15/10/2014
Fisica – 2CFU
Meccanica - 1 parte
Andrea Susa
PRINCIPI GENERALI DELLA
MECCANICA CLASSICA
1
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Meccanica classica
La meccanica classica studia il movimento dei corpi nello spazio a velocità
molto inferiori a quella della luce (300.000/) ovvero di massa superiore
a quella atomica (in generale).
Il movimento dei corpi a velocità luminari ovvero di massa paragonabile a
quella atomica sono studiate dalla meccanica quantistica o relativistica.
I fondamenti della Meccanica classica si devono a Galilei e Newton (XVII
secolo)
Meccanica classica
La meccanica classica è suddivisa in tre parti:
Statica (si occupa dell’equilibrio dei corpi)
Cinematica (si occupa del movimento dei corpi senza indagarne le cause,
ovvero senza analizzare le forze in gioco)
Dinamica (si occupa del movimento dei corpi indagandone le cause,
ovvero le forze in gioco)
2
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Sistema riferimento
Fissiamo un punto nello spazio (0,0,0) ed una terna cartesiana , , ̂,
chiamiamo Sistema di Riferimento (, , , ̂ ):
( , , )
(0,0,0)
Punto materiale
Useremo spesso il concetto di punto materiale:
particella materiale assimilata ad un punto matematico ideale e pertanto
priva di dimensioni spaziali, identificato da un vettore di posizione
all’interno di un sistema di riferimento, dotato di massa.
(0,0,0)
3
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CINEMATICA
Moto relativo e non assoluto
Il concetto di moto è relativo e non assoluto.
Esempio: stando in un treno fermo nel momento in cui dal binario vicino
parte un altro treno non si è in grado di stabilire quale dei due treni è in moto
e quale è fermo (ciascuno è in moto rispetto all'altro) mentre, rispetto alla
stazione, un treno è fermo e l'altro è in movimento.
Il moto di un corpo è –in generale- diverso se esaminato da due diversi
sistemi di riferimento.
4
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Moto relativo e non assoluto
Posizione e traiettoria
Fissato un sistema di riferimento, la posizione di un punto materiale è data
dal vettore posizione (). Questa è una funzione del tempo. Se il punto è in
movimento, () è una funzione non costante in t.
La traiettoria è la linea
che unisce due
posizioni del punto
materiale a tempi
diversi.
La relazione che
esprime la posizione di
un punto materiale in
funzione del tempo è
detta legge oraria
traiettoria
Vettore
spostamento
Il vettore spostamento, ∆ = − non dipende dalla traiettoria, ma solo
dai punti iniziali e finali
5
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Velocità media ed istantanea
Velocità media: rapporto tra l’intero spazio percorso ed il
tempo impiegato.
=
∆
− =
− ∆
Velocità media
Velocità istantanea: velocità ad un dato istante, rapporto tra
un piccolissimo tratto di percorso ed il relativo piccolissimo
intervallo di tempo impiegato.
∆
− = lim
∆#→% ∆
#& →#'
− = lim
Velocità istantanea
coincide con la derivata del
vettore posizione
direzione tangente alla
traiettoria
Accelerazione media ed istantanea
Accelerazione media: rapporto tra la variazione di velocità ed
il tempo impiegato.
( =
∆
− =
∆
− Accelerazione media
Accelerazione istantanea: accelerazione ad un dato istante,
rapporto tra un la variazione di velocità ed il relativo
piccolissimo intervallo di tempo impiegato.
∆
− = lim
∆#→% ∆
#& →#'
− ( = lim
Accelerazione istantanea
coincide con la derivata del
vettore velocità
direzione segue la traiettoria e
si scompone in componente
tangenziale e componente
normale
6
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Tipologia di moto
Studieremo i seguenti tipi di moto:
Moto rettilineo
Moto rettilineo uniforme
Moto uniformemente accelerato
Moto curvilineo
Moto curvilineo uniforme
Moto uniformemente accelerato
Moto armonico
MOTO RETTILINEO
7
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Moto rettilineo uniforme
Chiamiamo moto rettilineo uniforme un moto in cui il vettore velocità è
costante in modulo, direzione e verso
= )*.
Caratteristiche moto
( = 0
Legge oraria
= % + = % + Equazione retta nel piano
cartesiano (x,t)
= )*.
