Applicazioni della Trasformata di Laplace

C A P I T O L O
APPLICAZIONI DELLA TRASFORMATA DI LAPLACE
17.1 INTRODUZIONE
Ora che è stata introdotta la trasformata di Laplace, è possibile passare a esaminare
che cosa si può fare con essa. La trasformata di Laplace rappresenta uno degli strumenti matematici più potenti esistenti per l’analisi, la sintesi e il progetto. La possibilità fornita dalla trasformata di Laplace di manipolare circuiti e sistemi nel dominio s
consente di capire molto meglio come i circuiti e i sistemi operano. In questo capitolo,
si vedrà come è possibile operare con i circuiti nel dominio s. Si accennerà inoltre brevemente ad altri sistemi della fisica. Lo studente ha certamente già incontrato semplici
sistemi meccanici e ha probabilmente utilizzato per descriverli le stesse equazioni differenziali che si usano per descrivere i circuiti elettrici. Il fatto che le stesse equazioni
differenziali possano essere usate per descrivere circuiti, processi e sistemi lineari della realtà rappresenta uno degli aspetti più affascinanti dell’universo fisico. Ciò che li
accomuna è il termine lineare.
Un sistema è un modello matematico di un processo fisico che mette in relazione
l’ingresso con l’uscita.
È del tutto corretto considerare i circuiti come sistemi, anche se, storicamente, i circuiti sono stati spesso trattati come un argomento separato dalla teoria dei sistemi. Nel
presente capitolo si parlerà di circuiti e di sistemi tenendo presente il fatto che i circuiti non sono altro che una particolare classe di sistemi elettrici.
Il fatto più importante da tenere presente è che tutto ciò che è stato presentato nel
capitolo precedente, e anche ciò che verrà presentato in questo capitolo, può essere applicato a un qualsiasi sistema lineare. Nel capitolo precedente, si è visto come sia possibile utilizzare le trasformate di Laplace per risolvere equazioni differenziali e integrali lineari. In questo capitolo vengono dapprima introdotti i modelli circuitali nel dominio s, noti i quali è possibile affrontare la soluzione di qualunque tipo di circuito lineare di interesse pratico. Vengono poi brevemente introdotte le variabili di stato, che
risultano utili, in particolare, per l’analisi di sistemi con ingressi e uscite multipli.
Infine, si vedrà come i concetti legati alla trasformata di Laplace possono essere usati
nella analisi della stabilità delle reti e nella sintesi dei circuiti.
17.2 MODELLI DI ELEMENTI CIRCUITALI
Dopo aver appreso come si ottengono la trasformata di Laplace e la sua antitrasformata, il lettore è ora pronto per applicare la trasformata di Laplace nella analisi dei circuiti. Tale applicazione avviene di solito in tre passi.
Procedimento per l’applicazione della trasformata di Laplace:
1. Trasformare il circuito dal dominio del tempo al dominio s.
2. Risolvere il circuito mediante l’analisi nodale, analisi agli anelli, trasforma-
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1 7
2
Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
zione dei generatori, sovrapposizione, o qualunque altra tecnica di risoluzione risulti conveniente.
3. Calcolare le antitrasformate delle soluzioni, ottenendo cosı̀ le soluzioni nel
dominio del tempo.
Solo il primo passo risulta nuovo, e di esso ci si occuperà fra poco. Come si è fatto
per l’analisi con i fasori, si esegue la trasformazione di un circuito al dominio delle
frequenze, o dominio s, trasformando secondo Laplace gli elementi del circuito uno
per uno. Per un resistore, la relazione tensione-corrente nel dominio del tempo è
vðtÞ ¼ RiðtÞ
ð17:1Þ
Trasformando secondo Laplace, si ottiene
V ðsÞ ¼ RI ðsÞ
ð17:2Þ
diðtÞ
dt
ð17:3Þ
Per un induttore,
vðtÞ ¼ L
Trasformando secondo Laplace entrambi i membri si ha
V ðsÞ ¼ L½sI ðsÞ ið0 Þ ¼ sLI ðsÞ Lið0 Þ
ð17:4Þ
o anche
I ðsÞ ¼
1
ið0 Þ
V ðsÞ þ
sL
s
ð17:5Þ
Gli equivalenti nel dominio s sono mostrati in Figura 17.1, in cui l’eventuale condizione iniziale viene rappresentata con un generatore di tensione o di corrente.
Figura 17.1
Rappresentazione di un
induttore: (a) dominio del tempo,
(b,c) equivalenti nel dominio s.
Per un condensatore,
iðtÞ ¼ C
dvðtÞ
dt
ð17:6Þ
che si trasforma nel dominio s in
I ðsÞ ¼ C½sV ðsÞ vð0 Þ ¼ sCV ðsÞ Cvð0 Þ
ð17:7Þ
o anche
V ðsÞ ¼
1
vð0 Þ
I ðsÞ þ
sC
s
ð17:8Þ
Gli equivalenti nel dominio s sono mostrati in Figura 17.2. Grazie a questi circuiti
equivalenti, la trasformata di Laplace può essere agevolmente utilizzata per risolvere
circuiti del primo e del secondo ordine del tipo di quelli considerati nei Capitoli 7 e 8.
È bene notare, nelle Equazioni da (17.3) a (17.8), che le condizioni iniziali costituisco-
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17.2 Modelli di elementi circuitali
3
no parte integrante della trasformazione. Questo è un vantaggio importante dell’uso
della trasformata di Laplace nell’analisi dei circuiti. Un altro vantaggio è che con essa
si ottiene la risposta completa – transitorio e regime – di una rete. Ciò verrà illustrato
negli Esempi 17.2 e 17.3 Si noti inoltre la dualità delle (17.5) e (17.8), che conferma
quanto già si sapeva dal Capitolo 8 (si veda la Tabella 8.1), e cioè che L e C, I ðsÞ e
V ðsÞ, e vð0Þ e ið0Þ sono termini duali.
Figura 17.2
Rappresentazione di un
condensatore: (a) dominio del
tempo, (b,c) equivalenti nel
dominio s.
Se si suppongono nulle le condizioni iniziali per l’induttore e il condensatore, le equazioni appena viste si riducono a:
V ðsÞ ¼ RI ðsÞ
V ðsÞ ¼ sLI ðsÞ
1
I ðsÞ
Condensatore: V ðsÞ ¼
sC
Resistore:
Induttore:
ð17:9Þ
Gli equivalenti nel dominio s sono mostrati in Figura 17.3.
Si definisce impedenza nel dominio s il rapporto fra la trasformata della tensione e la
trasformata della corrente nel caso di condizioni iniziali nulle, cioè
ZðsÞ ¼
V ðsÞ
I ðsÞ
ð17:10Þ
Figura 17.3
Rappresentazioni equivalenti nel
dominio del tempo e nel dominio
s di elementi passivi con
condizioni iniziali nulle.
Le impedenze dei tre elementi circuitali sono quindi
Resistore:
Induttore:
ZðsÞ ¼ R
ZðsÞ ¼ sL
1
Condensatore: ZðsÞ ¼
sC
ð17:11Þ
Esse sono riassunte nella Tabella 17.1. L’ammettenza nel dominio s è il reciproco dell’impedenza,
1
I ðsÞ
¼
ð17:12Þ
Y ðsÞ ¼
ZðsÞ
V ðsÞ
L’uso della trasformata di Laplace nella analisi dei circuiti rende più semplice il calcolo nei casi in cui compaiono generatori variabili quali impulsi, gradini, rampe, esponenziali e sinusoidi.
I modelli per i generatori dipendenti e gli amplificatori operazionali sono semplici
da sviluppare quando si ricordi che se la trasformata di Laplace di f ðtÞ è FðsÞ, allora
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
la trasformata di Laplace di af ðtÞ è aFðsÞ – la proprietà di linearità. Un generatore dipendente può esibire due soli tipi di controllo, e precisamente una costante moltiplicata per una tensione oppure una costante per una corrente. Quindi,
L½avðtÞ ¼ aV ðsÞ
ð17:13Þ
L½aiðtÞ ¼ aI ðsÞ
ð17:14Þ
L’amplificatore operazionale ideale può essere trattato alla stregua di un resistore. Di
fatto, qualsiasi operazionale, reale o ideale, non fa nulla di più che moltiplicare una
tensione per una costante. Basta quindi scrivere le equazioni nel modo solito, tenendo
presente il vincolo che la tensione di ingresso e la corrente di ingresso dell’operazionale devono essere nulle.
Tabella 17.1
Elemento
Impedenza di un elemento nel dominio s.*
ZðsÞ ¼ VðsÞ=IðsÞ
Resistore
R
Induttore
sL
Condensatore
1=sC
* Si suppongono nulle le condizioni iniziali
Esempio 17.1
Determinare vo ðtÞ nel circuito di Figura 17.4, supponendo nulle le condizioni iniziali.
Figura 17.4
Per l’Esempio 17.1.
Soluzione: Si trasforma dapprima il circuito dal dominio del tempo al dominio s.
uðtÞ
¼)
1H
¼)
1
F
3
¼)
1
s
sL ¼ s
1
3
¼
sC
s
Il circuito risultante nel dominio s è mostrato in Figura 17.5. A esso viene applicata l’analisi agli
anelli. Per l’anello 1,
1
3
3
ð17:1:1Þ
¼ 1þ
I1 I 2
s
s
s
Figura 17.5
Analisi agli anelli
dell’equivalente nel dominio
delle frequenze.
Per l’anello 2,
0¼
3
3
I1 þ s þ 5 þ
I2
s
s
cioè
I1 ¼
1 2
ðs þ 5s þ 3ÞI2
3
ð17:1:2Þ
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17.2 Modelli di elementi circuitali
5
Sostituendo nella (17.1.1),
1
¼
s
1þ
3
s
1 2
3
ðs þ 5s þ 3ÞI2 I2
3
s
Moltiplicando tutto per 3s si ottiene
3
s3 þ 8s2 þ 18s
pffiffiffi
3
3
2
pffiffiffi
Vo ðsÞ ¼ sI2 ¼ 2
¼ pffiffiffi
s þ 8s þ 18
2 ðs þ 4Þ2 þ ð 2Þ2
3 ¼ ðs3 þ 8s2 þ 18sÞI2
¼)
I2 ¼
Antitrasformando, infine si ha
pffiffiffi
3
vo ðtÞ ¼ pffiffiffi e4t sin 2t V,
2
t0
n Esercizio 17.1 Determinare vo ðtÞ nel circuito di Figura 17.6, supponendo nulle le condizioni
iniziali.
Figura 17.6
Per l’Esercizio 17.1.
Risposta 8ð1 e2t 2te2t ÞuðtÞ V.
n
Esempio 17.2
Calcolare vo ðtÞ nel circuito di Figura 17.7. Supporre vo ð0Þ ¼ 5 V.
Figura 17.7
Per l’Esempio 17.2.
Soluzione: Si trasforma il circuito al dominio s come mostrato in Figura 17.8. La condizione iniziale è stata inclusa in forma di generatore di corrente Cvo ð0Þ ¼ 0:1ð5Þ ¼ 0:5 A. [Si veda la Figura
17.2(c).] Si applica il metodo dell’analisi nodale. Al nodo superiore,
10=ðs þ 1Þ Vo
Vo
Vo
þ 2 þ 0:5 ¼
þ
10
10
10=s
cioè
1
2Vo
sVo
1
þ
¼
þ 2:5 ¼
Vo ðs þ 2Þ
10
10
sþ1
10
Moltiplicando ambo i membri per 10,
10
þ 25 ¼ Vo ðs þ 2Þ
sþ1
o anche
Vo ¼
25s þ 35
A
B
¼
þ
ðs þ 1Þðs þ 2Þ
sþ1
sþ2
dove
A ¼ ðs þ 1ÞVo ðsÞjs¼1 ¼
25s þ 35 10
¼
¼ 10
ðs þ 2Þ s¼1
1
25s þ 35 15
¼
B ¼ ðs þ 2ÞVo ðsÞjs¼2 ¼
¼ 15
ðs þ 1Þ s¼2
1
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
Allora,
Vo ðsÞ ¼
10
15
þ
sþ1
sþ2
Eseguendo l’antitrasformazione di Laplace, si ottiene
vo ðtÞ ¼ ð10et þ 15e2t ÞuðtÞ V
Figura 17.8
Analisi nodale del circuito
equivalente di Figura 17.7.
n Esercizio 17.2 Determinare vo ðtÞ nel circuito mostrato in Figura 17.9.
