Circuiti Elettrici
• Corrente elettrica
• Legge di Ohm
• Elementi di circuito: resistori, generatori di differenza di potenziale
• Leggi di Kirchhoff
• Elementi di circuito: voltmetri, amperometri, condensatori
• Circuito RC
Corrente elettrica e cariche in movimento
Con corrente elettrica si intende un
moto ordinato di carica elettrica,
attraverso un mezzo conduttore.
La corrente è definita come carica per
unità di tempo che attraversa una data
superficie e si misura in Ampère (A)
• I = ∆Q/∆t, da cui 1 A = 1 C/s
Nei conduttori ”normali” (metalli) la
corrente è dovuta al moto di elettroni,
che sotto un campo elettrico esterno
~ acquistano una velocità media ~vd.
E
Da notare che le cariche libere sono sempre in
moto, ma in assenza di campo elettrico esterno
il loro moto è disordinato e ~vd = 0).
Corrente elettrica II
• Se la corrente è generata da elettroni in moto, il verso della corrente
è opposto alla velocità media degli elettroni!
• Esistono anche correnti di cariche positive, come ad esempio ioni
positivi negli elettroliti (sali disciolti in acqua). E’ bene sapere che
in certi conduttori la corrente si comporta come se fosse dovuta a
cariche positive, dette lacune, anche se le cariche libere sono elettroni!
Relazione fra velocità media ~vd e
corrente: I = ∆Q/∆t da cui
I = (nvd∆tA)/∆t = nAvd
(n =cariche per unità di volume)
Corrente Continua e Alternata
• Corrente Continua (CC o DC, Direct Current):
corrente il cui verso non varia nel tempo. E’ la corrente prodotta
dalle batterie, quella che scorre nei dispositivi elettronici.
• Corrente Alternata (CA o AC, Alternating Current):
il verso della corrente varia periodicamente nel tempo, con una legge
I = I0 sin(2πf t), dove f è la frequenza. E’ la corrente prodotta dalle
centrali elettriche, con frequenza f = 50 Hz in Europa, f = 60 Hz
negli Stati Uniti.
Nel seguito ci occuperemo solo di circuiti
a corrente continua, alimentati da una
batteria o generatore di differenza di
potenziale (o più d’una, o anche nessuna)
Legge di Ohm
Perché ci sia un campo elettrico E che
causa una corrente, ci deve essere una
differenza di potenziale V fra i capi di
un conduttore: V = Vb − Va = El
Qual è la relazione fra differenza di potenziale V e corrente I? La
risposta dipende dal materiale e dalle condizioni in cui è usato, ma per
un grandissimo numero di casi vale la Legge di Ohm:
V = IR
dove R è un coefficiente (positivo) detto resistenza, che dipende dal
materiale e dalla geometria del conduttore.
La resistenza R si misura in V/A, ovvero Ohm (Ω): 1 Ω = 1 V/A.
Notare che la legge di Ohm implica proporzionalità fra velocità e campo elettrico:
vd ∝ E, conseguenza dei continui urti delle cariche con gli atomi del conduttore.
Resistori
Si osserva (e si può dimostrare) che per
una geometria come quella mostrata in
ρl
figura, la resistenza vale R = ,
A
dove ρ dipende solo dalle caratteristiche del materiale. ρ può variare di
parecchi ordini di grandezza fra i migliori e i peggiori conduttori.
Un elemento tipico di circuito è il
cosidetto resistore, o resistenza.
Un
codice a barre colorate ne indica il valore
R e la sua tolleranza (10%, 5%,...). Un
resistore è indicato dal simbolo a destra.
Resistori tipicamente usati in circuiti elettronici variano da pochi Ω a
migliaia di Ω (kiloohm, kΩ), fino al milione di Ω (megaohm, Ω).
Generatori di differenza di potenziale
Perché una corrente continui a circolare
in un circuito occorre la presenza di un
generatore di differenza di potenziale, o
d.d.p.: un dispositivo (una batteria) che
tramite reazioni elettrochimiche fornisce
energia alle cariche.
Il circuito essenziale qui sopra: una
resistenza connessa ad un generatore
di d.d.p., è schematizzato qui a
destra. Notate il simbolo convenzionale il
generatore di d.d.p.: il lato marcato con
+ si trova ad un potenziale più alto di
∆V (positivo) del lato –
Analisi di un circuito elementare
• La corrente I scorre da dove il
potenziale è alto a dove è basso...
