Proprietà della materia: isolanti e conduttori
I corpi solidi dal punto di vista elettrico molto schematicamente si dividono
in isolanti e conduttori. La differenza di comportamento elettrico deriva
dalla diversa struttura atomica.
Nei conduttori (essenzialmente i metalli) le cariche negative sono
abbastanza libere di muoversi, perché le orbite elettroniche più esterne
non sono completamente riempite e gli elettroni (detti elettroni di
conduzione) possono migrare di orbita in orbita e anche uscire dal
conduttore, se questo è collegato con un altro conduttore, come il corpo
umano o la terra, o se viene fornita sufficiente energia (per esempio
termica) che compensi l’energia che li tiene legati agli atomi (energia di
estrazione).
Negli isolanti (o dielettrici) le orbite elettroniche più esterne sono o
completamente riempite o quasi completamente riempite, e le migrazioni di
elettroni sono praticamente proibite. L’energia di estrazione è più alta.
La diversa struttura atomica è anche la causa del diverso comportamento
elettrico dovuto allo strofinio (comportamento tribo-elettrico).
Strofinando un oggetto gli si cede energia
per attrito, che viene
acquistata dagli elettroni esterni che sono più vicini alla superficie
dell’oggetto: questi sono evidentemente meno legati di quelli interni, in cui
ogni atomo è contornato da altri atomi.
Negli isolanti le cariche negative vengono debolmente mobilizzate e
possono essere trasferite a o dall’agente che strofina (normalmente un
altro isolante), e si crea un eccesso di carica negativa o positiva, che
rimane localizzata nella zona di strofinio. Nei conduttori strofinati, la
mobilizzazione degli elettroni è molto più intensa e l’eccesso di carica
negativa e positiva viene compensata immediatamente, attraverso la carica
o scarica attraverso la mano che regge, o se il supporto è isolante,
attraverso la cessione all’agente che strofina. La carica non rimane
localizzata.
cap8
1
La diversa mobilità degli elettroni nei conduttori fa sì che sia possibile
ottenere carica sui conduttori per azione a distanza: il processo viene
chiamato Induzione elettrica.
1)
2)
1) La sfera metallica neutra, con supporto isolante, è in presenza del
campo elettrico della bacchetta carica negativamente: le cariche
negative si muovono all’interno del conduttore e, all’equilibrio, si ha un
eccesso di cariche positive (carica indotta positiva) nella zona più vicina
alla bacchetta negativa, e di cariche negative (carica indotta negativa)
nella zona opposta. Il movimento avviene in tempi brevissimi.
- Se si allontana la bacchetta si ha il movimento opposto e la sfera torna
neutra (uguale carica negativa e positiva in ogni punto della sfera).
-Se il campo elettrico della bacchetta è molto intenso e anche la
distribuzione di carica positiva indotta è tale da creare un campo
intenso, gli elettroni della bacchetta possono avere l’energia per uscire
dall’involucro e si ha una scarica tra bacchetta e sfera, aiutata dalla
ionizzazione del mezzo circostante (aria) che avviene per cessione di
energia per urto tra gli elettroni e le molecole del mezzo.
-In una lastra metallica, di spessore trascurabile macroscopicamente,
ma necessariamente maggiore della distanza interatomica media,
sostenuta da un supporto isolante, avviene lo stesso fenomeno, una
faccia si carica positivamente, e una negativamente.
2) Se in presenza del campo esterno, si tocca con un altro conduttore
la sfera o la lastra, gli elettroni si muovono e la sfera ha un eccesso non
compensato di carica positiva, che rimane distribuita sulla sfera o lastra
in maniera opportuna con l’equilibrio delle cariche positive. (che si
cap8
2
respingono), anche se viene rimossa la bacchetta.
+
+
--- +
++
- -- -
Il procedimento di far scaricare le cariche
negative collegando il conduttore a un altro (più
grande di solito) viene chiamato procedimento di
“messa a terra”
Per caricare un conduttore negativamente basta isolarlo e toccarlo con
una bacchetta isolante carica negativamente.
Proprietà elettrostatiche di un conduttore ( proprietà
all’equilibrio di un conduttore caricato o immerso in un
campo elettrico esterno).