Figura 17.9
Per l’Esercizio 17.2.
4 2t
8 t=3
uðtÞ V.
Risposta
e þ e
5
15
n
Esempio 17.3
Nel circuito di Figura 17.10(a), l’interruttore si sposta dalla posizione a alla posizione b nell’istante
t ¼ 0. Determinare iðtÞ per t > 0.
Figura 17.10
Per l’Esempio 17.3.
Soluzione: La corrente iniziale nell’induttore è ið0Þ ¼ Io . Per t > 0, la Figura 17.10(b) mostra il
circuito trasformato al dominio s. La condizione iniziale è stata incorporata nel circuito nella forma
di un generatore di tensione di valore Lið0Þ ¼ LIo . Mediante l’analisi agli anelli,
I ðsÞðR þ sLÞ LIo Vo
¼0
s
ð17:3:1Þ
da cui
I ðsÞ ¼
LIo
Vo
Io
Vo =L
þ
¼
þ
R þ sL
sðR þ sLÞ
s þ R=L
sðs þ R=LÞ
ð17:3:2Þ
Applicando l’espansione in frazioni parziali al secondo termine nel secondo membro della (17.3.2)
si ottiene
Io
Vo =R
Vo =R
þ
ð17:3:3Þ
I ðsÞ ¼
s þ R=L
s
ðs þ R=LÞ
La antitrasformata della espressione precedente risulta
Vo t=
Vo
e
,
þ
iðtÞ ¼ Io R
R
t0
ð17:3:4Þ
con ¼ R=L. Il termine tra parentesi è la risposta transitoria, mentre l’altro è la risposta a regime. In
altre parole, il valore finale è ið1Þ ¼ Vo =R, che si sarebbe potuto prevedere anche applicando il teorema del valore finale alla (17.3.2) o alla (17.3.3); cioè
sIo
Vo =L
Vo
þ
ð17:3:5Þ
lim sI ðsÞ ¼ lim
¼
s!0
s!0 s þ R=L
R
s þ R=L
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17.3 Analisi dei circuiti
7
La (17.3.4) può anche essere scritta nella forma
iðtÞ ¼ Io et= þ
Vo
ð1 et= Þ,
R
t0
ð17:3:6Þ
Il primo termine rappresenta la risposta naturale, e il secondo la risposta forzata. Se la condizione
iniziale è Io ¼ 0, la (17.3.6) diventa
iðtÞ ¼
Vo
ð1 et= Þ,
R
t0
ð17:3:7Þ
che è la risposta al gradino, essendo dovuta a un ingresso a gradino Vo in assenza di energia iniziale.
n Esercizio 17.3 L’interruttore in Figura 17.11 è rimasto in posizione b per molto tempo.
Viene spostato nella posizione a in t ¼ 0. Determinare vðtÞ per t > 0.
Figura 17.11
Per l’Esercizio 17.3.
Risposta vðtÞ ¼ ðVo Io RÞet= þ Io R, t > 0, dove ¼ RC:
n
17.3 ANALISI DEI CIRCUITI
Anche l’analisi dei circuiti si rivela relativamente semplice da eseguire nel dominio s:
si deve soltanto trasformare un insieme, anche complicato, di relazioni matematiche
dal dominio del tempo al dominio s, dove gli operatori derivata e integrale vengono
convertiti in semplici moltiplicazioni per s o per 1=s. Ciò permette di fare uso dei metodi dell’algebra elementare per risolvere le equazioni circuitali. L’aspetto interessante
di tutto ciò è che tutte le relazioni e i teoremi sviluppati per i circuiti in regime stazionario rimangono validi per i circuiti descritti nel dominio s.
Si ricordi che i circuiti equivalenti, se contengono condensatori e induttori, esistono soltanto
nel dominio s e non possono essere ritrasformati al dominio del tempo.
Esempio 17.4
Si consideri il circuito in Figura 17.12(a). Si determini la tensione sul condensatore se
vs ðtÞ ¼ 10uðtÞ V e supponendo che all’istante t ¼ 0 la corrente nell’induttore sia 1 A e la tensione
sul condensatore valga þ5 V.
10
3
vs (t)
10
3
Ω
Vs
+
−
5H
0.1 F
+
−
Ω
Figura 17.12
V1
Per l’Esempio 17.4.
0.1 F
i(0)
s
5H
+
−
v(0)
s
(a)
(b)
Soluzione: La Figura 17.12(b) rappresenta il circuito completo nel dominio s con le condizioni
iniziali incorporate. Ci si trova quindi di fronte a un semplice problema di analisi nodale. Poichè il
valore di V1 corrisponde al valore della tensione del condensatore nel dominio del tempo ed è l’unica tensione di nodo incognita, è necessario scrivere una sola equazione.
V1 Vs
V1 0
ið0Þ
V1 ½vð0Þ=s
þ
þ
¼0
10=3
5s
s
1=ð0:1sÞ
ð17:4:1Þ
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Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
cioè
2
3
1
0:1 s þ 3 þ
V1 ¼ þ þ 0:5
s
s
s
ð17:4:2Þ
con vð0Þ ¼ 5V e ið0Þ ¼ 1 A. Semplificando, si ottiene
ðs2 þ 3s þ 2ÞV1 ¼ 40 þ 5s
da cui
V1 ¼
40 þ 5s
35
30
¼
ðs þ 1Þðs þ 2Þ
sþ1
sþ2
ð17:4:3Þ
Antitrasformando secondo Laplace si ha
v1 ðtÞ ¼ ð35et 30e2t ÞuðtÞV
ð17:4:4Þ
n Esercizio 17.4 Nel circuito di Figura 17.12, con le stesse condizioni iniziali, determinare la
corrente nell’induttore per ogni t > 0.
Risposta: iðtÞ ¼ ð3 7et þ 3e2t Þ uðtÞ A.
n
Esempio 17.5
Nel circuito mostrato in Figura 17.12, e con le condizioni iniziali specificate nell’Esempio 17.4, si
utilizzi la sovrapposizione degli effetti per calcolare il valore della tensione sul condensatore.
Soluzione: Poichè il circuito nel dominio s ha tre generatori indipendenti, si può affrontare la soluzione con un generatore alla volta. La Figura 17.13 mostra i circuiti nel dominio s ottenuti considerando un solo generatore alla volta. Si hanno ora da risolvere tre problemi di analisi nodale. Si determina innanzitutto la tensione del condensatore nel circuito di Figura 17.13(a).
V1 Vs
V1 0
V1 0
0þ
¼0
þ
5s
1=ð0:1sÞ
10=3
cioè
10
3
Ω
2
3
V1 ¼
0:1 s þ 3 þ
s
s
10
3
V1
Ω
10
3
V2
0.1 F
10
s
+
−
5H
0
+
−
0
Per l’Esempio 17.5
V3
0.1 F
0.1 F
0 +
−
i(0)
s
5H
(a)
Figura 17.13
Ω
+
−
0
0
+
−
0
5H
+
−
v(0)
(c)
(b)
Semplificando, si ottiene
ðs2 þ 3s þ 2ÞV1 ¼ 30
V1 ¼
da cui
30
30
30
¼
ðs þ 1Þðs þ 2Þ
sþ1
sþ2
v1 ðtÞ ¼ ð30et 30e2t ÞuðtÞV
ð17:5:1Þ
Per la Figura 17.13(b) si ha,
V2 0
V2 0
1
V2 0
þ
þ
¼0
10=3
5s
s
1=ð0:1sÞ
cioè
2
1
V2 ¼
0:1 s þ 3 þ
s
s
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17.3 Analisi dei circuiti
9
Si ottiene quindi
V2 ¼
10
10
10
¼
ðs þ 1Þðs þ 2Þ
sþ1
sþ2
Antitrasformando,
v2 ðtÞ ¼ ð10et 10e2t ÞuðtÞV
ð17:5:2Þ
Per la Figura 17.13(c),
V3 0
V3 0
V3 5=s
þ
0þ
¼0
10=3
5s
1=ð0:1sÞ
da cui
2
0:1 s þ 3 þ
V3 ¼ 0:5
s
V3 ¼
5s
5
10
¼
þ
ðs þ 1Þðs þ 2Þ
sþ1
sþ2
Nel dominio del tempo
v3 ðtÞ ¼ ð5et þ 10e2t ÞuðtÞV
ð17:5:3Þ
Ciò che resta da fare è sommare le (17.5.1), (17.5.2) e (17.5.3).
vðtÞ ¼ v1 ðtÞ þ v2 ðtÞ þ v3 ðtÞ
¼ fð30 þ 10 5Þet þ ð30 þ 10 10Þe2t guðtÞV
cioè
vðtÞ ¼ ð35et 30e2t ÞuðtÞV
che è in accordo con la risposta dell’Esempio 17.4.
n Esercizio 17.5 Per il circuito in Figura 17.12, e per le stesse condizioni iniziali dell’Esempio
17.4, determinare la corrente nell’induttore per ogni t > 0 utilizzando la sovrapposizione degli
effetti.
Risposta iðtÞ ¼ ð3 7et þ 3e2t ÞuðtÞA.
nz
Esempio 17.6
Si supponga che l’energia iniziale immagazzinata nel circuito di Figura 17.14 sia nulla per t ¼ 0 e
che is ¼ 10uðtÞA. (a) Determinare Vo ðsÞ usando il teorema di Thevenin. (b) Applicare i teoremi del
valore iniziale e del valore finale per calcolare vo ð0þ Þ e vo ð1Þ. (c) Determinare vo ðtÞ.
ix
+
−
is
Figura 17.14
Per l’Esempio 17.6.
2H
2ix
5Ω
+
vo(t)
−
5Ω
Soluzione: Poichè l’energia iniziale immagazzinata nel circuito è nulla, si suppone che le correnti iniziali negli induttori e le tensioni iniziali dei condensatori siano nulle nell’istante t ¼ 0.
Ix
Ix
2s
+
−
2Ix
VTh
Figura 17.15
a
a
+
10
s
2s
10
s
+
−
Per l’Esempio 17.16: (a) calcolo
di VTh , (b) calcolo di ZTh .
Isc
2Ix
5
5
(a)
−
b
b
(b)
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10
Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
(a) Per determinare il circuito equivalente di Thevenin, si rimuove il resistore da 5 e si calcolano
Voc ðVTh Þ e Isc . Per VTh , si usa il circuito trasformato secondo Laplace di Figura 17.15(a). Essendo
Ix ¼ 0, il generatore dipendente di tensione non dà nessun contributo, e quindi
10
50
¼
Voc ¼ VTh ¼ 5
s
s
Per determinare ZTh , si considera il circuito in Figura 17.15(b), in cui si calcola dapprima Isc . Si può
utilizzare l’analisi nodale per risolvere rispetto a V1 , da cui poi si perviene a Isc ðIsc ¼ Ix ¼ V1 =2sÞ.
10
ðV1 2Ix Þ 0
V1 0
þ
þ
¼0
s
5
2s
e inoltre
Ix ¼
V1
2s
di conseguenza
V1 ¼
100
2s þ 3
Ne segue
Isc ¼
V1
100=ð2s þ 3Þ
50
¼
¼
2s
2s
sð2s þ 3Þ
e
ZTh ¼
Voc
50=s
¼
¼ 2s þ 3
Isc
50=½sð2s þ 3Þ
Il circuito dato viene sostituito dal suo equivalente Thevenin ai terminali a b, come si vede in
Figura 17.16. Dalla Figura 17.16,
5
5
50
250
125
VTh ¼
¼
¼
Vo ¼
5 þ ZTh
5 þ 2s þ 3
s
sð2s þ 8Þ
sðs þ 4Þ
Z Th
Figura 17.16
a
Equivalente Thevenin del
circuito in Figura 17.14 ai
terminali a-b nel dominio s.