• ...gli elettroni fanno il percorso inverso!
ma non ce ne curiamo: conviene
scegliere il senso di I come in figura.
• Anche i collegamenti fra i vari elementi di circuiti (i fili metallici)
hanno una resistenza, ma di solito è trascurabile.
• Anche la batteria è un conduttore, ma ha una piccola resistenza
interna, nulla solo per un generatore ideale; trascuriamo anche questa.
Se nota, la resistenza interna può essere aggiunta al circuito in serie alla batteria.
• Se R è la resistenza, la corrente I = ∆V /R, per la legge di Ohm.
Il potenziale in a è ∆V più alto che in c.
Potenza dissipata da una resistenza
La parola ”resistenza” suggerisce ”attrito”, quindi ”energia dissipata”.
In effetti, se una carica ∆Q attraversa una differenza di potenziale V
nel tempo ∆t, c’è una perdita di energia potenziale V ∆Q e quindi una
potenza dissipata W :
∆Q
W =V
= IV.
∆t
Tale energia è di fatto fornita dalla batteria e va a finire in energia
termica (cosı̀ funzionano le ”resistenze” degli scalda-acqua elettrici).
Sfruttando la legge di Ohm si può scrivere anche
2
V
W = I 2R =
.
R
Data una resistenza R, la potenza dissipata in essa è quindi proporzionale
al quadrato della corrente che vi scorre.
Resistenze in serie
Due (o più) resistenze in serie equivalgono ad una singola resistenza il
cui valore è la somma dei valori delle singole resistenze:
La dimostrazione è immediata: basta osservare che per le correnti I1 e
I2 attraverso R1 e R2 vale I1 = I2 = I e che V = Va − Vc = V1 + V2,
dove V1 = Va −Vb = IR1 e V2 = Vb −Vc = IR2, da cui V = I(R1 +R2).
Esercizio: dimostrare che la potenza dissipata è data anche in questo
caso dalla formula trovata in precedenza: W = I 2Req .
Leggi di Kirchhoff
Come risolvere (ovvero determinare le
correnti in tutti gli elementi) circuiti più
complicati, come questo in figura, formato
da più maglie (percorsi chiusi in un circuito
elettrico)?
Identifichiamo i nodi (punti nei quali convergono tre o più tratti di
conduttore) e i rami (tratti di collegamento tra nodi). Leggi di Kirchhoff:
1. La somma delle correnti che entrano in un nodo è uguale alla somma
delle correnti che escono dal nodo (legge dei nodi)
2. La somma algebrica delle cadute di potenziale su di un circuito chiuso
in un giro completo è nulla (legge delle maglie)
Leggi di Kirchhoff (2)
• La legge dei nodi esprime la conservazione
della carica elettrica: la carica non può
accumularsi nel nodo, quanta ne entra
tanta ne esce! Nell’esempio in figura,
un analogo idraulico, con I1 assunta
entrante, I2 e I3 uscenti.
Non è necessario scegliere il verso ”giusto”: se si
trattano le equazioni in modo consistente con il
verso scelto la direzione finale della corrente sarà
determinata dal suo segno.
• La legge delle maglie esprime il carattere conservativo del campo
elettrico: l’integrale di linea del campo (ovvero la somma delle cadute
di potenziale) su di un percorso chiuso deve essere nullo!
Leggi di Kirchhoff (3)
• La caduta di potenziale attraverso un
elemento di circuito non è altro che la
differenza di potenziale ai capi. Nelle
figure a lato, ∆V = Vb − Va
• Per le batterie, la caduta di potenziale è
come in figura.
• Per le resistenze, dipende dalla scelta della
direzione della corrente come in figura.
• Attenzione al segno corretto!
Resistenze in parallelo
Una semplice applicazione della legge dei nodi ci dice che due resistenze
R1, R2 in parallelo sono equivalenti ad una resistenza equivalente Req
data da
1
1
1
R1R2
=
+ , ovvero Req =
Req R2 R2
R1 + R2
Da I = I1 +I2 e V = I1R1 = I2R2 si trova I1 = IR2/(R1 +R2) e I2 = IR1/(R1 +R2).
Esercizio 1: generalizzare il risultato a tre o più resistenze.