- All’equilibrio, dopo il movimento di cariche, il campo totale Etot all’interno di
un conduttore è nullo,
Etot=0 all’interno di un conduttore sia in campo esterno che caricato
Per campo totale si intende la somma del campo esterno, (per es.. quello della
bacchetta carica) con il campo della distribuzione di carica indotta.
- Questo comporta che all’interno del conduttore, all’equilibrio, non vi sono, in
nessun punto, eccessi di cariche, o positive o negative, e tutte le cariche sono
distribuite sulla superficie ( si può “dimostrare” con l’applicazione della legge
di Gauss ).
- Se si ha un conduttore cavo, questo significa che nella superficie interna,
qualunque sia lo spessore dell’involucro, non vi è nessun eccesso di carica, né
positiva, ne’ negativa: la carica è solo sulla superficie esterna.
- La superficie del conduttore è una superficie equipotenziale, il potenziale è
uguale in tutti punti (se così non fosse le cariche indotte o portate sul
conduttore si muoverebbero, le negative verso potenziali alti (energia minore),
le positive verso potenziali bassi (energia minore). L’interno del conduttore,
pieno o cavo, è allo stesso potenziale della superficie. V= costante sul e nel
conduttore
cap8
3
- Il campo elettrico nelle immediate vicinanze della superficie del conduttore
è perpendicolare alla superficie stessa e e vale (si dimostra con la legge di
Gauss, vedere le applicazioni su conduttori di forma qualsiasi sul libro di testo)
En = σ / ε0
Et=0
dove σ è la densità di carica di superficie su una superficie elementare dS
della superficie esterna del conduttore.
E1 = (σ
σ1 / ε0)n
dS
dS
E1 < E2
E2 = (σ
σ2 / ε0)n
n
σ2 > σ 1
- La densità di carica è maggiore sulle superfici a a maggior curvatura e
in quel punto il campo elettrico più intenso, è minore sulle superfici a
minore curvatura.( Effetto punta)
-Su un conduttore sferico, la carica si distribuisce in modo uniforme, e
se la carica è indotta la densità di carica positiva occupa metà della
superficie, la carica negativa l’altra metà,
Se è caricato con carica dello stesso segno essa è uniformemente
distribuita sulla sfera esterna. Anche una lastra metallica ha carica
uniforme.
Conduttore sferico: Pieno o cavo caricato con carica Q e di raggio R.
+
R+
+ + +
+ + ++
+
r
E (r < R) = 0
r
1
E (r = R) =
4ð å0
r
1
E (r > R) =
4ð å0
- Se il conduttore è
lontano da altre cariche si
dice “isolato” e avere una
capacità C= Q/ V(R).
Vedere
cap8 dopo per dettagli.
Q )
ó )
n
=
n
å0
R2
r
Q r
r2 r
1
4πε 0
1
V(r > R) =
4πε 0
V(r ≤ R) =
r
r
) r
n=
r
Q óR
=
R
å0
Q
V(∞) = 0π
r
4
+σ
-σ
E=0
Distorsione delle linee di forza e
delle superficie equipotenziali di
un campo uniforme per
immersione in esso di un
conduttore sferico, inizialmente
scarico.
Il campo elettrico tra i piani e
all’esterno del conduttore è la
somma del campo uniforme iniziale
e del campo creato dalla carica
indotta sul condensatore. Il
conduttore funziona da “gabbia di
Faraday”, all’interno non vi è
perturbazione elettrica.
Conduttore sferico di raggio R, carico, all’interno di un guscio
metallico (raggio interno R1, raggio esterno R2), inizialmente scarico
+
La carica Q all’interno
R2+
+
R2
induce carica negativa.
- σ
2
R1
sulla superficie interna
σ1
R1
del guscio, e carica
+Q
- +
+ +Q
positiva sulla superficie
esterna.
Nello spessore del guscio
il campo è nullo (il guscio
e conduttore).
+
-
E=0
+
-
+
r
Applicando la legge di Gauss a una superficie gaussiana contenuta all’interno
del guscio (tratteggiata in figura) si trova che la carica indotta sulla
superficie interna vale -Q ed è distribuita con densità σ1 = - Q/4π(R1)2.