VTh
5Ω
+
−
+
Vo
−
b
(b) Usando il teorema del valore iniziale,
vo ð0Þ ¼ lim sVo ðsÞ ¼ lim
s!1
s!1
125
125=s
0
¼ lim
¼ ¼0
s!1 1 þ 4=s
sþ4
1
Per il teorema del valore finale,
vo ð1Þ ¼ lim sVo ðsÞ ¼ lim
s!0
s!0
125
125
¼
¼ 31:25V
sþ4
4
(c) Espandendo in frazioni parziali,
125
A
B
¼
þ
sðs þ 4Þ
s
sþ4
125 ¼ 31:25
A ¼ sVo ðsÞ ¼
s þ 4 s¼0
s¼0
125 B ¼ ðs þ 4ÞVo ðsÞ
¼
¼ 31:25
s s¼4
s¼4
Vo ¼
Vo ¼
31:25
31:25
s
sþ4
Antitrasformando infine si ottiene
vo ðtÞ ¼ 31:25ð1 e4t ÞuðtÞV
Si noti che i valori di vo ð0Þ e vo ð1Þ ottenuti nella parte (b) coincidono con quelli calcolati dall’espressione precedente.
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17.4 Funzioni di trasferimento
11
n Esercizio 17.6 L’energia iniziale nel circuito di Figura 17.17 è nulla per t ¼ 0. Si supponga
vs ¼ 5uðtÞV. (a) Determinare Vo ðsÞ usando il teorema di Thevenin. (b) Applicare i teoremi del
valore iniziale e del valore finale per determinare vo ð0Þ e vo ð1Þ. (c) Calcolare vo ðtÞ.
ix
vs +
−
1F
1Ω
+
vo
−
2Ω
Figura 17.17
Per l’Esercizio 17.6.
+
−
4ix
5ð5sþ1Þ
Risposta (a) Vo ðsÞ ¼ sðsþ0:3Þðsþ5Þ
, (b) 0, 3.333 V,
(c) ð3:333 þ 1:773e0:3t 5:1063e5t ÞuðtÞV.
n
17.4 FUNZIONI DI TRASFERIMENTO
La funzione di trasferimento rappresenta uno dei concetti più importanti nella elaborazione dei segnali, perché indica il modo nel quale un segnale viene elaborato, nel suo
passaggio attraverso una rete. Essa costituisce uno strumento particolarmente adatto a
determinare la risposta della rete, a valutare (o progettare) la stabilità della rete, e per
la sintesi delle reti in genere. La funzione di trasferimento di una rete descrive il comportamento dell’uscita in rapporto all’ingresso, e specifica come avviene il trasferimento dall’ingresso all’uscita nel dominio s, supponendo che non esista energia iniziale nella rete.
La funzione di trasferimento4 HðsÞ è il rapporto fra la risposta in uscita YðsÞ e l’eccitazione
in ingresso XðsÞ, supponendo nulle tutte le condizioni iniziali.
Riassumendo,
HðsÞ ¼
Y ðsÞ
X ðsÞ
ð17:15Þ
La funzione di trasferimento dipende da ciò che viene definito come ingresso e
uscita. Poiché sia l’ingresso che l’uscita possono essere una corrente oppure una
tensione, in un qualunque punto del circuito, esistono quattro possibili tipi di funzione di trasferimento5 :
Vo ðsÞ
ð17:16aÞ
HðsÞ ¼ Guadagno di tensione ¼
Vi ðsÞ
HðsÞ ¼ Guadagno di corrente ¼
HðsÞ ¼ Impedenza ¼
Io ðsÞ
Ii ðsÞ
V ðsÞ
I ðsÞ
HðsÞ ¼ Ammettenza ¼
I ðsÞ
V ðsÞ
ð17:16bÞ
ð17:16cÞ
ð17:16dÞ
Un circuito può quindi avere molte funzioni di trasferimento. Si noti che HðsÞ è adimensionale nelle (17.16a) e (17.16b).
4
Per le reti elettriche, la funzione di trasferimento è nota anche come funzione di rete.
5
Alcuni autori non considerano funzioni di trasferimento le (16.16c) e (16.16d).
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12
Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
Ciascuna delle funzioni di trasferimento della (17.16) può essere determinata in due
modi. Il primo consiste nel supporre che l’ingresso sia un qualsiasi segnale conveniente X ðsÞ, nell’utilizzare un opportuno metodo di analisi per il circuito (quale per esempio il partitore di tensione o di corrente, l’analisi nodale, l’analisi agli anelli) per determinare l’uscita Y ðsÞ, e infine calcolare il rapporto tra le due trasformate. L’altro approccio prevede l’applicazione del metodo a scala, che richiede di seguire un percorso
inverso all’interno del circuito. In esso, si suppone che il valore dell’uscita sia prefissato (per esempio 1V o 1A o un qualunque valore conveniente), e si usano le leggi
fondamentali di Ohm e di Kirchhoff (solo la KCL) per ottenere l’ingresso. La funzione di trasferimento risulta allora pari all’unità divisa per l’ingresso trovato. Il metodo
a scala può risultare più conveniente da usare quando il circuito ha molte maglie o nodi, e quindi l’applicazione della analisi nodale o agli anelli risulta onerosa. Nel primo
metodo, si presuppone il valore dell’ingresso e si determina l’uscita; nel secondo, si
presuppone il valore dell’uscita e si determina l’ingresso. In entrambi i metodi, HðsÞ
viene calcolata come rapporto fra le trasformate di uscita e ingresso. Entrambi i metodi si basano sulla proprietà di linearità, poiché in questo libro ci si occupa soltanto di
circuiti lineari. L’Esempio 17.7 illustra meglio tutti e due metodi. La (17.15) suppone
che X ðsÞ e Y ðsÞ siano note. A volte, si conosce l’ingresso X ðsÞ e la funzione di trasferimento HðsÞ; l’uscita Y ðsÞ si determina allora con
Y ðsÞ ¼ HðsÞX ðsÞ
ð17:17Þ
antitrasformando poi per ottenere yðtÞ. Un caso particolare si ha quando l’ingresso è la
funzione impulso unitario, xðtÞ ¼ ðtÞ, cosı̀ che X ðsÞ ¼ 1. In questo caso
Y ðsÞ ¼ HðsÞ
o
yðtÞ ¼ hðtÞ
ð17:18Þ
dove
hðtÞ ¼ L1 ½HðsÞ
ð17:19Þ
Il termine hðtÞ rappresenta la risposta all’impulso unitario – la risposta nel dominio
del tempo a un impulso unitario. La (17.19) fornisce quindi una nuova importante interpretazione per la funzione di trasferimento: HðsÞ è la trasformata di Laplace della
risposta all’impulso unitario della rete. Una volta nota la risposta all’impulso hðtÞ di
una rete, è possibile ottenere la risposta della rete a qualunque segnale di ingresso mediante la (17.17) nel dominio s, oppure usando l’integrale di convoluzione (si veda il
paragrafo 15.5) nel dominio del tempo.
Esempio 17.7
L’uscita di un sistema lineare è yðtÞ ¼ 10et cos 4tuðtÞ quando l’ingresso è xðtÞ ¼ et uðtÞ.
Determinare la funzione di trasferimento del sistema e la sua risposta all’impulso.
Soluzione: Se xðtÞ ¼ et uðtÞ e yðtÞ ¼ 10et cos 4tuðtÞ, allora
X ðsÞ ¼
1
sþ1
e
Y ðsÞ ¼
10ðs þ 1Þ
ðs þ 1Þ2 þ 42
Quindi,
HðsÞ ¼
Y ðsÞ
10ðs þ 1Þ2
10ðs2 þ 2s þ 1Þ
¼
¼
X ðsÞ
s2 þ 2s þ 17
ðs þ 1Þ2 þ 16
Per determinare hðtÞ, si scrive HðsÞ come
HðsÞ ¼ 10 4
4
ðs þ 1Þ2 þ 22
Dalla Tabella 17.1, si ottiene
hðtÞ ¼ 106ðtÞ 4et sin 4t uðtÞ
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17.4 Funzioni di trasferimento
13
n Esercizio 17.7 La funzione di trasferimento di un sistema lineare è
HðsÞ ¼
2s
sþ6
Determinare l’uscita yðtÞ dovuta all’ingresso e3t uðtÞ e la risposta all’impulso.
Risposta: 2e3t þ 4e6t , t 0, 2ðtÞ 12e6t uðtÞ.
n
Esempio 17.8
Determinare la funzione di trasferimento HðsÞ ¼ Vo ðsÞ=Io ðsÞ del circuito in Fig. 17.18.
Figura 17.18
Per l’Esempio 17.8.
Soluzione: METODO 1
Per il partitore di corrente,
I2 ¼
ðs þ 4ÞIo
s þ 4 þ 2 þ 1=2s
Ma
Vo ¼ 2I2 ¼
2ðs þ 4ÞIo
s þ 6 þ 1=2s
Quindi,
HðsÞ ¼
Vo ðsÞ
4sðs þ 4Þ
¼ 2
Io ðsÞ
2s þ 12s þ 1
METODO 2
Si può applicare il metodo a scala. Ponendo Vo ¼ 1 V, per la legge di Ohm, I2 ¼ Vo =2 ¼ 1=2 A. La
tensione sull’impedenza ð2 þ 1=2sÞ è
1
1
4s þ 1
V1 ¼ I2 2 þ
¼1þ
¼
2s
4s
4s
Questa coincide con la tensione sull’impedenza ðs þ 4Þ. Ne segue,
I1 ¼
V1
4s þ 1
¼
sþ4
4sðs þ 4Þ
Applicando la KCL al nodo superiore
Io ¼ I1 þ I2 ¼
4s þ 1
1
2s2 þ 12s þ 1
þ ¼
4sðs þ 4Þ
2
4sðs þ 4Þ
Quindi,
HðsÞ ¼
Vo
1
4sðs þ 4Þ
¼
¼ 2
Io
Io
2s þ 12s þ 1
come prima.
n Esercizio 17.8 Calcolare la funzione di trasferimento HðsÞ ¼ I1 ðsÞ=Io ðsÞ nel circuito di
Figura 17.18.
Risposta
4s þ 1
.
2s2 þ 12s þ 1
n
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14
Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
Esempio 17.9
Per il circuito nel dominio s di Figura 17.19, calcolare: (a) la funzione di trasferimento
HðsÞ ¼ Vo =Vi , (b) la risposta all’impulso, (c) la risposta quando vi ðtÞ ¼ uðtÞ V, (d) la risposta quando vi ðtÞ ¼ 8 cos 2t V.
Soluzione: (a) Per il partitore di tensione,
1
Vab
sþ1
Vo ¼
ð17:9:1Þ
Ma
Figura 17.19
Vab ¼
Per l’Esempio 17.9.
1 k ðs þ 1Þ
ðs þ 1Þ=ðs þ 2Þ
Vi ¼
Vi
1 þ 1 k ðs þ 1Þ
1 þ ðs þ 1Þ=ðs þ 2Þ
cioè
sþ1
Vi
2s þ 3
Vab ¼
ð17:9:2Þ
Sostituendo la (17.9.2) nella (17.9.1) si ottiene
Vo ¼
Vi
2s þ 3
Perciò, la funzione di trasferimento è
Vo
1
¼
Vi
2s þ 3
HðsÞ ¼
(b) È possibile scrivere HðsÞ come
HðsÞ ¼
1 1
2 sþ
3
2
La sua antitrasformata di Laplace è la risposta all’impulso richiesta:
1 3t=2
uðtÞ
e
2
hðtÞ ¼
(c) Quando vi ðtÞ ¼ uðtÞ, Vi ðsÞ ¼ 1=s, e
Vo ðsÞ ¼ HðsÞVi ðsÞ ¼
con
1
A
B
þ
¼
s
2sðs þ 32 Þ
sþ
1
A ¼ sVo ðsÞjs¼0 ¼
2ðs þ 32 Þ ¼
s¼0
3
2
1
3
3
1 1
¼
B¼ sþ
Vo ðsÞjs¼3=2 ¼
2
2s s¼3=2
3
Perciò, per vi ðtÞ ¼ uðtÞ,
1
Vo ðsÞ ¼
3
1
1
s
sþ
!
