a x =
2
a
cosh a x
∫
∫
sinh a x
1
dx sech a x tanh a x = dx
= − sech a x
2
a
cosh a x
∫
(
)
1
dx cosh2 a x =
sinh 2 a x + 2 a x
4a
∫
∫
1
n−1
n
n−1
dx cosh a x =
cosh
a x sinh a x +
dx coshn−2 a x
na
n
∫
∫
dx
2
dx sech a x =
=
arctan ea x
cosh a x
a
∫
∫
1
dx
2
dx csch a x =
= − coth a x
2
a
sinh a x
∫
∫
cosh a x
1
dx csch a x coth a x = dx
= − csch a x
a
sinh2 a x
∫
∫
1
1
dx tanh2 a x = x − tanh a x
,
dx coth2 a x = x − coth a x
a
a
∫
∫
∫
(
)
√
√
dx
dx arsinh x =
=
dx ln x + x2 + 1 = x arsinh x − x2 + 1
sinh x
∫
∫
∫
(
)
√
√
dx
dx arcosh x =
=
dx ln x + x2 − 1 = x arcosh x − x2 − 1
cosh x
96
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
∫
∫
dx
1
= x artanh x + ln(x2 − 1)
tanh x
2
∫
∫
dx
1
= x arcoth x + ln(x2 − 1)
dx arcoth x =
coth x
2
∫
∫
dx
x
1
dx
x
sign x
=
+
,
=
+
sech x
sech x sinh x
csch x
csch x sinh x
∫
∫
x
x2
1√
x
x2
sign x √
dx
=
−
1 − x2
,
dx
=
+
1 − x2
sech x
2 sech x 2
csch x
2 csch x
2
∫
∫
1
1
dx
=
tanh
x
,
dx
= coth x
2
(sinh x)
(cosh x)2
dx artanh x =
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
97
Alberto Marini
;460 integrali definiti
costante di Eulero-Mascheroni γem = 0.57721 56649
nz n!
funzione Gamma Γ(z) := lim
n→+∞ z(z + 1)(z + 2) · · · (z + n)
;460A integrali definiti di integrandi algebrici
∫
b
dx xm−1 (1 − x)n−1 =
a
∫
Γ(m) Γ(n)
Γ(m + n)
1
dx (x − a)m−1 (b − x)n−1 = (b − a)m+n−1
0
∫
1
dx
0
xn
= (−1)n
1+x
∫ 1
per
Γ(m) Γ(n)
Γ(m + n)
m, n > 0
per
(
)
1
(−1)n
ln 2 − 1 + − · · · +
2
n
m, n > 0 , a < b
per
n∈P
dx
π
per n > 1
=
π
1/n
n
sin
(1
−
x)
0
n
(
)
√
∫ 1
π Γ a+1
xa
2)
(
√
dx
=
per − 1 < a
2 Γ a+2
1 − x2
0
2
∫ 1
π
xa−1
=
per 0 < a < 1
dx
a
(1
−
a)
sin
aπ
0
√
∫ 1
dx
π Γ(1/a)
(
)
√
=
a
a Γ a1 + 21
1−x
0
∫ +∞
dx
π
=
per a > 1
x
a
1
+
x
a
sin
0
a
∫ +∞
dx
π
=
per 0 < a < 1
a (1 + x)
x
b
sin
ax
0
∫ +∞
π
xa−1
( ) per 0 < a < b
=
dx
b
1
+
x
b sin abπ
0
∫ +∞
dx
π
=
per 0 < a
2 + x2
a
2
a
0
∫
+∞
0
∫
(a2
∫
dx
π (2n − 3)!!
=
2
n
2n−1
+x )
2a
(2n − 2)!!
+∞
0
+∞
per
dx
π
=
(a2 + x2 ) (b2 + x2 )
2 a b (a + b)
0 < a , n = 2, 3, 4....
per
a, b > 0
xm−1
Γ(m) Γ(n)
= m n
per a, b, m, n > 0
m+n
(a x + b)
a b Γ(m + n)
0
(
)
∫ +∞
dx
1
π
b
√
√
=
−
arctan
per a, a c − b2 > 0
a x2 + 2 b x + c
a c − b2 2
a c − b2
0
∫ +∞
√
dx
π
ove d := 2(b + a c) per a, c, d > 0
= √
2 + 2bx + c
a
x
2 cd
0
(
)
∫ +∞
1
1
dx
−
= γem (v.; 300)
⌊x⌋ x
1
dx
98
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;460B integrali definiti di integrandi esponenziali
Consideriamo a > 0 , n ∈ N , h ∈ P .
∫
+∞
Γ(c + 1)
ac+1
dx xc e−a x =
0
∫
+∞
dx
√ −a x
xe
=
1 √
π
2a
0
∫
+∞
c ∈ ( − 1, +∞)
per
dx xn e−x = n! per
n∈N
0
∫
+∞
dx xn e−a x =
0
∫
+∞
dx e
n!
−a x2
0
∫
+∞
1
=
2
dx x2 e−a x =
2
0
∫
+∞
dx x
∫
2n − 1
=
2a
2 h −a x2
e
0
+∞
dx x
+∞
e
+∞
dx x2 h e−a x
∫
+∞
2
2
0
√
dx e
2 b x−a x2
=
−∞
∫
1
dx x−x =
∫
0
∫
0
dx e−x ln x =
1
dx ex ln x = −
dx xx =
0
h!
2 ah+1
π b2 /a
e
a
0
∫
1
1
√
π
a2 h+1
2 h)!
=
h! 22 h+1 2h+1
√
π
a2 h+1
1 Γ((c + 1)/2)
2 a(c+1)/2
√
π
(2h − 1)!!
per h ∈ N
= h+1 h
2
a
a
dx x2 h+1 e−a x =
+∞
π
a3
1
4
2
0
∫
π
a
√
dx xc e−a x =
0
∫
√
2 h − 1)!!
=
2h+1
2 h −a x2
0
∫
n∈N
per
an+1
per
h∈N
a>0, b∈R
+∞
∑
1
≈ 1.29128 59970 62664
n
n
n=1
+∞
∑
(−1)n+1
n=1
per
nn
= −
+∞
∑
1
≈ 0.78343 05107 12134
(−n)n
n=1
;460C integrali definiti di integrandi logaritmici
∫
1
dx (ln x)n = (−1)n n! per
n∈P
0
∫
∫
1
+∞
dx ln | ln x| =
0
2016-04-11
dx e−x ln x = γem
0
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
99
Alberto Marini
∫
1
dx
0
∫
1
dx
0
∫
1
dx √
0
ln x
π2
=
x−1
6
ln x
π2
= −
x+1
12
ln x
π
= − ln 2
2
1 − x2
;460D integrali definiti di integrandi trigonometrici
∫
∫
π/2
n
dx sin x =
0
{
π/2
n
dx cos x =
0
∫
π/2
per n = 1, 3, 5, ...
per n = 2, 4, 6, ...
(
)
√
π Γ a+1
2
(
) per a > −1
dx sin x =
dx cos x =
2 Γ a+2
0
2
 (n−1)!!
π
per n = 1, 3, 5, ...


n!!
∫ π
 (n−1)!!
π2
n
per n = 2, 4, 6, ...
dx x sin x =
n!!
2
n+1

3/2 Γ(
)
0

2
n
per n > −1
2 Γ( n+2 )
2
∫ π/2
Γ(a + 1) Γ(b + 1)
dx sin2a+1 x cos2b+1 x =
2 Γ(a + b + 2)
0
∫
π/2
a
0
(n−1)!!
n!!
(n−1)!! π
n!!
2
a
Consideriamo gli interi m ed n.
∫
{
π
dx sin m x sin n x =
0
∫
{
π
0
{
π
dx sin m x cos n x =
∫
0
100
0
π/2
π
2
0
π
2
dx cos m x cos n x =
∫
0
π
0
2m
m2 −n2
per m ̸= n
per m = n
per m ̸= n
per m = n ̸= 0
per m = n = 0
per m + n pari
per m + n dispari
∫ π2
dx
dx
arccos a
=
=√
per |a| < 1
1 + a cos x
1 + a sin x
1 − a2
0
∫ π
2 a arccos a
dx
= √
per − 1 < a < 1
1
+
a
sin
x
1 − a2
0
∫ π
π
dx
=√
per − 1 < a < 1
1 + a cos x
1 − a2
0
∫ π/2
π
dx
=
per a, b > 0
2
2
2
2
2ab
a cos x + b sin x
0
√
∫ +∞
∫ +∞
2π
2
2
dx sin x =
dx cos x =
4
0
0
(
)
∫ +∞
1
π
dx sin xa = Γ 1 +
sin
a
2
a
0
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
∫
(
+∞
a
dx cos x
0
∫
1
= Γ 1+
a
)
cos
π
2a
+∞
sin a x
π
=
per a > 0
x
2
0
√
∫ +∞
∫ +∞
sin x
cos x
π
dx √
=
dx √ =
2
x
x
0
0
∫ +∞
3
sin x
3π
dx
=
3
x
8
0
∫ +∞
4
sin x
π
dx
=
4
x
3
0
dx
∫
+∞
dx
0
∫ +∞
dx
0
∫
sin x
π
=
a
x
2 Γ(a) sin(a π/2)
cos x
π
=
per 0 < a < 1
xa
2 Γ(a) cos(a π/2)
∫ +∞
cos a x − cos b x
b
dx
= ln
x
a
0
+∞
dx
x sin a x
π
= e−a b
b2 + x 2
2
per a, b > 0
dx
π −a b
cos a x
=
e
b2 + x 2
2b
per a, b > 0
0
∫
per 0 < a < 2
+∞
0
;460E integrali definiti di integrandi espologtrigonometrici
Consideriamo a > 0 , n ∈ N , h ∈ P .
∫
+∞
dx e
−ax
0
∫
+∞
b
sin b x = 2
a + b2
dx x e−ax sin b x =
0
∫
2ab
2
(a + b2 )2
∫
+∞
,
dx e−ax sin b x =
0
∫
+∞
,
a
a2 + b2
dx x e−ax cos b x =
0
a2 − b2
a2 + b2
e−ax sin b x
b
= arctan
per a > 0
x
a
0
∫ π2
∫ π2
π
dx ln(sin x) =
dx ln(cos x) = − ln 2
2
0
0
∫ +∞
∫ π4
π
dx
dx ln(1 + tan x) =
ln 2
8
0
z
∫ +∞
sin x
π
dx
ln x = − γem
x
2
0
+∞
dx
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
101
Alberto Marini
;500 spazio reale finitodimensionale
R×d , spazio vettoriale delle sequenze di numeri reali di lunghezza d ∈ P x = ⟨x1 , x2 , ..., xd ⟩ munito
delle operazioni binarie somma e prodotto interno e della moltiplicazione per reali.
somma
moltiplicazione per un reale
prodotto scalare o prodotto interno
norma e distanza euclidea
R×d è quindi il terreno di uno spazio vettoriale finito dimensionale sui reali a prodotto interno e
normato; inoltre esso è uno spazio metrico e ;500co.
vettori ortogonali, paralleli, normalizzati (o versori)
x·y
angolo θ tra i vettori x e y
cos θ =
|x| · |y|
;500A topologia di R×d
gli elementi di R×d si possono chiamare vettori o punti;
tratteremo i punti/vettori Pi = pi e Qi = qi per i = µu, 0, 1, 2, ... ed insiemi di punti S, T,...
bolla aperta di centro x e raggio r ∈ R+
bolla chiusa corrispondente
ball(p, r) := {x ∈ R×d ST |x − p| < r}
ball(p, r) := {x ∈ R×d ST |x − p|‘r}
insieme aperto di R×d
insieme ciascun punto del quale è contenuto in una bolla aperta interamente contenuta in esso
insieme chiuso di R×d
sottoinsieme di R×d complementare di un insieme aperto
l’unione di una collezione qualsiasi di insiemi aperti è un insieme aperto
l’intersezione di una collezione finita di insiemi aperti è un insieme aperto
l’intersezione di una collezione qualsiasi di insiemi chiusi è un insieme chiuso
l’unione di una collezione finita di insiemi chiusi è un insieme chiuso
intorno di un punto p ∈ R×d
insieme contenente una bolla aperta di centro p
intorno impoverito di un p ∈ R
×d
intorno di p privato dello stesso p
intorno ipercuboide aperto di p ∈ R×d
{x ∈ R×d ST ∀i = 1, ..., d
punto interno ad un S ⊂ R×d
interiore di S ⊂ R×d
punto che possiede un intorno interamente contenuto in S
insieme dei punti interni di S; lo denotiamo con Intr(S)
punto esterno ad un S ⊂ R×d
punto che possiede un intorno che non interseca S
×d
punto di frontiera di un S ⊂ R
complementare;
frontiera di S
insieme della forma
pi − δi < xi < pi + δi }
punto tale che ciascuno dei suoi intorni interseca sia S che il suo
insieme dei punti di frontiera di S; denotiamo tale insieme con ∂S
chiusura di un S ⊂ R×d ampliamento di S ottenuto aggiungendo la sua frontiera;
la denotiamo con S e definiamo S := S ∪ ∂S
un punto q si dice punto di accumulazione o punto di aderenza o punto limite di S ⊂ R×d sse ogni suo
intorno impoverito contiene almeno un punto di S
102
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
diciamo aderenza di un S ⊂ R×d l’insieme dei suoi punti di accumulazione; lo denotiamo con Adrn(S)
un S ⊂ R×d si dice limitato sse R+ ∋ R tale che S ⊂ ball(0d , R)
ogni insieme limitato infinito di R×d possiede almeno un punto di accumulazione
(teorema di Bolzano -Weierstrass)
sia S ⊂ R×d compatto e sia {i ∈ I :| Oi } una sua copertura infinita di insiemi aperti;
da essa si può estrarre una copertura finita (teorema di Pincherle-Heine-Borel)
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
103
Alberto Marini
;510 derivate parziali
consideriamo f (x, y) ∈ {R × R −→ R}, D := dom(f ) e ⟨a, b⟩ ∈ Intr(D); si dice derivata parziale della f
rispetto ad x [risp. rispetto ad y] in ⟨a, b⟩
∂f
f (a + h, b) − f (a, b)
Dx f (a, b) = fx ′ (a, b) =
= lim
.
h→0
∂x
h
si dice derivata parziale della f rispetto ad y in ⟨a, b⟩
f (a, b + k) − f (a, b)
∂f
Dy f (a, b) = fy ′ (a, b) =
= lim
.
k→0
∂y
k
104
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;520 curve piane e calcolo infinitesimale
In questa sezione usiamo t per denotare una variabile reale e per ogni funzione ϕ(t) scriveremo
d
ϕ̇(t) :=
ϕ(t).
dt
1
Useremo A per l’area di una regione, s per la lunghezza di un arco, κ per la sua curvatura e ρ =
|κ|
per il suo raggio di curvatura.
Verranno trattate funzioni f (x), f1 (x) e f2 (x) definite nell’intervallo I := [x1 , x2 ].
Verranno inoltre trattate le regioni Rf1 ,f2 := {⟨x, y⟩ |: x ∈ I , f1 (x) ≤ y ≤ f2 (x)} e
;520A curve date da funzioni y = f (x)
area della regione R delimitata da f1 (x) ed f2 (x)(≥ f1 (x)) per x1 ≤ x ≤ x2
∫ x2
(
)
A =
dx f2 (x) − f1 (x)
x1
centroide ⟨xc , yc ⟩ della R
∫ x2
(
)
1
xc =
dx x f2 (x) − f1 (x)
A x1
yc =
∫
lunghezza della curva y = f (x) per x1 ≤ x ≤ x2
s=
1
2A
∫
x2
(
)
2
dx f2 2 (x) − f1 (x)
x1
√
x2
2
dx 1 + f ′ (x)
x1
;520B curve in forma parametrica
;520C curve in forma implicita
;520D curve in coordinate polari
;520E famiglie di curve
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
105
Alberto Marini
;530 integrali doppi
Consideriamo una regione D ⊂ R × R limitata, chiusa e quadrabile, una funzione limitata del genere
f ∈ {D 7−→ R × R} e scriviamo m := inf ⟨x,y⟩∈D f (x, y) ed M := sup⟨x,y⟩∈D f (x, y). Denotiamo con
PrtnFSqrbD l’insieme delle partizioni di D costituite da collezioni finite di sottoinsiemi di D quadrabili.
