Numeri Primi Crittografia Numeri naturali Numero primo Ricerca di numeri primi Fattorizzazione Numeri interi Struttura di Z Dominio primo => irriducibile p=ab p|a a=px p=pxb p(1-xb)=0 Dominio => 1=xb => x invertibile Z[i 5 ] 2 irriducibile ma non primo Norma Esistenza del MCD Strutture algebriche Gruppo Anello Campo Crittografia simmetrica Cifrario di Cesare Congruenze e classi di resto Definizione operazioni in Zn Cifrari affini Le applicazioni lineari sono biettive? Cifrari polialfabetici Probabilità Numeri primi Classi di resto mod n Insiemi finiti Insiemi infiniti e biezioni Cardinalita’ |N|=|Z|<|R| Il cifrario di Cesare Esempio: chiave=2 Chiaro: ABCDEFGHILMNOPQRSTUVZ Cifrato: CDEFGHILMNOPQRSTUVZAB Quindi la parola “CIAO”, diventa “EMCQ”. Basta sapere che la chiave è 2 per scambiarsi messaggi cifrati. 7 Sicurezza Quanti cifrari di Cesare? 26 o 26! ? Formula di Stirling I polialfabetici sono più sicuri Chiavi Principio di Kerckhoffs n n!≈ 2πn e n Cifrario affine e(x)=ax+b mod 26 È iniettiva? y=ax mod 26 ha un’ unica soluzione? Equazioni mod n e(x)=4x+7 è una funzione “utile”? Provare con x e x+13 y=ax mod 26 ha un’ unica soluzione, per ogni y, se e solo se MCD(a,26)=1 Chiavi possibili Possibili a: 1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25 Possibili b: ogni elemento di Z26 Quindi 12x26=312 possibili chiavi, cioè mφ (m ) Vigenère Messaggio in chiaro + chiave = messaggio cifrato numero segreto (chiave) da toda todatod (cifrato) q u f s u o l s j r x h r (in chiaro) Kasiski sequenze di caratteri identiche poste ad una certa distanza. se due lettere del testo in chiaro sono poste ad una distanza pari alla lunghezza della chiave (od un suo multiplo)… La lunghezza della chiave è il M.C.D. tra le distanze tra sequenze ripetute, o al più un suo multiplo. Il messaggio equivale a n messaggi intercalati cifrati con un cifrario di Cesare. Esempio Testo in chiaro – Chiave - cifrato ARRIVANOIRINFORZI FABIOFAB IOFABIOFA FRSQJFNPQFNNGWFEI Testo cifrato tabulazione Scelta Fra tutti i sottomultipli si sceglie il periodo 7. Non si considera 31 Enigma schema