3
2
e la sua antitrasformata di Laplace è
vo ðtÞ ¼
(d) Quando vi ðtÞ ¼ 8 cos 2t, Vi ðsÞ ¼
1
ð1 e3t=2 ÞuðtÞ V
3
8s
,e
s2 þ 4
Vo ðsÞ ¼ HðsÞVi ðsÞ ¼
A
¼
sþ
3
2
4s
ðs þ 32 Þðs2 þ 4Þ
Bs þ C
þ 2
s þ4
ð17:9:3Þ
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17.5 Variabili di stato
con
A¼
15
3
4s 24
sþ
¼
Vo ðsÞjs¼3=2 ¼ 2
2
s þ 4 s¼3=2
25
Per determinare B e C, si moltiplica la (17.9.3) per ðs þ 3=2Þðs2 þ 4Þ.
Si ottiene
3
3
2
2
4s ¼ Aðs þ 4Þ þ B s þ s þ C s þ
2
2
Eguagliando i coefficienti,
Costante: 0 ¼ 4A þ
3
C
2
¼)
C¼
8
A
3
3
BþC
2
s:
4¼
s2 :
0¼AþB
¼)
B ¼ A
Risolvendo si trova A ¼ 24=25, B ¼ 24=25, C ¼ 64=25. Perciò, per vi ðtÞ ¼ 8 cos 2t V,
Vo ðsÞ ¼
24
24
s
32
2
25
þ
þ
25 s2 þ 4
25 s2 þ 4
s þ 32
e la sua antitrasformata è
vo ðtÞ ¼
24
25
4
e3t=2 þ cos 2t þ
sin 2t uðtÞ V
3
n Esercizio 17.9 Ripetere l’Esempio 17.9 per il circuito mostrato in Figura 17.20.
Figura 17.20
Per l’Esercizio 17.9.
Risposta: (a) 2=ðs þ 4Þ, (b) 2e4t uðtÞ, (c) 12 ð1 e4t ÞuðtÞ V,
(d)
3 4t
1
ðe þ cos 2t þ
sin 2tÞuðtÞ V.
2
2
n
17.5 VARIABILI DI STATO
Fino a questo punto, nel presente testo, sono state introdotte tecniche utili all’analisi
di sistemi con un solo ingresso e una sola uscita. Molti sistemi interessanti per l’ingegneria sono invece dotati di più ingressi e più uscite, come mostrato in Figura 17.21.
Il metodo delle variabili di stato rappresenta un importante strumento per l’analisi e
per la comprensione di questi sistemi di elevata complessità. Il modello basato sulle
variabili di stato è perciò più generale del modello a singolo ingresso e singola uscita,
quale è quello delle funzioni di trasferimento. Nonostante sia in realtà impossibile trattare esaurientemente l’argomento in un singolo capitolo, e meno che meno in un singolo paragrafo, se ne darà nel paragrafo presente una elementare introduzione.
z1
z2
zm
Segnali di ingresso
Sistema
lineare
y1
y2
Figura 17.21
Sistema lineare con m ingressi
e p uscite.
yp
Segnali di uscita
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16
Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
Nel modello basato sulle variabili di stato, viene specificato un insieme di variabili in
grado di descrivere completamente il comportamento interno del sistema. Queste variabili sono note come variabili di stato del sistema, e sono in grado di determinare il
comportamento futuro di un sistema quando siano noti lo stato presente del sistema e i
segnali di ingresso. In altre parole, sono le variabili che, quando note, consentono di
determinare tutti gli altri parametri del sistema facendo uso soltanto di equazioni algebriche.
Una variabile di stato è una proprietà fisica che caratterizza lo stato di un sistema, indipendentemente
dal modo con cui il sistema è arrivato a quello stato.
Esempi comuni di variabili di stato sono la pressione, il volume e la temperatura. In
un circuito elettrico, le variabili di stato sono le tensioni dei condensatori e le correnti
degli induttori, che descrivono lo stato complessivo del sistema in termini della sua
energia.
Il modo più consueto di rappresentare le equazioni di stato è quello di disporle in
un sistema di equazioni differenziali del primo ordine:
x_ ¼ Ax þ Bz
dove
2
ð17:20Þ
3
x1 ðtÞ
6 x2 ðtÞ 7
6
7
xðtÞ ¼ 6 . 7 ¼ vettore di stato che rappresenta n variabili di stato
4 .. 5
xn ðtÞ
e il puntino rappresenta la derivata prima rispetto al tempo, cioè,
2
3
x_1 ðtÞ
6 x_2 ðtÞ 7
6
7
x_ ðtÞ ¼ 6 . 7
4 .. 5
x_n ðtÞ
e
2
3
z1 ðtÞ
6 z2 ðtÞ 7
6
7
zðtÞ ¼ 6 . 7 ¼ vettore di ingresso che rappresenta m ingressi
4 .. 5
zm ðtÞ
A e B sono matrici n n e n m rispettivamente. Oltre alle equazioni di stato
(17.20), è necessaria anche l’equazione di uscita. Il modello di stato, o modello completo nello spazio degli stati, è allora
2
3
x_ ¼ Ax þ Bz
(17.21a)
y ¼ Cx þ Dz
(17.21b)
y1 ðtÞ
6 y2 ðtÞ 7
6
7
dove yðtÞ ¼ 6 . 7 ¼ vettore di uscita che rappresenta p uscite. C e D sono, rispet4 .. 5
yp ðtÞ
tivamente, matrici p n e p m. Nel caso particolare di un solo ingresso e una sola
uscita, n ¼ m ¼ p ¼ 1.
Supposte nulle le condizioni iniziali, la funzione di trasferimento del sistema si determina facendo la trasformata di Laplace della (17.21a); si ottiene
sXðsÞ ¼ AX ðsÞ þ BZðsÞ
!
ðsI AÞXðsÞ ¼ BZðsÞ
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17.5 Variabili di stato
17
e quindi
XðsÞ ¼ ðsI AÞ1 BZðsÞ
ð17:22Þ
dove I è la matrice identità. Trasformando secondo Laplace anche la (17.21b) si ha
YðsÞ ¼ CX ðsÞ þ DZðsÞ
ð17:23Þ
Sostituendo la (17.22) nella (17.23) e dividendo per ZðsÞ si ottiene la funzione di trasferimento
HðsÞ ¼
Y ðsÞ
¼ CðsI AÞ1 B þ D
ZðsÞ
ð17:24Þ
dove
A ¼ matrice del sistema
B ¼ matrice di ingresso
C ¼ matrice di uscita
D ¼ matrice feedforward
Nella maggioranza dei casi, D ¼ 0, e quindi il grado del numeratore di HðsÞ nella
(17.24) è minore di quello del denominatore. Allora,
HðsÞ ¼ CðsI AÞ1 B
(17.25)
Proprio per la presenza di numerosi calcoli con le matrici, MATLAB si rivela un utile
strumento per calcolare la funzione di trasferimento.
Il procedimento di applicazione del metodo delle variabili di stato alla analisi di un
circuito è costituito dai seguenti tre passi.
Fasi della applicazione del metodo delle variabili di stato alla analisi dei circuiti:
1. Scegliere la corrente nell’induttore i e la tensione del condensatore v come
variabili di stato, assicurandosi che risultino in accordo con la convenzione
degli utilizzatori.
2. Applicare la KCL e la KVL al circuito per ottenere le variabili circuitali
(tensioni e correnti) in termini delle variabili di stato. Ciò dovrebbe portare
a formulare un sistema di equazioni differenziali del primo ordine necessarie e sufficienti per determinare tutte le variabili di stato.
3. Ricavare l’equazione di uscita ed esprimere il risultato finale nella rappresentazione dello spazio degli stati.
I passi 1 e 3 sono di solito molto semplici; il passo 2 è invece quello di esecuzione delicata. Si illustrerà il procedimento, come di consueto, con esempi.
Esempio 17.7
Determinare la rappresentazione nello spazio degli stati del circuito in Figura 17.22. Calcolare la
funzione di trasferimento del circuito quando vs è preso come ingresso e ix è l’uscita. Si ponga
R ¼ 1; C ¼ 0:25 F e L ¼ 0:5H..
i
L
+ vL −
vs
+
−
R
Figura 17.22
ic
1
Per l’Esempio 17.10.
ix
C
+
v
−
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18
Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
Soluzione: Si scelgono la corrente nell’induttore i e la tensione sul condensatore v come variabili
di stato.
vL ¼ L
di
dt
ð17:10:1Þ
iC ¼ C
dv
dt
ð17:10:2Þ
!
C
Applicando la KCL al nodo 1 si ottiene
i ¼ ix þ iC
dv
v
¼i
dt
R
cioè
v_ ¼ v
i
þ
RC
C
ð17:10:3Þ
perchè sia R che C hanno la stessa tensione v. Applicando la KVL alla maglia esterna si ha
vs ¼ vL þ v
! L
di
¼ v þ vs
dt
v
vs
i_ ¼ þ
L
L
ð17:10:4Þ
Le (17.10.3) e (17.10.4) sono le equazioni di stato. Se si considera ix come uscita,
v
ix ¼
R
ð17:10:5Þ
Riscrivendo le (17.10.3) e (17.10.4) nella forma standard si ottiene
2 3
" 1 1 # 0
_v
v
RC
C
4 1 5vs
þ
¼
1
i
i_
0
L
L
1
v
ix ¼
0
i
R
Se R ¼ 1; C ¼
1
4
eL¼
1
2,
ð17:10:6bÞ
dalla (17.10.6) si ricavano le matrici
"
A¼
ð17:10:6aÞ
1
RC
1
L
sI A ¼
#
0
4 4
0
,
B¼ 1 ¼
,
2 0
2
0
L
1
0
¼ ½1 0
C¼ R
1
C
¼
sþ4
4 4
s 0
¼
2
2 0
0 s
4
s
Invertendo quest’ultima matrice si ha
ðsI AÞ1 ¼
aggiunta di A
¼
determinante di A
s
4
2 s þ 4
s2 þ 4s þ 8
La funzione di trasferimento è allora
½1 0
HðsÞ ¼ CðsI AÞ1 B ¼
¼
s
4
2 s þ 4
s2 þ 4s þ 8
0
2
½1
¼
0
8
2s þ 8
s2 þ 4s þ 8
8
s2 þ 4s þ 8
che è lo stesso risultato che si sarebbe ottenuto trasformando direttamente il circuito secondo Laplace
e ricavando HðsÞ ¼ Ix ðsÞ=Vs ðsÞ. Il vero vantaggio dell’approccio basato sulle variabili di stato si apprezza nel caso di ingressi e uscite multipli. Nel caso presente c’era un solo ingresso vs e una sola
uscita ix . Nel prossimo esempio, si analizzerà invece un circuito con due ingressi e due uscite.
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17.5 Variabili di stato
19
n Esercizio 17.10 Ricavare il modello basato sulle variabili di stato per il circuito mostrato in
Figura 17.23. Si ponga R1 ¼ 1; R2 ¼ 2; C ¼ 0:5 e L ¼ 0:2 e si determini la funzione di trasferimento.
L
R1
Figura 17..23
vs
C
R2
#
# "
1
v
R1 C
vs ;
þ
R2
i
0
" 1
v_
R1 C
Risposta _ ¼ 1
i
Per l’Esercizio 17.10.
v
vo ¼ ½0 R2 i
1
C
L
L
HðsÞ ¼
+
−
+
vo
−
20
s2 þ 12s þ 30
n
Esempio 17.11
Si consideri il circuito in Figura 17.24, che può essere considerato come un sistema a due ingressi e
due uscite. Se ne determini il modello a variabili di stato e la funzione di trasferimento del sistema.
i1
1Ω
1
3Ω
2
Figura 17..24
Per l’Esempio 17.11.
io
+ v −
o
i
vs
2Ω
1H
6
+
−
+
v
−
1
3F
+
−
vi
Soluzione: In questo circuito ci sono due ingressi, vs e vi e due uscite, vo e io . Anche in questo
caso si scelgono la corrente dell’induttore i e la tensione del condensatore v come variabili di stato.