·
∪
DR,i = D.
Sia R = {i = 1, ..., r :| DR,i } una collezione in PrtnFSqrbD e quindi sia
i=1,...,r
Introduciamo inoltre per ogni R e ogni DR,i :
dR := max diag(DR,i ) ,
AR,i := Area(DR,i )
i=1,...,r
MR,i :=
inf
⟨x,y⟩∈DR,i
f (x, y)
,
sR,i :=
r
∑
i=1
,
AR,i mR,i
mR,i :=
,
inf
⟨x,y⟩∈DR,i
r
∑
SR,i :=
f (x, y)
AR,i MR,i
,
,
i=1
Si definiscono, risp., integrale inferiore e integrale superiore della f in D
∫∫
∫∫
dx dy f (x, y) :=
inf
sR,i
,
dx dy f (x, y) :=
R∈PrtnFSqrbD
D
D
sup
sR,i .
R∈PrtnFSqrbD
Se questi due numeri reali coincidono il loro valore si dice integrale doppio della f in D e si denota con
.
∫∫
dx dy f (x, y) .
D
Un insieme rinchiudibile in una regione D come sopra è un insieme finito di curve continue contenute in
D che possono essere racchiuse in regioni aperte di area complessiva riducibile a piacere.
Se una funzione reale f (x, y) definita in una regione D chiusa, limitata e quadrabile è limitata e continua
in tutto D ad eccezione dei punti di un insieme rinchiudibile, possiede integrale doppio ottenibile come
∫∫
r
∑
dx dy f (x, y) =
lim
AR,i f (xi , yi ) per qualsiasi ⟨xi , yi ⟩ ∈ DR,i .
D
106
R∈P rtnF Sqrb , dR →0
i=1
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;540 integrali tripli
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
107
Alberto Marini
;550 solidi di rivoluzione
∫
volume del solido che presenta sezioni di area A(x) per x1 ≤ x ≤ x2
x2
V =
dx A(x)
x1
volume del solido di rivoluzione intorno ad Ox delimitato da f1 (x) e f2 (x) per x1 ≤ x ≤ x2
∫ x2
(
)
dx (f2 (x))2 − (f1 (x)2
V = π
x1
volume del solido di rivoluzione intorno ad Oy delimitato da g1 (y) e g2 (y) per y1 ≤ y ≤ y2
∫ y2
(
)
V = π
dx (g2 (y))2 − (g1 (y)2
y1
108
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;560 centroidi e momenti di inerzia
per varie figure presentiamo le coordinate del centroide, o centro di massa, C xC , yC e zC ed i momenti
d’inerzia Ix , Iy , Iz relativi, risp., ad Ox, Oy e Oz ed i momenti d’inerzia Iu , Iv ed Iw relativi ad assi
determinati da opportuni vettori u, v e w in genere applicati al centroide.
;560A centroidi e momenti di inerzia in 2D
riguardano lamine rigide ed omogenee la cui massa denotiamo con m
asta o barra con estremità O e ⟨s, 0⟩ (appartenente ad Ox), considerando v parallelo ad Oy ed applicato
in C
s
m s3
m s3
x C = , y C = 0 , I x = 0 , Iy =
, Iv +
2
3
12
rettangolo con due vertici opposti in ⟨a, 0⟩ e ⟨0, b⟩ un lato appartenenti ad Ox e di lunghezza a ed un
lato appartenente ad Oy e di lunghezza b
b
m b2
m a2
m a2
m a2
a
, yC =
, Ix =
, Iy =
, Iu =
, Iv =
con u orizzontale e
xC =
2
2
3
3
12
12
v verticale applicati in C
triangolo con un lato (su Ox) con estremità in ⟨−a1 , 0⟩ e ⟨a2 , 0⟩, il vertice opposto in V = ⟨0, h⟩
c−b
h
m h2
m(a1 3 + a2 3
m h2
m h2
xC =
, y C = , Ix =
, Iy =
, Iu =
, Iw =
3
3
6
6 a1 + a2
18
2
ove u e w sono orizzontali, il primo applicato in C ed il secondo in V
m r2
5 m r2
cerchio con centro (centroide) in O e raggio r
I x = Iy
, Iu = Iv =
dove
4
4
u è orizzontale e tangente al cerchio in ⟨0, −r⟩ e v verticale e tangente al cerchio in ⟨−r, 0⟩
settore circolare del cerchio di raggio r con centro
in O, con
dell’angolo
al centro 2 α
(
) asse Ox e ampiezza
(
)
m r2
sin 2 α
m r2
sin 2 α
2 r sin α
, yC = 0 , I x =
1−
, Iy =
1+
xC =
3α
4
2α
4
2α
corona circolare delimitata dalle circonferenze con centro in O e raggi r1 ed r2 (> r1 )
m (r1 2 + r2 2 )
m (r1 2 + r2 2 )
Ix = Iy =
Iu = Iv =
+ m r2 2
4
4
;560B centroidi e momenti di inerzia in 3D
parallelepipedo con lati sui tre assi aventi lunghezze a, b e c
a
b
c
m 2
m 2
m 2
xC = , yC = , zc = , Iy =
(a + c2 ) , Iv =
(a + 4 c2 ) , Iu =
(a + c2 ) ,
2
2
2
3
12
3
dove v e u sono vettori paralleli ad Oy, il primo sulla mediana della faccia inferiore,
il secondo applicato in C
2
sfera con centro in O e raggio r
xC = yC = zC = 0 , Ix = Iy = Iz =
m r2 e
5
7
m r2 , dove u è un vettore tangente alla sfera
Iu =
5
2
sfera cava con centro in O e raggio r
xC = yC = zC = 0 , Ix = Iy = Iz =
m r2 e
3
5
m r2 , dove u è un vettore tangente alla sfera
Iu =
3
cilindro con asse di simmetria cilindrica Oz, avente come base un cerchio sul piano Oxy di raggio r e
avente altezza h
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
109
Alberto Marini
h
m
1
m
xC = yC = 0 , zC = , Ix = Iy =
(3 r2 + 4 h2 ) , Iz =
m r 2 , Iu =
(3 r2 + h2 ) ,
2
12
2
12
dove u è un vettore orizzontale applicato in C
cilindro cavo e senza basi con asse di simmetria cilindrica Oz, avente come base un cerchio sul piano Oxy
di raggio r e avente altezza h
m
m
h
(3 r2 + 2 h2 ) , Iz = m r2 , Iu =
(6 r2 + h2 ) ,
xC = yC = 0 , zC = , Ix = Iy =
2
6
12
dove u è un vettore orizzontale applicato in C
cono avente come base un cerchio sul piano Oxy di raggio r e avente altezza h
m
3
m
h
(3 r2 + 2 h2 ) , Iz =
m r 2 , Iu =
(6 r2 + h2 ) ,
xC = yC = 0 , zC = , Ix = Iy =
4
20
10
12
dove u è un vettore orizzontale applicato in C
cono cavo e privato della base avente come base un cerchio sul piano Oxy di raggio r e avente altezza h
m 2
1
m
2
(r + 2 h2 ) , Iz =
m r 2 , Iu =
(9 r2 + 10 h2 )
xC = yC = 0 , zC = h , Ix = Iy =
3
4
2
18
m 2
e Iv =
(r + 2 h2 ) , dove u è un vettore orizzontale applicato in C e v un vettore orizzontale
4
passnte per il vertice
110
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;570 analisi dei campi vettoriali
ricordiamo che [f, g, h] := f·(g∧h) e che ∇(f (r)) = grad(f (r)) := ex
d
d
d
f (r) + ey
f (r) + ez
f (r)
dx
dy
dz
;570A curve in più dimensioni
f (t + ∆t) − f (t)
e per ogni F(t) =
per ogni f (t) ∈ {R −→ R} scriviamo f˙(t) := Dt f (t) = lim
∆t→0
∆t
⟩F1 (t), ..., Fd (t)⟩ scriviamo Ḟ(t) := Dt F(t)
consideriamo l’intervallo reale [a, b] e per t ∈ [a, b] la curva in d dimensioni r(t) = ⟨x1 (t), ..., xd (t)⟩
Dt (αF(t) + βgSd(t)) − α Dt F(t) + β Dt G(t)
Dt (f(t) · g(t)) = f(t) · ġ(t) + ⊙f(t) · g(t)
,
Dt (s(t) F(t)) − s(t) Ḟ(t) + ṡ(t) F(t)
, per d = 3 si ha Dt (f(t) ∧ g(t)) = f(t) ∧ ġ(t) + ⊙f(t) ∧ g(t)
Dt [f, g, h] = Dt (f · (g ∧ h() = [ḟ, g, h] + [f, ġ, h] + [f, g, ḣ]
Dt s (f(t)) = ∇ (f(t)) · ḟ(t)
∆t)2
∆t)n
ḟ(t) + · · · +
Dt n f(t) + · · ·
2
n!
consideriamo una curva γ definita dalla funzione r(t) = ⟨x(t), y(t), x(t)⟩ ∈ {[a, b] 7−→ R×3 }
f(t + ∆t) = f(t) + ∆t ḟ(t) +
ṙ(t) = ⟨ẋ(t), ẏ(t), ż(t)⟩
∫
∫b
∫b √
2
2
2
lunghezza della curva : len(γ) = γ |dr| = a dt |r(t)| = a dt x(t) + y(t) + z(t)
vettore tangente alla γ in r :
traiettoria di una particella
posizione r(t)
versore tangente alla traiettoria t(t) =
ṙ(t) = |ṙ| t
modulo della velocità v := |ṙ|
r” − v̇ t
versore normale principale n(t) = ′′
|r − v̇ t|
accelerazione rispetto a t
aSd = v̇ = r′′ = at t + an n
ṙ
|t(t)|
velocità rispetto al parametro t v(t) =
at = v̇ =
v·a
r′ · r′′
=
v
|ṙ|
an =
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
111
Alberto Marini
;600 equazioni diﬀerenziali ordinarie, ossia ODE
Per molti enunciati per la derivazione rispetto alla variabile x risulta conveniente usare la la notazione
Dx
Qui le ai , le αi , β e le Ci e le Di denotano costanti reali.
Sia P (t) un polinomio della forma an tn + an−1 tn−1 + · · · + a1 t + a0 per il quale, trattando equazioni
lineari , spesso si può assumere an = 1. Come argomento del polinomio si può assumere Dx e si può
trattare l’operatore diﬀerenziale applicabile a funzioni della x
P (Dx ) = Dx n + an−1 Dx n−1 + · · · + a1 Dx + a0
112
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;600A ODE lineari: coeﬃcienti costanti
Si considera l’equazione avente come incognita una funzione y(x)
(
)
P (Dx ) y = Q(x) ossia
Dx n + an−1 Dx n−1 + · · · + a1 Dx + a0 y(x) = R(x)
che denotiamo con ER . Si tratta anche la sua corrispodente equazione omogenea relativa ad R(x) = 0
che possiamo denotare con E0 .
Casi particolari
(Dx − α)y = 0 =⇒ y = C eα x
(
)
(Dx − α)m y = 0 =⇒ y = Cm−1 xm−1 + · · · + C1 x + C0 eα x
(
)
(Dx − α + i β) (Dx − α − i β) y(x) =⇒ y = (C cos β x + D sin β x) eα x
(
)
(Dx − α + i β)m (Dx − α − i β)m y(x) = 0 =⇒
((
)
(
)
)
y = Cm−1 xm−1 + · · · + C1 x + C0 cos β x + Dm−1 xm−1 + · · · + D1 x + D0 sin β x eα x
Alla soluzione generale della ER si può dare la forma y(x) = yp (x) + yh (x) , con yp particolare
soluzione della ER e yh (x) soluzione della E0 . Questa si può ottenere sommando soluzioni delle
equazioni precedenti.
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
113
Alberto Marini
;630 equazioni itegrali
114
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;650 trasformata di Fourier
Supponiamo sia t una variabile reale per ∞ < t < +∞, ω una variabile in R ed f (t) una funzione -RR
∫ +∞
diﬀerenziabile a pezzi e assolutamente integrabile, ossia −∞ dt |f (t)| < ∞ . Si definisce trasformata
di Fourier della f (t)
∫ +∞
(
)
ˆ
f (ω) := Fω f (t) :=
dt e−i ω t f (t)
−∞
In molti contesti il deponente della F si può trascurare.
L’enunciato F (w) = fˆ(t) si esprime anche con f (t) ⊃ F (ω) o con l’equivalente F (ω) ⊂ f (t) .
;650A proprietà della trasformata di Fourier
linearità:
simmetria:
parità:
(
)
(
)
(
)
F α1 · f1 (t) + α2 · f2 (t) = α1 · Fω f1 (t) + α2 · Fω f2 (t)
f (t) ⊃ g(ω) =⇒ g(t) ⊃ 2 π f (−ω)
f (t) pari =⇒ fˆ(ω) pari
,
f (t) dispari =⇒ fˆ(ω) dispari
derivazione rispetto ad un parametro:
(
)
F (ω, α) := Fω f (t, α)
derivazione reiterata:
(
G(ω) := Fω
(
g(t) := Ft
Fω
)
∂
∂
f (t, α) =
F clω (f (t, α))
∂α
∂α
)
n−1
∑
(
)
dn
G(ω)
dj
f
(t)
=⇒
Fω
f
(t)
=
+
δ
cj
n
n
dt
(i ω)
dω j
j=0
)
n−1
∑
(
)
dn
g(t)
dj
F
(ω)
=⇒
F
g(t)
:=
+
kj j η(t)
ω
n
n
dω
(−it)
dt
j=0
formula di sommazione di Poisson:
∀α ∈ R+
2016-04-11
(
=⇒
)
(
+∞
1 ∑ ˆ 2nπ
f (α · j) =
f
α n=−∞
α
j=−∞
+∞
∑
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
115
Alberto Marini
;660 trasformata di Laplace
Consideriamo una funzione -RC f (t) continua a pezzi in R+ che soddisfa una limitazione della
∫ +∞
forma |f (t)| ≤ c1 ec2 t e tale che esista 0 dt e−s t f (t) e che valga una limitazione della forma
|f (t)| ≤ c1 ec2 t ; sia s una variabile complessa. Si dice trasformata di Laplace della f (t) la funzione
∫ +∞
F (s) := L (f (t)) :=
dt es t f (t)
0
;660A proprietà della trasformata di Laplace
(
)
(
)
(
)
L α1 · f1 (t) + α2 · f2 (t) = α1 · L f1 (t) + α2 · L f2 (t)
(∫ t
)
(
) (
)
proprietà di convoluzione:
L
du f1 (t − u) · f2 (u) = L f1 (t) · L f2 (t)
0
(∫ t
)
1
proprietà di integrazione:
L
du f (u) =
L(f (t))
s
0
)
( n
(
)
∑
(
) n−1
d
dj
n
n−1−j
f (t) = s L f (t) −
proprietà di derivazione:
L
s
lim
f (t)
t→0+ dtj
dt
j=0
(
)
(
)
proprietà di traslazione:
L f (t − d) = e−d s L f (t)
(
)
1 (s)
proprietà di omotetia:
L f (α t) =
F
per α ∈ R+
α ( α
)
−α t
proprietà di smorzamento o damping:
L e
f (t) = F (s + α)
(
)
dn
proprietà di moltiplicazione:
L tn f (t) = (−1)n
F (s)
ds
(
)
∫ +∞
1
proprietà di divisione:
L
f (t) =ie
du F (u)
t
s
∫ c3 +∞
1
−1
inversione della trasformazione:
f (t) := L F (s) :=
dt es t F (s)
2 π i c3 −i∞
relazione con la trasformata di Fourier
∫ +∞
(
)
∀t < 0
f (t) = 0 ∧
dt |f (t)| < ∞ =⇒ fˆ(ω) = L f (i ω)
linearità:
−∞
;660B trasformate di Laplace specifiche
L(1) =
1
s
,
L(tn ) =
n!
sn+1
,
(
)
L e−αt tn =
n!