Poiché il guscio era scarico e la carica totale nulla prima dell’induzione, la
carica positiva sulla superficie esterna deve essere uguale alla negativa e è
distribuita con densità σ2 = Q/4π(R2)2. Applicando la legge di Gauss si trova:
r
r
r
r
1 Q r
E (r < R) = 0 ;
E (R < r < R1 ) =
;
E (R1 < r < R2 ) = 0
4πε 0 r 2 r
r
r
1 Q r
cap8
5
E(r > R2 ) =
4πε 0 r 2 r
+
+
R2
-
+Q
σ
+ 1-
+
E=0
+
R1
σ2
-
-
+
+
V(r > R2 ) =
1 Q
4 πε 0 r
V(R1 < r ≤ R2 ) = costante =
V(R < r ≤ R1 ) =
+
V( ∞) = 0
1 Q
4πε 0 R2
1 Q
1 Q
1 Q
−
+
4 πε 0 r 4πε 0 R1 4 πε 0 R2
V(r ≤ R1 ) = costante =
r
1 Q
1 Q
1 Q
−
+
4πε 0 R 4πε 0 R1 4 πε 0 R2
Se la superficie esterna viene messa a zero, da terra salgono cariche
negative a scaricare la superficie esterna, ma non possono raggiungere
l’interno (il campo è e rimane nullo nello spessore del guscio). Ora:
r
r
r
r
1 Q r
E (r < R) = 0 ; E(R < r < R1 ) =
;
E
(r > R1 ) = 0
2
4
πε
r
r
0
-Q
Il campo è diverso da zero solo all’interno tra il
R
σ
1
guscio e la carica al centro. Per il potenziale:
R +Q
-
E=0
-
-
-
r
V(r ≥ R1 ) = 0
V( ∞) = 0
V(R < r ≤ R1 ) =
1 Q
1 Q
−
4πε 0 r 4 πε 0 R1
V(R) = costante =
V(R) - V(R1 ) =
Q
4πε 0
1 Q
1 Q
−
4πε 0 R 4 πε 0 R1
1 1
−
R R1
Il sistema appena descritto è quello che si chiama condensatore: due
conduttori, isolati, vicini in modo che tra essi vi sia induzione completa
cioe’ la carica indotta è uguale alla carica sul conduttore inducente e il
campo elettrico al di fuori del condensatore sia praticamente nullo
. I due conduttori si definiscono le armature del condensatore, che
caratterizzato dalla sua capacità C, definita come:
Q , carica sull’armatura positiva, ∆V differenza di potenziale
Q
tra le armature. La capacità comunque non dipende né da Q
C=
né da ∆V, ma solo dalla configurazione geometrica delle
ÄV
cap8
6
armature, perché ∆V è sempre proporzionale a Q, qualunque
sia Q.
La capacità di un condensatore:
Q
ÄV
Si misura in C/V, unità chiamata Farad (F). I condensatori che si trovano
normalmente nei circuiti sono da 10-12F(1 pF) fino a 10-6F(1 µF).
C=
Il simbolo per condensatore è
e rappresenta due piani paralleli
uguali, di area grande, (“ piani infiniti”) molto vicini tra loro: il
Condensatore Piano.
Una delle armature è caricata positivamente e la carica si distribuisce
uniformemente perché ha tutta la stessa curvatura (è un piano), e la seconda
che è vicina e parallela a questa, si carica per induzione negativamente: la
carica negativa sulla seconda faccia viene scaricata a Terra. Il potenziale
della piastra caricata negativamente viene convenzionalmenteconsiderato
nullo).
La capacità di un condensatore piano con carica Q=σA, con A area di una
delle facce e le cui armature siano a distanza d è data da
Q σA
A
C=
=
= ε0
Condensatore Piano
V Ed
d
V è il potenziale convenzionale dell’armatura positiva (se la negativa si
considera a zero) o è la ddp tra le armature. Il campo è costante tra le
armature e vale σ/ε0, come si è visto precedentemente ( due piani carichi con
cariche uguali in valore e opposte in segno). Dalla relazione si vede che la
capacità dipende solo dalla configurazione geometrica.