Applicando la KVL all’anello di sinistra si ha
vs þ i1 þ
1 _
i ¼ 0 ! i_ ¼ 6vs 6i1
6
ð17:11:1Þ
Bisogna eliminare l’incognita i1 . Applicando la KVL alla maglia formata da vs , dal resistore da 1 ,
quello da 2 e dal condensatore da 13 F si ottiene
vs ¼ i1 þ vo þ v
ð17:11:2Þ
vo
2
ð17:11:3Þ
Ma al nodo 1, per la KCL,
i1 ¼ i þ
!
vo ¼ 2ði1 iÞ
Sostituendo nella (17.11.2),
vs ¼ 3i1 þ v 2i
!
i1 ¼
2i v þ vs
3
ð17:11:4Þ
Sostituendo il risultato nella (17.11.1),
i_ ¼ 2v 4i þ 4vs
ð17:11:5Þ
che costituisce la prima equazione di stato. Per ottenere la seconda, si applica la KCL al nodo 2.
vo
1
¼ v_ þ io
2
3
! v_ ¼
3
vo 3io
2
Si devono eliminare le incognite vo e io . Dall’anello di destra, è evidente che
v vi
io ¼
3
Sostituendo la (17.11.4) nella (17.11.3) si ha
2i v þ vs
2
vo ¼ 2
i ¼ ðv þ i vs Þ
3
3
ð17:11:6Þ
ð17:11:7Þ
ð17:11:8Þ
Sostituendo le (17.11.7) e (17.11.8) nella (17.11.6) si ricava la seconda equazione di stato
v_ ¼ 2v i þ vs þ vi
ð17:11:9Þ
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20
Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
Le due equazioni di uscita sono già state ottenute nelle (17.11.7) e (17.11.8). Riscrivendo
la (17.11.5) e le Equazioni da (17.11.7) a (17.11.9) nella forma standard si ottiene il modello a variabili di stato del circuito,
1 1 vs
2 1 v
v_
þ
¼
ð17:11:10aÞ
4 0 vi
2 4 i
i_
# " 2
2
3 23
0
vs
v
vo
þ 3
¼
ð17:11:10bÞ
1
i
io
vi
0 13
0
3
n Esercizio 17.11 Determinare il modello basato sulle variabili di stato per il circuito di
Figura 17.25. Considerare vo e io come variabili di uscita.
1
4
vo
H
Figura 17.25
io
Per l’Esercizio 17.11.
i1
1
2
1Ω
F
i2
2Ω
Risposta
v_
1
¼
i_
4
2
8
v
2 0
i1
þ
i
0 8 i2
vo
io
1 0
¼
0 1
v
0 0 i1
þ
i
0 1 i2
n
Esempio 17.12
Si supponga di avere un sistema la cui uscita è yðtÞ e il cui ingresso è zðtÞ. Si supponga inoltre che la
relazione tra l’ingresso e l’uscita sia descritta dalla seguente equazione differenziale:
d 2 yðtÞ
dyðtÞ
þ3
þ 2yðtÞ ¼ 5zðtÞ
dt 2
dt
ð17:12:1Þ
Si determinino il modello di stato e la funzione di trasferimento del sistema.
Soluzione: Si scelgono innanzitutto le variabili di stato. Sia x1 ¼ yðtÞ; allora,
x_1 ¼ y_ðtÞ
ð17:12:2:Þ
x2 ¼ x_1 ¼ y_ðtÞ
ð17:12:3Þ
Sia ora
Si noti che in questo caso si sta trattando un sistema del secondo ordine, che di norma presenta due
termini del primo ordine nella soluzione.
Si ha ora x_2 ¼ y€ðtÞ, in cui è possibile esprimere il valore di x_2 usando la (17.12.1), cioè
x_2 ¼ y€ðtÞ ¼ 2yðtÞ 3y_ðtÞ þ 5zðtÞ ¼ 2x1 3x2 þ 5zðtÞ
ð17:12:4Þ
Usando le Equazioni da (17.12.2) a (17.12.4), si possono ora scrivere le seguenti equazioni matriciali:
x1
x_1
0
1
0
zðtÞ
ð17:12:5Þ
¼
þ
2 3 x2
5
x_2
x
yðtÞ ¼ ½1 0 1
x2
ð17:12:6Þ
Si determina ora la funzione di trasferimento.
1 0
0
1
s 1
sI A ¼ s
¼
0 1
2 3
2 sþ3
La sua inversa è
ðsI AÞ1
sþ3 1
2 s
¼
sðs þ 3Þ þ 2
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17.6 Applicazioni
La funzione di trasferimento è allora
0
sþ3 1
5
ð1 0Þ
5
2 s
5s
¼
sðs þ 3Þ þ 2
sðs þ 3Þ þ 2
ð1 0Þ
HðsÞ ¼ CðsI AÞ1 B ¼
¼
5
ðs þ 1Þðs þ 2Þ
Per verificarla, si può calcolare direttamente la trasformata di Laplace di ciascuno dei termini della
(17.12.1). Essendo nulle le condizioni iniziali, si ottiene
½s2 þ 3s þ 2Y ðsÞ ¼ 5ZðsÞ ! HðsÞ ¼
Y ðsÞ
5
¼ 2
ZðsÞ
s þ 3s þ 2
che è in accordo con il risultato appena ottenuto.
n Esercizio 17.12 Scrivere un sistema di equazioni di stato che rappresentino la seguente
equazione differenziale.
d3y
d2y
dy
þ 6 2 þ 11
þ 6y ¼ zðtÞ
3
dt
dt
dt
Risposta
2
3
0
1
0
4
A¼ 0
0
1 5;
6 11 6
2 3
0
B ¼ 4 0 5;
1
C ¼ ½1 0
0 :
n
17.6 APPLICAZIONIy
Sono state fino a qui considerate tre applicazioni della trasformata di Laplace: l’analisi
dei circuiti con ingressi comunque variabili, la determinazione di funzioni di trasferimento e la risoluzione di equazioni integrodifferenziali. La trasformata di Laplace trova applicazione anche in altre aree della analisi dei circuiti, della elaborazione dei segnali e dei sistemi di controllo. Verranno ora qui presentate due altre importanti applicazioni: la stabilità delle reti e la sintesi dei circuiti.
17.6.1 Stabilità
Un circuito si dice stabile se la sua risposta all’impulso hðtÞ si mantiene limitata (cioè
se hðtÞ converge a un valore finito) quando t ! 1; si dice instabile se hðtÞ cresce invece senza limite per t ! 1. In termini matematici, un circuito è stabile quando
lim jhðtÞj < 1
t!1
ð17:26Þ
Poiché la funzione di trasferimento HðsÞ è la trasformata di Laplace della risposta all’impulso hðtÞ, HðsÞ dovrà soddisfare a un qualche criterio affinché la (17.26) risulti
verificata. Si ricordi che HðsÞ può essere scritta come
HðsÞ ¼
N ðsÞ
DðsÞ
ð17:27Þ
in cui le radici di N ðsÞ ¼ 0 si chiamano zeri di HðsÞ, perché rendono HðsÞ ¼ 0, mentre le radici di DðsÞ ¼ 0 si chiamano poli di HðsÞ perché provocano HðsÞ ! 1. Gli
zeri e i poli di HðsÞ spesso sono situati nel piano s come si vede in Figura 17.26(a). Si
ricordi dalle (15.47) e (15.48) che HðsÞ può anche essere scritta in termini dei suoi poli come
HðsÞ ¼
N ðsÞ
N ðsÞ
¼
DðsÞ
ðs þ p1 Þðs þ p2 Þ ðs þ pn Þ
ð17:28Þ
HðsÞ deve soddisfare a due requisiti perché il circuito sia stabile. Il primo è che il gra-
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21
22
Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
do di N ðsÞ deve essere minore del grado di DðsÞ; in caso contrario, la divisione dei polinomi produrrebbe
HðsÞ ¼ kn sn þ kn1 sn1 þ þ k1 s þ k0 þ
RðsÞ
DðsÞ
ð17:29Þ
in cui il grado di RðsÞ, il resto della divisione, è minore del grado di DðsÞ.
L’antitrasformata di HðsÞ nella (17.29) non soddisfa la condizione della (17.26).
Come secondo requisito, tutti i poli di HðsÞ nella (17.27) (cioè, tutte le radici di
DðsÞ ¼ 0) devono avere parte reale negativa; in altre parole, tutti i poli devono risiedere nella metà sinistra del piano s, come mostra l’esempio di Figura 17.26(b). La ragione di ciò risulta evidente se si esegue la antitrasformata di Laplace di HðsÞ nella
(17.27). Poiché la (17.27) è simile alla (15.48), la sua espansione in frazioni parziali è
simile a quella della (15.53) e quindi l’antitrasformata di HðsÞ risulta simile alla
(15.53). Allora,
hðtÞ ¼ ðk1 ep1 t þ k2 ep2 t þ þ kn epn t Þ
ð17:30Þ
Da questa equazione si vede che ciascun polo pi deve essere positivo (cioè, il polo
s ¼ pi deve stare nel semipiano sinistro) affinché epi t diminuisca al crescere di t.
Riassumendo,
Figura 17.26
Il piano complesso s:
(a) posizioni di poli e zeri,
(b) semipiano sinistro
Un circuito è stabile quando tutti i poli della sua funzione di trasferimento HðsÞ sono situati
nella metà sinistra del piano s.
Figura 17.27
Un circuito instabile non raggiunge mai la condizione di regime, perché la risposta
transitoria non tende a zero al passare del tempo. Di conseguenza, l’analisi a regime
(stazionario o sinusoidale) può essere applicata solo ai circuiti stabili.
Un circuito costituito di soli elementi passivi (R, L e C) e generatori indipendenti
non può essere instabile, perché ciò implicherebbe che una qualche corrente o tensione di ramo cresce indefinitamente, in presenza di generatori tutti a zero. Gli elementi
passivi non possono dare luogo a una simile crescita indefinita. I circuiti passivi sono
quindi stabili, oppure hanno poli con parte reale nulla. Per convincersene, si consideri
il circuito RLC serie in Figura 17.27. La funzione di trasferimento è data da
Circuito RLC serie.
HðsÞ ¼
Vo
1=sC
¼
Vs
R þ sL þ 1=sC
cioè
HðsÞ ¼
1=LC
s2 þ sR=L þ 1=LC
ð17:31Þ
Si noti che DðsÞ ¼ s2 þ sR=L þ 1=LC ¼ 0 coincide con l’equazione caratteristica ottenuta per il circuito RLC serie nella (8.8). Il circuito ha i poli in
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
ð17:32Þ
p1;2 ¼ 2 !0 2
con
¼
R
,
2L
!0 ¼
1
LC
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17.6 Applicazioni
23
Per R, L, C > 0, i due poli sono sempre situati nella metà di sinistra del piano s, il che
significa che il circuito è sempre stabile. Tuttavia, quando R ¼ 0, ¼ 0 e il circuito
diviene instabile. Nonostante questa sia una situazione teoricamente possibile, nella
pratica essa non può mai presentarsi perché R non è mai esattamente zero. D’altra parte, circuiti attivi o circuiti passivi contenenti generatori comandati possono produrre
energia, e quindi possono diventare instabili. Infatti, un tipico esempio di circuito progettato per essere instabile è un oscillatore. Un oscillatore viene progettato in modo
che la sua funzione di trasferimento abbia la forma
HðsÞ ¼
N ðsÞ
N ðsÞ
¼
s2 þ !0 2
ðs þ j!0 Þðs j!0 Þ
ð17:33Þ
in modo che l’uscita risulti sinusoidale.
Esempio 17.13
Determinare i valori di k per i quali il circuito di Figura 17.28 risulta stabile.
Figura 17.28
Per l’Esempio 17.13.
