Numeri Primi

Numeri Primi
Crittografia
Numeri naturali
Numero primo
Ricerca di numeri primi
Fattorizzazione
Numeri interi
Struttura di Z
Dominio
primo => irriducibile
p=ab p|a a=px p=pxb p(1-xb)=0
Dominio => 1=xb => x invertibile
Z[i 5 ]
2 irriducibile ma non primo
Norma
Esistenza del MCD
Strutture algebriche
Gruppo
Anello
Campo
Crittografia simmetrica
Cifrario di Cesare
Congruenze e classi di resto
Definizione operazioni in Zn
Cifrari affini
Le applicazioni lineari sono
biettive?
Cifrari polialfabetici
Probabilità
Numeri primi
Classi di resto mod n
Insiemi finiti
Insiemi infiniti e biezioni
Cardinalita’ |N|=|Z|<|R|
Il cifrario di Cesare
Esempio: chiave=2
Chiaro:
ABCDEFGHILMNOPQRSTUVZ
Cifrato:
CDEFGHILMNOPQRSTUVZAB
Quindi la parola “CIAO”, diventa “EMCQ”.
Basta sapere che la chiave è 2 per
scambiarsi messaggi cifrati.
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Sicurezza
Quanti cifrari di
Cesare? 26 o 26! ?
Formula di Stirling
I polialfabetici sono
più sicuri
Chiavi
Principio di
Kerckhoffs
n
n!≈ 2πn  
e
n
Cifrario affine
e(x)=ax+b mod 26
È iniettiva?
y=ax mod 26 ha un’ unica soluzione?
Equazioni mod n
e(x)=4x+7 è una funzione “utile”?
Provare con x e x+13
y=ax mod 26 ha un’ unica soluzione,
per ogni y, se e solo se MCD(a,26)=1
Chiavi possibili
Possibili a:
1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25
Possibili b:
ogni elemento di Z26
Quindi 12x26=312 possibili chiavi, cioè
mφ (m )
Vigenère
Messaggio in chiaro + chiave = messaggio
cifrato
numero segreto
(chiave)
da toda todatod
(cifrato) q u f s u o l s j r x h r
(in chiaro)
Kasiski
sequenze di caratteri identiche poste ad una
certa distanza.
se due lettere del testo in chiaro sono poste
ad una distanza pari alla lunghezza della
chiave (od un suo multiplo)…
La lunghezza della chiave è il M.C.D. tra le
distanze tra sequenze ripetute, o al più un
suo multiplo.
Il messaggio equivale a n messaggi intercalati
cifrati con un cifrario di Cesare.
Esempio
Testo in chiaro – Chiave - cifrato
ARRIVANOIRINFORZI
FABIOFAB IOFABIOFA
FRSQJFNPQFNNGWFEI
Testo cifrato
tabulazione
Scelta
Fra tutti i sottomultipli si sceglie il
periodo 7.
Non si considera 31
Enigma
schema