(s + α)n+1
;660C antitrasformate di Laplace specifiche
F (s) =
116
1
=⇒ f (t) = 1
s
,
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;670 trasformata -z
⟨
⟩
Consideriamo la successione x = n ∈ N :| xn e la variabile reale z; si dice trasformata -z della x la
serie di potenze non positive della z lo sviluppo
Zz (x) :=
+∞
∑
n=0
xn
1
zn
{
In questa sezione ci serviremo della funzione di Heavyside sugli interi Hvsd(n) :=
{
0 sse k ̸= n
della delta di Kronecker δk,n :=
.
1 sse k = n
0
1
sse n < 0
e
sse n ≥ 0
;670A proprietà della trasformata -z
linearità:
(
)
( )
( )
Zz α1 · x1 + α2 · x2 = α1 · Zz x1 + α2 · Zz x2
successione inizialmente azzerata
∀k ∈ P
Zz
(⟨
⟩)
n ∈ [k : +∞) :| xn
= Z(x)
successione traslata
∀k ∈ P
Zz
k−1
∑
(⟨
⟩)
n ∈ N :| xn+k
= z k · Zz (x) −
z k−j xj
j=0
(⟨
⟩)
( )
Zz n ∈ N :| an · xn
= Zz/a x
∀k ∈ P
Zz
(
⟨
n ∈ N :| (−1)
k
∏
k
(n − j) xn−k
⟩
Hvsd(n)
j=1
)
=
( )
dk
Zz x
dz k
⟩)
d ( ( ))
n ∈ N :| n · xn
= −z ·
Zz x
dz
⟨
⟩
convoluzione delle successioni x ed y = n ∈ N :| yn
(
)
n
n
(⟨
∑
∑
⟨
⟩
⟩)
( )
( )
Zz n ∈ N :|
xn−j yj
= Zz n ∈ N :|
xj yn−j
= Zz x · Zz y
Zz
(⟨
j=0
j=0
;670B trasformate -z specifiche
(⟨
⟩)
1
n ∈ N :| δk,n
= k
z
(⟨
⟩)
z
Zz n ∈ N :| αn
=
∀α ∈ Cnz
z−α
(⟨
⟩)
z
∀α ∈ Cnz
Zz n ∈ N :| αn
=
z−α
(⟨
⟩)
z 1−k
Zz n ∈ N :| Hvsd(n − k) αn−k
∀k ∈ N
=
z−α
(⟨
⟩)
αz
n
∀α ∈ Cnz
Zz n ∈ N :| n α
=
(z − α)2
∀k ∈ P
2016-04-11
Zz
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
117
Alberto Marini
∀α ∈ Cnz
118
Zz
(⟨
⟩)
α (z + α) z
n ∈ N :| n2 αn
=
(z − α)3
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;700 equazioni alle derivate parziali, ossia PDE
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
119
Alberto Marini
;720 funzioni olomorfe e funzioni analitiche
;720A funzioni olomorfe
diciamo funzione olomorfa una funzione f ∈ {C −→ C}, cioè della forma w = f (z) = f (x +
i y) = u(x, y)+a v(x, y) , il cui dominio D è connesso e che in ogni punto interno di D è diﬀerenziabile,
(z)
cioè t.c. esista f ′ (z) = lim∆ x→02 f (z+∆∆z)−f
;
z
(1)
la f (z) si dice olomorfa nel punto ∞ sse la f x è olomorfa in 0
∂u
∂v
∂u
∂v
f (z) è diﬀerenziabile in z sse valgono le equazioni di Cauchy-Riemann
=
,
= −
∂x
∂y
∂y
∂x
e le derivate parziali sono continue nei punti di D
√
se f (z) è espressa nelle coordinate polari r := x2 + y 2 e θ := arctan(y/x), si devono soddisfare le
∂u
∂v
∂v
∂u
equazioni r
=
, r
= −
∂r
∂θ
∂r
∂θ
∂2 u ∂2 u
∆ u = 2 + 2 = 0 =⇒ ∆ v = 0 quindi u e v sono funzioni armoniche coniugate
∂ x
∂ y
{c1 ∈ R :| u(x, y) = c1 } e {c2 ∈ R :| u(x, y) = c2 } sono due famiglie di curve armoniche coniugate
se ∃M ∈ R+ ST |f (z)| ≤ M su una curva chiusa semplice Γ sulla quale f (z) non è costante, allora
|f (z)| ≤ M nella regione delimitata daΓ principio del massimo modulo
f ′ (z) ̸= 0 =⇒ w = f (z) in un imtorno di a possiede una funzione inversa analitica e
dz
dw −1
=
dw
dz
una funzione olomorfa nell’intetro piano complesso viene detta funzione intera
una funzione intera limitata è una funzione costante teorema di Liouville
f (z) olomorfa per |z| < 1 , f (z) ≤ 1 , f (0) = 0 =⇒ |f (z) ≤ |z| con |f (z) = |z| ⇐⇒ f (z) = c z con
|c| = 1 lemma di Schwarz
;720B funzioni analitiche
120
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;730 spazi di Hilbert
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
121
Alberto Marini
;740 serie e funzioni ipergeometriche
;740A serie e funzioni ipergeometriche
2 F1
;740B serie e funzioni ipergeometriche confluenti
;740C serie e funzioni ipergeometriche
122
p Fq
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;750 sistemi di funzioni ortogonali
in questa sezione con P oln≤k (x) denotiamo un imprecisato polinomio nella x di grado minore o uguale
a k ∈ N e con P oln=k (x) un imprecisato polinomio di grado uguale a k
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
123
Alberto Marini
;760 polinomi ortogonali
Su questo argomento il riferimento attualmente più aggiornato e completo è la Digital Library of
Mathematical Functions (dlmf.nist.gov/)
Una successione di polinomi reali ⟨n ∈ N :| pn (x)⟩ si dice graduata sse ∀n ∈ N deg(pn (x)) = n
sia [a, b] un intervallo reale limitato o illimitato; si dice funzione peso su [a, b] ogni funzione di {[a, b] 7−→
R+ }; denotiamo con W tf na,b l’insieme delle funzioni peso su [a, b]
sia w(x) ∈ W tf n; si dice sistema di polinomi ortogonali su [a, b] rispetto al peso w(x) ogni suc∫b
cessione graduata di polinomi reali tali che a dx w(x) pn (x) pm (x) = Nn δm,n . chiaramente
∫b
2
Nn = a dx w(x) pn (x)
in un sistema di polinomi ortogonali talora conviene includere il polinomio nullo come polinomio di
grado −1
denotiamo con SysP olOrtw(x) (a, b) l’insieme dei sistemi di polinomi ortogonali rispetto al peso w(x)
su [a, b];
un ⟨n ∈ N :| pn (x)⟩ ∈ SysP olOrtw(x) (a, b) si dice sistema di polinomi ortonormali sse ∀n ∈ N Nn = 1
denotiamo con SysP olOrtNw(x) (a, b) l’insieme dei sistemi di polinomi ortonormali su [a, b]
siano f (x) e g(x) funzioni definite in [a, b]; nell’ipotesi che il seguente integrale esista, introduciamo il
⟨
⟩
∫b
funzionale bilineare f (x)|g(x) := a dx w(x) f (x) g(x)
Facendo riferimento ad un P := ⟨n ∈ N :| pn (x)⟩ ∈ SysP olOrtw(x) (a, b) ed alle notazioni precedentemente introdotte.
(n)
Denotiamo con zi per i = 1, 2, ..., n gli zeri di pn (x);
questi zeri sono tutti distinti ed appartengono tutti ad (a, b)
scriviamo hn il coeﬃciente di grado n di pn (x) e possiamo supporre sia sempre hn > 0
esistono tre successioni di reali ⟨n ∈ N :| an ⟩ ⟨n ∈ N :| bn ⟩ e ⟨n ∈ N :| cn ⟩ tali che si ha la formula di
ricorrenza
hn
Nn hn−1
∀n ∈ N
x pn (x) = an pn+1 + bn pn + cn pn−1 (x) con an =
> 0 e cn =
>0
hn+1
Nn−1 hn
formula di Christoﬀel-Darboux
consideriamo x e y variabili in ⟨a, b⟩
n
∑
hn
pn+1 (y) pn (x) − pn+1 (x) pn (y)
pi (x) pi (x)
∀n ∈ N
=
·
N
N
h
y−x
i
n n+1
i=0
disuguaglianza di Bessel
consideriamo un qualsiasi ⟨n ∈ N :| un (x)⟩ ∈ SysP olOrtNw(x) (a, b) ed
⟨
⟩
una f (x) opportunamente integrabile in [a, b] e poniamo per ogni i ∈ N ci := f |ui ; allora
∫ b
n
∑
2
2
dx w(x) f (x)
∀n ∈ N
ci ≤
i=0
a
di conseguenza ∀⟨n ∈ N :| pn (x)⟩ ∈ SysP olOrtw(x) (a, b)
1
lim √
n→+∞
Nn
∫
b
dx w(x) f (x) pn (x) = 0
a
;760A polinomi di Legendre
successione di polinomi che si possono definire equivalentamente mediante la relazione generatrice
⌊n/2⌋
+∞
∑
∑
1
(1/2)n (2x)n−2k
√
=:
Pn (x) tn o con la espressione esplicita Pn (x) :=
(−1)k
k! (n − 2k)!
1 − 2 x t + t2
n=0
k=0
dunque ⟨n ∈ N :| Pn (x)⟩ è una successione graduale di polinomi
124
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
Pn (−x) = (−1)n Pn (x)
n
P2n (0) = (−1)n
(1/2)
n!
Pn (−1) = (−1)n
Pn (1) = 1
P2n ′ (0) = 0
formula di Rodrigues
P2n+1 ′ (0) = (−1)n
P2n+1 (0) = 0
(3/2)n
n!
1
Dx n (x2 − 1)n
(2n)!!
Pn (x) =
;760B funzioni associate di Legendre
funzioni dipendenti dal parametro n ∈ N e dal parametro m ∈ [0 : n] definibili equivalentemente con
una espressione eplicita alla Rodrigues o con una relazione generatrice
m
Pnm (x) := (1 + x2 ) 2 Dx m Pn (x)
(2m − 1)!! (1 − x2 ) 2 tm (1 − 2xt + t2 )−m−1/2 =
ogni y(x) := Pnm (x) soddisfa l’equazione
m
(
2
′′
(1 − x ) y − 2 x y + n(n + 1) −
2
m
1 − x2
)
+∞
∑
Pnm (x) tn
n=m
y = 0
m
m
(x)
(x) = (2n + 1)x Pnm (x) − (n + m) Pn−1
(n − m + 1) Pn+1
Pnm+1 (x) = 2mx((1 − x2 )−1/2 Pnm (x) − (n − m + 1)(n + m) Pnm−1 (x)
∫ +1
(n + m)!
2
dx Pnm (x) Pkm (x) = δn.k
(n − m)! 2n + 1
−1
⟨
⟩
cioè ∀m ∈ N
n ∈ [m : +∞) :| Pnm (x) ∈ SysP olOrt e
∀f (x) ∈ F unSqsum(−1, +1)
f (x) =
+∞
∑
n=m
Pnm (x)
2n + 1 n − m)!
con cn
2
(n + m)!
∫
+1
−1
dx f (x) Pnm (x)
;760C armoniche sferiche di superficie
consideriamo gli interi l ∈ N ed m ∈ [ − l, l] e le coordinate di un punto sulla sfera di raggio 1 θ e ϕ;
sono dette armoniche sferiche di superficie le funzioni
√
|m|+m
2l + 1 (l − |m|)! |m|
Yl,m (θ, ϕ) := (−1) 2
P (cos θ) ei m ϕ
4π (l + |m|)! l
√
|m|+m
2l + 1 (l − |m|)!
d|m|
|m|
= (−1) 2
sin |m| θ
P (cos θ) ei m ϕ
4π (l + |m|)!
d(cos θ)|m| l
√
√
3
3
1
√
,
Y1,0 (θ, ϕ) =
cos θ , Y1,±1 (θ, ϕ) = ∓
sin θ e±iϕ
,
Y0,0 (θ, ϕ) =
4π
8π
2 π
√
√
√
5
15
15
Y2,0 =
(3 cos2 θ − 1) , Y2,±1 = ∓
sin θ cos θ e±i ϕ , Y2,±2 =
sin2 θ e±2i, ϕ
16π
8π
32π
∫ 2π
∫ π
dϕ
dθ sin θ Yl,m ∗ (θ, ϕ) Yl′ ,m′ ∗ (θ, ϕ) = δm,m′ δl,l′
0
0
consideriamo le due direzioni ⟨θi , ϕi ⟩ per i = 1, 2 e l’angolo α da esse definito
+l
∑
2l + 1
Yl,m ∗ (θ1 , ϕ1 ) Yl,m (θ2 , ϕ2 )
formula di addizione
Pl (cos α) =
4π
m=−l
ei k z =
+∞
∑
(2l + 1) il jl (k r) Pl (cos θ)
sviluppo dell’onda piana
l=0
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
125
Alberto Marini
;760D polinomi di Cebyshev
polinomi di Cebyshev di prima specie
definibili anche per ricorrenza
con la relazione generatrice
e con l’espressione esplicita
Tn (x) := cos(n arccos x) ovvero Tn (cos θ) = cos(n θ)
T0 (x) := 1 , T1 (x) := x , Tn (x) := 2 x Tn−1 (x) − Tn−2 (x) ,
+∞
∑
1 − xt
=
Tn (x) tn (conv. per |x|, |t| < 1)
1 − 2xt + t2
n=0
(
)
⌊n/2⌋
∑
n
(−1)k
xn−2k (1 − x2 )k
Tn (x) :=
2/k
k=0
T0 (x) = 1 , T1 (x) = x , T2 = 2x − 1 , T3 (x) = 4x3 − 3X , T4 (x) = 8x4 − 8X 2 + 1
2
(
)
sin(n + 1) θ
Un (x) := sin (n + 1) arccos x ovvero Un (cos θ) =
sin θ
definibili anche per ricorrenza U0 (x) := 1 , U1 (x) := 2 x , Un (x) := 2 x Un−1 (x) − Un−2 (x) ,
+∞
∑
1 − xt
con la relazione generatrice
=
Un (x) tn (conv. per |x|, |t| < 1)
1 − 2xt + t2
n=0
polinomi di Cebyshev di seconda specie
e con l’espressione esplicita
Un (x) :=
n
∑
k=0
(−2)k
(n + k − 1)!
(1 − x)k per n > 0
(n − k)! (2k + 1)!