Soluzione: Applicando l’analisi agli anelli al circuito del primo ordine in Figura 17.28 si ottiene
Vi ¼
e
1
I2
Rþ
I1 sC
sC
ð17:13:1Þ
1
I1
I2 0 ¼ kI1 þ R þ
sC
sC
o anche
1
1
I1 þ R þ
I2
0¼ kþ
sC
sC
ð17:13:2Þ
Le (17.13.1) e (17.13.2) possono essere scritte in forma matriciale
3
2 1
1
R
þ
6
7 sC
sC
Vi
7 I1
6
¼6 7
0
4
1
1 5 I2
Rþ
kþ
sC
sC
Il determinante è
¼
Rþ
1
sC
2
k
1
sR2 C þ 2R k
2 2 ¼
sC
s C
sC
ð17:13:3Þ
L’equazione caratteristica ( ¼ 0) fornisce un polo singolo in
p¼
k 2R
R2 C
che risulta negativo quando k < 2R. Si conclude perciò che il circuito è stabile quando k < 2R, e instabile per k > 2R.
n Esercizio 17.13 Per quale valore di il circuito in Figura 17.29 risulta stabile?
Figura 17.29
Per l’Esercizio 17.13.
Risposta > 1=R.
n
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24
Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
Esempio 17.14
Un filtro attivo ha la funzione di trasferimento
HðsÞ ¼
k
s2 þ sð4 kÞ þ 1
Per quali valori di k il filtro risulta stabile?
Soluzione: Trattandosi di un circuito del secondo ordine, HðsÞ può essere scritta come
HðsÞ ¼
NðsÞ
s2 þ bs þ c
con b ¼ 4 k, c ¼ 1 e N ðsÞ ¼ k: I poli sono dati da p2 þ bp þ c ¼ 0, cioè
pffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
b b2 4c
p1;2 ¼
2
Perché il circuito risulti stabile, i poli devono essere situati nel semipiano sinistro del piano s.
Questo implica che b > 0. Applicando tutto ciò alla HðsÞ data si conclude che, affinché il circuito risulti stabile, deve essere 4 k > 0 cioè k < 4.
n Esercizio 17.14 Un circuito attivo del secondo ordine ha funzione di trasferimento
HðsÞ ¼
1
s2 þ sð10 þ Þ þ 25
Determinare l’intervallo dei valori di per i quali il circuito è stabile. Qual è il valore di che
dà luogo a oscillazioni?
Risposta > 10, ¼ 10.
n
17.6.2 Sintesi
La sintesi delle reti può essere definita come il procedimento per ottenere una opportuna rete in modo che essa possieda una funzione di trasferimento assegnata. Nella analisi delle reti, si determina la funzione di trasferimento per una rete assegnata. Nella
sintesi, il problema è l’inverso: data una funzione di trasferimento, si vuole determinare la rete corrispondente.
La sintesi consiste nel costruire una rete che ammetta una data funzione di trasferimento.
Si tenga presente che nei problemi di sintesi si possono avere molte risposte diverse
– o anche nessuna risposta – perché esistono molti circuiti che possono essere usati
per rappresentare la stessa funzione di trasferimento; nella analisi delle reti, invece,
c’è sempre una e una sola risposta.
La sintesi delle reti è un campo di estrema importanza per l’ingegneria. La capacità
di esaminare una funzione di trasferimento e di capire quale circuito essa rappresenta
è una importante dote del progettista di circuiti. La sintesi dei circuiti richiederebbe un
intero corso per la sua presentazione e presuppone inoltre una buona dose di esperienza; gli esempi che seguono servono come introduzione al problema.
Esempio 17.15
Data la funzione di trasferimento
HðsÞ ¼
Vo ðsÞ
10
¼ 2
Vi ðsÞ
s þ 3s þ 10
realizzare la funzione mediante il circuito di Figura 17.30(a). (a) Scegliere R ¼ 5 , e determinare L
e C. (b) Scegliere R ¼ 1 , e determinare L e C.
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17.6 Applicazioni
25
Figura 17.30
Per l’Esempio 17.15.
Soluzione: L’equivalente nel dominio s del circuito in Figura 17.30(a) è mostrato in Figura
17.30(b). La composizione parallelo di R e C fornisce
1
R=sC
R
R
sC ¼ R þ 1=sC ¼ 1 þ sRC
Per la regola del partitore di tensione,
Vo ¼
R=ð1 þ sRCÞ
R
Vi ¼
Vi
sL þ R=ð1 þ sRCÞ
sLð1 þ sRCÞ þ R
e quindi
Vo
R
1=LC
¼ 2
¼ 2
Vi
s RLC þ sL þ R
s þ s=RC þ 1=LC
Confrontando quest’ultima con la funzione di trasferimento HðsÞ data si vede che
1
¼ 10,
LC
1
¼3
RC
Esistono molti valori di R, L e C che soddisfano questi requisiti. Per questa ragione, il valore di uno
degli elementi è stato specificato, cosı̀ che gli altri possano essere determinati univocamente.
(a) Se si sceglie R ¼ 5 , allora
C¼
1
¼ 66:67 mF,
3R
L¼
1
¼ 1:5 H
10C
(b) Se si sceglie R ¼ 1 , allora
C¼
1
¼ 0:333 F,
3R
L¼
1
¼ 0:3 H
10C
La scelta R ¼ 1 può essere considerata come una normalizzazione del progetto. In questo esempio, sono stati utilizzati elementi passivi per realizzare la funzione di trasferimento data. Si sarebbe
potuto ottenere lo stesso risultato usando elementi attivi, come mostra il prossimo esempio.
n Esercizio 17.15 Realizzare la funzione
GðsÞ ¼
Vo ðsÞ
4s
¼ 2
Vi ðsÞ
s þ 4s þ 20
mediante il circuito in Figura 17.31. Scegliere R ¼ 2 e determinare L e C.
Figura 17.31
Per l’Esercizio 17.15.
Risposta 0.5 H, 0.1 F.
n
Esempio 17.16
Sintetizzare la funzione
T ðsÞ ¼
Vo ðsÞ
106
¼ 2
s þ 100s þ 106
Vs ðsÞ
usando la topologia di Figura 17.32.
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26
Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
Figura 17.32
Per l’Esempio 17.16.
Soluzione: Si applica l’analisi nodale ai nodi 1 e 2. Al nodo 1,
ðVs V1 ÞY1 ¼ ðV1 Vo ÞY2 þ ðV1 V2 ÞY3
ð17:16:1Þ
ðV1 V2 ÞY3 ¼ ðV2 0ÞY4
ð17:16:2Þ
Y1 Vs ¼ ðY1 þ Y2 þ Y3 ÞV1 ðY2 þ Y3 ÞVo
ð17:16:3Þ
Al nodo 2,
Ma V2 ¼ Vo , e la (17.16.1) diventa
mentre la (17.16.2) diventa
V1 Y3 ¼ ðY3 þ Y4 ÞVo
cioè
V1 ¼
1
ðY3 þ Y4 ÞVo
Y3
ð17:16:4Þ
Sostituendo la (17.16.4) nella (17.16.3) si ottiene
Y1 Vs ¼ ðY1 þ Y2 þ Y3 Þ
1
ðY3 þ Y4 ÞVo ðY2 þ Y3 ÞVo
Y3
da cui
Y1 Y3 Vs ¼ ½Y1 Y3 þ Y4 ðY1 þ Y2 þ Y3 ÞVo
Perciò,
Vo
Y1 Y3
¼
Vs
Y1 Y3 þ Y4 ðY1 þ Y2 þ Y3 Þ
ð17:16:5Þ
Per sintetizzare la funzione di trasferimento T ðsÞ, essa va confrontata con quella della (17.16.5). Si
notano due cose: (1) Y1 Y3 non deve dipendere da s, perché il numeratore di TðsÞ è costante; (2) la
funzione di trasferimento data è del secondo ordine, il che implica che sono necessari due condensatori. Bisogna perciò fare Y1 e Y3 resistive, mentre Y2 e Y4 devono essere capacitive. Si sceglie allora
Y1 ¼
1
,
R1
Y2 ¼ sC1 ,
Y3 ¼
1
,
R2
Y4 ¼ sC2
ð17:16:6Þ
Sostituendo la (17.16.6) nella (17.16.5) si ottiene
Vo
1=ðR1 R2 Þ
¼
Vs
1=ðR1 R2 Þ þ sC2 ð1=R1 þ 1=R2 þ sC1 Þ
¼
1=ðR1 R2 C1 C2 Þ
s2 þ sðR1 þ R2 Þ=ðR1 R2 C1 Þ þ 1=ðR1 R2 C1 C2 Þ
Confrontando quest’ultima con la funzione di trasferimento T ðsÞ data, si deduce che
1
¼ 106 ,
R1 R2 C1 C2
R1 þ R2
¼ 100
R1 R2 C1
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17.7 Calcolo di funzioni di trasferimento
27
Se si sceglie R1 ¼ R2 ¼ 10 k, allora
C1 ¼
C2 ¼
R1 þ R2
20 103
¼
¼ 2 F
100R1 R2
100 100 106
106
106
¼
¼ 5 nF
R1 R2 C1
100 106 2 106
La funzione di trasferimento data viene allora realizzata dal circuito mostrato in Figura 17.33.
Figura 17.33
Per l’Esempio 17.16.
n Esercizio 17.16 Sintetizzare la funzione
Vo ðsÞ
2s
¼ 2
Vin
s þ 6s þ 10
utilizzando il circuito con amplificatore operazionale mostrato in Figura 17.34. Scegliere
Y1 ¼
1
,
R1
Y2 ¼ sC1 ,
Y3 ¼ sC2 ,
Y4 ¼
1
R2
Si ponga R1 ¼ 1 k, e si determinino C1 , C2 e R2 .
Figura 17.34
Per l’Esercizio 17.16.
Risposta 0.1 mF, 0.5 mF, 2 k:
n
17.7 CALCOLO DI FUNZIONI DI TRASFERIMENTO
CON MATLAB
MATLAB è uno strumento software che trova largo uso nei calcoli e nelle simulazioni
che interessano molti campi dell’ingegneria. Una breve introduzione a MATLAB destinata ai principianti è presentata nella Appendice presente sul sito web dedicato al libro. Il presente paragrafo illustra l’uso di MATLAB per il calcolo numerico della maggior parte delle quantità che sono state presentate in questo capitolo e nel Capitolo 15.
Per descrivere un sistema in MATLAB bisogna specificarne il numeratore (num) e il
denominatore (den) della funzione di trasferimento. Una volta fatto ciò, è possibile
utilizzare molti dei comandi di MATLAB per ottenere i diagrammi di Bode del sistema
o la risposta del sistema a un ingresso specificato.
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28
Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
Il comando bode genera i diagrammi di Bode (di modulo e di fase) di una funzione di
trasferimento data HðsÞ. Il formato del comando è bode (num, den), in cui num è il
numeratore di HðsÞ e den è il denominatore. L’intervallo delle frequenze e il numero
di punti vengono scelti automaticamente dal programma. Per esempio, si consideri la
funzione di trasferimento dell’Esempio 14.3. È bene innanzitutto scrivere il numeratore e il denominatore in forma polinomiale, cioè
HðsÞ ¼
200j!
200s
,
¼ 2
ðj! þ 2Þðj! þ 10Þ
s þ 12s þ 20
s ¼ j!
ð17:34Þ
Digitando i comandi che seguono è possibile produrre i diagrammi di Bode mostrati
in Figura 17.35. Se necessario, si può aggiungere il comando logspace per avere le
frequenze spaziate in modo logaritmico e il comando semilogx per ottenere una scala
semilogaritmica.
>> num = [200 0]; % specifica il numeratore di H(s)
>> den = [1 12 20]; % specifica il denominatore di H(s)
>> bode(num, den); % calcola e disegna i diagrammi di Bode
Diagrammi di Bode
Fase (°)
Diagrammi di modulo e fase.
Modulo (dB)
Figura 17.35
20
10
0
−10
−20
50
0
−50
10−2
101
10−1
100
Frequenza (rad/s)
Figura 17.36
102
Risposta al gradino
Risposta al gradino di
HðsÞ ¼ 12=ðs2 þ 3s þ 12Þ.
1.2
1
Ampiezza
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.5
1
1.5 2 2.5
Tempo (s)
3
3.5
4
La risposta al gradino yðtÞ di un sistema è l’uscita del sistema quando l’ingresso xðtÞ è
la funzione gradino unitario. Il comando step produce il grafico della risposta al gradino di un sistema dati numeratore e denominatore della funzione di trasferimento.
