matematica per lo studio delle interazioni strategiche: teoria dei giochi

MATEMATICA PER LO STUDIO
DELLE INTERAZIONI
STRATEGICHE:
TEORIA DEI GIOCHI
Anna TORRE ∗
∗ Dipartimento
di Matematica, Università di Pavia, Via Ferrata 1, 27100,
Pavia, Italy. E-mail: [email protected]
sito web www-dimat.unipv.it/atorre/borromeo.html
GIOCHI A INFORMAZIONE
INCOMPLETA
19-4-2006
Nella introduzione degli equilibri di Nash per un gioco in forma
strategica abbiamo dato per scontato che nel giocare la propria
strategia ogni giocatore sia a conoscenza non solo del gioco con
tutte le sue regole, ma anche di tutte le funzioni di utilità dei
giocatori e che tutto ciò sia conoscenza comune di tutti.
In altre parole abbiamo supposto che ci fosse
informazione completa.
1
Nel caso in cui i giocatori sono due, questo significa in particolare
che le funzioni di utilità di entrambi sono conoscenza comune dei
due.
Questo fatto nei giochi concreti non è particolarmente realistico.
Spetta ad Harsanyi l’aver formalizzato la situazione di
informazione incompleta. ∗
∗ Harsanyi,
John C. [1968]: Games with incomplete information played by
Bayesian players, Parts I, II and III, Management Science, 14, 159-182, 320334, 486-502.
2
Un gioco a informazione incompleta è un gioco in cui i
giocatori non hanno conoscenza comune di tutti gli elementi del gioco. La mancanza di conoscenza si può riferire a
vari elementi: per esempio i giocatori potrebbero non sapere le
preferenze degli altri o addirittura potrebbero non sapere quanti
sono gli altri giocatori o quante sono le strategie a disposizione
degli altri giocatori o altre cose ancora.
Come al solito userò un esempio molto semplice e molto paticolare per illustrare la situazione ∗
∗ L’esempio
è preso da Myerson, Roger B. [1991]: Game Theory: Analysis of
Conflict, Harvard University Press, Cambridge (MA).
3
Consideriamo le seguenti bimatrici:
I/II1
A’
B’
A
1,2
0,4
B
0,1
1,3
I/II2
A’
B’
A
1,3
0,1
B
0,4
1,2
Il giocatore II conosce perfettamente le utilità del giocatore I
mentre il giocatore I non sa se il giocatore II è del tipo II1 o
II2. Tra le altre cose le utilità di II1 e II2 sono in qualche modo
rovesciate in quanto per II1 la strategia A è dominante mentre
per II2 è dominante la strategia B.
4
Se vogliamo formalizzare questa situazione possiamo pensare di
introdurre l’insieme dei tipi di giocatori.
In questo caso T1 = {I} mentre T2 = {II1, II2}
CI = {A0, B 0} l’insieme delle azioni del primo giocatore
CII = {a, b} l’insieme delle azioni del secondo giocatore.
5
Cosa sono in questo caso le funzioni di utilità?
Per il secondo giocatore le funzioni di utilità sono due: se il giocatore è di tipo 1 la funzione di utilità è
UII1 : (CI × CII ) −→ R
se e di tipo 2 è
UII2 : (CI × CII ) −→ R
6
Raccogliamo tutta l’informazione in un’unica funzione:
UII : (CI × CII ) × TII −→ R
Per il giocatore I nel nostro caso la situazione è più semplice
perchè il giocatore I può essere di un solo tipo, ma in ogni caso
avrà una:
UI : (CI × CII ) × TI −→ R
7
Ricapitolando:
C = CI × CII azioni dei due giocatori
T = TI × TII tipi possibili dei due giocatori
Per motivi di compattezza di notazioni pensiamo uI e uII definite
su C × T
uI , uII : C × T −→ R funzioni di utilità
Manca ancora un ingrediente e cioè la distribuzione di probabilità
soggettiva che i giocatori (bayesiani) assegnano a tutto ciò che
non sanno.
Nel nostro esempio il giocatore I deve avere una distribuzione di
probabilità su TII .
8
Se invece il giocatore I potesse essere di due tipi dovremmo
richiedere che I1 abbia un distribuzione di probabilità pI1 su TII
e lo stesso accada per il tipo I2 il quale avrà quindi pI2 su TII .