U0 (x) = 1 , T1 (x) = 2x , U2 = 4x − 1 , U3 (x) = 4x3 − 3X , U4 (x) = 16x4 − 12X 2 + 1
2
Tn (−x) = (−1)n Tn (x)
Un (−x) = (−1)n Un (x)
(
)
2k − 1
Tn (x) ha n zeri semplici in ( − 1, +1): xk = cos
π per k = 1, ..., n
2n
(
)
k
Tn (x) ha n zeri semplici in ( − 1, +1): xk = cos
π per k = 1, ..., n
n+1
( )
k
gli estemi di Tn (x) in [ − 1, +1] si trovano per x = cos
π per k = 0, 1, ..., n; Tn (x) ed Un (x)
n
presentano estremi in −1 e +1: Tn (1) = 1 , Tn (−1) = (−1)n , Un (1) = n + 1 , Un (−1) = (−1)n (n + 1)
(
)
sin (2n + 1) tet/2
polinomi di Cebyshev di terza specie
Vn (cos θ) :=
sin(θ/2)
(
)
cos (2n + 1) tet/2
polinomi di Cebyshev di quarta specie
Wn (cos θ) :=
cos(θ/2)
,
;760E polinomi di Hermite
successione di polinomi che si possono definire equivalentamente mediante la relazione generatrice
e2 x t−t
2
=:
+∞
∑
Hn (x)
n=0
⌊n/2⌋
tn
n!
o con la espressione esplicita
Hn (x) :=
∑
(−1)k
k=0
n! (2x)n−2k
k! (n − 2k)!
Hn (x) − 2n xn + P oln=n−2 , Hn (−x) = Hn (x)
′
′
H2k (0) = (−1)k 22k (1/2)k , H2k+1 (0) = 0 , H2k+1
(0) = (−1)k 22k+1 (3/2)k , H2k
(0) = 0
H0 (x) = 1 , H1 (x) = 2x , H2 (x) = 4x2 − 2 , H3 (x) = 2x = 8x2 − 12x , H4 (x) = 16x4 − 48x2 + 12
H5 (x) = 32x5 − 160x3 + 120x , H6 (x) = 64x6 − 480x4 + 720x2 − 120
Hn ′ (x) = 2n Hn−1 (x)
Hn (x) = 2 x Hn−1 (x) − Hn−1 ′ (x)
,
Hn (x) = 2 x Hn−1 − 2(mn − 1) Hn−2 (x) , Hn ′′ − 2 x hn ′ (x) + 2 n Hn (x) = 0
Hn (x) = (−1)n ex Dx n e−x
2
126
2
formula alla Rodrigues
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
∫
∫
+∞
(x)
2
dt e
Hn (x t)
,
Hn (x) = 2
e
dt e−t tn+1 Pn
t
0
0
(
)
n
n
1
1
Hn (x) = (2x)n −2F1 − , − + ; −; − 2
2
2
2
x
∫ +∞
⟨
⟩
√
2
2
dx e−x Hn (x) Hm (x) = δn,m π e2 t
quindi n ∈ N :| Hn (x) ∈ SysP olOrte−x2 (−∞, +∞)
2
√
Pn (x) =
n! π
+∞
−t2
n+1 x2
−∞
⌊n/2⌋
∑ (−1)k n! (2n − 4k + 1)
Hn (x) =
k! (3/2)n−2k
k=0
1 F2 (−k, 3/2
+ n − 2k; 1) Pn−2k (x)
;760F polinomi di Laguerre
sia α ∈ ( − 1, +∞); per ogni n ∈ N si definisce polinomio di Laguerre di grado n
+∞
(1 + α)n
(1 + α)n (x) ∑ (−n)k xk
Ln (α) :=
F
(−n;
1
+
α;
x)
=
1 1
k
n!
n!
k=0 (1 + α) k!
se α = 0 scriviamo Ln (x) := Ln (0) (x) =
0 F1 (, 1, ; x)
1
1 2
x − (2 + α)x + (1 + α)(2 + α) ,
2
2
1 3 1
1
1
(α)
L3 (x) = − x + (3 + α) − (2 + α)(3 + α) + (1 + α)(2 + α)(3 + α)
6
2
2
6
+∞
∑
√
tn
et 0 F1 (, 1 + α; −x t) = Γ(1 + α)(x t)−α/2 et Jα (2 (xt) =
L(α)
n (t)
(1 + α)k
n=0
L0
(α)
(x) = 1 , L1
(α)
(x) = −x + 1 + α , L2 (α) (x) =
+∞
∑
xt
1
− 1−t
n
e
=
L(α)
n (x) t
(1 − t)1+α
n=0
(α)
(α)
(α)
(α)
(α)
x Dx L(α)
n (x) = n Ln (x) − (n + α) Ln−1 (x) , Dx Ln (x) = Dx Ln−1 (x) − Ln−1 (x) = −
n−1
∑
(α)
Lk (x)
k=0
(α)
n Ln (x)
(α)
Ln (x)
= (2n − 1 + α −
(α)
Ln−1 (x)
(α)
x) Ln−1 (x)
(α−1)
Ln
(x)
− (n − 1 +
(α)
α) Ln−2 (x)
(α)
(α)
(α+1)
(x)
(n − x) Ln (x) = (α + n) Ln−1 (x) − x Ln
∑
(α+1)
(α)
(α)
(α+1)
+∞ (α)
(x)
,
Ln
(x) =
(1 + α + n) Ln (x) = (n + 1) Ln+1 (x) + x Ln
k=0 Lk (x)
−α x
(
)
x e
Ln(α) (x) =
Dx n e−x xn+α
formula alla Rodrigues
n!
∫ +∞
Γ(1 + α + n)
(α)
dx xα e−x L(α)
per ℜ(α > −1
n (x) Lm (x) = δm,n
n!
0
⟨
⟩
(α)
quindi se ℜ(α > −1 , n ∈ N :| Ln (x) ∈ SysP olOrtxα e−x (0, +∞)
=
+
,
+∞
∑
−1)n n!
(α)
L (x)
(n − k)! (1 + α)n k
k=0
]
[ 1
+∞
(α)
∑
− 2 (n − k), − 12 (n − k − 1); 1 (−n)k Lk (x)
n
n
·
Hn (x) = 2 (1 + α)
2 F2
1
1
− 2 (α + n), − 2 (α + n − 1); 4
(1 + α)k
k=0
[
]
(α)
2n (1/2)n (1 + α)n
− 12 (n − k), − 21 (n − k − 1); 1 (−n)k Lk (x)
Pn (z) =
·
1
2 F3 1
1 (α + n),
− 2 (α + n − 1); 4
n!
(1 + α)k
2 − n,
2
xn =
Ln(α) (x) =
+∞
∑
(α − β)k
k=0
2016-04-11
k!
(β)
Ln−k (x)
,
L(α+β+1)
(x + y) =
n
+∞
∑
(β)
L(α)
n (x) Ln−k (x)
k=0
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
127
Alberto Marini
L(α)
n (x y) =
+∞
∑
(1 + α)n
k
k=0 (n − k)! (1 + α)
∀c ∈ R \ Z−,0
(α)
(1 − y)n−k y k Lk (x)
+∞
(1 + α)n ∑ (1 + α − c)k (α)
(2c−α−2)
Ln (−x) Ln−k
(x)
cn
cn
k=0
(
)
(
)
xt
x
(α)
−1−k−α
= (1 − t)
exp −
Lk
1−t
1−t
L(α)
n (x) =
+∞
∑
(n + k)! (α) n
Ln+k t
N ! k!
n=0
;760G polinomi di Jacobi
successione graduale di polinomi che si possono definire equivalentemente mediante la relazione generatrice
+∞
∑
u−1 (1 − t + u)−α (1 + t + u)−β =
2−α−β Pn(α,β) (x) tn
n=0
√
1 − 2xt + t2 e per |x| < 1 e |t| < 1
)(
)
+∞ (
1 ∑ n+α
n+β
(α,β)
o con la espressione esplicita Pn
(x) := n
(x + 1)k (x − 1)n−k
k
n−k
2
ove u :=
k=0
(
)
(−1)n
Pn(α,β) (x) =
(1 − x)−α (1 + x)−β Dx n (1 − x)n+α (1 + x)n+β
formula alla Rodrigues
(2n)!!
∫ +1
2α+β+1 Γ(n + α + 1) Γ(n + β + 1)
(α,β)
dx (1 − x)α (1 + x)β Pn(α,β) (x) Pm
(x) = δm,n
(2n + α + β + 1) n! Γ(n + α + β + 1)
−1
⟩
⟨
(α,β)
(x) ∈ SysP olOrt
quindi n ∈ N :| Pn
(α,β)
y = Pn
(x) soddisfa l’equazione
(1 − x2 ), y ′′ + (β − α − (α + β + 2)x) y ′ + n(n + α + β + 1) y = 0
;760H polinomi di Gegenbauer ed ultrasferici
(α,α)
si dicono polinomi ultrasferici i particolari polinomi di Jacobi Pn
+∞
(α,α)
∑
1
(1 + 2α)n Pn
generazione (1 − 2 x t + t2 )− 2 −α =
tn
n
(1
+
α)
n=0
(x) per i quali vale la relazione di
si dicono polinomi di Gegenbauer e si denotano con Cn ν (x) le generalizzazioni dei polinomi di Legendre
+∞
∑
che definiamo con la relazione di generazione (1 − 2 x t + t62 )−ν =
Cn ν (x) tn
n=0
i due tipi di polinomi sono strettamente collegati:
(ν−1/2,ν−1/2)
(2ν)n Pn
(1 + α)n Cn α+1/2 (x)
(x)
(α,α)
P
(x)
=
n
(nu + 1/2)n
(1 + 2α)n
ciascuno di essi presenta vantaggi parziali; nel seguito ci concentreremo sui Cn ν (x)
Cn ν (x) =
Pn (x) = Cn 1/2
[
,
Cn ν (x) =
2n ν n n
x + P oln=n−2
n!
,
Cn ν (−x) = (−1)n Cn ν (x)
]
+∞
∑
t2 (x2 − 1)
Cn ν (x) n
e 0 F1
=
t
4
2ν n
n=0
[γ
]
+∞ n
∑
γ Cn ν (x)
, γ2 + 21 ; t2 (x2 − 1)
∀γ
(1 − xt)−γ 2 F1 2
=
1
ν + 2;
(1 − xt)2
(2ν)n
n=0
xt
128
;
ν + 12 ;
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
(1 − x2 ) Dx 2 Cn ν (x) − (2ν + 1)x Dx Cn ν (x) + n(2ν + n) Cn ν (x) = 0
[
]
+∞
∑
(2ν)n+k
(2ν)n
−n, 2ν + n; 1 − x
ν
=
Cn (x) =
2 F1
1
k
ν + 2;
n!
2
k=0 k! (n − k)!(ν + 1/2)
[
]
[
]
+∞
∑
Cn ν (x) tn
t(x − 1)
t(x − +)
;
;
F
F
=
(rel di Bateman)
0 1
0 1
ν + 12 ;
ν + 12 ;
2
2
(2ν)n (ν + 1/2)n
n=0
]
[
]
[
+∞ n
∑
1−t−ρ
γ (2ν − γ)n Cn ν (x) tn
γ, 2ν − γ; 1 + t − ρ
γ, 2ν − γ;
=
2 F1
2 F1
ν + 1/2;
ν + 1/2;
2
2
(2ν)n (ν + 1/2)n
n=0
√
dove ρ := 1 − 2 x t + t2 (relazione generatrice di Brafman)
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
129
Alberto Marini
;770 funzioni speciali
su questo argomento il riferimento attualmente più aggiornato e completo è la Digital Library of
Mathematical Functions (dlmf.nist.gov/)
;770A funzione Gamma e collegate
∫
funzione Gamma
funzione analitica t.c.
Γ(z) :=
+∞
dt e−t tz−1
per ℜ(z) > 0
0
per ℜ(z) ≤ 0 possiede poli per ogni z ∈ Z−
∫
+∞
Γ(z) =
dt tz−1 e−t +
+∞
∑
−1n
n! (z + n)
n=0
1
è funzione intera
Γ(z)
per z ∈ C \ Z−,0
Γ(z) =
lim
nz n!
n→+∞ z n+1
( )
√
1
∀z ∈ C \ Z−,0
Γ(z + 1) = z Γ(z)
∀n ∈ P
γ(n) = (n − 1)!
Γ
= π
2
)
)
(
(
√
√
(2 n − 1)!! π
1
(−1)n 2n π
1
=
, Γ −n +
=
∀n ∈ P
Γ n+
2
2n
2
(2 n − 1)!!
(
) (
)
π
1
1
π
Γ(z) Γ(1 − z) =
, Γ
+z Γ
−z =
sin π z
2
2
cos π z
)
(
1
1
2 z−1
Γ(2 z) = √ 2
, Γ′ (1) = −γem
Γ(z) Γ z +
2
(π
1
funzione Psi
ψ(z) :=
Γ′ (z)
per ogni z ∈ C \ Z−,0
Γ(z)
+∞
∑
1
(−1)n
ψ(z) = − − γem +
z
n! (z + n)
n=0
∫1
funzione analitica t.c. B(z, w) := 0 dt (tz−1 (1 − t)w−1 ) per ℜ z , ℜ w > 0
∫ π/2
Γ(z) Γ(w)
B(z, w) =
= 2
dt sin 2 z − 1 t cos2w−1 t per ℜ z , ℜ w > 0
Γ(z + w)
0
funzione Beta
130
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;770B funzioni di Bessel
(1)
(2)
Introdurremo prima le funzioni di Bessel cilindriche Jp (x), Yp (x), Hp (x) e Hp (x), poi le funzioni di
(1)
(2)
Bessel sferiche jp (x), yp (x), hp (x) e hp (x)
k
∑
1
h
nel seguito utilizzeremo i numeri armonici H0 := 0 e Hk :=
h=1
funzioni di Bessel J
∀p ∈ C \ Z , x ∈ R+
Jp (x) :=
+∞
∑
k=0
+∞
∑
∀n ∈ N
Jn (x) :=
∀n ∈ P
1
Jn (x) =
π
∫
k=0
∀n ∈ P
( x )p+2 k
(−1)k
k! Γ(p + k + 1) 2
( x )n+2 k
(−1)
k! (n − k)! 2
k
π
dϕ cos(x sin ϕ − n ϕ) =
0
1
2π
∫
π
dϕ ei(x sin ϕ−n ϕ
−π
Jx = (−1)n Yn (x)
x2
x4
x6
x
x3
x5
x7
+ 2 2 − 2 2 2 + · · · , J1 =
− 2 + 2 2 − 2 2 2 + ···
2
2
2 4
2 4 6
2 2 4 2 4 6 2 4 6 8
√
√
2
2
J1/2 (x) =
sin x , J−1/2 (x) =
cos x
πx
πx
J0 ′ (x) = −J1 (x)
J0 = 1 −
funzioni di Weber-Neumann
Jp (x) cos p π − J−p (x)
∀p ∈ C \ Z
Yp (x) :=
sin p x
∀n ∈ P
Yn (x) := lim Yp (x)
p→n
n−1
+∞
(−1)k ( x )2k+n
2(
x)
1 ∑ (n − k − 1)! ( x )2k−n 1 ∑
(Hk + Hk+n )
=
γem + ln
Jn (x) −
−
π
2
n
k!