(
Andamento
velocità nel
piano (v,t)
(=0
Andamento
acc. nel
piano (a,t)
Moto uniformemente accelerato
Chiamiamo moto rettilineo uniforme un moto in cui il vettore
accelerazione è costante in modulo, direzione e verso
( = )* = (
Caratteristiche moto
= % + (
Legge oraria
1
= % + % + ( 2
1
= % + % + ( 2
Equazione di una parabola
= % + (
(
( = )*
Andamento
velocità nel
piano (v,t)
Andamento
acc. nel
piano (a,t)
8
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Moto dei gravi
Il moto di caduta libera dei corpi soggetti alla forza gravitazionale è un moto
uniformemente accelerato, in cui l’accelerazione è pari a . = 9,8/ Per un corpo lasciato cadere
(velocità iniziale nulla) da
un’altezza h, valgono le
seguenti relazioni:
= .
1
() = . 2
2ℎ
2345#3 =
.
67389 =
ℎ
Per un corpo lanciato verso l’alto
con vel. % da un’altezza h=0,
valgono le seguenti relazioni:
= % − .
1
= % − . 2
3:
2.ℎ
%
=
.
ℎ3: =
ℎ_(
%
2.
Moto proiettile
Consideriamo un proiettile lanciato con velocità iniziale % che percorra un
moto planare e senza considerare resistenza area ed attriti.
(: = 0
>( = −.
?
ℎ
<
B =
2%,?
.
2%,? ∙ %.:
=
.
= .=((
: = %,: > = − .
?
%,?
1
= %,: ∙ + (: ∙ = %,: ∙ 2
@
1
1
= %,? ∙ + (? ∙ = %,? ∙ − . ∙ 2
2
Velocità iniziale
%,: = % ∙ cos(<)
%,? = % ∙ =F(<)
=
2%
sin(<) ∙ cos(<)
.
9
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ESERCIZI
Esercizi
1.
2.
3.
4.
Un automezzo viaggia su una strada rettilinea alla velocità di 20/
ℎper 30=FH=ed alla velocità di 40/ℎ per 60=FH=. Qual è la
sua velocità media?
Un automezzo viaggia con velocità iniziale pari a 80/ℎ e si ferma in
10 minuti. Quanto vale il modulo dell’accelerazione?
Un corpo di massa 10K . è lasciato cadere su Giove (.LMN9 = 26/
). Ipotizzando assenza di attrito, per toccare il suolo occorrono 10, da
quale altezza è stato lanciato.
Dobbiamo definire la miglior alzata per un cannone, in modo da avere la
gittata massima. Quale deve essere l’angolo di alzata?
10
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SOLUZIONE ESERCIZI
Esercizio 1
Un automezzo viaggia su una strada rettilinea alla velocità di 20/ℎper
30=FH=ed alla velocità di 40/ℎ per 60=FH=. Qual è la sua velocità
media?
=
Δ 50 =
= 33,3
Δ 1,5 ℎ
ℎ
Δ = 20
⋅ 0,5ℎ + 40
⋅ 1ℎ = 50
ℎ
ℎ
Δ = 0,5ℎ + 1ℎ = 1,5ℎ
11
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Esercizio 2
Un automezzo viaggia con velocità iniziale pari a 80/ℎ e si ferma in 10
minuti. Quanto vale il modulo dell’accelerazione?
= % − ( = 0
(=
(=
80/ℎ
= 480km/h
1
ℎ
6
%
Esercizio 3
Un corpo di massa 10K . è lasciato cadere su Giove (.LMN9 = 26/ ).
Ipotizzando assenza di attrito, per toccare il suolo occorrono 10, da quale
altezza è stato lanciato.
2345#3 =
ℎ=
2ℎ
.
1 ℎ = 2345#3
⋅.
2
1
⋅ 10 ⋅ 26 = 1300
2
12
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Esercizio 4
Dobbiamo definire la miglior alzata per un cannone, in modo da avere la
gittata massima. Quale deve essere l’angolo di alzata?
=
2%
sin(<) ∙ cos(<)
.
Il prodotto sin < ⋅ cos < è massimo per < = 45°
ESERCIZI PER CASA
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Esercizi
1.
2.
3.
4.
Un automezzo viaggia su una strada rettilinea alla velocità di 35/ℎper
30=FH=ed alla velocità di 68/ℎ per 60=FH= poi alla velocità di 115
km/h per 15 minuti. Qual è la sua velocità media?
Un automezzo viaggia con velocità iniziale pari a 110/ℎ in un rettilineo e
raggiunge in 36 secondi la velocità di 150 km/h. Quanto vale il modulo
dell’accelerazione?