RR1
Q
C
=
=
4
πε
0
Per il condensatore sferico :
V(R) - V(R1 )
R1 − R
Un altro condensatore usato è quello cilindrico (o cavo coassiale): due lunghi
cilindri conduttori cavi a distanza ravvicinata. Usando la legge di Gauss si può
trovare il campo e la ddp tra le due armature cilindriche e
Re
si trova che la capacità è:
Ri
+Q
L
C = 2πε 0
ln(Re /Ri )
-Q
L>>(Re-Ri)
cap8
ln è il logaritmo naturale (in base e) e ancora la
capacità è indipendente dalla carica e dalla ddp tra le
armature.
7
Condensatori in serie e parallelo
I condensatori possono essere uniti tra loro e si parla allora di capacità
equivalente della combinazione, capacità di un unico condensatore con le
caratteristiche della combinazione e con lo stesso effetto esterno.
∆V1
Q
∆V2
-Q Q -Q
C1
C2
∆V=∆V1+∆V2
Ceq = C12 =
SERIE:, le due armature al centro hanno lo stesso
potenziale, dato che collegandoli sono diventate un
unico conduttore, e i condensatori hanno tutti la
stessa carica, come si può dedurre pensando al
processo di induzione successiva a partire dalla
prima faccia. Anche quando si connettono le
estremità a una batteria, si può dedurre
considerando le proprietà dei conduttori che
la carica sulle armature (a parte il segno) è la
stessa in valore. La carica equivalente della serie è
Q e la ddp totale è ∆V=∆V1+∆V2.
ÄV1 + ÄV2 ÄV1 ÄV2
Q
Q
1
1
1
=
⇒
=
=
+
=
+
ÄV ÄV1 + ÄV2
C12
Q
Q
Q
C1 C2
⇓
∆V
Q1
C2
Q2
-Q1
C1
-Q2
∆V
∆V
cap8
C12 (serie) =
C1C2
C1 + C2
PARALLELO:, le due armature a sinistra sono un
unico conduttore allo stesso potenziale, e si
caricano secondo le capacità dei condensatori di cui
fanno parte. Le due armature a sinistra hanno lo
stesso potenziale c(sono un unico conduttore) e
analogamente quelle a destra (con potenziale
diverso da quelle di sinistra). Analogamente se si
connette il sistema scarico alla batteria. La carica
totale è Q=Q1+Q2 e il potenziale del condensatore
equivalente è ∆V.
Q + Q2
Q
Q
Ceq = C12 = 1
= 1 + 2 = C1 + C2
ÄV
ÄV ÄV
⇓
C12 (parallelo) = C1 + C2
8
Condensatori in serie e parallelo 2.
- La capacità equivalente di condensatori in parallelo è maggiore della
capacità dei singoli condensatori, mentre quella di condensatore in serie
è minore delle capacità del minore dei condensatori.
- Il parallelo viene usato per ripartire più carica allo stesso potenziale,
invece la serie per ripartire a parità di carica il potenziale.
- La generalizzazione a N condensatori in serie o in parallelo si ottiene
facilmente:
N
N
1
1
serie
=∑
parallelo Ceq = ∑ Ci
Ceq i = 1 Ci
i =1
cap8
9
Energia elettrostatica
Caricare un condensatore vuol dire far del lavoro su esso e l’energia
immagazzinata quando la carica diventa la carica finale Q e la ddp
corrispondente diventa ∆V diventa poi disponibile all’uso (flash di una
macchina fotografica, nei sintonizzatori, defibrillatori…).
Il processo di carica è un processo cumulativo: la carica finale si ottiene
con aggiunte successive di cariche elementari dq, per le quali si deve
vincere la repulsione delle cariche accumulate in precedenza, q, che
hanno nel frattempo creato una ddp dV = q/C nel sistema (C è la capacità
del condensatore che si sta caricando, indipendente dalla carica e dalla
ddp).
Ogni volta che una carica dq viene spostata (incremento alla q
accumulata fino a quel momento) dall’esterno si compie un lavoro dL=dq
q/C, che aumenta l’energia interna del condensatore. Il lavoro totale e
quindi l’energia elettrostatica del condensatore è:
Lest =
V
∫0
q
1 Q
1 Q2
dq = ∫ q dq =
≡ Uimm
C
C 0
2 C
L’energia immagazzinata può essere scritta nelle
forme alternative:
∆V
dV = q/C
Q
dq
Uimm
q
1 Q2
1
1
2
=
≡ C (ÄV ) ≡ Q ÄV (J)
2 C
2
2
Q
Notare che il lavoro fatto è la metà di quello che si farebbe per
muovere una carica Q in un potenziale esterno ∆V.
cap8
10
L’energia accumulata nel condensatore può essere pensata come energia del
campo elettrostatico che vi è nel condensatore.