2
π
k! (n + k)! 2
k=0
k=0
∫ π
∫ +∞
(
)
1
1
=
dt sin(x sin t − n t) −
dt ent + (−1)n e−nt e−x sinh t
π 0
π 0
n
∀n ∈ P
Yn (x) = (−1) Yn (x)
funzioni di Hankel
(1)
Hp (x)
(2)
Hp (x) := Jp (x) − i Yp (x)
:= Jp (x) + i Yp (x)
funzioni di Bessel modificate
∫
+∞
( x )n+2k
∑
1
1 π
−n
In (x) := i Jn (i x) =
dt ex cos t cos n t
=
k! (n + k)! 2
π 0
k=0
x4
x6
x2
I0 = 1 + 2 + 2 2 + 2 2 2 + · · ·
2
2 4
2 4 6
′
I0 (x) = I1 (x)
π n+1 (1)
i
Hn (ix) =
2
( x
)
(−1)n+1 ln + γem In (x) +
2
Kn (x) :=
2016-04-11
, I1 =
x
x3
x5
x7
+ 2 + 2 2 + 2 2 2 + ···
2 2 4 2 4 6 2 4 6 8
∫ +∞
π n+1
i
(Jn (ix) + i Yn (ix)) =
dt e−x cosh t cosh n t =
2
0
n−1
+∞
( x )2k−n (−1)n ∑
1∑
Hk + Hn+k ( x )2k+n
(−1)k (n − k − 1)!
+
2
2
2
k! (n + k)! 2
k=0
k=0
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
131
Alberto Marini
√
I1/2 (x) =
2
sinh x , J−1/2 (x) =
πx
funzioni di Kelvin
+∞
∑
(−1)k ( x )4k
Ber(x) :=
2
2
((2 k)!)
k=0
,
√
2
cosh x
πx
Bei(x) :=
+∞
∑
(−1)k
k=0
((2 k + 1)!)
( x )4k+2
2
2
+∞
( x
)
( x )4k
∑
(−1)k
π
Ker(x) := − ln + γem Ber(x) + Bei(x) + 1 +
H
2k
2
2
4
2
((2 k)!)
k=1
(
Kei(x) := := − ln
)
+∞
( x )4k+2
∑
π
x
(−1)k
+ γem Bei(x) − Ber(x) + 1 +
H
2k+1
2
2
4
2
((2 k + 1)!)
k=0
Ber(x) + i Bei(x) = J0 (e
3 i π/4
x)
,
Ker(x) + i Kei(x) = K0 (ei π /4 x)
equazioni diﬀerenziali per le funzioni di Bessel
(
)
p2
y′
x2 y ′′ + x y ′ + (a2 x2 − p2 ) y = 0 ⇐⇒ y ′′ + + a2 − 2 y = 0
x
x
(
)
2
1
p
⇐⇒
(x y ′ )′ + a2 − 2 y = 0
=⇒
y = α Jp (a x) + β Yp (a x)
x
x
(
)
y′
p2
x2 y ′′ + x y ′ − (a2 x2 + n2 ) y = 0 ⇐⇒ y ′′ + − a2 + 2 y = 0
x
x
(
)
2
1
n
⇐⇒
(x y ′ )′ − a2 + 2 y = 0
=⇒
y = α Ip (a x) + β Kp (a x)
x
x
1
x2 y ′′ + x y ′ − i a2 x2 y = 0 ⇐⇒
(x y ′ )′ − i a2 y = 0
x
(
)
(
)
=⇒
y = α Ber(a x) + i Bei(a x) + β Ker(a x) + i Kei(a x)
funzioni generatrici delle funzioni di Bessel
( (
))
+∞
∑
x
1
exp
t−
=
Jn (x) tn , ei x sin ϕ =
2
t
n=−∞
( (
))
+∞
∑
x
1
exp
t+
=
In (x) tn
2
t
n=−∞
relazioni di ricorrenza per le funzioni di Bessel
+∞
∑
Jn (x) ei n ϕ ,
n=−∞
}
{
(1)
(2)
∀Fp (x) ∈ Jp (x), Yp (x), Hp (x), Hp (x)
2p
Fp (x) , Fp−1 (x) − Fp+1 (x) = 2 Fp ′ (x)
x
x Fp ′ (x) = p Fp (x) − x Fp+1 (x) = x Fp−1 (x) − p Fp (x)
( p
)′
(
)′
x Fp (x) = xp Fp−1 (x) , x−p Fp (x) = −x−p Fp+1 (x) (J0 ′ (x) = −J1 (x) , Y0 ′ (x) = −Y1 (x))
∫
1 2 ( ′ )2 1 2
dx Fn 2 (x) x =
x , Fn (x) + (x − n2 ) Fn 2 (x)
2
2
∫
(
)
n
1+n
1+n
dx x
Fn (x) = x
Fn+1 (x) = −x1−n Fn ′ (x) − Fn (x)
x
∫
( ′
)
n
1−n
1−n
1−n
dx x
Fn (x) = x
Fn−1 (x) = −x
Fn (x) + Fn (x)
x ∫
∫
Fp−1 (x) + Fp+1 (x) =
dx xn F0 (x) = xn F1 (x) + (n − 1) xn−1 F0 (x) − (n − 1)2
(
)
x a Fn (b x) Fn ′ (a x) − b Fn (a x) Fn ′ (b x)
Fn (a x) Fn b x) x =
b2 − a2
132
dx xn−2 F0 (x)
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
(
(
)
)
n2
x2
′
2
2
dx Fn (a x) x =
Fn (a x) + 1 − 2 2 Fn (a x)
2
a x
2n
In+1 (x) = In−1 (x) −
In (x) = 2 In ′ (x) − In−1 (x)
x
2n
Kn+1 (x) = Kn−1 (x) +
Kn (x) = −2 Kn ′ (x) − Kn−1 (x)
x
sistemi ortogonali di funzioni di Bessel
∫
2
consideriamo p ∈ R0,+ , L ∈ R+ , l’intervallo I := [0, L] e la funzione peso w(x) = x;
⟨
⟩
gli zeri positivi di Jp (x) costituiscono una successione che scriviamo i ∈ P :| zi
∫ L
(z x)
(z x)
L2 (Jp+1 (zi ))2
i
j
dx x Jp
Jp
= δi,j
L
L
2
0
⟨
( i x )⟩
e la successione i ∈ :| Jp zL
costituisce un sistema ortogonale completo nell’intervallo [0, L]
rispetto al peso w(x) = x; quindi
∫ L
+∞
(z x)
(z x)
∑
2
i
i
∀x ∈ [0, L]
f (x) =
c i Jp
con ci = 2
dx
x
f
(x)
J
p
2
L
L
L
J
0
p+1
i=0
gli zeri positivi della c Jp (x) + x Jp ′ (x) = 0 per c > −p costituiscono una successione che scriviamo
⟨
⟩
i ∈ P :| vi
∫ L
2
(v x)
(v x)
L2 (vi 2 − p2 + c2 ) Jp (vi )
i
j
dx x Jp
Jp
= δi,j
L
L
2 vi 2
0
⟨
( vi x )⟩
e la successione i ∈ P :| Jp L
costituisce un sistema ortogonale completo nell’intervallo [0, L]
rispetto al peso w(x) = x; quindi
∫ L
+∞
(v x)
(v x)
∑
2 vi 2
i
i
∀x ∈ [0, L]
f (x) =
ci Jp
con ci = 2 2
dx x f (x) Jp
2
2
2
L
L
(v
−
p
+
c
)(J
(v
))
L
i
p
i
0
i=0
⟨
⟩
′
gli zeri positivi della −p Jp (x) + x Jp (x) = 0 costituiscono una successione che scriviamo i ∈ P :| ui
∫ L
2
(u x)
(u x)
L2 Jp (vi )
i
j
dx x Jp
Jp
= δi,j
L
L
2
0
⟨
(
)⟩
e la successione i ∈ :| Jp uLi x
costituisce un sistema ortogonale completo nell’intervallo [0, L]
rispetto alla w(x) = x; quindi
∫
+∞
(u x)
∑
2p + 2 L
i
∀x ∈ [0, L]
f (x) = c0 xp +
ci Jp
con c0 = 2p+2
dx f (x) xp+1 e
L
L
0
i=1
∫ L
(u x)
2 ui 2
i
ci =
dx x f (x) Jp
2
L
L2 Jp+1 (ui ) 0
funzioni di Bessel sferiche
√
(
)n
∫ π
π
1 d
sin x
xn
Jn+1/2 (x) = xn −
= n+1
dt cos(x cos t) sin2n+1 t
jn (x) :=
2x
x dx
x
2
n! 0
√
√
(
)n
π
π
1 d
cos x
n+1
n
yn (x) := (−1)
J−n−1/2 (x) =
Yn+1/2 (x) = −x −
2x
2x
x dx
x
√
π
(1)
H
h(1)
(x)
n (x) := jn (x) + i yn (x) =
2 x n+1/2
√
π
(2)
H
h(2)
(x)
:=
j
(x)
−
i
y
(x)
=
(x)
n
n
n
2 x n+1/2
(
)
sin x cos x
3
1
3
sin x
, j1 (x) =
−
, j2 (x) = − 3 +
sin x − 2 cos x
j0 (x) =
2
x
x
x
x
x
x
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
133
Alberto Marini
y0 (x) = −
cos x
x
,
y1 (x) = −
cos x cos x
−
x2
x
(
,
(2)
∀fn (x) ∈ {jn (x), jn (x), h(1)
n (x), hn (x)}
ricorrenze
j2 (x) =
−
3
1
+
3
x
x
)
fn+1 (x) = (2n + 1)
cos x −
3
sin x
x2
fn (x)
− fn−1 (x) ,
x
n
n+1
n+1
n
fn−1 (x) −
fn+1 = fn−1 (x) −
fn (x) =
fn (x) − fn+1 (x)
2n + 1
2n + 1
n
x
(
)
equazione diﬀerenziale x2 y ′′ + 2 y ′ + a2 x2 − n(n + 1) y = 0 =⇒ y = α jn (a x) + β yn (a x)
fn ′ =
134
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;770C integrali ellittici
integrali ellittici del primo tipo
∫ x
∫ ϕ
dθ
1
√
=
dt √
F (k, ϕ)) :=
2
2
2
(1 − t )(1 − k 2 t2 )
0
0
1 − k sin θ
integrali ellittici del secondo tipo
∫ ϕ
∫
√
E(k, ϕ)) :=
dθ 1 − k 2 sin2 θ =
0
0
√
x
dt
(1 − k 2 t2 )
1 − t2
per k 2 < 1
per k 2 < 1
integrali ellittici del terzo tipo
∫ ϕ
∫ x
1
dθ
√
√
π(k, n, ϕ)) :=
=
dt
per k 2 <
2
2
2
2
(1 − n t ) (1 − t2 )(1 − k 2 t2 )
0 (1 − n sin θ)
0
1 − k sin θ
1
integrali ellittici completi
∫ π/2
( π)
dθ
√
K(k) := F k,
=
per k 2 < 1
2
0
1 − k 2 sin2 θ
∫ π/2
( π)
√
E(k) := E k,
=
dθ 1 − k 2 sin2 θ per k 2 < 1
2
0
√
π
relazione di Legendre
posto k ′ := 1 − k 2 : E(k) K(k ′ ) + E(k ′ ) K(k) − K(k) K(k ′ ) =
2
2
d
K(k)
dK(k)
equazioni diﬀerenziali
k(1 − k 2 )
+ (1 − 3 k 2 )
− k K(k) = 0
dk 2
dk
d2 E(k)
dE(k)
k(1 − k 2 )
+ (1 − k 2 )
+ k E(k) = 0
dk 2
dk
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
135
Alberto Marini
;770D dilogaritmo e polilogaritmi
si dice dilogaritmo la funzione analitica definita dalla serie di potenze
per x ≤ 1
∫
+∞ n
∑
x
Li2 (x) :=
convergente
n!
n=1
ln(1 − t)
t
0
nel suddetto insieme quindi si ha una funzione univoca
]
[
(
)
)2
x
1(
1, 1, 1
Li2 (x) = x 3 F2
x
,
Li2 (x) + Li2
= − ln(1 − x)
2, 2;
x−1
2
f orallx ∈ C \ [1, +∞)
Li2 (x) = −
∀n ∈ P , ω ST ω n = 1
Li2 (xn ) =
x
n−1
∑
dt
Li2 (ω i x)
,
Li2 (x) − Li2 (1 − x) =
π2
6
− ln(1 − x)
i=0
1
Li2 (x2 ) = Li2 (x) + Li2 (−x)
2
( )
π2
π2
π2
1
1
Li2 (0) = 0 , Li2 (1) =
, Li2 (−1) = −
, Li2
=
− (ln 2)2
6
12
2
12 2
(
)
(
)
(
)
x
y
x
y
Li2
·
= Li2
+ Li2
Li2 (x) − Li2 (y) ln(1 − x) ln(1 − y)
1−x 1−y
1−y
1−x
si generalizza il dilogaritmo definendo per ogni s ∈ C come polilogaritmo di ordine s la funzione analitica
+∞ n
∑
x
definita dalla serie Lis (x) :=
convergente per |x| ≤ 1
ns
n=1
Li3 (x) viene chiamata anche trilogaritmo
∫ x
1
Lis−1 (t)
Dx Lis (x) =
Lis−1 (x) ovvero Lis (x) =
dt
x
t
0
per s ∈ Z−,0 Lix (x) è una funzione razionale: in particolare
x
x
Li1 (x) = − ln(1 − x) , Li0 (x) =
, Li−1 (x) =
,
x−1
(1 − x)2
x(1 + x)
x(1 + 4x + x2 )
x(1 + x)(1 + 10x + x2 )
Li−2 (x) =
,
Li
(x)
=
,
Li
(x)
=
−3
−4
(1 − x)3
(x − 1)4
(1 − x)5
]
[
1, 1, ..., 1;
Lis (x) = x s+1 Fs
x
2, ..., , 2 :
(
)n (
) ∑
(
)i+1
n
d
x
x
∀n ∈ N
Li−n = x
=
i! Strl2(n + 1, i + 1)
dx
1−x
1−z
i=0
136
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
;770E altre funzioni da integrali trascendenti
integrali esponenziali
∫ +∞
∫ +∞
+∞
∑
(−1)n xn
e−t
e−x t
dt
=
dt
= −γem − ln x −
per x > 0
E1 (x) :=
t
t
n n!
x
1
n=1
∫ +∞
n
)
e−x t
1 ( −x
∀n ∈ P
En (x) :=
dt
En+1 (x) =
e − x En (x)
per x > 0
∀n ∈ P
t
n
1
∫ x t
+∞ n
∑
e
x
Ei(x) :=
= γem + ln x +
se x < 0 si assume il valore principale dell’integrale
t
n
n!