L’intervallo di tempo del grafico e il numero di punti vengono scelti automaticamente
dal programma. Si consideri, per esempio, un sistema del secondo ordine con funzione di trasferimento
12
HðsÞ ¼ 2
ð17:35Þ
s þ 3s þ 12
È possibile ottenere la risposta al gradino mostrata in Figura 17.36 digitando i seguenti comandi.
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DOMANDE DI RIEPILOGO
29
>> n = 12;
>> d = [1 3 12];
>> step(n,d);
Si può verificare il grafico in Figura 17.36 tracciando quello di yðtÞ ¼ xðtÞ uðtÞ oppure Y ðsÞ ¼ X ðsÞHðsÞ.
Il comando lsim è più generale di step, e consente di calcolare la risposta nel dominio del tempo di un sistema a un segnale di ingresso arbitrario. Il formato del comando è y ¼ lsim(num, den, x, t), dove xðtÞ è il segnale di ingresso, t è il vettore dei tempi
e yðtÞ è l’uscita generata. Per esempio, si supponga che un sistema sia descritto dalla
funzione di trasferimento
HðsÞ ¼
s3
sþ4
þ 2s2 þ 5s þ 10
ð17:36Þ
Per determinare la risposta yðtÞ del sistema all’ingresso xðtÞ ¼ 10et uðtÞ, si usano i seguenti comandi MATLAB. La risposta yðtÞ e l’ingresso xðtÞ sono rappresentati in
Figura 17.37
>> t = 0:0.02:5; % vettore dei tempi 0 < t < 5 con incremento 0.02
>> x = 10*exp(-t);
>> num = [1 4];
>> den = [1 2 5 10];
>> y = lsim(num,den,x,t);
>> plot(t,x,t,y)
Figura 17.37
y(t)
x(t)
Risposta del sistema descritto da
HðsÞ ¼ ðs þ 4Þ=ðs3 þ 2s2 þ 5s þ 10Þ
a un ingresso esponenziale.
10
8
6
4
2
0
−2
−4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
DOMANDE DI RIEPILOGO
17.1
La tensione su un resistore la cui corrente è iðtÞ, nel
dominio s, è sRI ðsÞ.
(a) Vero
(b) Falso
La corrente in un circuito RL serie con tensione di
ingresso vðtÞ è data nel dominio s da:
1
(a) V ðsÞ R þ
(b) V ðsÞðR þ sLÞ
sL
V ðsÞ
V ðsÞ
(d)
(c)
R þ 1=sL
R þ sL
17.3
L’impedenza di un condensatore da 10 F è:
17.4
(b) s=10
(c) 1=10s
La funzione di trasferimento è definita soltanto quando
tutte le condizioni iniziali sono nulle.
(a) Vero
17.2
(a) 10=s
17.5
(b) Falso
17.6
Se l’ingresso di un sistema lineare è ðtÞ e l’uscita è
e2t uðtÞ, la funzione di trasferimento del sistema è:
1
1
s
s
(a)
(b)
(c)
(d)
sþ2
s2
sþ2
s2
(e) Nessuna delle precedenti
17.7
Se la funzione di trasferimento di un sistema è
HðsÞ ¼
(d) 10s
s3
s2 þ s þ 2
þ 4s2 þ 5s þ 1
Di solito, è possibile ottenere l’equivalente Thevenin nel
dominio del tempo.
ne segue che l’ingresso è X ðsÞ ¼ s3 þ 4s2 þ 5s þ 1,
mentre l’uscita è Y ðsÞ ¼ s 2 þ s þ 2.
(a) Vero
(a) Vero
(b) Falso
(b) Falso
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ð1Þ
30
17.8
Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
(a) x_ ¼ Ax þ Bz
(b) y ¼ Cx þ Dz
(c) HðsÞ ¼ Y ðsÞ=ZðsÞ
(d) HðsÞ ¼ CðsI AÞ1 B
17.9
Quale delle seguenti matrici non è corretta?
2 1
3
(a) A ¼
(b) B ¼
0 4
1
Quale delle seguenti equazioni è detta equazione di
stato?
(c) C ¼ ½3 2
Un sistema ad un ingresso ed una uscita è descritto dal
modello di stato:
(d) D ¼ 0
17.10 Quale comando MATLAB si utilizza per ottenere la
risposta in frequenza di un sistema?
(a) root
x_1 ¼ 2x1 x2 þ 3z
x_2 ¼ 4x2 z
y ¼ 3x1 2x2 þ z
(b) step
(c) bode (d) lsim
(e) rlocus
Risposte: 17.1b, 17.2d, 17.3c, 17.4b, 17.5b, 17.6a, 17.7b,
17.8a, 17.9d, 17.10c.
PROBLEMI
Paragrafi 17.2 e 17.3
17.1
Modelli di elementi circuitali
e analisi di circuiti
17.4
Determinare vo ðtÞ nel circuito in Figura 17.41.
6Ω
Determinare iðtÞ nel circuito di Figura 17.38 per mezzo
della trasformata di Laplace.
1Ω
e−tu(t)
1
10
+
−
+
vo(t)
−
F
i(t)
Figura 17.41
u(t)
1H
+
−
17.5
1F
Per il Problema 17.4.
2t
Se is ðtÞ ¼ e uðtÞ A nel circuito mostrato in
Figura 17.42, determinare il valore di io ðtÞ.
io(t)
1H
Figura 17.38
17.2
is(t)
Per il Problema 17.1.
Determinare vx nel circuito mostrato in Figura 17.39 nota
vs ¼ 4uðtÞ V.
Figura 17.42
17.6
1
8F
1H
1H
2Ω
0.5 F
Per il Problema 17.5.
Determinare io ðtÞ nel circuito mostrato in Figura 17.43
data is ðtÞ ¼ 5e2t A.
2Ω
vs +
−
Figura 17.39
17.3
+
vx
−
io
4Ω
2Ω
is
Per il Problema 17.2.
0.1 F
Figura 17.43
Determinare vo ðtÞ nel circuito mostrato in Figura 17.40
data is ðtÞ ¼ 5uðtÞ A.
17.7
1H
Per il Problema 17.6.
Utilizzare la trasformata di Laplace per calcolare ix nel
circuito di Figura 17.44.
1F
1H
is(t)
Figura 17.40
1Ω
2
Per il Problema 17.3.
1Ω
+
vo(t)
−
1 Ω
8
2e−tu (t) V
2H
+
−
Figura 17.44
Per il Problema 17.7.
Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright © 2014 - McGraw-Hill Education (Italy)
ix
PROBLEMI
17.8
Determinare l’impedenza di ingresso di ciascuna delle
reti in Figura 17.45.
1
s
2s
17.12 Determinare vo ðtÞ nel circuito di Figura 17.49.
1H
10e−tu(t)
1
1
31
V +
−
+
vo(t)
−
2F
Figura 17.49
4Ω
3u(t) A
Per il Problema 17.12.
17.13 Determinare io ðtÞ nel circuito di Figura 17.50.
(a)
1F
2H
io
Figura 17.50
Per il Problema 17.13.
*17.14 Determinare io ðtÞ nella rete mostrata in Figura 17.51.
(b)
17.9
1Ω
Per il Problema 17.8.
5 + 10u(t) V
1Ω
2Ω
1H
2Ω
0.5 F
4Ω
io
Determinare l’impedenza di ingresso Zin ðsÞ di ciascuno
dei circuiti in Figura 17.46.
1H
Figura 17.51
+
−
1
F
4
2H
Per il Problema 17.14.
17.15 Determinare Vx ðsÞ nel circuito mostrato in Figura 17.52.
1F
(a)
10 Ω
0.25 H
1Ω
+
(b)
Figura 17.46
1Ω
s
1
1
s
Figura 17.45
e−2tu(t) A
2Ω
1
3Vx
Per il Problema 17.9.
+
−
Vx
−
+ 5e−2t u(t) V
−
0.2 F
17.10 Ai terminali a-b del circuito in Figura 17.47, determinare
i circuiti equivalenti di Thevenin e Norton.
Figura 17.52
1
s
a
Per il Problema 17.15.
*17.16 Determinare io ðtÞ per t > 0 nel circuito di Figura 17.53.
+ vo −
2Ω
+
2
s+1
2
1Ω
2Vo
Vo
−
1F
5e−2tu(t) V
b
Figura 17.47
+
−
0.5vo
1H
Per il Problema 17.10.
17.11 Calcolare le correnti di anello nel circuito di Figura 17.48.
1
4
F
+
−
+
−
Figura 17.53
3u(−t) V
io
Per il Problema 17.16.
17.17 Calcolare io ðtÞ per t > 0 nella rete di Figura 17.54.
1H
2e−tu(t) V
u(t)
+
−
i1
2Ω
i2
+
−
4e−2tu(t)
+−
1F
Figura 17.48
io
1H
Per il Problema 17.11.
1Ω
* L’asterisco denota un problema di difficoltà superiore alla media.
Figura 17.54
4u(t) A
1Ω
Per il Problema 17.17.
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32
Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
17.18 (a) Determinare la trasformata di Laplace della tensione
mostrata in Figura 17.55(a). (b) Utilizzando il valore di
vs ðtÞ di Figura 17.55(a) nel circuito di Figura 17.55(b),
determinare il valore di vo ðtÞ.
Figura 17.59
1s
v2
1
3F
2Ω
1Ω
is
vs (t)
3V
0
4H
v1
Per il Problema 17.22.
t
(a)
17.23 Nel circuito RLC parallelo di Figura 17.60, determinare
vðtÞ e iðtÞ se vð0Þ ¼ 5 e ið0Þ ¼ 2 A.
1Ω
i
vs (t)
+
−
+
vo(t)
−
1F
10 Ω
4u(t) A
2Ω
Figura 17.60
1
80
4H
+
v
−
F
Per il Problema 17.23.
(b)
Figura 17.55
Per il Problema 17.18.
17.19 Nel circuito di Figura 17.56 si ha ið0Þ ¼ 1A,
vo ð0Þ ¼ 2V e vs ¼ 4e2t uðtÞ V. Determinare vo ðtÞ per
t > 0.
16 Ω
−+
i
+
−
Figura 17.56
t=0
2i
2Ω
vs
17.24 L’interruttore nel circuito di Figura 17.61 è rimasto
chiuso per molto tempo, e viene aperto per t ¼ 0.
Determinare vo ðtÞ per t > 0 usando la trasformata di
Laplace.
+
vo
−
1F
1H
4Ω
9A
+
vo
−
Per il Problema 17.19.
17.20 Determinare vo ðtÞ nel circuito di Figura 17.57 se
vx ð0Þ ¼ 2 V e ið0Þ ¼ 1 A.
+ vx −
i
1F
e−tu(t) A
1Ω
1Ω
1H
Figura 17.61
Per il Problema 17.24.
17.25 Nel circuito RLC mostrato in Figura 17.62, determinare
la risposta completa se vð0Þ ¼ 2 V alla chiusura
dell’interruttore.
+
vo
−
t=0
2 cos 4t V
Figura 17.57
5Ω
0.5 F
6Ω
+
−
1H
1
9
+
v
−
F
Per il Problema 17.20.
17.21 Determinare la tensione vo ðtÞ nel circuito di Figura 17.58
usando la trasformata di Laplace.
1Ω
1H
2Ω
10u(t) V
0.5 F
Figura 17.58
Per il Problema 17.21.
1F
Figura 17.62
Per il Problema 17.25.
17.26 Nel circuito con operazionale di Figura 17.63,
determinare vo ðtÞ per t > 0, se vs ¼ 3e5t uðtÞ V.
10 kΩ
+
v
−o
50 µF
20 kΩ
vs
17.22 Determinare le tensioni di nodo v1 e v2 nel circuito di
Figura 17.59 usando il metodo della trasformata di
Laplace. Si supponga che is ¼ 12et uðtÞ A e che tutte le
condizioni iniziali siano nulle.
+
−
Figura 17.63
−
+
vo
Per il Problema 17.26.