Un corpo di massa 10K . viene lanciato da terra verso l’alto e raggiunge
l’altezza massima di 7 m in 10 prima di cominciare a cadere. Quanto vale la
velocità iniziale e quanto tempo e necessario per toccare terra?
Due sfere U e U hanno massa pari a = 10. e = 13.. Cadendo
simultaneamente nel vuoto da un’altezza di 20 cosa accade? In quanto
tempo arrivano a terra?
Esercizi
5.
Il seguente grafico rappresenta l’andamento della velocità di un’auto in
funzione del tempo.
a)
Calcolare lo spazio percorso nell’intervallo di tempo compreso tra gli
istanti t = 0 s e t = 10 s.
b) Calcolare l’accelerazione durante la frenata.
c) Calcolare la velocità all’istante t = 8, 3 s.
d) Calcola la velocità media con cui è stato percorso l’intero tragitto.
14
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MOTO CIRCOLARE
Moto circolare uniforme
Il moto circolare uniforme di un punto materiale è un moto con
una traiettoria circolare con velocità costante in modulo.
<
∆
=
∆
T =
X =
2W
∆<
∆
Y =
1
Z
=X⋅
Il vettore velocità è in ogni punto tangente alla
circonferenza . Definiamo velocità periferica il
rapporto tra lo spazio sulla circonferenza
nell’intervallo di tempo
Chiamiamo periodo del moto T, il tempo che
impiega il punto a percorrere l’intera
circonferenza
La velocità angolare X è il rapporto tra l’angolo
∆< descritto dal raggio R nell’intervallo di tempo
∆
La frequenza è il numero di giri completi che
percorre il punto materiale nell’unità di tempo
Velocità periferica e velocità angolare sono
legate dalla relazione
15
15/10/2014
Moto circolare uniforme
Le leggi che regolano il moto circolare uniforme sono le seguenti
=
2W
= 2WY = X
Z
X=
[
\
= 2Wf
In un moto circolare uniforme, l’accelerazione non è nulla,
perché la curvatura rende non nullo il vettore ∆.
(
Il punto è soggetto ad una accelerazione
centripeta, diretta ed orientata in ogni istante
verso il centro della circonferenza
(=
= X ⋅ Moto curvilineo non uniforme
Un punto materiale che si muove su una traiettoria curva ad una velocità non
costante in modulo è soggetto ad una accelerazione diretta verso la concavità
della curva, come risultato di una accelerazione tangenziale (# ed una radiale
o normale (] .
(#
(7
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ESERCIZI
Esercizi
1.
2.
3.
Sia la velocità di un punto che si muove di moto circolare uniforme su
una circonferenza di raggio R e sia X la sua velocità angolare. Il modulo
dell’accelerazione centripeta vale?
Un’automobile percorre una curva di raggio 20 m con una velocità
costante pari a 40 km/h. L’accelerazione dell’automobile è pari a?
Un corpo percorre a velocità costante una circonferenza di raggio
= 6 in 8. Si determini:
a. il modulo della velocità del corpo
b. il modulo dell’accelerazione centripeta
17
15/10/2014
Esercizi
4.
Determinare la velocità angolare di un corpo che, muovendosi a velocità
costante, impiega 39 s per percorrere 7 giri e 3/4 su una traiettoria
circolare.
5.
Un corpo si sta muovendo lungo una circonferenza, impiegando 18 s per
percorrere 5 giri e 2/3. Sapendo che il modulo dell’accelerazione
centripeta è pari a 7/ , determinare:
a) il raggio della circonferenza;
b) il modulo della velocità;
c) la frequenza f.
6.
A quale velocità angolare deve ruotare una centrifuga se una particella a
10 cm dall’asse di rotazione deve subire un’accelerazione di modulo pari
a 800/ ?
MOTO ARMONICO
18
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Moto armonico
Un moto armonico è il moto di un punto materiale che compie oscillazioni
attorno ad una posizione di equilibrio o centro di oscillazione.
Ad esempio, un punto P che si muove di moto circolare uniforme, la sua
proiezione _′ sul diametro AB della circonferenza descrive un moto armonico
<
_
_′
A ampiezza delle oscillazioni
(il massimo spostamento
dalla posizione di equilibrio
= ⋅ sin(X)
A
-A
( = −X ⋅ L’accelerazione è direttamente
proporzionale allo spostamento
dalla posizione di equilibrio, ma di
verso opposto; l’accelerazione è
nulla nella posizione di equilibrio
e di intensità massima agli
estremi dell’oscillazione
ESERCIZI
19
15/10/2014
Esercizi
1.
2.
3.