In un condensatore piano il calore del campo elettrostatico e la ddp sono
rispettivamente:
E = σ/ε0 = Q / (ε0 A)
e ∆V=Ed
A area delle armature e d distanza tra esse e l’energia immagazzinata può
essere scritta nella forma:
1
1
1
Uimm ≡ Q ÄV = (EAε 0 )(Ed ) = ε 0 E 2 (Ad)
2
2
2
La densità volumetrica d’energia, poiché Ad è il volume V del condensatore in
cui è racchiuso il campo può essere scritto nella forma:
u=
Uimm 1
≡ ε 0E2
V
2
(J/m3)
Nel condensatore piano la densità di energia è uniforme e costante nel
tempo. Questo concetto viene estrapolato a tutti i campi elettrici:
Si può dimostrare ( e misurare, ovvero verificare sperimentalmente) che in
tutte le regioni dello spazio vuoto dove vi sia un campo elettrico E(r,t),
anche variabile nel tempo, dovuto a cariche che sono state accumulate da
qualche parte, vi è una densità d’energia (energia per unità di volume)
u(r,t):
u(r, t ) =
cap8
Uimm 1
≡ ε 0 E 2 (r, t)
V
2
11
Isolanti (Dielettrici) e loro proprietà
Sperimentalmente si vede che se tra le armature di un condensatore carico e
isolato (non connesso a una batteria) si interpone una sostanza isolante
(plastica, olio, carta, acqua non ionizzata, vetro, porcellana….), neutra, senza
eccessi di carica, la ddp ai suoi capi diminuisce: se era ∆V0 prima
dell’immissione, diventa ∆V1< ∆V0.
∆V0
Q0 -Q0
C0
∆V1< ∆V0
Q0 -Q0
C1
Poiché la carica non è cambiata (il condensatore è isolato) questo significa
che il campo elettrico all’interno del condensatore è diminuito, e l’effetto è
dovuto alla creazione da parte del dielettrico di un campo elettrico che si
oppone a quello preesistente, ma non l’annulla come succede nei conduttori.
La capacità del condensatore aumenta dal valore C0= Q0/ ∆V0 al valore
C1=Q0/ ∆V1. L’aumento di capacità (e la diminuzione del potenziale) non è
uguale per tutte le sostanze, ma è caratteristica del materiale: Si definisce
costante dielettrica relativa εr dell’isolante considerato il rapporto
εr = C1 / C0 = ∆V0/∆V1
La costante dielettrica relativa εr dell’isolante è un numero puro sempre
maggiore di 1 e in generale non varia al variare del campo elettrico esterno a
cui l’isolante è sottoposto, ma può essere diversa nelle varie direzioni
(materiali con polarizzazioni diverse nelle varie direzioni). Vale circa 80 per
l’acqua a temperatura ambiente, 1.00054 ≈ 1 per l’aria (per questo non si fa
spesso differenza tra campo elettrico nel vuoto o in aria), 3.5 per la carta,
ecc, (vedere i valori nei testi).
cap8
12
Isolanti (Dielettrici) e loro proprietà: 1
Se il condensatore a vuoto e carico è attaccato ad una batteria che l’ha
caricato mentre viene inserito il dielettrico, il potenziale non può cambiare,
perché batteria e condensatore sono in equilibrio (stessa differenza di
potenziale ai capi della batteria e del condensatore), ma si può verificare
sperimentalmente che la capacità aumenta ancora e allo stesso valore che si
ha per l’inserimento dello stesso dielettrico nel condensatore isolato ).