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PROBLEMI
17.27 Determinare I1 ðsÞ e I2 ðsÞ nel circuito di Figura 17.64.
2Ω
33
1H
1H
i1
10e−3tu(t) V
Figura 17.64
2H
+
−
i2
2H
1Ω
+
−
vs
1Ω
4Ω
Figura 17.67
+
vo
−
0.1 F
Per il Problema 17.34.
17.35 Calcolare la funzione di trasferimento HðsÞ ¼ Vo =Vs per
il circuito di Figura 17.68.
Per il Problema 17.27.
i
17.28 Nel circuito di Figura 17.65, determinare vo ðtÞ per t > 0.
0.5 F
1H
1H
1Ω
+
−
6u(t)
Figura 17.65
2H
1H
2Ω
+
vo
−
Figura 17.68
17.29 Nel circuito con trasformatore ideale di Figura 17.66,
determinare io ðtÞ.
Figura 17.66
Paragrafo 17.4
Per il Problema 17.35.
(a) I1 =Vs
(b) I2 =Vx
i1
io
+
−
+
vo
−
3Ω
17.37 Nel circuito di Figura 17.69, determinare:
1:2
10e−tu(t) V
2i
17.36 Ripetere il problema precedente per HðsÞ ¼ Vo =I .
Per il Problema 17.28.
1Ω
+
−
vs
0.25 F
vs
8Ω
+
−
Figura 17.69
3Ω
i2
+
vx
−
2H
0.5 F
+
−
4vx
Per il Problema 17.37.
Per il Problema 17.29.
Funzioni di trasferimento
17.30 La funzione di trasferimento di un certo sistema è
HðsÞ ¼
s2
3s þ 1
Determinare l’uscita del sistema quando l’ingresso è
4et=3 uðtÞ.
17.31 Quando l’ingresso di un certo sistema è la funzione
gradino unitario, la risposta è 10 cos 2t uðtÞ. Calcolare la
funzione di trasferimento del sistema.
17.32 Si sa che un certo circuito ha funzione di trasferimento
HðsÞ ¼
sþ3
s2 þ 4s þ 5
Determinare l’uscita del circuito quando:
17.38 Con riferimento alla rete in Figura 17.70, si determinino
le seguenti funzioni di trasferimento:
(a) H1 ðsÞ ¼ Vo ðsÞ=Vs ðsÞ
(b) H2 ðsÞ ¼ Vo ðsÞ=Is ðsÞ
(c) H3 ðsÞ ¼ Io ðsÞ=Is ðsÞ
(d) H4 ðsÞ ¼ Io ðsÞ=Vs ðsÞ
is
vs
+
−
Figura 17.70
1Ω
1Η
1F
1F
1Ω
+
vo
−
Per il Problema 17.38.
17.39 Calcolare il guadagno HðsÞ ¼ Vo =Vs nel circuito con
operazionale di Figura 17.71.
(a) l’ingresso è la funzione gradino unitario
(b) l’ingresso è 6te2t uðtÞ.
17.33 Quando ad un certo sistema viene applicato un gradino
unitario in t ¼ 0, la sua risposta è
1
yðtÞ ¼ 4 þ e3t e2t ð2 cos 4t þ 3 sin 4tÞ uðtÞ
2
io
+
−
+
R
vs +
−
vo
C
Figura 17.71
−
Per il Problema 17.39.
Quale è la funzione di trasferimento del sistema?
17.34 Per il circuito in Figura 17.67, determinare
HðsÞ ¼ Vo ðsÞ=Vs ðsÞ, supponendo nulle le condizioni
iniziali.
17.40 Con riferimento al circuito RL di Figura 17.72,
determinare:
(a) la risposta all’impulso hðtÞ del circuito
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34
Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
(b) la risposta al gradino unitario del circuito.
*17.49 Ricavare le equazioni di stato per la seguente equazione
differenziale.
L
vs
Figura 17.72
+
−
d 2 yðtÞ
5 dyðtÞ
dzðtÞ
þ
¼ 6yðtÞ ¼
þ zðtÞ
dt 2
dt
dt
+
vo
−
R
*17.50 Ricavare le equazioni di stato per la seguente equazione
differenziale.
Per il Problema 17.40.
17.41 Una rete ha risposta all’impulso hðtÞ ¼ 2et uðtÞ.
Determinare la sua uscita quando viene applicato il
segnale di ingresso vi ðtÞ ¼ 5uðtÞ.
17.42 Calcolare la risposta all’impulso del sistema descritto
dalla equazione differenziale
2
dy
þ yðtÞ ¼ xðtÞ
dt
dove xðtÞ è l’ingresso e yðtÞ l’uscita.
17.43 Ricavare le equazioni di stato per il Problema 17.1.
17.44 Ricavare le equazioni di stato per il Problema 17.2.
17.45 Ricavare le equazioni di stato per il circuito mostrato in
Figura 17.73.
1
4
1H
+
vo(t)
−
+
−
v1(t)
F
*17.51 Dato la seguente equazione di stato, risolverla rispetto a
yðtÞ.
4 4
0
x_ ¼
xþ
uðtÞ
2 0
2
yðtÞ ¼ ½1 0x
17.52 Data la seguente equazione di stato, risolvere rispetto a
y1 ðtÞ e y2 ðtÞ.
2 1
1 1 uðtÞ
x_ ¼
xþ
2 4
4 0 2uðtÞ
2 2
2
0 uðtÞ
y¼
xþ
1
0
0 1 2uðtÞ
Paragrafo 17.6
Applicazioni
17.53 Mostrare che il circuito RLC parallelo di Figura 17.76 è
stabile.
+
−
2Ω
d 3 yðtÞ
6 d 2 yðtÞ
11 dyðtÞ
þ
þ
þ 6yðtÞ ¼ zðtÞ
3
dt
dt2
dt
v2(t)
Io
R
Is
Figura 17.73
+
−
+
−vo(t)
2F
Figura 17.74
4Ω
is(t)
Per il Problema 17.53.
h1 ðtÞ ¼ 3et uðtÞ;
h2 ðtÞ ¼ e4t uðtÞ
(a) Calcolare la risposta all’impulso del sistema
complessivo.
(b) Verificare se il sistema complessivo è stabile.
Per il Problema 17.46.
vi
17.47 Scrivere le equazioni di stato per il circuito mostrato in
Figura 17.75.
i1(t)
Figura 17.76
17.54 Un sistema è costituito dal collegamento in cascata di
due sistemi come mostrato in Figura 17.77. Si sa che la
risposta all’impulso dei sistemi componenti è
1H
1
4
F
i2(t)
h 1(t)
Figura 17.77
+
−
Per il Problema 17.54.
17.55 Determinare se il circuito con operazionale di
Figura 17.78 è stabile.
1H
2Ω
+
−
C
v2(t)
R
Figura 17.75
vo
h 2(t)
C
v1(t)
L
Per il Problema 17.45.
17.46 Scrivere le equazioni di stato per il circuito mostrato in
Figura 17.74.
vs (t)
C
Per il Problema 17.47.
−
+
vs
R
+
−
−
+
17.48 Ricavare le equazioni di stato per la seguente equazione
differenziale.
d 2 yðtÞ
4 dyðtÞ
þ
¼ 3yðtÞ ¼ zðtÞ
dt 2
dt
Figura 17.78
Per il Problema 17.55.
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+
vo
−
PROBLEMI
17.56 Si desidera realizzare la funzione di trasferimento
V2 ðsÞ
2s
¼ 2
V1 ðsÞ
s þ 2s þ 6
35
usando la topologia di Figura 17.82. Si ponga
Y1 ¼ 1=R1 , Y2 ¼ 1=R2 , Y3 ¼ sC1 , Y4 ¼ sC2 . Si scelga
R1 ¼ 1k e si determinino C1 , C2 e R2 .
Y4
usando il circuito di Figura 17.79. Scegliere R ¼ 1 k e
determinare L e C.
Y1
Y2
+
−
R
+
v1
L
C
−
Figura 17.79
Vin +
−
+
v2
−
Figura 17.82
Per il Problema 17.56.
17.57 Realizzare la funzione di trasferimento
Paragrafo 17.7
usando il circuito di Figura 17.80. Scegliere R1 ¼ 4 e
R2 ¼ 1 , e determinare L e C.
vi (t)
Figura 17.80
+
−
Per il Problema 17.59.
Calcolo con MATLAB
sþ1
s2 þ 5s þ 6
HðsÞ ¼
17.61 Tracciare i diagrammi di Bode per la seguente funzione
di trasferimento usando MATLAB.
L
C
Y3
17.60 Tracciare i diagrammi di Bode per la seguente funzione
di trasferimento usando MATLAB.
Vo ðsÞ
5
¼ 2
Vi ðsÞ
s þ 6s þ 25
R1
Vo
R2
+
vo(t)
−
HðsÞ ¼
sþ4
s3 þ 6s2 þ 11s þ 6
17.62 Tracciare i diagrammi di Bode per la seguente funzione
di trasferimento usando MATLAB.
Per il Problema 17.57.
17.58 Realizzare la funzione di trasferimento
HðsÞ ¼
Vo ðsÞ
s
¼
Vs ðsÞ
s þ 10
usando il circuito di Figura 17.81, ponendo Y1 ¼ sC1 ,
Y2 ¼ 1=R1 , Y3 ¼ sC2 . Scegliere R1 ¼ 1 k e
determinare C1 e C2 .
sþ1
s2 þ 0:5s þ 1
17.63 Data la seguente funzione di trasferimento, determinarne
la risposta all’ingresso gradino unitario usando MATLAB.
HðsÞ ¼
sþ2
s2 þ 4s þ 3
Y1
17.64 Data la seguente funzione di trasferimento, determinarne
la risposta all’ingresso 10et uðtÞ usando MATLAB.
Y2
Y3
−
+
Vs +
−
HðsÞ ¼
+
Vo
−
17.65 Data la seguente funzione di trasferimento, determinarne
la risposta all’ingresso ð1 þ 3e2t ÞuðtÞ usando MATLAB.
HðsÞ ¼
Figura 17.81
4
s2 þ 5s þ 6
s
s3 þ 6s2 þ 11s þ 6
Per il Problema 17.58.
17.59 Sintetizzare la funzione di trasferimento
Vo ðsÞ
106
¼ 2
s þ 100s þ 106
Vin ðsÞ
17.66 Data la seguente funzione di trasferimento, determinarne
la risposta all’ingresso 5e3t uðtÞ usando MATLAB.
HðsÞ ¼
1
s2 þ s þ 4
Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright © 2014 - McGraw-Hill Education (Italy)
36
Capitolo 17 – Applicazioni della trasformata di Laplace
PROBLEMI DI RIEPILOGO
17.67 Esprimere la funzione di trasferimento del circuito con
operazionale in Figura 17.83 nella forma
Vo ðsÞ
as
¼ 2
Vi ðsÞ
s þ bs þ c
dove a, b e c sono costanti, e calcolare le costanti.
10 kΩ
1 µF
0.5 µF
vi
+
−
Figura 17.83
10 kΩ
(a) Determinare Y ðsÞ.
(b) Una batteria da 8 V viene collegata alla rete attraverso
un interruttore. Se l’interruttore si chiude in t ¼ 0,
determinare la corrente iðtÞ che attraversa Y ðsÞ
usando la trasformata di Laplace.
17.69 Un giratore è un dispositivo utilizzato per simulare un
induttore in un circuito. Un semplice circuito giratore è
mostrato in Figura 17.84. Nel calcolare Vi ðsÞ=Io ðsÞ,
mostrare che l’induttanza prodotta dal giratore è
L ¼ CR2 .
R
−
+
C
vo
R
−
+
vi
Per il Problema 17.67.
17.68 Un certa rete ha ammettenza di ingresso Y ðsÞ.
L’ammettenza ha un polo in s ¼ 3, uno zero in s ¼ 1
e Y ð1Þ ¼ 0:25 S.
R
+
−
Figura 17.84
−
+
io
R
Per il Problema 17.69.
Charles K. Alexander, Matthew N. O. Sadiku, Circuiti elettrici 4/ed - Copyright © 2014 - McGraw-Hill Education (Italy)