Una nave con la prua perpendicolare alle onde ha un moto di beccheggio
verticale che approssimativamente può essere assimilato ad un moto
armonico. Tra un’onda ed un’altra passano 7, mentre la prua si sposta di
3. Determinare velocità ed accelerazione massima in verticale per una
persona posta in piedi sulla prua.
Un oggetto si muove di moto armonico. Quando si trova a 5 cm dalla
posizione di equilibrio, l’oggetto è accelerato con ( = 10/ . Calcolare
l’accelerazione quando l’oggetto si trova a 8 cm dalla posizione di
equilibrio.
Un moto armonico è descritto dall’espressione = cos X, con
a
= 4 , X = . Calcolare il periodo dell’oscillazione.
b
Esercizi
4.
5.
Scrivere l’espressione di un moto armonico con velocità iniziale nulla,
ampiezza = 30) e frequenza Y = 25c
Il grafico in figura rappresenta la legge orario di un corpo che oscilla.
a.
b.
c.
d.
Determinare ampiezza e periodo, frequenza e pulsazione;
Determinare il valore della velocità e dell’accelerazione quanto
= 2
Determinare il valore della velocità e dell’accelerazione quanto
= 2,5
calcolare il valore dell’accelerazione quando = 1
20
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SOLUZIONI
Esercizi
1.
Una nave con la prua perpendicolare alle onde ha un moto di beccheggio
verticale che approssimativamente può essere assimilato ad un moto
armonico. Tra un’onda ed un’altra passano 7, mentre la prua si sposta di
3. Determinare velocità ed accelerazione massima in verticale per una
persona posta in piedi sulla prua.
L’ampiezza è metà dello spostamento: =
bd
= = 1,5
K
La pulsazione è inversamente proporzionale al periodo: X =
L’accelerazione massima è pari a: (3: = X = 1,2/ La velocità massima: 3: = X = 1,4/
[
\
=
[
e
= 0,9 f
21
15/10/2014
Esercizi
2.
3.
4.
5.
( = 16/ Z = 1,26
= 0,3 cos(157 ⋅ )
= 1,5, Z = 2, Y = 0,5c, X = 3,1(g/, 2 = 0/,
( 2 = −15/ , 2,5 = −4,7/, ( 2,5 = 0/ ( = −9,9/ ESERCIZI DI RIEPILOGO
22
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Esercizi
1.
2.
3.
4.
5.
Il moto di un proiettile è dato dalla composizione di un moto rettilineo
uniforme (in direzione orizzontale) e di un moto uniformemente accelerato
(in direzione verticale). La traiettoria risultante è?
Si consideri un punto che si muove di moto circolare uniforme su di una
circonferenza di raggio R e sia ∆< l’angolo descritto in un tempo ∆. La
velocità angolare X è data da?
Una pallina viene lasciata cadere da un’altezza di 4,9 m; quanto tempo
impiega per raggiungere il suolo?
Una pallina viene lanciata da un’altezza di 4,9 m con una velocità orizzontale
avente modulo uguale a 2 m/s; quanto tempo impiega per raggiungere il
suolo?
Un corpo si muove di moto uniforme lungo una circonferenza di raggio R, con
velocità di modulo pari a v; se raddoppiamo la velocità e raddoppiamo il
raggio, che relazione esiste tra il modulo (2h della “nuova” accelerazione
centripeta ed il modulo (2 della “vecchia” accelerazione?
Esercizi
6.
Un barista lancia sul bancone un boccale di birra ad un cliente che,
momentaneamente distratto, non lo vede arrivare. Sapendo che il
bancone è alto 1,05 m e che il boccale di birra cade al suolo ad una
distanza pari a 1,80 m dalla base del bancone, si determini:
a) il tempo di volo del boccale;
b) la velocità del boccale nell’istante in cui inizia a cadere dal bancone;
c) il modulo della velocità del boccale un attimo prima di giungere al
suolo;
d) l’equazione cartesiana della traiettoria (dopo aver scelto un
opportuno sistema di assi cartesiani)
23
15/10/2014
Esercizi
7.
Un grave viene lanciato da un’altezza di 3 m verso l’alto con velocità
iniziale pari a 6 m/s. Si determini:
a. la quota massima raggiunta e il tempo impiegato per raggiungerla;
b. il tempo che impiega a raggiungere il suolo;
c. la velocità di impatto con il suolo.
d. Si tracci il grafico posizione-tempo, il grafico velocità-tempo ed il
grafico accelerazione-tempo.
Esercizi
8.