∆V0
∆V0
Q0 -Q0
C0
+
-
f0=∆V0
Q1
Batteria /fem
(forza elettromotrice costante)
+
-Q1
C0
-
f0=∆V0
La batteria fornisce un supplemento di carica alle armature del condensatore
e la carica passa da Q0 a Q1=Q0+ ∆Q e si ha
Q1 = C1 ∆V0= εr C0 ∆V0 = εr Q0 > Q0
L’aumento di capacità implica un aumento di energia immagazzinata e
l’inserimento del dielettrico oltre a permettere la possibilità di tenere
separate le armature permette l’aumento di energia. La scelta del dielettrico
e della ddp che si può applicare ai capi del condensatore deve essere fatta
considerando la Rigidità dielettrica dell’isolante, che è il campo elettrico
massimo totale che può esserci tra le armature prima che vi sia una scarica
tra le armature e nel dielettrico e il dielettrico si perfori. In aria questo
campo Emax ≈ 3 106 V/m (3 kV/mm).
cap8
13
Isolanti (Dielettrici) e loro proprietà: 2
Eo
Conduttore
al suo
interno E=0
Isolante al
suo interno
E≠0 (E’ < Eo)
Gli isolanti non hanno come si è detto cariche elettroniche libere di
muoversi e la struttura atomica/molecolare, quando il sistema è immerso in
un campo elettrico esterno, reagisce in maniera diversa dai conduttori.
Gli isolanti si suddividono schematicamente in due grandi categorie:
Polari: la struttura atomica o molecolare è dipolare (baricentro delle
cariche negative e delle cariche positive non coincidenti, per es. come
l’acqua). I dipoli in campo elettrico esterno si muovono e allineano (per
quanto possibile) il loro momento di dipolo con il campo esterno
(polarizzazione per rotazione) . L’insieme di questi dipoli crea un campo
elettrico che è minore di quello esterno ed è diretto nel verso opposto a
quello totale. L’effetto risultante è la diminuzione del campo elettrico
iniziale.
Cariche “libere”
sul condensatore
E0=0
p
+
+
p
-
+
-
- -
+
cap8
+
++
++ + ++
+ +
E0
+ + E’
+-+-+ --
++
++ +++ Er
++
-
E0
+
E’ +
+
Cariche di
polarizzazione
-
14
Isolanti (Dielettrici) e loro proprietà: 3
Non Polari: la struttura atomica o molecolare non è dipolare (baricentro
delle cariche negative e delle cariche positive coincidenti. Il campo
elettrico esterno distorce la struttura e crea dei dipoli allineati con il
campo, come precedentemente (polarizzazione per deformazione) .
L’effetto risultante è ancora la diminuzione del campo elettrico iniziale.
- Se il dielettrico occupa tutto lo spazio tra superfici equipotenziali del
campo esterno si dimostra che il campo risultante Er=E0/ε
εr.
- Si definisce il vettore polarizzazione P come il momento di dipolo medio
per unità di volume del dielettrico e per tutti i delettrici omogenei e
isotropi:
P = Er=ε0(εεr-1) Er
unità di misura (C/m2)
La quantità adimensionale χ = (εr-1) > 0 viene chiamata suscettività
dielettrica.
-La densità di carica di polarizzazione σ p è legata alla densità di carica
“libera” sul condensatore dalla relazione
lσ
σpl= ((εεr-1)/εεr) lσ
σll
- Si definisce il vettore spostamento elettrico o induzione elettrica
D = ε0Er+ P= ε0εrE
unità di misura (C/m2 )
Applicando la legge di Gauss attraverso una superficie che racchiuda
cariche di polarizzazione e cariche libere si trova che :
a) mentre il flusso del campo elettrico attraverso una superficie che
racchiuda cariche di polarizzazione e cariche libere è al solito data dalla
somma di tutte le cariche interne (libere+polarizzazione) divisoε0,
b) il flusso del vettore D è la somma di solo tutte le cariche libere interne.
cap8
15
Isolanti (Dielettrici) e loro proprietà: 4
Si può notare che i conduttori non lasciano entrare il campo
elettrico, è come se lo riflettessero (e in effetti dal punto di
vista ottico i conduttori sono riflettenti ).
Gli isolanti invece fungono da rifrattori, le linee di forza
cambiano direzione, oltre che rarefarsi.
La velocità della luce negli isolanti è minore che nel vuoto e
l’indice di rifrazione è collegato alla costante dielettrica del
mezzo.
cap8
16
