Serie 31: Elettrodinamica VI Esercizio 3 Effetto Hall

FAM
Serie 31: Elettrodinamica VI
C. Ferrari
Esercizio 1 Potenza della forza magnetica e forza magnetica
1. Determina la potenza sviluppata dalla forza magnetica.
2. A quale forza magnetica è soggetta una particella carica dotata di velocità
parallela al vettore campo magnetico?
3. Un elettrone si muove con la velocità di 5 · 106 m/s nel piano xy formando un
angolo di 30◦ con l’asse y e 60◦ con l’asse x. Un campo magnetico di 1,5 T è
nella direzione y positiva. Trova la forza che agisce sull’elettrone.
Esercizio 2 Forza di Lorentz
Un elettrone è accelerato da una differenza di potenziale di 1,0 kV e si muove verso
una regione compresa tra due piastre piane parallele separate da una distanza di
20 mm. Tra le piastre esiste una differenza di potenziale di 100 V. Se l’elettrone
entra nella regione muovendosi perpendicolarmente al campo elettrico fra le piastre,
quale campo magnetico, perpendicolare sia al percorso dell’elettrone sia al campo
elettrico, è necessario affinché l’elettrone viaggi in linea retta?
Esercizio 3 Effetto Hall
Considera la placca metallica della figura qui sotto, che è attraversata da una corrente I nella direzione dell’asse y i cui elettroni hanno una velocità di deriva vd . Sia
d la larghezza della placca (lungo l’asse x) e δ il suo spessore.
elettrone
~
B
y
x
1
1. Indica qualitativamente come sono deviati gli elettroni che generano la corrente
elettrica I e verifica che questa deviazione porta alla creazione di un campo
elettrico nella direzione x.
2. Dopo un certo tempo si stabilisce una situazione di equilibrio, stabilisci che è
caratterizzata da
F~m = −F~el =⇒ evd B = eE
in cui lungo l’asse x si ha una differenza di potenziale elettrico, chiamata
differenza di potenziale Hall, ϕH = Ed.
3. Utilizzando l’esercizio 2 della serie 6, verifica che la densità di elettroni di
conduzione n vale
BI
n=
.
ϕH δe
4. Determina vd e n per la seguente situazione: d = 1 cm, δ = 10 µm, lunghezza
4 cm I = 3,0 A, B = 1,5 T e si misura ϕH = 10 µV.
Esercizio 4 Forza magnetica su un filo
Consideriamo ora il caso particolare di un conduttore rettilineo di lunghezza ℓ
percorso da una corrente stazionaria. Sia ~j il vettore densità di corrente elettrica
dato da ~j = ρ~v , dove ρ è la densità di carica elettrica e ~v la velocità di deriva degli
elettroni.
~j
S
ℓ
1. Dimostra che la forza magnetica subita dal filo percorso da una corrente
elettrica I e lunghezza ℓ vale
~ .
F~m = I ~ℓ ∧ B
dove ~ℓ k ~j con stesso verso.
Osservazione: La velocità ~v è la velocità di deriva degli elettroni, essa ha dei
valori molti piccoli (dell’ordine del 10−2 − 10−4 m/s) essa non va confusa con
la velocità istantanea degli elettroni riconducibile all’agitazione termica in cui
si raggiungono valori nettamente più elevati (dell’ordine di 106 m/s) ma il cui
valore medio è nullo quando non vi è corrente elettrica.
2. Considera un filo di lunghezza 0,5 m quando deve valere l’intensità del campo
magnetico per ottenere una forza di 2·10−7 N se esso è percorso da una corrente
elettrica di intensità 12 A?
3. Un filo rettilineo lungo 20 cm, percorso da una corrente di 3,0 A, è in un campo
magnetico uniforme di 0,8 T. Il filo forma un angolo di 37◦ con la direzione di
~ Qual è la norma della forza che agisce su di esso?
B.
2
4. Un pezzo di filo lungo 10,0 cm ha la massa di 5,0 g ed è posto orizzontalmente in
un campo magnetico d’intensità B = 0,5 T orizzontale e perpendicolare al filo.
Si trovi la corrente elettrica I necessaria per mantenere il filo in sospensione,
cioè la corrente elettrica per cui la forza magnetica è uguale alla forza peso del
filo.
Esercizio 5 Legge di Biot–Savard
Utilizzando la legge di Biot–Savard
1. disegna le linee di forza del campo magnetico prodotto da una spira circolare
percorsa da una corrente I (figura (a)), determina poi la sua intensità al centro
della spira;
2. disegna le linee di forza del campo magnetico prodotto da una filo conduttore
infinitamente lungo e percorso da una corrente I (figura (b)), determina poi la
sua intensità in un punto ad una distanza r dal filo.
Indicazione:
Z
a
dx = a1 √ 2x 2 .
2
2 3/2
(x + a )
a +x
I
I
(b)
(a)
3. Considera le seguenti situazioni.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
~ = ~0? Indica dove. Supponi che la corrente
In quali casi si hanno punti in cui B
nei fili o nelle spire sia sempre pari a I.
3
Esercizio 6 Forza magnetica tra fili paralleli
Considera due fili percorsi da una corrente I1 rispettivamente I2 .
1. Sapendo che il campo magnetico di una corrente rettilinea infinitamente lunga
ha un’intensità
µ
B(r) = 2π0 Ir
ad una distanza r da essa, dimostra che due fili rettilinei e di lunghezza L e
distanti d subiscono una forza di intensità
Fm1→2 = Fm2→1 =
µ0 LI1 I2
2π d
2. Determina l’intensità della corrente I1 = I2 = I se L = 1 m, d = 1 m affiché
Fm1→2 = 2 · 10−7 N.
Osservazione: Definizione dell’ampère. L’intensità della corrente affiché
due fili rettilinei di lunghezza 1 m distanti 1 m si attirano con una forza di
10−7 N corrisponde, per definizione, ad 1 A.
3. Quando i osserva attrazione, rispettivamente repulsione, tra i fili? Fai un
disegno della situazione.
Esercizio 7 “Motore magnetico”
Un cavo metallico di massa m può scorrere senza attrito lungo due rotaie orizzontali
separate da una distanza d. L’insieme si trova nel piano xy e giace in un campo
~ = B~ez .Una corrente costante fluisce da un generatore G
magnetico uniforme B
lungo una rotaia, passa attraverso il cavo e poi lungo la seconda rotaia. Determina il
vettore velocità del cavo in funzione del tempo, assumendo che sia fermo per t = 0 s.
~
B
d
y
x
4
11
00
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
I11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
00
11
I
G
I