Una palla viene lanciata da un’altezza di 5 m con velocità iniziale di
modulo % = 15/ed avente un angolo < = 60° rispetto
all’orizzonte. Si determini:
a. il tempo di volo;
b. l’altezza massima raggiunta;
c. il punto di impatto con il suolo;
d. il modulo della velocità un attimo
prima di giungere al suolo;
e. Variando l’angolo iniziale < e mantenendo
costante il modulo della velocità, si
determini il punto più lontano che può
essere raggiunto dalla pallina
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DINAMICA
Dinamica
La dinamica è quella parte della fisica che studia le cause di un moto.
Perché un oggetto in movimento si ferma o varia la sua
velocità/accelerazione?
Perché un oggetto fermo si mette in movimento?
La Dinamica introduce 3 leggi o principi fondamentali (sulla base di celebri
esperienze di Galilei e Newton).
25
15/10/2014
Forza
La forza è la causa del moto, nel senso che determina una
variazione delle caratteristiche del moto del corpo su cui agisce.
L’esperienza mostra che l’effetto direttamente provocato da una
forza è una variazione di velocità del corpo, ovvero una sua
«accelerazione».
Le forze sono grandezze vettoriali e si sommano secondo la
regola del parallelogramma.
Dimensioni della forza:
i = [k ⋅ l ⋅ Z f ]
Nel S.I. l'unità di misura della forza è derivata e si chiama il
Newton.
I principio della dinamica
Principio d'inerzia:
Un corpo persevera nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme
finché non intervengono cause esterne.
26
15/10/2014
II principio della dinamica
Un corpo soggetto all'azione di una forza F acquista una
accelerazione proporzionale ad essa.
i = m III principio della dinamica
Principio di azione e reazione
Per un sistema isolato (ovvero in assenza di forze esterne) ad ogni azione
corrisponde una reazione uguale e contraria.
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15/10/2014
Esempi di problemi dinamici
Moto di caduta di un grave – Forza Peso
In prossimità della superficie terrestre tutti i corpi dotati di
massa sono soggetti all’accelerazione gravitazionale, ovvero alla
forza peso.
_ = ⋅ .
IMPORTANTE: massa e peso sono concetti distinti. La massa è
una grandezza scalare, mentre il peso è una grandezza vettoriale.
Esempi di problemi dinamici
Moto lungo un piano inclinato
Un corpo di massa m su un piano inclinato in assenza di forze di
attrito
n
_]
_
n è il vettore normale
_\ componente tangenziale
_] componente normale, equilibrata dalla
forza di contatto
_\
o
_\ = _ sin o = ⋅ . ⋅ sin o
Il corpo scende lungo il piano inclinato con
accelerazione costante pari a ( = . ⋅ sin o
= % + % + ( = % + % + . sin o
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15/10/2014
Esempi di problemi dinamici
Moto armonico
Consideriamo un corpo di massa m attaccato all’estremità di una
molla fissata all’altra estremità. Se il corpo viene spostato dalla
posizione di equilibrio e poi abbandonato, si origina una forza
elastica di richiamo direttamente proporzionale all’allungamento
i = −
Legge di Hooke
= sin(X + p)
k costante elastica
X=
Y=
X
1 =
2W 2W A ampiezza, X pulsazione o frequenza
angolare, p è la fase iniziale
Z=
1
2W
=
= 2W
Y
X
Esempi di problemi dinamici
Moto di un pendolo
Si chiama pendolo semplice un punto
materiale di massa m appeso tramite
un filo inestensibile, di lunghezza l e
massa trascurabile, ad un punto O.
Dal momento in cui il pendolo viene
spostato dalla sua verticale e quindi
lasciato, esso inizierà un moto
oscillatorio che, in caso di
smorzamento trascurabile,
proseguirà come un moto armonico
29
15/10/2014
Esempi di problemi dinamici
<
l
c
X=
.
l
r
r
Z
i\ <
s
i\
_
Y=
Z
<
_
s
X
1 .
=
2W 2W l
Z=
I triangoli AOH e ACB sono
simili, quindi vale la
proporzione:
i\
=−
_
l
Si ha quindi:
_⋅
i\ = −
= −q ⋅ l
Osserviamo che per piccoli
spostamenti, la forza di
richiamo è proporzionale allo
spostamento ed opposta in
verso.
le relazioni fondamentali sono
1
2W
l
=
= 2W
Y
X
.
Esempi di problemi sul pendolo
Alcune osservazioni sul moto del pendolo:
Il periodo di oscillazione non dipende dalla massa, ma solo dalla radice
della lunghezza del filo.