Quindi in definitiva avremo:
pI : TI −→ ∆(TII )=distribuzioni di probabilità su TI
e analogamente
pII : TII −→ ∆(TI )=distribuzioni di probabilità su TII
9
Un gioco bayesiano a due giocatori è quindi:
Γ = ((CI , CII ), (TI , TII ), (pI , pII ), (uI , uII ))
Cosa si intende per strategia in un gioco bayesiano?
A questo punto Harsany suppone che Γ sia conoscenza comune
dei giocatori, che ogni giocatore sappia qual’è il suo vero tipo
e il fatto che ciascuno sa qual’è il suo vero tipo sia conoscenza
comune tra i giocatori.
10
Allora una strategia pura per il giocatore I è una funzione
sI : TI −→ CI
mentre una strategia pura per il giocatore II è una funzione
sII : TII −→ CII .
11
EQUILIBRIO BAYESIANO
Cerchiamo ora di estendere il concetto di equilibrio di Nash al
contesto Bayesiano. Per prima cosa occorre capire cosa è in
questo caso una strategia mista. Essa è per il giocatore I:
sI : CI × TI −→ [0, 1], con Σc∈CI sI (c, t) = 1 ∀t ∈ TI
Cioè per ogni possibile tipo t per il giocatore I individuiamo una
distribuzione di probabilità su CI .
Analogo discorso vale per il giocatore II che nel nostro caso
deve indicare una strategia mista sia nell’ipotesi in cui lui è II1
sia nell’ipotesi in cui lui è II2:
sII : CII × TII −→ [0, 1].
12
Una volta note le strategie miste siamo in grado di calcolare il
payoff atteso.
Osserviamo che per poter calcolare il payoff atteso il giocatore
deve dichiarare l’azione che sceglierà qualunque sia il tipo a cui
lui appartiene.
In altre parole nel nostro caso il giocatore II che è quello che
può essere di due tipi, anche se sa a che tipo appartiene deve
dire anche cosa farebbe se fosse dell’altro tipo.
La motivazione per cui questo è necessario e che anche se II sa
di che tipo è, questo fatto non è conoscenza comune.
13
Per essere più espliciti, al giocatore II interessa cosa farà il giocatore I ma ciò che I farà dipende da ciò che lui pensa che il
giocatore II farà per ogni possibile tipo del giocatore II. Perciò
anche se il giocatore II sa di che tipo è, per decidere cosa fare
deve sapere cosa farebbero tutti gli altri suoi tipi.
Nell’esempio che stiamo studiando, poichè per ciascun tipo di II
c’è una strategia dominante, la strategia di equilibrio per II sarà
A per II1 e B per II2
L’analisi per I è semplificata dal fatto che i suoi payoff sono o 0
o 1. Ovviamente I preferisce gli esiti (A0, A) oppure (B 0, B)
14
4 a II
Supponiamo che I assegni probabilità 1
a
II
e
1
2
5
5
Quindi per il giocatore I è più probabile che II sia di tipo 2 e
quindi sceglierà B’.
L’equilibrio bayesiano è dunque:
sI1 (A0) = 0
sI1 (B 0) = 1
sII1 (A) = 1
sII1 (B) = 0
sII2 (A) = 0
sII2 (B) = 1
15
Osserviamo che in questo gioco se fosse conoscenza comune il
fatto che il tipo di II è II1, l’equilibrio di Nash del gioco sarebbe
(A0, A), mentre se fosse conoscenza comune il fatto che il tipo di
II è II2, l’equilibrio sarebbe (B 0, B) Ma il giocatore II1 preferisce
l’esito (B 0, B), mentre il giocatore II2 preferisce l’esito (A0, A).
Dunque anche se potesse, il giocatore II non avrebbe interesse
a dichiarare il suo vero tipo e quindi se lo facesse è presumibile
che mentirebbe.
16
CONSISTENZA DEI BELIEF
I belief di un gioco bayesiano sono descritti da
pI : TI −→ ∆(TII )
e
pII : TII −→ ∆(TI ) .
17
Un modo di rappresentare un possibile gioco bayesiano è quello
di immaginare che la coppia dei giocatori sia estratta a sorte da
una popolazione di coppie di giocatori con caratteristiche diverse
in cui sia noto però:
• il numero totale delle coppie
• il numero di coppie di ogni tipo
• le caratteristiche di queste coppie
In altre parole questo significa avere una distribuzione di probabilità su TI × TII .