−∞
n=1
∫ x
1
li(x) :=
dt
= Ei(ln x) se x > 1 si assume il valore principale
ln
t
0
funzione degli errori e sua complementare
∫ x
+∞
2
2
2 ∑ (−1)n
erf (x) := √
dt e−t = √
x2 n+1
π 0
π n=0 n! (2 n + 1)
erf (x) := 1 − erf (x)
∫
seno integrale
x
Si(x) :=
dt
0
∫
coseno integrale
+∞
∑
sin t
(−1)n x2 n+1
=
t
(2n + 1)(2n + 1)!
n=0
+∞
Ci(x) := −
dt
x
+∞
∑
cos t
(−1)n x2 n
= γem + ln x +
t
2n(2n)!
n=1
per
x>0
integrali di Fresnel
∫ x
+∞
∑
π t2
(−1)n (π/2)2n 4n+1
C(x) :=
dt cos
=
x
2
(2n)! (4 n + 1)
0
n=0
∫ x
+∞
∑
π t2
(−1)n (π/2)2n+1 4n+3
S(x) :=
dt sin
=
x
2
(2n + 1)! (4 n + 3)
0
n=0
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
137
Alberto Marini
;990 indice KWIC dei termini rilevanti nel prontuario
base ortonormale ;250B
complemento ortogonale ;250B
ortonormale / base ;250B
ortogonale / complemento ;250B
R×d / topologia di ;500A
√
a2 x2 ± c2 / antiderivate di integrandi con ;420E
√
ax + b / antiderivate di integrandi con ;420B
F
2 1 / serie e funzioni ipergeometriche ;740A
a x2 + b x + c / antiderivate di integrandi con ;420G
a xn + b / antiderivate di integrandi con ;420J
a2 x2 ± c2 / antiderivate di integrandi con ;420D
ax + b / antiderivate di integrandi con ;420A
ax + b e cx + d / antiderivate di integrandi con ;420C
c2 − a2 x2 per a, c > 0 / antiderivate di integrandi con ;420F
J / funzioni di Bessel ;770B
n dimensioni / sfera in ;210D
x3 ± a3 / antiderivate di integrandi con ;420H
x4 ± a4 / antiderivate di integrandi con ;420I
y = f (x) / curve date da funzioni ;520A
2D / centroidi e momenti di inerzia in ;560A
3D / centroidi e momenti di inerzia in ;560B
3D / rette e piani in ;220C
accumulazione – di aderenza – limite / punto di ;500
addizione per le armoniche sferiche / formula di ;760C
aderenza – limite / punto di accumulazione – di ;500
aderenza ;500
algebra / teorema fondamentale dell’ ;070B
algebra ;030
algebra degli octonioni ;280B
algebra di Boole ;030D
algebra lineare / matrici e ;150
algebra su campo ;030D
algebra unitale dei quaternioni ;280A
algebriche / operazioni ;030A
algebriche / specie di strutture ;030D
algebriche / sviluppi in serie di potenze di espressioni ;370A
algebrici / insieme dei numeri ;020D
algebrici / integrali definiti di integrandi ;460A
allargata di uno SLE / matrice dei coeﬃcienti ;150F
altezze di un triangolo ;200A
analitica 1 / geometria ;220
analitica tridimensionale lineare / geometria ;220C
analitiche / funzioni ;720A
and / not ;005A
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070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
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MATeXp
anello / modulo destro su ;030D
anello / modulo sinistro su ;030D
anello ;030D
angoli interni di un triangolo / bisettrici degli ;200A
angolo retto / regole di Napier per triangoli sferici con ;210D
angolo solido = sterangolo ;210C
√
antiderivate di integrandi con a2 x2 ± c2 ;420E
√
antiderivate di integrandi con ax + b ;420B
antiderivate di integrandi con a xn + b ;420J
antiderivate di integrandi con a2 x2 ± c2 ;420D
antiderivate di integrandi con ax + b ;420A
antiderivate di integrandi con ax + b e cx + d ;420C
antiderivate di integrandi con c2 − a2 x2 per a, c > 0 ;420F
antiderivate di integrandi con x4 ± a4 ;420I
antiderivate di integrandi con (co)tangente e (co)secante ;440B
antiderivate di integrandi con a x2 + b x + c ;420G
antiderivate di integrandi con x3 ± a3 ;420H
antiderivate di integrandi con esponenziali ;440D
antiderivate di integrandi con logaritmi ;440E
antiderivate di integrandi con seno e/o coseno ;440A
antiderivate di integrandi con trigonometriche inverse ;440C
antiderivate di integrandi iperbolici e loro inverse ;440F
antihermitiana / matrice ;150C
antisimmetrica / matrice ;150C
antisimmetrica / relazione ;020B
antitrasformate di Laplace specifiche ;660C
appartenenza ;020A
approssimazione alla Stirling / formule di ;040A
approssimazione dei minimi quadrati ;150I
aquilone ;200C
arcocosecante ;120B
arcocoseno ;120B
arcocotangente ;120B
arcosecante ;120B
arcoseno ;120B
arcotangente ;120B
area / formula SAS dell’ ;005B
argomento del coseno iperbolico ;120C
argomento del seno iperbolico ;120C
argomento della cotangente iperbolica ;120C
argomento della tangente iperbolica ;120C
armoniche sferiche / formula di addizione per le ;760C
armoniche sferiche ;760C
armonici / numeri ;770B
arrotondamento ;020E
assi dei lati di un triangolo ;200A
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Alberto Marini
associate di Legendre / funzioni ;760B
assoluto / valore ;020E
assurda / relazione ;020B
asta ;560A
aurea / sezione ;010
automorfismo ;030D
autovalori, diagonalizzazione / autovettori, ;250E
autovettori, autovalori, diagonalizzazione ;250E
basilari / sequenze combinatorie ;050A
basilari sugli interi / funzioni ;040
basilari sui reali / funzioni ;020E
Bernoulli e di Eulero / serie per numeri di ;350A
Bessel J / funzioni di ;770B
Bessel / disuguaglianza di ;760B
Bessel / equazioni diﬀerenziali per le funzioni di ;770B
Bessel / funzioni di ;770B
Bessel / funzioni generatrici delle funzioni di ;770B
Bessel / relazioni di ricorrenza per le funzioni di ;770B
Bessel / sistemi ortogonali di funzioni di ;770B
Bessel cilindriche / funzioni di ;770B
Bessel modificate / funzioni di ;770B
Bessel sferiche / funzioni di ;770B
Beta / funzione ;770A
bicondizionale ;005A
binomiali e sviluppo del binomio / coeﬃcienti ;040B
binomiche / equazioni ;070G
binomio / coeﬃcienti binomiali e sviluppo del ;040B
biquadratiche / equazioni ;070F
bisettrici degli angoli interni di un triangolo ;200A
Bolzano-Weierstrass / teorema di ;500
Boole / algebra di ;030D
Boole / reticolo di ;030D
Borel / teorema di Pincherle-Heine- ;500
calcolo degli enunciati ;005A
calcolo dei predicati ;005B
calcolo infinitesimale / curve piane e ;520
calotta sferica ;210C
campo / algebra su ;030D
campo / modulo su ;030D
campo ;030D
campo dei numeri complessi ;110
Cardano / formule di ;070E
Cartesio / regola dei segni di ;070C
Cauchy-Riemann / equazioni di ;720A
Cauchy-Schwarz / disuguaglianza di ;250B
cava / sfera ;560B
140
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MATeXp
cavo / cilindro ;560B
cavo / cono ;560B
Cebyshev / polinomi di ;760D
centroide di un triangolo ;200A
centroidi e momenti di inerzia in 2D ;560A
centroidi e momenti di inerzia in 3D ;560B
cerchio ;560A
chiusura di equivalenza ;020B
chiusura riflessiva ;020B
chiusura riflessivo-transitiva ;020B
chiusura simmetrica ;020B
chiusura transitiva ;020B
Christoﬀel-Darboux / formula di ;760
cilindri, coni ;210B
cilindriche / funzioni di Bessel ;770B
cilindro ;220D ;560B
cilindro cavo ;560B
cilindro circolare retto ;210B
cilindro ellittico ;220D
cilindro finito ;210B
cilindro generale ;210B
cilindro iperbolico ;220D
cilindro parabolico ;220D
circocentro di un triangolo ;200A
circolare / corona ;560A
circolare / settore ;200B ;560A
circolare / toro ;210C
circolare retto / cilindro ;210B
circolare retto / cono ;210B
circolare retto / tronco di cono ;210B
circonferenza ;220B
circonferenze ;200B
co)secante / antiderivate di integrandi con (co)tangente e ( ;440B
co)tangente e (co)secante antiderivate di integrandi con ;440B
codominio ;020B
coeﬃcienti allargata di uno SLE / matrice dei ;150F
coeﬃcienti binomiali e sviluppo del binomio ;040B
coeﬃcienti costanti / ODE lineari: ;600A
coeﬃcienti di uno SLE / matrice dei ;150F
coeﬃcienti multinomiali e sviluppo del multinomio ;060D
coeﬃcienti reali / equazioni polinomiali con ;070C
cofattore di una entrata di matrice ;150D
colonna e riga / vettori ;150A
combinatorie basilari / sequenze ;050A
combinazione lineare ;250A
combinazioni con ripetizione ;050A
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Alberto Marini
combinazioni senza ripetizione ;050A
complementare / funzione degli errori e sua ;770E
complessi / campo dei numeri ;110
complessi / divisione tra due numeri ;110
complessi / forma esponenziale dei numeri ;110
complessi / forma polare – trigonometrica dei numeri ;110
complessi / insieme dei numeri ;020D ;110
complessi / numeri ;110
complessi / operazioni sui numeri ;110
complessi / prodotto di due numeri ;110
complessi / somma di due numeri ;110
complessi costruibili / insieme dei numeri ;020D
complessi diversi da zero / insieme dei ;020D
complesso / coniugato di un numero ;110
complesso / modulo di un numero ;110
composizione / prodotto di = prodotto di Peirce ;020B
comun denominatore / massimo ;90A
comune multiplo / minimo ;90A
condizionale ;005A
confluenti / serie e funzioni ipergeometriche ;740B
conformabili – moltiplicabili / matrici ;150C
congiuntiva principale / forma normale ;005A
congiunzione ;005A
congruenti / triangoli ;200A,
coni/ cilindri, ;210B
coniche / sezioni ;220B
coniugato di un numero complesso ;110
connettivi ;005A
cono / tronco di ;210B
cono ;560B
cono cavo ;560B
cono circolare retto / tronco di ;210B
cono circolare retto ;210B
cono ellittico ;220D
cono finito ;210B
cono illimitato ;210B
cono illimitato unilatero ;210B
contraddizione ;005A ;005C
controesempio ;005C
convoluzione di successioni ;670A
coordinate polari / curve in ;520D
coprimi ;090B
corona circolare ;560A
cosecante ;120A
coseni / legge dei ;200A
coseni su sfera / legge dei ;210D
142
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MATeXp
coseno ;120A
coseno integrale ;770E
coseno iperbolico / argomento del ;120C
coseno iperbolico ;120C
costante di Eulero-Mascheroni ;300
costanti / ODE lineari: coeﬃcienti ;600A
costanti ;010
costruibili / insieme dei numeri complessi ;020D
costruibili / insieme dei numeri reali ;020D
costruttiva / dimostrazione ;005C
cotangente ;120A
cotangente iperbolica / argomento della ;120C
cotangente iperbolica ;120C
Cramer / regola di ;150I
crescente / fattoriale ;040A
criteri di uguaglianza fra triangoli ;200A
cubica / risolvente ;070F
cubiche / equazioni ;070E
cubo = esaedro regolare ;210A
cuboide = parallelepipedo rettangolo ;210A
curva di secondo grado / discriminante di una ;220B
curve / famiglie di ;520E
curve date da funzioni y = f (x) ;520A
curve in coordinate polari ;520D
curve in forma implicita ;520C
curve in forma parametrica ;520B
curve piane e calcolo infinitesimale ;520
Darboux / formula di Christoﬀel- ;760
De Moivre / formula di ;110
decomposizioni / quozienti di polinomi e loro ;070D
decomposizioni dei polinomi ;070H
decrescente / fattoriale ;040A
definiti / integrali ;460
definiti di integrandi algebrici / integrali ;460A
definiti di integrandi espologtrigonometrici / integrali ;460E
definiti di integrandi esponenziali / integrali ;460B
definiti di integrandi logaritmici / integrali ;460C
definiti di integrandi trigonometrici / integrali ;460D
Delambre / equazioni di ;210D
delta di Kronecker ;040
denominatore / massimo comun ;90A
derivata parziale ;610
derivate ;320
derivate parziali, ossia PDE / equazioni alle ;700
derivazione / regole di ;320B
destro su anello / modulo ;030D
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143
Alberto Marini
determinante di una matrice ;150D
determinanti ;150D
determinato / SLE ;150G
diagonale / matrice ;150B
diagonalizzazione / autovettori, autovalori, ;250E
diﬀerenziali lineari, ossia ODE / equazioni ;600
diﬀerenziali per le funzioni di Bessel / equazioni ;770B
dilogaritmo e polilogaritmi ;770D
dimensioni / sfera in n ;210D
dimostrativi / metodi ;005C
dimostrazione costruttiva ;005C
dimostrazione diretta ;005C
dimostrazione indiretta ;005C
dimostrazione mediante implicazione ;005C
dimostrazione non costruttiva ;005C
dimostrazione per induzione ;005C
diretta / dimostrazione ;005C
discriminante di una curva di secondo grado ;220B
disgiuntiva principale / forma normale ;005A
disgiuntivo / sillogismo ;005C
disgiunzione ;005A
disposizioni con ripetizione ;050A
disposizioni senza ripetizione ;050A
disuguaglianza ;250B
disuguaglianza di Bessel ;760B
disuguaglianza di Cauchy-Schwarz ;250B
disuguaglianza triangolare ;250B
disuguaglianze ;150J
diversi da zero / insieme dei complessi ;020D
divisibilità fra interi ;090A
divisione tra due numeri complessi ;110
dodecaedro regolare ;210A
dominio ;020B
duali / formule enunciative ;005A
eliminazione da un insieme ;020A
eliminazione di Gauss / soluzione degli SLE mediante ;150H
elissoide ;220D
elissoide oblato ;220D
elissoide prolato ;220D
ellisse ;220B
ellittiche / funzioni ;770C
ellittici / integrali ;770C
ellittico / cilindro ;220D
ellittico / cono ;220D
ellittico / paraboloide ;220D
ellittico a due falde / iperboloide ;220D
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MATeXp
ellittico ad una falda / iperboloide ;220D
endomorfismo ;030D
enfasizzati / termini ;001
entrata di matrice / cofattore di una ;150D
enunciati / calcolo degli ;005A
enunciative duali / formule ;005A
enunciativi / maxterms ;005A
enunciativi / minterms ;005A
epimorfismo ;030D
equazioni alle derivate parziali, ossia PDE ;700
equazioni binomiche ;070G
equazioni biquadratiche ;070F
equazioni cubiche ;070E
equazioni di Cauchy-Riemann ;720A
equazioni di Delambre ;210D
equazioni di Napier ;210D
equazioni diﬀerenziali per le funzioni di Bessel ;770B
equazioni lineari e spazi vettoriali / sistemi di ;250D
equazioni lineari, ossia SLE / sistemi di ;150G
equazioni polinomiali / polinomi ed ;070
equazioni polinomiali ;070B
equazioni polinomiali con coeﬃcienti reali ;070C
equazioni quadratiche ;070D
equazioni quartiche ;070F
equilatero / triangolo ;200A
equivalenti -rnkcons / matrici ;150F
equivalenza / chiusura di ;020B
equivalenza tautologica ;005A
Erone / formule di ;200A
errori e sua complementare / funzione degli ;770E
esadecanioni ;280C
esaedro ;210A
esaedro regolare = cubo ;210A
esclusivo / or ;005A
esistenziale / quantificatore ;005B
espologtrigonometrici / integrali definiti di integrandi ;460E
esponenziale dei numeri complessi / forma ;110
esponenziali / antiderivate di integrandi con ;440D
esponenziali / integrali ;770E
esponenziali / integrali definiti di integrandi ;460B
esponenziali / sviluppi in serie di potenze per ;370B
esponenziali e logaritmi ;100
espressioni algebriche / sviluppi in serie di potenze di ;370A
espressioni trigonometriche / sviluppi in serie di potenze per ;370C
euclidei / spazi lineari ed ;250
euclideo / spazio ;250B
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Alberto Marini
Eulero / formule di ;110
Eulero / funzione totient di ;090B
Eulero / relazione di ;210A