Esercizio 2: dimostrare che anche in questo caso W = I 2Req .
Resistenze in serie e in parallelo
In molti casi è possibile risolvere un
circuito sfruttando le regole per le
resistenze in serie e in parallelo, senza
bisogno di considerare esplicitamente
le leggi di Kirchhoff.
Esempio in figura: determinazione
della resistenza equivalente fra a e c
per un sistema di resistenze in serie e
in parallelo.
Fate attenzione a non sommare
resistenze, Ri, con quantità come
1/Rj che resistenze non sono !!!
Condensatori
Un altro elemento di circuito molto comune è il
•
condensatore, già visto nella lezione scorsa.
• Il condensatore è caratterizzato dalla seguente relazione fra potenziale
Q
e carica immagazzinata: V =
C
• Il condensatore non conduce corrente, a meno che non sia guasto! Il
condensatore accumula carica, di segno opposto sulle due armature
Z
• Relazione fra carica e corrente:
t
Q(t) =
I(t0)dt0 , oppure
−∞
dQ
= I . Le leggi di Kirchhoff rimangono valide, ma producono
dt
equazioni differenziali assai più complicate da risolvere.
Condensatori in parallelo
Per due condensatori C1 e C2 in parallelo, abbiamo V1 = V2 e Q1 = C1V , Q2 = C2V ,
da cui Q = Q1 + Q2 = (C1 + C2)V , ovvero Ceq = C1 + C2.
Condensatori in serie
In questo caso, abbiamo che Q1 = Q2 = Q da cui V1 = Q/C1, V2 = Q/C2, da cui
V = V1 + V2 = Q(1/C1 + 1/C2), ovvero 1/Ceq = 1/C1 + 1/C2.
Notate come i condensatori in serie si comportino come le resistenze in
parallelo, e viceversa.
Amperometri e Voltmetri
• Un amperometro misura la corrente che scorre
in un circuito. Deve essere montato in serie.
Per non perturbare il sistema sotto misura,
l’amperometro ideale dovrebbe avere resistenza
interna nulla; di fatto gli amperometri reali
hanno resistenza interna finita ma piccola.
• Un voltmetro misura la differenza di potenziale
fra due punti di un circuito. Deve essere
montato in parallelo.
Per non perturbare
il sistema sotto misura, il voltmetro ideale
dovrebbe avere resistenza interna infinita; di
fatto i voltmetri reali hanno una resistenza
interna finita ma grande.
Circuito RC
Consideriamo il circuito RC
qui accanto: quando si chiude
l’interruttore, una carica q(t)
si accumula nel condensatore,
dq
inizia
una corrente I(t) =
dt
a scorrere.
q(t)
dq(t)
q
+R
= V.
Per la legge di Kirchhoff: V − − RI = 0, ovvero
C
C
dt
La soluzione è somma di una soluzione particolare: q(t) = V C ≡ Q, e della soluzione
generale dell’equazione omogenea (cioè con V = 0) associata: q(t) = q0e−t/(RC).
Condizioni iniziali: q(t) = V C + q0 = 0, da cui
q(t) = Q 1 − e
−t/(RC)
,
Q −t/(RC)
I(t) =
e
.
RC
Carica di un condensatore
La carica presente sul condensatore tende al valore
limite Q = CV , con un tempo caratteristico τ =
RC (in s se R è in Ohm, C in Farad):
q(t) = Q 1 − e−t/τ
La corrente parte da un valore iniziale I0 =
Q/(RC) = V /R (come in assenza del
condensatore) per poi decadere esponenzialmente
a 0 a mano a mano che il condensatore si carica:
V −t/τ
I(t) = e
.
R
Attenzione: nessuna corrente attraversa le lastre
del condensatore!
Scarica di un condensatore
Consideriamo ora un circuito come in figura.
Cosa succede quando si chiude l’interruttore?
q(t)
Per la legge di Kirchhoff: RI(t) +
= 0, ovvero
C
dq(t) q(t)
+
= 0, che ha come soluzione:
dt
RC
q(t) = Qe−t/τ ,
τ = RC
dove Q è la carica iniziale al tempo t = 0. Per
la corrente:
I(t) = −I0e
−t/τ
,
Q
.
I0 =
RC
Il segno negativo indica che la direzione della corrente durante il processo di scarica è
opposta a quella durante il processo di carica.