18
Se per esempio TI = {I1, I2} e TII = {II1, II2, II3}, questo vuol
dire poter descrivere la frequenza delle coppie con una tabella
del tipo:
\
I \II
I1
I2
II1
p1
p4
II2
p2
p5
II3
p3
p6
dove p1 + p2 + ... + p6 = 1, cioè una distribuzione di probabilità
su TI × TII . Facciamo un esempio concreto:
19
\
I \II
I1
I2
II1
0.2
0.1
II2
0.3
0.1
II3
0.1
0.2
20
Da questa tabella possiamo dedurre per esempio la probabilità su
TII del giocatore I1, cioè la probabilità dei vari tipi del giocatore
II condizionata dal fatto che I è in realtà I1 e analogamente se
I è I2. Si ha
0.2
p(II1|I1) = 0.6
p(II2|I1) = 0.3
0.6
p(II3|I1) = 0.1
0.6
0.1
p(II1|I2) = 0.4
p(II2|I2) = 0.1
0.4
p(II3|I2) = 0.2
0.4
e in modo analogo si possono descrivere tutte le varie probabilità
assegnate dai tipi del giocatore II ai tipi del giocatore I.
21
In altre parole è stato possibile dalla tabella dedurre
pI : TI −→ ∆(TII )
e
pII : TII −→ ∆(TI ) .
22
Naturalmente a questo punto è naturale chiedersi se questo è
l’unico modo di costruire pI e pII .
La risposta in generale è no, ma se è possibile costruire pI e pII
da una tabella come quella sopra, allora:
i belief si dicono consistenti.
23
Facciamo un esempio di belief inconsistenti:
p(II1|I1) = 1
p(I1|II1) = 0
p(II2|I1) = 0
p(I2|II1) = 1
p(II1|I2) = 0
p(I1|II2) = 1
p(II2|I2) = 1
p(I2|II2) = 0
Se i belief fossero consistenti avremmo una tabella
\
I \II
I1
I2
II1
p1
p3
II2
p2
p4
24
con:
p1
p1 +p2 = 1
p2
p1 +p2 = 0
p3
p3 +p4 = 0
p4
p3 +p4 = 1
p1
p1 +p3 = 0
p3
p1 +p3 = 1
p2
p2 +p4 = 1
p4
p2 +p4 = 0
e questo sistema non ha soluzioni.
2
Infatti p p+p
= 0 implica p2 = 0 e questo è incompatibile con il
1
2
2
fatto che p p+p
= 1 cioè non è consistente il fatto che I1 pensi
2
4
che II2 è impossibile con il fatto che II2 pensi che I1 è certo.
25
La teoria dei giochi bayesiani si è però occupata essenzialmente
del caso consistente per due ragioni: per prima cosa si tratta di
un caso importante, si tratta in un certo senso di belief oggettivi. In secondo luogo (vedi Aumann) l’idea di belief inconsistenti
cozza contro l’ipotesi che la struttura del gioco sia conoscenza
comune dei due gocatori.
26
Rappresentazione di Harsanyi
Vediamo ora come Harsanyi propone di rappresentare il gioco di
cui ci siamo occupati all’inizio del paragrafo in modo da assimilarlo a un gioco a informazione completa ma imperfetta. Supponiamo che i belief siano consistenti, che equivale a supporre
che la natura selezioni i tipi (solo del giocatore II nell’esempio
semplice che abbiamo considerato) individuando il giocatore II1
con probabilita p e il giocatore II2 con probabilita 1 − p.
27
.5
.6
@
p
1-p
@
@
@
II1
1, A0
@
@II
2
0 @
@
0
1,
@ B
2, A
@
2, B 0
@
@
.......................................................................................
A
A
A
A
A
1
2
A
A
A
A
B A
0 0
4 1
A
A
A
A
B A
1 1
3 3
A
A
A
A
B A
0 0
1 4
B
1
2
28
Osserviamo che il diagramma rappresenta un gioco in forma estesa a informazione completa. Allora l’idea di equilibrio bayesiano
non è altro che l’idea di equilibrio di Nash applicata a questo
gioco a informazione completa. Questa è l’idea di Harsanyi.