Eulero / serie per numeri di Bernoulli e di ;350A
Eulero-Mascheroni / costante di ;300
falda / iperboloide ellittico ad una ;220D
falde / iperboloide ellittico a due ;220D
famiglie di curve ;520E
fattoriale ;040A
fattoriale crescente ;040A
fattoriale decrescente ;040A
fattoriale e dintorni ;040A
fattorizzazione mediante primi ;090B
fattorizzazione mediante primi ;90B
Fidia / numero di ;010
finite specifiche / sequenze ;050
finito / cilindro ;210B
finito / cono ;210B
fondamentale dell’algebra / teorema ;070B
forma esponenziale dei numeri complessi ;110
forma implicita / curve in ;520C
forma normale congiuntiva principale ;005A
forma normale disgiuntiva principale ;005A
forma parametrica / curve in ;520B
forma polare – trigonometrica dei numeri complessi ;110
forme quadratiche ;250F
formula di addizione per le armoniche sferiche ;760C
formula di Christoﬀel-Darboux ;760
formula di De Moivre ;110
formula di Rodrigues ;760A
formula predicativa ;005B
formula SAS dell’area ;005B
formule di approssimazione alla Stirling ;040A
formule di Cardano ;070E
formule di Erone ;200A
formule di Eulero ;110
formule di prostaferesi ;120A
formule enunciative duali ;005A
formule predicative ;005A
Fourier / proprietà della trasformata di ;650A
Fourier / trasformata di ;650
Fresnel / integrali di ;770E
funzione Beta ;770A
funzione caratteristica dei reali non negativi ;020E
funzione degli errori e sua complementare ;770E
funzione Gamma ;040A ;770A
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MATeXp
funzione Gamma e collegate ;770A
funzione intera ;720A
funzione olomorfa ;720A
funzione pavimento ;020E
funzione Psi ;770A
funzione segno ;020E
funzione soﬃtto ;020E
funzione totient di Eulero ;090B
funzioni y = f (x) / curve date da ;520A
funzioni analitiche ;720A
funzioni associate di Legendre ;760B
funzioni basilari sugli interi ;040
funzioni basilari sui reali ;020E
funzioni da integrali trascendenti / altre ;770E
funzioni da integrali trascendenti / altre ;770E
funzioni di Bessel J ;770B
funzioni di Bessel / equazioni diﬀerenziali per le ;770B
funzioni di Bessel / funzioni generatrici delle ;770B
funzioni di Bessel / relazioni di ricorrenza per le ;770B
funzioni di Bessel / sistemi ortogonali di ;770B
funzioni di Bessel ;770B
funzioni di Bessel cilindriche ;770B
funzioni di Bessel modificate ;770B
funzioni di Bessel sferiche ;770B
funzioni di Hankel ;770B
funzioni di Kelvin ;770B
funzioni di Weber-Neumann ;770B
funzioni ellittiche ;770C
funzioni generatrici delle funzioni di Bessel ;770B
funzioni iperboliche ;120C
funzioni iperboliche inverse ;120D
funzioni ipergeometriche 2 F1 / serie e ;740A
funzioni ipergeometriche confluenti / serie e ;740B
funzioni ipergeometriche generalizzate / serie e ;740C
funzioni olomorfe ;720A
funzioni trigonometriche ;120A
funzioni trigonometriche e collegate ;120
funzioni trigonometriche inverse ;120B
funzioni, relazioni / insiemi, ;020
Gamma / funzione ;040A
Gamma e collegate / funzione ;770A
Gauss / soluzione degli SLE mediante eliminazione di ;150H
Gegenbauer e ultrasferici / polinomi di ;760H
generale / cilindro ;210B
generale / triangoli in ;200A
generalizzate / serie e funzioni ipergeometriche ;740C
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Alberto Marini
generalizzazione universale ;005C
generatrice / retta ;210B
generatrici delle funzioni di Bessel / funzioni ;770B
geometria analitica 1 ;220
geometria analitica tridimensionale lineare ;220C
geometria dei solidi 1 ;210
geometria piana 1 ;200
geometria piana lineare ;220A
gradini / matrice a scaglioni – ;150F
grado / discriminante di una curva di secondo ;220B
grado / superfici di secondo ;220D
gruppo ;030D
gruppoide = magma ;030D
Hankel / funzioni di ;770B
Heavyside / scalino di ;020E
Heine-Borel / teorema di Pincherle- ;500
Hermite / polinomi di ;760E
hermitiana / matrice ;150C
icosaedro regolare ;210A
identità ;030A
illimitato / cono ;210B
illimitato unilatero / cono ;210B
immaginari puri / numeri ;110
immaginaria / unità ;110
implicazione / dimostrazione mediante ;005C
implicazione tautologica ;005A
implicita / curve in forma ;520C
impossibile / SLE ;150G
incentro di un triangolo ;200A
indefiniti / integrali ;420
indeterminate libere di uno SLE ;150G
indeterminato / SLE ;150G
indipendenti / linearmente ;250A
indiretta / dimostrazione ;005C
induzione / dimostrazione per ;005C
inerzia in 2D / centroidi e momenti di ;560A
inerzia in 3D / centroidi e momenti di ;560B
inferiore – superiore / matrice triangolare ;150B
inferiore / semireticolo ;030D
infinitesimale / curve piane e calcolo ;520
insieme / eliminazione da un ;020A
insieme degli interi positivi ;020D
insieme dei numeri algebrici ;020D
insieme dei numeri complessi ;020D ;110
insieme dei numeri complessi costruibili ;020D
insieme dei numeri interi ;020D
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MATeXp
insieme dei numeri naturali ;020D
insieme dei numeri razionali ;020D
insieme dei numeri reali ;020D
insieme dei numeri reali costruibili ;020D
insiemi / operazioni sugli ;020
insiemi numerici ;020E
insiemi, funzioni, relazioni ;020
integrale / coseno ;770E
integrale / seno ;770E
integrali ;400
integrali definiti ;460
integrali definiti di integrandi algebrici ;460A
integrali definiti di integrandi espologtrigonometrici ;460E
integrali definiti di integrandi esponenziali ;460B
integrali definiti di integrandi logaritmici ;460C
integrali definiti di integrandi trigonometrici ;460D
integrali di Fresnel ;770E
integrali ellittici ;770C
integrali esponenziali ;770E
integrali indefiniti ;420
integrali trascendenti / altre funzioni da ;770E
integrali trascendenti / altre funzioni da ;770E
integrandi algebrici
√ / integrali definiti di ;460A
integrandi con a2 x2 ± c2 / antiderivate di ;420E
√
integrandi con ax + b / antiderivate di ;420B
integrandi con a xn + b / antiderivate di ;420J
integrandi con a2 x2 ± c2 / antiderivate di ;420D
integrandi con ax + b / antiderivate di ;420A
integrandi con ax + b e cx + d / antiderivate di ;420C
integrandi con c2 − a2 x2 per a, c > 0 / antiderivate di ;420F
integrandi con x4 ± a4 / antiderivate di ;420I
integrandi con (co)tangente e (co)secante / antiderivate di ;440B
integrandi con a x2 + b x + c / antiderivate di ;420G
integrandi con x3 ± a3 / antiderivate di ;420H
integrandi con esponenziali / antiderivate di ;440D
integrandi con logaritmi / antiderivate di ;440E
integrandi con seno e,o coseno / antiderivate di ;440A
integrandi con trigonometriche inverse / antiderivate di ;440C
integrandi espologtrigonometrici / integrali definiti di ;460E
integrandi esponenziali / integrali definiti di ;460B
integrandi iperbolici e loro inverse / antiderivate di ;440F
integrandi logaritmici / integrali definiti di ;460C
integrandi trigonometrici / integrali definiti di ;460D
integrazione / regole di ;400B
integrazione / schemi di ;400A
intera / funzione ;720A
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
149
Alberto Marini
interi / divisibilità fra ;090A
interi / insieme dei numeri ;020D
interi / intervalli di ;020D
interi / numeri ;090
interi / somme di potenze di ;050D
interi positivi / insieme degli ;020D
interno / prodotto ;250B
interno / spazi con prodotto ;250B
intersezione ;020A
intervalli ;020D
intervalli di interi ;020D
intervalli di reali ;020D
inversa / matrice ;150E
inverse / antiderivate di integrandi con trigonometriche ;440C
inverse / antiderivate di integrandi iperbolici e loro ;440F
inverse / funzioni iperboliche ;120D
inverse / funzioni trigonometriche ;120B
inversione di matrici ;150E
invertibile / matrice ;150E
iperbole ;220B
iperbolica / argomento della cotangente ;120C
iperbolica / argomento della tangente ;120C
iperbolica / cotangente ;120C
iperbolica / tangente ;120C
iperboliche / funzioni ;120C
iperboliche inverse / funzioni ;120D
iperbolici e loro inverse / antiderivate di integrandi ;440F
iperbolico / argomento del coseno ;120C
iperbolico / argomento del seno ;120C
iperbolico / cilindro ;220D
iperbolico / coseno ;120C
iperbolico / paraboloide ;220D
iperbolico / seno ;120C
iperboloide ellittico a due falde ;220D
iperboloide ellittico ad una falda ;220D
ipercomplessi / quaternioni e altri numeri ;280
ipergeometriche 2 F1 / serie e funzioni ;740A
ipergeometriche confluenti / serie e funzioni ;740B
ipergeometriche generalizzate / serie e funzioni ;740C
ipergruppo ;030D
isomorfe / strutture ;030D
isomorfismo ;030D
isoscele / triangolo ;200A
istanziazione universale ;005C
Jacobi / polinomi di ;760G
Kelvin / funzioni di ;770B
150
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
Kronecker / delta di ;040
Laguerre / polinomi di ;760F
Laplace / proprietà della trasformata di ;660A
Laplace / trasformata di ;660
Laplace specifiche / antitrasformate di ;660C
Laplace specifiche / trasformate di ;660B
lati di un triangolo / assi dei ;200A
Legendre / funzioni associate di ;760B
Legendre / polinomi di ;760A
legge dei coseni ;200A
legge dei coseni su sfera ;210D
legge dei seni ;210D
legge delle tangenti ;200A
lemma di Schwarz ;720A
libere di uno SLE / indeterminate ;150G
limite / punto di accumulazione – di aderenza – ;500
limiti ;300
lineare / combinazione ;250A
lineare / geometria analitica tridimensionale ;220C
lineare / geometria piana ;220A
lineare / matrici e algebra ;150
lineare / spazio ;030D
lineari / trasformazioni ;250C
lineari / trasformazioni ;250F
lineari e spazi vettoriali / sistemi di equazioni ;250D
lineari ed euclidei / spazi ;250
lineari, ossia SLE / sistemi di equazioni ;150G
lineari: coeﬃcienti costanti / ODE ;600A
lineari: coeﬃcienti costanti / ODE ;600A
linearmente indipendenti ;250A
Liouville / teorema di ;720A
logaritmi / antiderivate di integrandi con ;440E
logaritmi / esponenziali e ;100
logaritmici / integrali definiti di integrandi ;460C
logica ;005
loop ;030D
lunetta ;200B
magma = gruppoide) ;030D
mantissa ;020E
Mascheroni / costante di Eulero- ;300
massimo comun divisore ;90A
massimo modulo / principio del ;720A
matrice / cofattore di una entrata di ;150D
matrice / determinante di una ;150D
matrice / pivot di una riga di ;150F
matrice / profilo di una ;150B
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070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
151
Alberto Marini
matrice / rango di una ;150F
matrice / traccia di una ;150C
matrice / trasposta di una ;150C
matrice a scaglioni – gradini ;150F
matrice antihermitiana ;150C
matrice antisimmetrica ;150C
matrice dei coeﬃcienti allargata di uno SLE ;150F
matrice dei coeﬃcienti di uno SLE ;150F
matrice diagonale ;150B
matrice hermitiana ;150C
matrice inversa ;150E
matrice invertibile ;150E
matrice permutativa ;150B
matrice quadrata / traccia di una ;150C
matrice quadrata ;150B
matrice simmetrica ;150C
matrice triangolare inferiore – superiore ;150B
matrici / inversione di ;150E
matrici / operazioni su ;150C
matrici / prodotto di ;150C
matrici / somma di ;150C
matrici 1 ;150B
matrici conformabili – moltiplicabili ;150C
matrici e algebra lineare ;150
matrici equivalenti -rnkcons ;150F
matrici: rango e riduzione a scaglioni ;150F
maxterms enunciativi ;005A
mediane di un triangolo ;200A
medie ;030E
metodi dimostrativi ;005C
minimi quadrati / approssimazione dei ;150I
minimo comune multiplo ;90A
minterms enunciativi ;005A
modificate / funzioni di Bessel ;770B
modulo / principio del massimo ;720A
modulo destro su anello ;030D
modulo di un numero complesso ;110
modulo sinistro su anello ;030D
modus ponens ;005C
modus tollens ;005C
moltiplicabili / matrici conformabili – ;150C
momenti di inerzia in 2D / centroidi e ;560A
momenti di inerzia in 3D / centroidi e ;560B
monoide ;030D
monomorfismo ;030D
morfismo ;030D
152
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
multinomiali e sviluppo del multinomio / coeﬃcienti ;060D
multinomio / coeﬃcienti multinomiali e sviluppo del ;060D
multiplo / minimo comune ;90A
Napier / equazioni di ;210D
Napier per triangoli sferici con angolo retto / regole di ;210D
naturali / insieme dei numeri ;020D
negazione ;005A
Neumann / funzioni di Weber- ;770B
noand ;005A
non costruttiva / dimostrazione ;005C
nor ;005A
norma di un vettore ;150A
normale congiuntiva principale / forma ;005A
normale disgiuntiva principale / forma ;005A
not and ;005A
not or ;005A / insieme dei numeri ;020D
numeri algebrici / insieme dei ;020D
numeri armonici ;770B
numeri complessi / campo dei ;110
numeri complessi / divisione tra due ;110
numeri complessi / forma esponenziale dei ;110
numeri complessi / insieme dei ;020D ;110
numeri complessi / operazioni sui ;110
numeri complessi / prodotto di due ;110
numeri complessi / somma di due ;110
numeri complessi ;110
numeri complessi costruibili / insieme dei ;020D
numeri complessi forma polare – trigonometrica dei ;110
numeri di Bernoulli e di Eulero / serie per ;350A
numeri immaginari puri ;110
numeri interi / insieme dei ;020D
numeri interi ;090
numeri ipercomplessi / quaternioni e altri ;280
numeri naturali / insieme dei ;020D
numeri primi ;090B
numeri razionali / insieme dei ;020D
numeri reali / insieme dei ;020D
numeri reali costruibili / insieme dei ;020D
numeriche / serie ;350
numerici / insiemi ;020E
numero complesso / coniugato di un ;110
numero complesso / modulo di un ;110
numero complesso ;110
numero di Fidia ;010
oblato / elissoide ;220D
octonioni / algebra degli ;280B
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070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
153
Alberto Marini
octonioni ;280B
ODE / equazioni diﬀerenziali lineari, ossia ;600
ODE lineari ;600
ODE lineari: coeﬃcienti costanti ;600A
olomorfa / funzione ;720A
olomorfe /
funzioni ;720A
omomorfismo ;030D
onda piana / sviluppo dell’ ;760C
operazioni algebriche ;030A
operazioni su matrici ;150C
operazioni sugli insiemi ;020A
operazioni sui numeri complessi ;110
or / not ;005A
or esclusivo ;005A
ordinarie, ossia ODE / equazioni diﬀerenziali ;600
ortocentro di un triangolo ;200A
ortogonali / sistema di polinomi ;760
ortogonali / vettori ;150A
ortogonali di funzioni di Bessel / sistemi ;770B
ottaedro regolare ;210A
ottaedro regolare ;210A
ovvia / relazione ;020B
parabola / segmento di ;220B
parabola ;220B
parabolico / cilindro ;220D
paraboloide ellittico ;220D
paraboloide iperbolico ;220D
parallelepipedo ;210A ;560B
parallelepipedo rettangolo = cuboide ;210A
parallelogramma ;200C
parametrica / curve in forma ;520B
