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AA2008-2009
Corso di Matematica Discreta secondo semestre
Programma del corso
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Relazioni di equivalenza e partizioni; esempi ed esercizi; definizione dei
numeri interi (Z) come classi di equivalenza su
NxN,ove N e’ l’insieme dei numeri naturali .
Definizione delle operazioni in Z; concetto di buona definizionedi una
operazione. Esempio di operazione non commutativa (composizione di
permutazioni su {1,2,3}.
Proprieta’ degli interi e delle operazioni di somma e prodotto. Sottoinsiemi
limitati inferiormente di Z e il principio del minimo.
Divisibilita’ e numeri primi; la divisione negli interi; quoziente e resto;
rappresentazione in base n. Massimo comun divisore.
Algoritmo di Euclide; espressione di un massimo comun divisore nella forma
ax+by.
Numeri primi; fattorizzazione di un intero nel prodotto di potenze di numeri
primi; teorema fondamentale dell’aritmetica.
Esistenza di infiniti numeri primi (Dim. di Euclide)
Aritmetica modulare; la congruenza come relazione di equivalenza; le classi di
congruenza modulo m.
Le operazioni di somma e di prodotto in Zm . Il problema della buona
definizione delle operazioni. Gli elementi invertibili di Zm. Il teorema di Eulero
e il Teorema di Fermat. Il teorema cinese del resto.
Concetto di struttura Algebrica con una e con due operazioni binarie
(associative). Alcune importanti strutture algebriche: definizione di
semigruppi, monoidi, gruppi, anelli, campi. Definizione di identita’e di
elemento invertibile rispetto ad una operazione associativa e loro unicita’. Il
sottoinsieme degli elementi invertibili e’ chiuso rispetto all’operazione.
Grafi (e multigrafi (1) ); definizioni principali; gradi dei vertici; sottografi;grafi
complementari; componenti connesse; isomorfismi di grafi.
Cammini (Ingl. “Paths”) , catene (Walks) e circuiti. Cammini e cicli
Hamiltoniani e Euleriani; condizione per l’esistenza di un cammino e di un
circuito Euleriano.
Alberi; proprieta’ caratteristiche degli alberi.
Colorazione dei vertici di un grafo e numero cromatico; l’algoritmo greedy per
trovare una colorazione non fornisce necessariamente il numero cromatico; il
risultato dipende dal modo in cui ordino i vertici.
Alcune limitazoni del numero cromatico in funzione del grado. Grafi Bipartiti
e loro caratterizzazione.
Alberi con radice; foglie e altezza. Alberi di decisione e alcune applicazioni.
Alberi ricoprenti (Spanning trees); problema dell’albero ricoprente minimo in
un grafo pesato; l’algoritmo di tipo greedy fornisce un albero ricoprente
minimo.
Le due tecniche principali di ricerca dei vertici in un grafo, a partire da un
vertice dato: DFS e BFS. La ricerca del cammino piu’ corto in un grafo pesato.
Grafi Bipartiti i grafi bipartiti come relazione tra due insiemi. Colorazione dei
lati di un grafo e il caso dei grafi bipartiti. Problemi di matching; matching
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massimi e completi; i cammini alternati per un dato matching M e loro utilizzo
per costruire un matching di cardinalita’ |M|+1 se M non e’ massimo o nel
caso che valga la condizione di Hall.
Grafi e multigrafi piani e planari; la formula di Eulero e un
corollario(|L|≤3|V|-6. Caratterizzazione dei grafi planari (Teorema di
Kuratowski, solo enunciato) e il teorema dei 4 colori (solo enunciato)
Grafi (e multigrafi (1)) orientati. Grafi orientati completi. Teorema: Ogni
multigrafo orientato completo possiede un cammino Hamiltoniano; il caso
particolare dei tornei.
Networks e cammini critici
Flussi e tagli; Teorema del max-flusso min- taglio.
Flussi e tagli: Algoritmo per trovare un max-flusso
Primi elementi di teoria dei gruppi; gruppi ciclici e teorema di Lagrange. Il
gruppo delle permutazioni su n oggetti; ogni gruppo finito e’ isomorfo ad un
sottogruppo del gruppo delle permutazioni su |G| oggetti (Teorema di Cayley).
(cap. 20, par.1,2,3,4,5,6,7,8, cap.21, teorema 21.5)
Primi elementi di teoria degli Anelli. Il sottoanello fondamentale e la
caratteristica di un anello (cap. 22, par. 1 e 2)
Gli argomenti trattati a lezione sono contenuti per la maggior parte nel testo
DISCRETE MATHEMATICS , aut. N.L. Biggs, Oxford univ. Press., il testo ufficiale
del corso. In particolare i capitoli riguardanti gli argomenti trattati sono: Cap. 7, 8, 13
(escluso par. 13.4 e 13.5), 15, 16, 17, 18. 20, 21(solo par. 5), 22. Vi sono inoltre
alcuni argomenti nel testo del Biggs non trattati o trattati in modo diverso da come
vengono trattati nel Biggs. , che pero’ si possono trovare nel testo ALGEBRA E
MATEMATICA DISCRETA, aut. Alberto Facchini, casa ed. Decibel Zanichelli, testo
che e’ stato usato fino allo scorso anno per il corso di Matematica Discreta. Nel
seguito sono elencati gli argomenti in oggetto e i capitoli e paragrafi del testo del
Facchini dove si possono trovare:
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la nozione di multigrafo e di multigrafo orientato, grafi e multigrafi piani e
planari.
(cap. 2, par. 12,13, 14)
Esistenza di infiniti numeri primi (Dim. di Euclide)
(cap. 1, par. 4, teorema 4.2)
Concetto di struttura Algebrica con una e con due operazioni binarie
(associative). Alcune importanti strutture algebriche: definizione di
semigruppi, monoidi, gruppi, anelli, campi. Definizione di identita’e di
elemento invertibile rispetto ad una operazione associativa e loro unicita’
(cap. 3, par. 15 e 16, 19)
Primi elementi di teoria degli Anelli. Il sottoanello fondamentale e la
caratteristica di un anello ( Cap. 4, par 27.12-27.17)
Il docente
Giorgio Busetto