Tra l’altro con questa rappresentazione è anche più facile capire
cosa è una strategia per un gioco bayesiano: non è altro che
una strategia in senso usuale per questo gioco a informazione
completa anche se imperfetta.
Molti dei giochi bayesiani che vengono studiati nella teoria dei
giochi applicata hanno beliefs consistenti.
In un modello consistente le differenze nei beliefs dei giocatori
sono riconducibili a differenze nell’informazione, mentre l’idea di
beliefs inconsistenti rappresenta differenze di opinione che non
possono essere dedotte da differenze nell’osservazione e sono
invece assunte a priori.
29
Naturalmente è possibile immaginare giochi con beliefs inconsistenti. Per esempio in una gara sportiva se è conoscenza comune che ciascuno pensa che vincerà la gara con probabilità 2
3,
allora questi belief non possono essere consistenti con una distribuzione di probabilità comune. In un modello consistente ci
possono essere differenze nei beliefs ma queste non possono essere conoscenza comune. (Aumann 1976)
30
Vediamo un ulteriore esempio:
[da Fudenberg - Tirole] Un’impresa (giocatore I), già operante sul mercato, deve decidere se costruire una nuova fabbrica
(C, NC); un’altra (giocatore II) deve decidere se entrare sul
mercato (E, NE). Il giocatore II non sa se la costruzione della
nuova fabbrica per I avrà costo 3 oppure 0 e assegna ai due
eventi probabilità p e 1 − p, rispettivamente; il costo è invece
noto a I; i payoff sono riportati nelle seguenti tabelle:
I3/II
E
NE
C
0, −1 2, 0
NC
2, 1 3, 0
I0/II
E
NE
C
3, −1 5, 0
NC
2, 1 3, 0
31
Il gioco bayesiano è rappresentato dalla quintupla:
N = {I, II}
CI = {C, N C}; CII = {E, N E}
TI = {I3, I0}; TII = {II}
pI3 (II) = pI0 (II) = 1; pII (I3) = p, pII (I0) = 1 − p
uI ((C, E), (I3, II)) = 0
uII ((C, E), (I3, II)) = −1
uI ((N C, E), (I3, II)) = 2
uII ((N C, E), (I3, II)) = 1
uI ((C, N E), (I3, II)) = 2
uII ((C, N E), (I3, II)) = 0
uI ((N C, N E), (I3, II)) = 3
uII ((N C, N E), (I3, II)) = 0
uI ((C, E), (I0, II)) = 3
uII ((C, E), (I0, II)) = −1
uI ((N C, E), (I0, II)) = 2
uII ((N C, E), (I0, II)) = 1
uI ((C, N E), (I0, II)) = 5
uII ((C, N E), (I0, II)) = 0
uI ((N C, N E), (I0, II)) = 3
uII ((N C, N E), (I0, II)) = 0
32
Le strategie pure sono:
ΣI = {sI1, sI2, sI3, sI4} con
II
ΣII = {sII
1 , s2 } con
sI1(I3) = C
sI2(I3) = C
sI3(I3) = N C
sI4(I3) = N C
sI1(I0) = C
sI2(I0) = N C
sI3(I0) = C
sI4(I0) = N C
sII
1 (II) = E
sII
2 (II) = N E
33
Si può osservare che la strategia NC è dominante per il giocatore
I se il costo è 3 e quindi il giocatore II sceglierà E, mentre se il
costo è 0 la strategia C è dominante per il giocatore I e quindi
il giocatore II sceglierà NE. Si può allora dire che il giocatore
II sceglierà E se p > 0.5 e sceglierà NE se p < 0.5. Se p = 0.5
il payoff atteso del giocatore II è nullo, qualunque sia la sua
strategia.
Se i possibili costi di costruzione fossero 3 e 1.5; i nuovi payoff
dei giocatori sono riportati nelle seguenti tabelle:
I3/II
E
NE
C
0, −1 2, 0
NC
2, 1 3, 0
I1.5/II
E
NE
C
1.5, −1 3.5, 0
NC
2, 1
3, 0
34
Se il costo del giocatore I è 3, la strategia NC è ancora dominante
per I.
Se il costo del giocatore I è 1.5 non ci sono strategie dominanti
per nessun giocatore.
Calcoliamo ora le strategie di miglior risposta dei due giocatori.
