ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA
DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE
A.A. 2016/2017
Esercizi: lezione 01/12/2016
Analisi di un BTP Italia
Esercizio 1. Un BTP Italia, emesso il primo marzo 2012, durata due anni, cedola
semestrale a tasso cedolare i = 2%, con valore nominale pari a N = 1000e, collegato
all’indice FOI (é un indice dei prezzi di beni e servizi per le famiglie di operai ed
impiegati) per tenere conto dell’inflazione semestre per semestre, con premio fedeltá
del 4 per mille, viene acquistato all’emissione alla pari e tenuto fino alla scadenza.
La tabella degli indici FOI, che indicheremo con Ij , j = 0, 1, 2, 3, 4, ove Ij denota
l’indice FOI relativo al j-esimo semestre, è la seguente:
Epoche
Indice FOI
01/03/2012
104
01/09/2012
105
01/03/2013
106
01/09/2013
106,8
01/03/2014
105
a) Ricavare il cash-flow del titolo
b) Ricavare il rendimento del titolo, con una approssimazione pari alla prima
cifra decimale rispetto al rendimento espresso giá in forma percentuale.
Soluzione.
a) Si noti, dalla sequenza degli indici, pari a
I0 = 104, I1 = 105, I2 = 106, I3 = 106, 8, I4 = 105,
che é presente inflazione in tuti i semestri tranne l’ultimo, perché Ij > Ij−1 ,
per j = 1, 2, 3, ma I4 < I3 .
Secondo il regolamento del BTP ITALIA, il detentore del titolo ha diritto
ogni semestre ad una remunerazione (in simboli, RSj ) che è data dalla somma
di una cedola calcolata su un nominale rivalutato (in simboli cj ) e da un
termine detto capitale rivalutato (in simboli, CRj ), il tutto per j che va
da 1 a 4 (in generale, j = 1, . . . , n). Entrambi i termini che compongono
1
2
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la remunerazione semestrale dipendono fortemente da un parametro non
negativo detto coefficiente indicizzato (in simboli, αj ).
Ora passiamo a dare le formule generali, ossia per j che va da 1 a n (che
noi poi applicheremo con n = 4). Tenete conto che tutte queste formule
mantengono la loro validitá sia in caso di inflazione che di deflazione.
Per ció che riguarda la remunerazione semestrale, si ha che
1
RSj = cj + CRj , cj = iN (1 + αj ), CRj = αj N, j = 1, . . . , n.
(1)
2
Il punto chiave é determinare i corretti coefficienti indicizzati: fate attenzione
al fatto che vanno prima calcolati gli indici Mj (in generale coincidenti con gli
Ij , a meno che non ci siano periodi di deflazione) e, successivamente,
si possono calcolare, appunto, i coefficienti indicizzati.
La formula generale per il calcolo degli indici Mj é
{
Mj = max{Mj−1 , Ij }, j = 1, . . . , n;
M0 = I0 .
La formula generale, invece, per il calcolo degli αj , qualunque sia l’andamento
degli indici FOI semestre per semestre, è
αj =
Mj
− 1, j = 1, . . . , n.
Mj−1
Nel nostro caso, una volta esposto il calcolo esplicito per α1 , lasceremo
all’attento lettore la ripetizione nei casi j = 2, 3, mentre espliciteremo nuovamente il calcolo per α4 , perché nell’ultimo semestre vi é stata deflazione.
Facendo il calcolo per j = 1 e ricordandosi di approssimare il coefficiente
α1 alla quinta cifra decimale (secondo regolamento), si ha che M0 = 104,
M1 = 105 e α1 = 0, 00962. A questo punto, approssimando alla seconda
cifra decimale (secondo regolamento) sia il capitale rivalutato che la cedola,
si ha che c1 = 10, 10 e CR1 = 9, 62, quindi RS1 = 19, 72. Di seguito, trovate
la tabella con tutti i valori calcolati per j = 1, 2, 3, in corrispondenza agli
indici M2 = 106 e M3 = 106, 8:
Epoche
αj
CRj
cj
RSj
1
0,00962 9,62 10,10 19,72
2
0,00952 9,52 10,10 19,62
3
0,00755 7,55 10,08 17,63
Nell’ultimo semestre, invece, fate attenzione al fatto che M4 = I3 = 106, 8,
quindi α4 = 0. Conseguentemente, si ha che CR4 = 0, c4 = 10 e RS4 = 10,
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ossia quando non c’è effetto inflattivo, la remunerazione semestrale coincide con la vecchia, classica cedola. Pertanto, il cash-flow
dell’investimento, che denoteremo A, é dato da
a0 = −1000, a1 = 19, 72, a2 = 19, 62, a3 = 17, 63, a4 = 1014,
ove si noti che a4 comprende la restituzione del nominale piú il 4 per mille
del nominale stesso, ossia in questo caso 4 euro, come premio fedeltá.
b) Il discounted cash-flow del titolo é dato da
a3
a2
a4
a1
+
.
G(x) = a0 +
1 +
3 +
(1 + x) (1 + x) 2
(1 + x)2
(1 + x) 2
Il rendimento di tale titolo é il TIR di G(x), ossia l’unica soluzione x∗ ∈
] − 1, +∞[ dell’equazione G(x) = 0. Tenete conto che non siete in grado di
trovare una soluzione esatta di tale equazione, perché algebricamente troppo
complicata (anche passando attraverso una opportuna sostituzione di variabile, avreste una equazione algebrica di quarto grado). Allora, ricordando
che G(x) è una funzione strettamente decrescente, tale che G(x) > 0 per
x < x∗ e G(x) < 0 per x > x∗ , dobbiamo cominciare a ”testare il segno”
di G(x) ”buttandovi dentro” valori ragionevoli di x. Considerate il fatto che
a causa del meccanismo di rivalutazione che tiene conto dell’inflazione, il
rendimento é sicuramente superiore al tasso cedolare, quindi non ha senso
considerare valori inferiori a i. Se ad esempio inserite x = 2, 5%, risulterá
G(2, 5%) = 20, 74 (qui, come sempre dopo, il valore di G é approssimato alla
seconda cifra decimale), ossia un valore piuttosto alto: se 2, 5% fosse vicino
alla soluzione x∗ , G(2.5%) avrebbe un valore molto piú basso (sia positivo
che negativo, a seconda che 2, 5% approssimi la soluzione per difetto o per
eccesso). Saltate allora piú avanti e provate con x = 3.5% e vi risulterá
G(3, 5%) = 1, 66: ci dovremmo essere. Allora, adesso inserite x = 3, 6%, ossia il rendimento giá espresso in forma percentuale con la sola prima cifra
decimale mutata rispetto a 3, 5%, e troverete G(3, 6%) = −0, 21. Dunque, il
rendimento stará tra il 3, 5% e il 3, 6%, con l’approssimazione richiesta.