Che succede se ad un pendolo in movimento taglio la corda? La massa
diventa soggetta alla forza di gravità e segue un moto di tipo verticale.
Cosa succede se ad un pendolo fermo fornisco energia per piccole
oscillazioni? L’azione della forza peso risulta ancora annullata dal vincolo
della corda.
30
15/10/2014
ESERCIZI
Esercizi
Il periodo di oscillazione di un pendolo:
A) Dipende dalla massa del corpo che oscilla
B) Dipende dall’ampiezza dell’oscillazione
C) Decresce al crescere della lunghezza del filo
D) Cresce al crescere della lunghezza del filo
E) Non dipende dall’accelerazione di gravità
31
15/10/2014
Esercizi
Un corpo che scivola su un piano inclinato liscio di altezza h:
A) Si muove di moto rettilineo uniforme
B) Arriva alla fine del piano inclinato con una velocità inferiore rispetto a
quella a cui arriverebbe al suolo se lasciato cadere da un’altezza h
C) Arriva alla fine del piano inclinato con una velocità maggiore rispetto a
quella a cui arriverebbe al suolo se lasciato cadere da un’altezza h
D) È soggetto a forze a risultante nulla
E) Possiede un’accelerazione costante
FINE ESERCIZI
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Soluzioni
1) D
2) E
QUANTITÀ MOTO, LEGGI DI KEPLERO E
LEGGE DI GRAVITAZIONE UNIVERSALE
33
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Quantità di moto ed impulso
Dato un punto materiale di massa m, definiamo la quantità di moto come il
prodotto tra la sua massa e la sua velocità:
∆N
∆v
i = ⋅
=
t = ⋅ Definiamo impulso di una forza costante:
u#
u#
w = i ⋅ Δ
L’impulso di una forza i relativo ad un certo intervallo Δ, è uguale alla
variazione della quantità di moto del punto nello stesso intervallo di tempo;
Teorema dell’Impulso
w = Δt
Conservazione della quantità di moto
Consideriamo un sistema costituito da più corpi. Il sistema si dice isolato se la
somma delle forze esterne che agiscono sul sistema è nulla.
Teorema di conservazione della quantità di moto
In un sistema isolato, la quantità di moto totale del sistema si conserva:
Δt
=0
Δ
Il teorema è una conseguenza del III principio della Dinamica
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Leggi di Keplero
I legge (delle orbite)
I pianeti nel loro moto intorno al sole, descrivono delle orbite ellittiche
ed il sole occupa uno dei due fuochi.
II legge (delle aree)
Le aree U , U descritte dai raggi vettori di un pianeta rispetto al sole,
sono direttamente proporzionali ai tempi Δ , Δ impiegati a
descriverle
III legge (dei periodi)
I quadrati dei tempi di rivoluzione sono direttamente proporzionali ai
cubi del semiasse maggiore
Legge di gravitazione universale
Due corpi di massa m e M a distanza r si attraggono con una forza i di
intensità pari a
i=x⋅
⋅k
x = 6,67 ⋅ 10fn ⋅ /.
Osservazione l’accelerazione di gravità g è pari a
dove k\ è la massa della terra e \ il suo raggio
Costante di gravitazione
universale
.=x⋅
k\
\
Per cui la forza peso _ = ⋅ . coincide con la legge di gravitazione universale
applicata al corpo e la Terra
35
15/10/2014
Forze di attrito
Le forze di attrito sono forze che si oppongono al moto di un corpo quando
questo scivola su un piano o si muovo attraverso un fluido.
Le forze di attrito si dividono in statiche e dinamiche.
Le forze di attrito statico si manifestano quando non c’è movimento
relativo tra oggetto e piano si oppongono al moto fino ad un valore limite,
superato il quale il corpo si mette in movimento.
ib
n
_
i
La forza di attrito ib si oppone alla forza motrice i , mentre la forza
peso _ è bilanciata dalla forza di contatto n.
ib3: = yb ⋅ n dove yb è il coefficiente di attrito statico
Le forze di attrito dinamico si manifestano quando un corpo è già in
movimento. Per mantenere un corpo in moto uniforme su un piano in
presenza di attrito è necessario fornire una forza costante i . L’intensità
della forza i4 = y4 ⋅ ndove y4 è il coefficiente di attrito dinamico
Forze resistenti
Quando un corpo di muove all’interno di un fluido, il fluide esercita una forza
resistente che tende a diminuire la velocità.