Indichiamo con (x, 1 − x) la strategia mista del primo giocatore
e con (y, 1 − y) la strategia mista del secondo giocatore.
35
Se il giocatore I è di tipo 3 la miglior risposta è sempre NC, se
invece il giocatore I è di tipo 1.5, egli confronta i payoff attesi
delle strategie C e NC che sono rispettivamente
1.5y + 3.5(1 − y) = 3.5 − 2y e 2y + 3(1 − y) = 3 − y,
per cui sceglierà C se
3.5 − 2y > 3 − y, cioè se y < 0.5.
36
La strategia di miglior risposta di II dipende, oltre che dalla
strategia, anche dal tipo di I;
I sceglie (x, 1 − x) nel caso che sia di tipo 1.5, mentre nel caso
in cui è di tipo 3 I sceglie NC;
Il payoff atteso di II se gioca NE è 0, mentre il payoff atteso di
II se gioca E è dato da
1(p) − 1(1 − p)(x) + 1(1 − p)(1 − x) = 1 − 2(1 − p)x.
Il payoff atteso di E supera il payoff atteso di NE se 1−2(1−p)x ≥
0, cioè se
1
x≤
2(1 − p)
37
Riassumendo le migliori risposte di I sono:
giocare C (x = 1)
se y < 0.5
indif f erente
se y = 0.5
giocare N C (x = 0) se y > 0.5
mentre le migliori risposte di II sono:
1
giocare E (y = 1)
se x <
2(1 − p)
1
indif f erente
se x =
2(1 − p)
1
giocare N E (y = 0) se x >
2(1 − p)
38
• x = 0, y = 1 è un equilibrio qualunque sia p
infatti se II gioca E (y = 1) la miglior risposta di I è NC
(x = 0), perchè y > 0.5 e viceversa se I gioca NC (x = 0)
la miglior risposta di II è giocare E (y = 1), perchè x ≤
1
;
2(1 − p)
• x = 1, y = 0 è un equilibrio se p ≤ 0.5
infatti se II gioca NE (y = 0) la miglior risposta di I è C (x =
1), perchè y < 0.5 e viceversa se I gioca C (x = 1) la miglior
risposta di II è giocare NE (y = 0) solo quando p ≤ 0.5
1
1
perchè x >
, altrimenti quando p > 0.5,
>1
2(1 − p)
2(1 − p)
;
39
1
• x=
, per ogni valore di p, y = 0.5 è un equilibrio in
2(1 − p)
strategie miste.
1
è ottima
2(1 − p)
1
(qualunque risposta di I è ottima) e se I gioca x =
,
2(1 − p)
la risposta y = 0.5 è ottima (qualunque risposta di II è
ottima).
Infatti se II gioca y = 0.5, la risposta x =
40
Il gioco della posta elettronica
Questo esempio∗ è interessante per mettere in evidenza come,
nel caso in cui l’insieme degli stati del mondo è infinito, la
conoscenza iterata fino al grado N non implica la conoscenza
comune, per quanto sia grande N.
Due giocatori I e II devono scegliere una azione tra A e B.
Con probabilità p < 1
2 il gioco in cui sono coinvolti è Gb e con
probabilità 1 − p è Ga.
∗ Rubinstein
Ariel (1989) “The electronic mail game: Strategic behavior under
“almost common knowledge”, American Economic Review, 79, 385-391
41
Le utilità di I e II nei due casi sono le seguenti:
Ga:
I/II
A
B
A
M,M
-L,1
B3
1,-L
0,0
I/II
A
B
A
0,0
-L,1
B3
1,-L
M,M
Gb:
dove si suppone che L > M > 1.
42
(A, A) è l’equilibrio di Nash del primo gioco e (B, B) è l’equilibrio
di Nash del secondo. Osserviamo che, anche se un giocatore è
sicuro che il gioco sia Ga, è per lui rischioso scegliere la strategia
A se non è certo che l’altro lo sappia. Consideriamo il gioco in
vari casi di informazione per i due giocatori.
Se supponiamo che sia conoscenza comune quale dei due
giochi viene giocato, allora l’equilibrio si ottiene giocando da
parte di ciascun giocatore la strategia :
“Gioco A se il gioco è Ga, gioco B se il gioco è Gb” e l’utilità
ottenuta è M per ciascun giocatore.