particella / traiettoria di una ;570A
parziale / derivata ;610
parziali, ossia PDE / equazioni alle derivate ;700
pavimento / funzione ;020E
PDE / equazioni alle derivate parziali, ossia ;700
Peirce /prodotto di = prodotto di composizione ;020B
pentagono regolaree pentagramma ;200C
pentagramma / pentagono regolaree ;200C
permutativa / matrice ;150B
permutazione / segno di una ;150D
permutazioni ;050A
piana / sviluppo dell’onda ;760C
piana 1 / geometria ;200
piana lineare / geometria ;220A
154
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
piane e calcolo infinitesimale / curve ;520
piani in 3D / rette e ;220C
piano / rette del ;220A
Pincherle-Heine-Borel / teorema di ;500
piramide / tronco di ;210A
piramide ;210A
Pitagora / teorema di ;070B ;250B
pivot di una riga di matrice ;150F
platonici / solidi = poliedri regolari ;210A
polare – trigonometrica dei numeri complessi / forma ;110
polari / curve in coordinate ;520D
poliedri ;210A
poliedri regolari = solidi platonici ;210A
poligoni ;200D
polilogaritmi / dilogaritmo e ;770D
polinomi / decomposizioni dei ;070H
polinomi / prodotto di ;070A
polinomi / somma di ;070A
polinomi ;070A
polinomi di Cebyshev ;760D
polinomi di Gegenbauer e ultrasferici ;760H
polinomi di Hermite ;760E
polinomi di Jacobi ;760G
polinomi di Laguerre ;760F
polinomi di Legendre ;760A
polinomi e loro decomposizioni / quozienti di ;070D
polinomi ed equazioni polinomiali ;070
polinomi ortogonali / sistema di ;760
polinomiali / equazioni ;070B
polinomiali / polinomi ed equazioni ;070
polinomiali con coeﬃcienti reali / equazioni ;070C
polinomio / zero – radice di un ;070A
ponens / modus ;005C
positivi / insieme degli interi ;020D
potenze / sviluppi in serie di ;370
potenze ;030C
potenze di espressioni algebriche / sviluppi in serie di ;370A
potenze di interi / somme di ;050D
potenze e radici ;030C
potenze per esponenziali / sviluppi in serie di ;370B
potenze per espressioni trigonometriche / sviluppi in serie di ;370C
predicati / calcolo dei ;005B
predicativa / formula ;005B
primi / fattorizzazione mediante ;090B
primi / numeri ;090B
principale / forma normale congiuntiva ;005A
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070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
155
Alberto Marini
principale / forma normale disgiuntiva ;005A
principio del massimo modulo ;720A
prisma ;210A
prodotto di composizione = prodotto di Peirce ;020B
prodotto di due numeri complessi ;110
prodotto di matrici ;150C
prodotto di Peirce = prodotto di composizione ;020B
prodotto di polinomi ;070A
prodotto interno / spazi con ;250B
prodotto scalare = prodotto interno ;250B
profilo di una matrice ;150B
progressioni ;030F
prolato / elissoide ;220D
proprietà della trasformata di Fourier ;650A
proprietà della trasformata di Laplace ;660A
proprietà della trasformata -z ;670A
prostaferesi / formule di ;120A
pseudoanello ;030D
Psi / funzione ;770A
punto di accumulazione – di aderenza – limite ;500
puri / numeri immaginari ;110
quadranze / uguaglianza delle quattro ;270A
quadranze / uguaglianza delle tre ;270A
quadrata / matrice ;150B
quadrata / traccia di una matrice ;150C
quadrati / approssimazione dei minimi ;150I
quadratiche / equazioni ;070D
quadratiche / forme ;250F
quadratici / soluzione degli SLE ;150I
quadrato ;200C
quadrilateri ;200C
quadrilatero secante ;200C
quadrilatero tangente ;200C
quantificatore esistenziale ;005B
quantificatore universale ;005B
quartiche / equazioni ;070F
quasigruppo ;030D
quaternioni / algebra unitale dei ;280A
quaternioni ;280A
quaternioni e altri numeri ipercomplessi ;280
quozienti di polinomi e loro decomposizioni ;070H
radice di un polinomio / zero – ;070A
radici / potenze e ;030C
radici ;030C
rango di una matrice ;150F
rango e riduzione a scaglioni / matrici: ;150F
156
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
razionale / trigonometria ;270
razionali / insieme dei numeri ;020D
reali / equazioni polinomiali con coeﬃcienti ;070C
reali / funzioni basilari sui ;020E
reali / insieme dei numeri ;020D
reali / intervalli di ;020D
reali costruibili
regola dei segni di Cartesio ;070C
regola di Cramer ;150I
regolare / dodecaedro ;210A
regolare / esaedro ;210A
regolare / icosaedro ;210A
regolare / ottaedro ;210A
regolare / ottaedro ;210A
regolare / tetraedro ;210A
regolare / tetraedro ;210A
regolaree e pentagramma / pentagono ;200C
regolari / poliedri ;210A
regole di derivazione ;320B
regole di integrazione ;400B
regole di Napier per triangoli sferici con angolo retto ;210D
relazione antisimmetrica ;020B
relazione assurda ;020B
relazione di Eulero ;210A
relazione ovvia ;020B
relazione riflessiva ;020B
relazione simmetrica ;020B
relazione transitiva ;020B
relazione trasposta ;020B
relazioni / insiemi, funzioni, ;020
relazioni di ricorrenza per le funzioni di Bessel ;770B
reticolo ;030D
reticolo di Boole ;030D
retta generatrice ;210B
rettangolo / parallelepipedo ;210A
rettangolo ;200C ;560A
rette del piano ;220A
rette e piani in 3D ;220C
retto / cilindro circolare ;210B
retto / cono circolare ;210B
retto / regole di Napier per triangoli sferici con angolo 210D
retto / tronco di cono circolare ;210B
ricorrenza per le funzioni di Bessel / relazioni di ;770B
riduzione a scaglioni / matrici: rango e ;150F
Riemann / equazioni di Cauchy- ;720A
riflessiva / chiusura ;020B
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070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
157
Alberto Marini
riflessiva / relazione ;020B
riflessivo-transitiva / chiusura ;020B
riga / vettori colonna e ;150A
riga di matrice / pivot di una ;150F
ripetizione / combinazioni con ;050A
ripetizione / combinazioni senza ;050A
ripetizione / disposizioni con ;050A
ripetizione / disposizioni senza ;050A
risolvente cubica ;070F
rivoluzione / solidi di ;550
-rnkcons / matrici equivalenti ;150F
Rodrigues / formula di ;760A
rombo ;200C
rotazioni ;250G
SAS dell’area / formula ;005B
scaglioni – gradini / matrice a ;150F
scaglioni / matrici: rango e riduzione a ;150F
scalare / prodotto ;250B
scalino di Heavyside ;020E
schemi di integrazione ;400A
Schwarz / disuguaglianza di Cauchy- ;250B
Schwarz / lemma di ;720A
secante / antiderivate di integrandi con (co)tangente e (co) ;440B
secante / quadrilatero ;200C
secante ;120A
secondo grado / discriminante di una curva di ;220B
secondo grado / superfici di ;220D
segmento di parabola ;220B
segmento sferico ;210C
segni di Cartesio / regola dei ;070C
segno / funzione ;020E
segno di una permutazione ;150D
semianello ;030D
semifattoriale ;040A
semigruppo ;030D
semireticolo inferiore ;030D
semireticolo superiore ;030D
seno ;120A
seno integrale ;770E
seno iperbolico / argomento del ;120C
seno iperbolico ;120C
sequenze combinatorie basilari ;050A
sequenze finite specifiche ;050
serie di potenze / sviluppi in ;370
serie di potenze di espressioni algebriche / sviluppi in ;370A
serie di potenze per esponenziali / sviluppi in ;370B
158
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
serie di potenze per espressioni trigonometriche / sviluppi in ;370C
serie e funzioni ipergeometriche 2 F1 ;740A
serie e funzioni ipergeometriche confluenti ;740B
serie e funzioni ipergeometriche generalizzate ;740C
serie numeriche ;350
serie per numeri di Bernoulli e di Eulero ;350A
settore circolare ;200B ;560A
settore sferico ;210C
sezione aurea ;010
sezioni coniche ;220B
sfera / legge dei coseni su ;210D
sfera ;220D ;560B
sfera cava ;560B
sfera in n dimensioni ;210D
sfere ;210C
sferica / calotta ;210C
sferiche / armoniche ;760C
sferiche / formula di addizione per le armoniche ;760C
sferiche / funzioni di Bessel ;770B
sferici / soluzioni dei triangoli ;210D
sferici / triangoli ;210D
sferici con angolo retto / regole di Napier per triangoli ;210D
sferico / segmento ;210C
sferico / settore ;210C
sillogismo disgiuntivo ;005C
simmetrica / chiusura ;020B
simmetrica / matrice ;150C
simmetrica / relazione ;020B
sinistro su anello / modulo ;030D
sistema di polinomi ortogonali ;760
sistemi di equazioni lineari e spazi vettoriali ;250D
sistemi di equazioni lineari, ossia SLE ;150G
sistemi ortogonali di funzioni di Bessel ;770B
SLE / indeterminate libere di uno ;150G
SLE / matrice dei coeﬃcienti allargata di uno ;150F
SLE / matrice dei coeﬃcienti di uno ;150F
SLE / sistemi di equazioni lineari, ossia ;150G
SLE / vettore di termini noti di uno ;150F
SLE determinato ;150G
SLE impossibile ;150G
SLE indeterminato ;150G
SLE mediante eliminazione di Gauss / soluzione degli ;150H
SLE quadratici / soluzione degli ;150I
soﬃtto / funzione ;020E
solidi 1 / geometria dei ;210
solidi di rivoluzione ;550
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
159
Alberto Marini
solidi platonici = poliedri regolari ;210A
solido / angolo = sterangolo ;210C
soluzione degli SLE mediante eliminazione di Gauss ;150H
soluzione degli SLE quadratici ;150I
soluzioni dei triangoli ;200A
soluzioni dei triangoli sferici ;210D
somma di due numeri complessi ;110
somma di matrici ;150C
somma di polinomi ;070A
somme di potenze di interi ;050D
sottoinsieme ;020A
sottospazio vettoriale ;250A
sovrainsieme ;020A
spazi con prodotto interno ;250B
spazi lineari ed euclidei ;250
spazi vettoriali / sistemi di equazioni lineari e ;250D
spazi vettoriali ;250
spazi vettoriali ;250A
spazio euclideo ;250B
spazio lineare = spazio vettoriale ;030D
spazio reale finitodimensionale ;500
spazio vettoriale = spazio lineare ;030D ;250A
specie di strutture algebriche ;030D
specifiche / antitrasformate di Laplace ;660C
specifiche / sequenze finite ;050
specifiche / trasformate di Laplace ;660B
specifiche / trasformate -z ;670B
spread ;270A
sterangolo = angolo solido ;210C
Stirling / formule di approssimazione alla ;040A
strutture algebriche / specie di ;030D
strutture isomorfe ;030D
successioni / convoluzione di ;660A
superfici di secondo grado ;220D
superiore / matrice triangolare inferiore – ;150B
superiore / semireticolo ;030D
sviluppi in serie di potenze ;370
sviluppi in serie di potenze di espressioni algebriche ;370A
sviluppi in serie di potenze per esponenziali ;370B
sviluppi in serie di potenze per espressioni trigonometriche ;370C
sviluppo del binomio / coeﬃcienti binomiali e ;040B
sviluppo del multinomio / coeﬃcienti multinomiali e ;060D
sviluppo dell’onda piana ;760C
tangente / quadrilatero ;200C
tangente ;120A
tangente e (co)secante antiderivate di integrandi con (co) ;440B
160
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MATeXp
tangente iperbolica / argomento della ;120C
tangente iperbolica ;120C
tangenti / legge delle ;200A
tautologia ;005A
tautologica / equivalenza ;005A
tautologica / implicazione ;005A
tavole di verità ;005A
teorema di Bolzano-Weierstrass ;500
teorema di Liouville ;720A
teorema di Pincherle-Heine-Borel ;500
teorema di Pitagora ;070B ;250B
teorema fondamentale dell’algebra ;070B
termini enfasizzati ;001
termini noti di uno SLE / vettore di ;150F
terreno ;030D
tetraedro ;210A
tollens / modus ;005C
topologia di R×d ;500A
toro circolare ;210C
totient di Eulero / funzione ;090B
traccia di una matrice ;150C
traccia di una matrice quadrata ;150C
traiettoria di una particella ;570A
transitiva / chiusura ;020B
transitiva / chiusura riflessivo- ;020B
transitiva / relazione ;020B
trapezio ;200C
trascendenti / altre funzioni da integrali ;770E
trasformata di Fourier / proprietà della ;650A
trasformata di Fourier ;650
trasformata di Laplace / proprietà della ;660A
trasformata di Laplace ;660
trasformata -z / proprietà della ;670A
trasformata -z ;670
trasformate di Laplace specifiche ;660B
trasformate -z specifiche ;670B
trasformazioni lineari ;250C
trasposta / relazione ;020B
trasposta di una matrice ;150C
triangolare / disuguaglianza ;250B
triangolare inferiore – superiore / matrice ;150B
triangoli / criteri di uguaglianza fra ;200A
triangoli / soluzioni dei ;200A
triangoli ;200A
triangoli congruenti ;200A,
triangoli in generale ;200A
2016-04-11
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
161
Alberto Marini
triangoli sferici / soluzioni dei ;210D
triangoli sferici ;210D
triangoli sferici con angolo retto / regole di Napier per ;210D
triangolo / altezze di un ;200A
triangolo / assi dei lati di un ;200A
triangolo / bisettrici degli angoli interni di un ;200A
triangolo / centroide di un ;200A
triangolo / circocentro di un ;200A
triangolo / incentro di un ;200A
triangolo / mediane di un ;200A
triangolo / ortocentro di un ;200A
triangolo ;560A
triangolo equilatero ;200A
triangolo isoscele ;200A
tridimensionale lineare / geometria analitica ;220C
trigonometria razionale ;270
trigonometrica dei numeri complessi / forma polare – ;110
trigonometriche / funzioni ;120A
trigonometriche / sviluppi in serie di potenze per espressioni ;370C
trigonometriche e collegate / funzioni ;120
trigonometriche inverse / antiderivate di integrandi con ;440C
trigonometriche inverse / funzioni ;120B
trigonometrici / integrali definiti di integrandi ;460D
trilogaritmo ;770D
tronco di cono ;210B
tronco di cono circolare retto ;210B
tronco di piramide ;210A
uguaglianza delle quattro quadranze ;270A
uguaglianza delle tre quadranze ;270A
uguaglianza fra triangoli / criteri di ;200A
uguaglianze di Viete ;070A
ultrasferici / polinomi di Gegenbauer e ;760H
unilatero / cono illimitato ;210B
unione ;020A
unità immaginaria ;110
unitale dei quaternioni / algebra ;280A
universale / generalizzazione ;005C
universale / istanziazione ;005C
universale / quantificatore ;005B
universo ;020A
valore assoluto ;020E
verità / tavole di ;005A
vettore / norma di un ;150A
vettore di termini noti di uno SLE ;150F
vettori colonna e riga ;150A
vettori ortogonali ;150A
162
070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
2016-04-11
MATeXp
vettoriale / sottospazio ;250A
vettoriale / spazio ;030D ;250A
vettoriali / sistemi di equazioni lineari e spazi ;250D
vettoriali / spazi ;250A
Viete / uguaglianze di ;070B
Weber-Neumann / funzioni di ;770B
Weierstrass / teorema di Bolzano- ;500
-z / proprietà della trasformata ;670A
-z / trasformata ;670
-z specifiche / trasformate ;670B
zero – radice di un polinomio ;070A
Le varie componenti di questo testo sono accessibili in http://www.mi.imati.cnr.it/∼alberto
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070: Prontuario di matematica: formule, schemi operativi, quadri sinottici
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