Un corpo che cade nell’aria è soggetto ad esempio sia alla forza peso che alla
resistenza dell’aria.
In generale, se un corpo che si muove in un fluido è soggetto ad una forza
motrice i , ad essa si oppone la resistenza del fluido con una forza opposta di
intensità pari a i4 = y6 ⋅ i, ovvero proporzionale alla forza motrice. y6 è
detta resistenza del fluido.
i4
_
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LAVORO ED ENERGIA
Lavoro
Una forza compie lavoro quando sposta il suo punto di applicazione. Il lavoro
compiuto dalla forza i applicata ad un corpo che subisce uno spostamento è pari a
l = i ∙ ∙ )*o
o
Il lavoro è una grandezza scalare
i
Casi particolari
Lavoro nullo: se F è perpendicolare ad s
Lavoro massimo: se F è parallela ad s
Lavoro positivo o motore: se 0 < o < [⁄
Lavoro negativo o resistente: se [⁄ < o < W
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Potenza
Si definisce potenza il rapporto tra il lavoro compiuto e l’intervallo di tempo in
cui tale lavoro è stato svolto
_=
l
Δ
_ = k ⋅ l ⋅ Z fK
| =
}*H~
Un watt è la potenza che in un secondo produce un joule di energia.
Energia potenziale
Un campo di forze si dice conservativo se il lavoro delle forze del campo
dipende solo dalla posizione iniziale e finale ed è indipendente dal percorso.
Energia Potenziale
L’energia potenziale di un corpo che si trova in un campo conservativo è una
funzione della posizione. Consideriamo un corpo di massa m che cade dalla
posizione A alla posizione B, il lavoro compiuto dalla forza peso è pari a
l,
= ⋅ . ⋅ gravitazione
ℎ3 − ℎ = .ℎ
= −A. = Δ
− .ℎ
è l’energia
potenziale
del corpo
nel punto
= [k ⋅ l ⋅ Z f ]
}*H~
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Energia cinetica
L’energia cinetica di un corpo di massa m in moto con una velocità di modulo
v è definita
q=
1
⋅ 2
q = [k ⋅ l ⋅ Z f ]
}*H~
Teorema dell’energia cinetica
Il lavoro compiuto da tutte le forze applicate ad un corpo di massa m è uguale
alla variazione dell’energia cinetica del corpo
l = Δq
Principio di conservazione energia meccanica
Se un corpo si muove in un campo di forze conservativo la somma dell’energia
cinetica e dell’energia potenziale si conserva durante tutto il moto.
| = + q = )*(F
ESERCIZI
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Esercizi
1.
2.
3.
4.
Il lavoro compiuto dalla forza peso per portare un corpo di massa
= 1.da un’altezza di ℎ = 1 di un piano inclinato di angolo
o = 45° a terra , in assenza di attrito, è?
Quando il lavoro compiuto da una forza i che sposta il suo punto di
applicazione di una quantità è massimo?
Durante il moto di caduta di un grave per effetto della forza peso quale
energia si conserva?
Si consideri un corpo di massa = 2., posto su un piano inclinato
liscio ad altezza ℎ = 1. L’energia potenziale del corpo è pari a?
SOLUZIONI
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Esercizio 1
Il lavoro compiuto dalla forza peso per portare un corpo di massa =
1.da un’altezza di ℎ = 1 di un piano inclinato di angolo o = 45° a terra ,
in assenza di attrito, è
B) 9,8
l = i ⋅ ⋅ cos o
ℎ
i = . = 9,8n
o
l = i ⋅ ⋅ cos o = 9,8 ⋅ 2 ⋅
=
= 2
= 9,8
Esercizi
2.
Quando il lavoro compiuto da una forza i che sposta il suo punto di
applicazione di una quantità è massimo?
l = i ⋅ ⋅ cos o, quindi l è massimo se cos o = 1, quindi o = 0
3.
4.
Durante il moto di cadute di un grave per effetto della forza peso:
l’energia meccanica si conserva (Teorema di conservazione
dell’energia meccanica)
v = ⋅ . ⋅ ℎ = 19,6}*H~
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ESERCIZI DI RIEPILOGO
Esercizi
1.
2.
Un corpo di massa m = 6,3 kg si muove con velocita uniforme % =
3,7/quando comincia ad agire su di esso una forza F di modulo
i = 54nnella direzione del moto ma in verso contrario; determinare il
quanto tempo il corpo si ferma e quanto spazio percorre da quando e
iniziata l'azione della forza.