43
Supponiamo ora che sia noto solo al primo giocatore quale
è il gioco. In questo caso si può vedere che l’unico equilibrio di Nash “bayesiano”∗ consiste nel giocare A da parte di
entrambi i giocatori e l’utilità attesa è (1 − p)M .
Si supponga infine che i due giocatori possano comunicare
tra loro ma che il gioco non diventi mai conoscenza comune.
∗ Per
la definizione di equilibrio bayesiano vedi per esempio Myerson “Game
theory, Analysis of Conflict”, Harvard 1991
44
La comunicazione è la seguente:
Se il gioco è Gb il computer di I invia automaticamente un
messaggio a quello di II;
Se il gioco è Ga nessun messaggio è inviato da I a II;
Se un computer riceve un messaggio, invia automaticamente
la conferma, questo non solo per il messaggio iniziale, ma
anche per le successive conferme.
45
La regola prevede che ogni computer invii conferme, perché esiste una piccola probabilità ε > 0 che un messaggio non giunga
a destinazione. Se un messaggio non viene ricevuto, allora la
comunicazione si interrompe. Alla fine della fase di invio ogni
giocatore legge sullo schermo il numero di messaggi che il suo
computer ha inviato.
Se vogliamo discutere la conoscenza dei giocatori in questa situazione, è necessario specificare quali sono gli stati.
46
Sia:
Ω = {(QI , QII ) : QI = QII o QI = QII + 1 QI , QII ≥ 0}
Allo stato (q, q) il computer di I ha inviato q messaggi, tutti
sono arrivati al computer di II, il computer di II ha inviato q
messaggi ma il suo q-esimo è stato smarrito. Allo stato (q +1, q),
il computer di I ha inviato q + 1 messaggi. Tutti sono arrivati al
computer di II, tranne il q + 1-esimo che è stato smarrito.
47
La partizione sullo stato del mondo
HI = {{(0, 0)} , {(q, q) , (q, q − 1)} per ogni q > 0}
HII = {{(q, q), (q + 1, q)} per ogni q ≥ 0}
Indichiamo con G(QI , QII ) il gioco che si gioca nello stato (QI , QII ),
cioè
G(0, 0) = Ga e G(QI , QII ) = Gb altrimenti.
48
I conosce il gioco in ogni caso mentre II lo conosce sempre tranne
che in (0, 0) e in (1, 0).
In hI (1, 1) = {(1, 1), (1, 0)} I sa che il gioco è Gb, ma non sa se
II lo sa perché hII (1, 0) = {(1, 0), (0, 0)}.
Allo stesso modo, in hII (1, 1) = {(1, 1), (2, 1)}, II sa che il gioco
è Gb ma non sa se I sa che II sa che il gioco è Gb perché hI (1, 1) =
{(1, 1), (1, 0)} e cosı̀ via . Ad ogni stato (q, q) oppure (q, q + 1)
corrisponde conoscenza iterata fino al livello q che il gioco è Gb,
ma questo non è conoscenza comune.
49
Se ε è piccolo, con probabilità elevata ogni giocatore vede un
numero elevato sul suo schermo. Quando I vede 1 sullo schermo
non può sapere se II sa che il gioco è Gb e quindi esita a giocare
B. Ma se il numero sullo schermo è alto, può sembrare quasi
conoscenza comune che il gioco sia Gb. La decisione è legata
all’opinione di I su cosa farà II quando legge un numero alto
sullo schermo. Si può osservare che la distribuzione di probabilità
iniziale su Ω è comune ai due giocatori e deriva dal fatto che il
gioco è Ga con probabilità 1 − p e Gb con probabilità p.
Se vogliamo trovare gli equilibri di Nash bayesiani di questo gioco
in questa situazione informativa, occorre fare un po’ di conti.
Il risultato (non particolarmente difficile, ma un po’ noioso) è
che non è cambiato nulla rispetto alla situazione in cui solo I
è informato. L’equilibrio è ancora (A, A) e il valore atteso è
(1 − p)M .
50
Questo esempio sottolinea ancora una volta un aspetto paradossale, cioè sottolinea un contrasto tra l’intuizione e l’analisi della
teoria dei giochi. Come può comportarsi un giocatore quando
vede un numero alto (per esempio 20) sul suo schermo? È difficile pensare che quando L > M di poco e ε è piccolo un giocatore
non scelga B.
51