Un carrello su ruote di massa = 23.e messo in movimento da fermo
grazie a due forze uguali in modulo che tirano lungo direzioni tali da
formare angoli < = 30° con la direzione del moto; sapendo che le ruote
girano senza attrito e che all'istante = 5la distanza percorsa e
g = 4; si determini il modulo delle due forze.
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Esercizi
3.
Due casse sono poste a contatto su di un piano orizzontale privo di
attrito; le loro masse sono = 2,4.e = 3,6.; le casse sono
messe in movimento da una forza di modulo i = 12nche agisce sulla
prima cassa; determinare l'intensità i2 della forza di contatto agente fra
le casse e la loro accelerazione.
Esercizi
4.
5.
Si consideri una cassa di massa = 4,2.che scende, partendo da
ferma, dalla sommità di un piano inclinato privo di attrito lungo
ℓ = 7,5e alto ℎ = 3,8;
a. determinare le forze agenti sulla cassa;
b. determinare il tempo impiegato ad arrivare in fondo al piano
inclinato;
c. determinare la velocità finale;
Per sollevare una cassa di massa m lungo un piano inclinato che formi
con l'orizzontale un angolo < = 35◦ un uomo deve applicare un forza di
intensità F = 600 N;
a. determinare la massa della cassa;
b. determinare quale deve essere l'angolo di inclinazione del piano
inclinato perchè la forza necessaria al sollevamento diventi la meta.
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Esercizi
6.
Si consideri un punto materiale P di massa m = 248 g appoggiato su di
una superficie orizzontale scabra; sapendo che i coefficienti di attrito fra
P e la superficie valgono yb = 0,78e y4 = 0,42, determinare:
a. il modulo della minima forza orizzontale che e necessario applicare
per mettere P in movimento;
b. il modulo della massima reazione vincolare statica esplicabile dal
vincolo;
c. il modulo dell'accelerazione di P se la forza agente ha modulo
i = 1,50n.
STATICA
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Statica
E’ la parte della Meccanica che studia l’equilibrio dei corpi.
Dai principi della dinamica sappiamo che se su un corpo agiscono delle forze
allora il moto del corpo risulta necessariamente accelerato.
Pertanto affinché un corpo sia in equilibrio è condizione necessaria (non
sufficiente) che la risultante di tutte le forze ad esso applicate sia nulla.
Chiamiamo corpo rigido un corpo esteso che sotto l’azione di forze applicate
non subisce deformazioni.
Equilibrio rispetto alle traslazioni
Un corpo è in equilibrio rispetto alle traslazioni nello spazio se e soltanto se la
risultante di tutte le forze agenti su di esso è nulla.
Se il corpo considerato è un punto materiale questa condizione è anche
sufficiente per l’equilibrio;
Per un corpo rigido tale condizione non è sufficiente
Per un corpo rigido, anche se la risultante
delle forze esterne applicate è nulla, sono
ancora possibili moti di rotazione
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Coppia di forze e rotazioni
Per un corpo non puntiforme, anche se la risultante delle forze esterne
applicate è nulla, sono ancora possibili moti di rotazione
Momento di una forza
La tendenza di una forza a causare una rotazione intorno ad un punto
dipende sia dall’intensità della forza che dalla sua distanza dal punto di
rotazione. La grandezza che consente di quantificare tale tendenza si chiama
momento meccanico della forza:
k = ∧ i
k = ⋅ i ⋅ sin <
Dove il vettore indica la distanza dal polo O al punto di applicazione della
forza
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Momento di una forza
Coppia di forze
Due forze, uguali ed opposte che agiscono con differenti rette di azione su un
corpo rigido costituiscono una coppia di forze.
Per una coppia di forze, la risultante delle forze è nulla, ma il momento non è
nullo e provoca una rotazione
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Condizioni di equilibrio
Un corpo rigido risulta in equilibrio se e soltanto se:
1) La risultante di tutte le forze applicate deve essere nulla;
2) La risultante dei momenti di tutte le forze applicate deve essere nulla.
Tipologie di equilibrio:
Equilibrio stabile – il corpo, a seguito di piccoli spostamenti, tende a tornare
nel punto di equilibrio (si genera un forza che riporta il corpo al punto di
equilibrio)
Equilibrio instabile – il corpo, a seguito di piccoli spostamenti, si allontana dal
punto di equilibrio (si genera un forza che allontana il corpo dal punto di
equilibrio)
Equilibrio indifferente – il corpo, a seguito di piccoli spostamenti, raggiunge
un nuovo punto di equilibrio (non si generano forze)
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